容斥原理教師

1、7-7 容斥原理教學(xué)目標(biāo)1. 了解容斥原理二量重疊和三量重疊的內(nèi)容；2. 掌握容斥原理的在組合計(jì)數(shù)等各個(gè)方面的應(yīng)用知識(shí)精講知識(shí)點(diǎn)說(shuō)明一、兩量重疊問(wèn)題在一些計(jì)數(shù)問(wèn)題中，經(jīng)常遇到有關(guān)集合元素個(gè)數(shù)的計(jì)算求兩個(gè)集合并集的元素的個(gè)數(shù)，不能簡(jiǎn)單地把兩個(gè)集合的元素個(gè)數(shù)相加，而要從兩個(gè)集合個(gè)數(shù)之和中減去重復(fù)計(jì)算的元素個(gè)數(shù)，即減去交集的元素個(gè)數(shù)，用式子可表示成：(其中符號(hào)“”讀作“并”，相當(dāng)于中文“和”或者“或”的意思；符號(hào)“”讀作“交”，相當(dāng)于中文“且”的意思)則稱這一公式為包含與排除原理，簡(jiǎn)稱容斥原理圖示如下:表示小圓部分，表示大圓部分，表示大圓與小圓的公共部分，記為：，即陰影面積圖示如下:表示小圓部分，表

2、示大圓部分，表示大圓與小圓的公共部分，記為：，即陰影面積1先包含重疊部分計(jì)算了次，多加了次；2再排除把多加了次的重疊部分減去 包含與排除原理告訴我們，要計(jì)算兩個(gè)集合的并集的元素的個(gè)數(shù)，可分以下兩步進(jìn)行：第一步：分別計(jì)算集合的元素個(gè)數(shù)，然后加起來(lái)，即先求(意思是把的一切元素都“包含”進(jìn)來(lái)，加在一起)；第二步：從上面的和中減去交集的元素個(gè)數(shù)，即減去(意思是“排除”了重復(fù)計(jì)算的元素個(gè)數(shù))二、三量重疊問(wèn)題類、類與類元素個(gè)數(shù)的總和類元素的個(gè)數(shù)類元素個(gè)數(shù)類元素個(gè)數(shù)既是類又是類的元素個(gè)數(shù)既是類又是類的元素個(gè)數(shù)既是類又是類的元素個(gè)數(shù)同時(shí)是類、類、類的元素個(gè)數(shù)用符號(hào)表示為：圖示如下：圖中小圓表示的元素的個(gè)數(shù)，中

3、圓表示的元素的個(gè)數(shù)，大圓表示的元素的個(gè)數(shù)1先包含：重疊部分、重疊了次，多加了次2再排除：重疊部分重疊了次，但是在進(jìn)行 計(jì)算時(shí)都被減掉了3再包含：在解答有關(guān)包含排除問(wèn)題時(shí)，我們常常利用圓圈圖(韋恩圖)來(lái)幫助分析思考例題精講板塊一、兩量重疊問(wèn)題【例 1】 兩張長(zhǎng)厘米，寬厘米的長(zhǎng)方形紙擺放成如圖所示形狀把它放在桌面上，覆蓋面積有多少平方厘米？【解析】 兩個(gè)長(zhǎng)方形如圖擺放時(shí)出現(xiàn)了重疊(見(jiàn)圖中的陰影部分)，重疊部分恰好是邊長(zhǎng)為厘米的正方形，如果利用兩個(gè)的長(zhǎng)方形面積之和來(lái)計(jì)算被覆蓋桌面的面積，那么重疊部分在兩個(gè)長(zhǎng)方形面積中各被計(jì)算了一次，而實(shí)際上這部分只需計(jì)算一次就可以了所以，被覆蓋面積長(zhǎng)方形面積之和-重

4、疊部分于是，被覆蓋面積(平方厘米)【鞏固】 把長(zhǎng)厘米和厘米的兩根鐵條焊接成一根鐵條已知焊接部分長(zhǎng)厘米，焊接后這根鐵條有多長(zhǎng)？【解析】 因?yàn)楹附硬糠譃閮筛F條的重合部分，所以，由包含排除法知，焊接后這根鐵條長(zhǎng)(厘米)【鞏固】 把長(zhǎng)厘米和厘米的兩根鐵條焊接成一根鐵條已知焊接部分長(zhǎng)厘米，焊接后這根鐵條有多長(zhǎng)？【解析】 焊接部分為兩根鐵條的重合部分，由包含排除法知，焊接后這根鐵條長(zhǎng)：(厘米)【例 2】 實(shí)驗(yàn)小學(xué)四年級(jí)二班，參加語(yǔ)文興趣小組的有人，參加數(shù)學(xué)興趣小組的有人，有人兩個(gè)小組都參加這個(gè)班有多少人參加了語(yǔ)文或數(shù)學(xué)興趣小組？【解析】 如圖所示，圓表示參加語(yǔ)文興趣小組的人，圓表示參加數(shù)學(xué)興趣小組的人，

5、與重合的部分(陰影部分)表示同時(shí)參加兩個(gè)小組的人圖中圓不含陰影的部分表示只參加語(yǔ)文興趣小組未參加數(shù)學(xué)興趣小組的人，有(人)；圖中圓不含陰影的部分表示只參加數(shù)學(xué)興趣小組未參加語(yǔ)文興趣小組的人，有(人)方法一：由此得到參加語(yǔ)文或數(shù)學(xué)興趣小組的有：(人) 方法二：根據(jù)包含排除法，直接可得： 參加語(yǔ)文或數(shù)學(xué)興趣小組的人參加語(yǔ)文興趣小組的人參加數(shù)學(xué)興趣小組的人兩個(gè)小組都參加的人，即：(人)【鞏固】 芳草地小學(xué)四年級(jí)有人學(xué)鋼琴，人學(xué)畫畫，人既學(xué)鋼琴又學(xué)畫畫，問(wèn)只學(xué)鋼琴和只學(xué)畫畫的分別有多少人？【解析】 解包含與排除題，畫圖是一種很直觀、簡(jiǎn)捷的方法，可以幫助解決問(wèn)題，畫圖時(shí)注意把不同的對(duì)象與不同的區(qū)域?qū)?yīng)清

6、楚建議教師幫助學(xué)生畫圖分析，清楚的分析每一部分的含義如圖，圓表示學(xué)畫畫的人，圓表示學(xué)鋼琴的人，表示既學(xué)鋼琴又學(xué)畫畫的人，圖中圓不含陰影的部分表示只學(xué)畫畫的人，有：(人)，圖中圓不含陰影的部分表示只學(xué)鋼琴的人，有：(人)【例 3】 一個(gè)班人，完成作業(yè)的情況有三種：一種是完成語(yǔ)文作業(yè)沒(méi)完成數(shù)學(xué)作業(yè)；一種是完成數(shù)學(xué)作業(yè)沒(méi)完成語(yǔ)文作業(yè)；一種是語(yǔ)文、數(shù)學(xué)作業(yè)都完成了已知做完語(yǔ)文作業(yè)的有人；做完數(shù)學(xué)作業(yè)的有人這些人中語(yǔ)文、數(shù)學(xué)作業(yè)都完成的有多少人？【解析】 不妨用下圖來(lái)表示： 線段表示全班人數(shù)，線段表示做完語(yǔ)文作業(yè)的人數(shù)，線段表示做完數(shù)學(xué)作業(yè)的人數(shù)，重疊部分則表示語(yǔ)文、數(shù)學(xué)都做完的人數(shù)根據(jù)題意，做完語(yǔ)文作

7、業(yè)的有人，即做完數(shù)學(xué)作業(yè)的有人，即 (人) (人) 式減式，就有(人)所以，數(shù)學(xué)、語(yǔ)文作業(yè)都做完的有人【鞏固】 四年級(jí)科技活動(dòng)組共有人在一次剪貼汽車模型和裝配飛機(jī)模型的定時(shí)科技活動(dòng)比賽中，老師到時(shí)清點(diǎn)發(fā)現(xiàn)：剪貼好一輛汽車模型的同學(xué)有人，裝配好一架飛機(jī)模型的同學(xué)有人每個(gè)同學(xué)都至少完成了一項(xiàng)活動(dòng)問(wèn)：同時(shí)完成這兩項(xiàng)活動(dòng)的同學(xué)有多少人？【解析】 因，所以必有人同時(shí)完成了這兩項(xiàng)活動(dòng)由于每個(gè)同學(xué)都至少完成了一項(xiàng)活動(dòng)，根據(jù)包含排除法知，(完成了兩項(xiàng)活動(dòng)的人數(shù))全組人數(shù)，即(完成了兩項(xiàng)活動(dòng)的人數(shù))由減法運(yùn)算法則知，完成兩項(xiàng)活動(dòng)的人數(shù)為(人)也可畫圖分析【鞏固】 實(shí)驗(yàn)二校一個(gè)歌舞表演隊(duì)里，能表演獨(dú)唱的有10人，

8、能表演跳舞的有18人，兩種都能表演的有7人這個(gè)表演隊(duì)共有多少人能登臺(tái)表演歌舞？【解析】 根據(jù)包含排除法，這個(gè)表演隊(duì)能登臺(tái)表演歌舞的人數(shù)為：(人)【鞏固】 某班組織象棋和軍棋比賽，參加象棋比賽的有人，參加軍棋比賽的有人，有人兩項(xiàng)比賽都參加了，這個(gè)班參加棋類比賽的共有多少人？【解析】 如圖，圓表示參加象棋比賽的人，圓表示參加軍棋比賽的人，與重合的部分表示同時(shí)參加兩項(xiàng)比賽的人圖中圓不含陰影的部分表示只參加象棋比賽不參加軍棋比賽的人，有(人)；圖中圓不含陰影的部分表示只參加軍棋比賽不參加象棋比賽的人，有(人)由此得到參加棋類比賽的人有(人)或者根據(jù)包含排除法直接得：(人)【例 4】 (第二屆小學(xué)迎春杯

9、數(shù)學(xué)競(jìng)賽)有位旅客，其中有人既不懂英語(yǔ)又不懂俄語(yǔ)，有人懂英語(yǔ)，人懂俄語(yǔ)問(wèn)既懂英語(yǔ)又懂俄語(yǔ)的有多少人？ 【解析】 方法一：在人中懂英語(yǔ)或俄語(yǔ)的有：(人)又因?yàn)橛腥硕⒄Z(yǔ)，所以只懂俄語(yǔ)的有：(人)從位懂俄語(yǔ)的旅客中除去只懂俄語(yǔ)的人，剩下的 (人)就是既懂英語(yǔ)又懂俄語(yǔ)的旅客方法二：學(xué)會(huì)把公式進(jìn)行適當(dāng)?shù)淖儞Q，由包含與排除原理，得：(人)【鞏固】 名學(xué)生參加數(shù)學(xué)和語(yǔ)文考試，其中語(yǔ)文得分分以上的人，數(shù)學(xué)得分分以上的人，兩門都不在分以上的有人問(wèn)：兩門都在分以上的有多少人？【解析】 如圖，用長(zhǎng)方形表示這名學(xué)生，圓表示語(yǔ)文得分分以上的人數(shù)，圓表示數(shù)學(xué)得分以上的人數(shù)，與重合的部分表示兩門都在分以上的人數(shù)，長(zhǎng)方形內(nèi)

10、兩圓外的部分表示兩門都不在分以上的人數(shù)由圖中可以看出，全體人數(shù)是至少一門在分以上的人數(shù)與兩門都不在分以上的人數(shù)之和，則至少一門在分以上的人數(shù)為：(人)根據(jù)包含排除法，兩門都在分以上的人數(shù)為：(人)【鞏固】 某班共有人，參加美術(shù)小組的有人，參加音樂(lè)小組的有人，有人兩個(gè)小組都參加了這個(gè)班既沒(méi)參加美術(shù)小組也沒(méi)參加音樂(lè)小組的有多少人？【解析】 已知全班總?cè)藬?shù)，從反面思考，找出參加美術(shù)或音樂(lè)小組的人數(shù)，只需用全班總?cè)藬?shù)減去這個(gè)人數(shù)，就得到既沒(méi)參加美術(shù)小組也沒(méi)參加音樂(lè)小組的人數(shù)根據(jù)包含排除法知，該班至少參加了一個(gè)小組的總?cè)藬?shù)為(人)所以，該班未參加美術(shù)或音樂(lè)小組的人數(shù)是(人)【鞏固】 四年級(jí)一班有人，其中

11、人參加了數(shù)學(xué)競(jìng)賽，人參加了作文比賽，人兩項(xiàng)比賽都參加了一班有多少人兩項(xiàng)比賽都沒(méi)有參加？【解析】 由包含排除法可知，至少參加一項(xiàng)比賽的人數(shù)是：(人)，所以，兩項(xiàng)比賽都沒(méi)有參加的人數(shù)為：(人)【鞏固】 某次英語(yǔ)考試由兩部分組成，結(jié)果全班有人得滿分，第一部分有人做對(duì)，第二部分有人有錯(cuò)，問(wèn)兩部分都有錯(cuò)的有多少人？【解析】 如圖，用長(zhǎng)方形表示參加考試的人數(shù)，圓表示第一部分對(duì)的人數(shù)圓表示第二部分對(duì)的人數(shù)，長(zhǎng)方形中陰影部分表示兩部分都有錯(cuò)的人數(shù)已知第一部分對(duì)的有人，全對(duì)的有人，可知只對(duì)第一部分的有：(人)又因?yàn)榈诙糠钟腥擞绣e(cuò)，其中第一部分對(duì)第二部分有錯(cuò)的有人，那么余下的(人)必是第一部分和第二部分均有錯(cuò)的

12、，兩部分都有錯(cuò)的有人【鞏固】 對(duì)全班同學(xué)調(diào)查發(fā)現(xiàn)，會(huì)游泳的有人，會(huì)打籃球的有人兩項(xiàng)都會(huì)的有人，兩項(xiàng)都不會(huì)的有人這個(gè)班一共有多少人？【解析】 如圖，用長(zhǎng)方形表示全班人數(shù)，圓表示會(huì)游泳的人數(shù)，圓表示會(huì)打籃球的人數(shù)，長(zhǎng)方形中陰影部分表示兩項(xiàng)都不會(huì)的人數(shù)由圖中可以看出，全班人數(shù)至少會(huì)一項(xiàng)的人數(shù)兩項(xiàng)都不會(huì)的人數(shù)，至少會(huì)一項(xiàng)的人數(shù)為：(人)，全班人數(shù)為： (人)【例 5】 在人參加的采摘活動(dòng)中，只采了櫻桃的有人，既采了櫻桃又采了杏的有人，既沒(méi)采櫻桃又沒(méi)采杏的有人，問(wèn)：只采了杏的有多少人？【解析】 如圖，用長(zhǎng)方形表示全體采摘人員人，圓表示采了櫻桃的人數(shù)，圓表示采了杏的人數(shù)長(zhǎng)方形中陰影部分表示既沒(méi)采櫻桃又沒(méi)采

13、杏的人數(shù)由圖中可以看出，全體人員是至少采了一種的人數(shù)與兩種都沒(méi)采的人數(shù)之和，則至少采了一種的人數(shù)為：(人)，而至少采了一種的人數(shù)只采了櫻桃的人數(shù)兩種都采了的人數(shù)只采了杏的人數(shù)，所以，只采了杏的人數(shù)為：(人)【例 6】 甲、乙、丙三個(gè)小組學(xué)雷鋒，為學(xué)校擦玻璃，其中塊玻璃不是甲組擦的，塊玻璃不是乙組擦的，且甲組與乙組一共擦了塊玻璃那么，甲、乙、丙三個(gè)小組各擦了多少塊玻璃？【解析】 68塊玻璃不是甲組擦的，說(shuō)明這塊玻璃是乙、丙兩組擦的；塊玻璃不是乙組擦的，說(shuō)明這塊玻璃是甲、丙兩組擦的如圖，用圓表示乙、丙兩組擦的塊玻璃，圓表示甲、丙兩組擦的塊玻璃因甲乙兩組共擦了塊玻璃，那么(塊)，這是兩個(gè)丙組擦的玻璃

14、數(shù)(塊)丙組擦了塊玻璃乙組擦了：(塊)玻璃，甲組擦了：(塊)玻璃【鞏固】 育才小學(xué)畫展上展出了許多幅畫，其中有16幅畫不是六年級(jí)的，有15幅畫不是五年級(jí)的，五、六年級(jí)共展出25幅畫，其他年級(jí)的畫共有多少幅？【解析】 通過(guò)16幅畫不是六年級(jí)的可以知道，五年級(jí)和其他年級(jí)的畫作數(shù)量之和是16，通過(guò)15幅畫不是五年級(jí)的可以知道六年級(jí)和其他年級(jí)的畫作數(shù)量之和是15，那也就是說(shuō)五年級(jí)的畫比六年級(jí)多1幅，我們還知道五、六年級(jí)共展出25幅畫，進(jìn)而可以求出五年級(jí)畫作有13幅，六年級(jí)畫作有12幅，那么久可以求出其他年級(jí)的畫作共有3幅【例 7】 一次數(shù)學(xué)測(cè)驗(yàn)，甲答錯(cuò)題目總數(shù)的，乙答錯(cuò)3道題，兩人都答錯(cuò)的題目是題目總

15、數(shù)的。求甲、乙都答對(duì)的題目數(shù).【解析】 (法一)設(shè)共有n道題。由右圖知d即為所求，并有關(guān)系式由知,n是4和6的公倍數(shù)，即12的倍數(shù)。將代入，有， 由于b是非負(fù)整數(shù)，所以n=12，由此求出c=2，b=1，a=1.又由a+b+c+d=n，得到d=n-（a+b+c)=8（法二）顯然兩人都答錯(cuò)的題目不多于3道，所以題目總數(shù)只可能是6、12、18，其中只有12，能使甲答錯(cuò)題目總數(shù)是整數(shù).【例 8】 在的全部自然數(shù)中，不是的倍數(shù)也不是的倍數(shù)的數(shù)有多少個(gè)？【解析】 如圖，用長(zhǎng)方形表示的全部自然數(shù)，圓表示中的倍數(shù)，圓表示中的倍數(shù)，長(zhǎng)方形內(nèi)兩圓外的部分表示既不是的倍數(shù)也不是的倍數(shù)的數(shù)由可知，中的倍數(shù)有個(gè)；由可知

16、，中的倍數(shù)有個(gè)；由可知，既是的倍數(shù)又是的倍數(shù)的數(shù)有個(gè)由包含排除法，或的倍數(shù)有：(個(gè))從而不是的倍數(shù)也不是的倍數(shù)的數(shù)有(個(gè))【鞏固】 在從1至1000的自然數(shù)中，既不能被5除盡，又不能被7除盡的數(shù)有多少個(gè)?【解析】 11000之間，5的倍數(shù)有=200個(gè)，7的倍數(shù)有=142個(gè)，因?yàn)榧仁?的倍數(shù)，又是7的倍數(shù)的數(shù)一定是35的倍數(shù)，所以這樣的數(shù)有=28個(gè)所以既不能被5除盡，又不能被7除盡的數(shù)有1000-200-142+-28=686個(gè)【鞏固】 求在1至100的自然數(shù)中能被3或7整除的數(shù)的個(gè)數(shù)?！窘馕觥?記 A：1100中3的倍數(shù)，有33個(gè)；B：1100中7的倍數(shù)，有14個(gè)；：1100中3和7的公倍數(shù)，

17、即21的倍數(shù)，有4個(gè)。依據(jù)公式，1100中3的倍數(shù)或7的倍數(shù)共有個(gè)，則能被3或7整除的數(shù)的個(gè)數(shù)為43個(gè).【鞏固】 50名同學(xué)面向老師站成一行老師先讓大家從左至右按1，2，3，49，50依次報(bào)數(shù)；再讓報(bào)數(shù)是4的倍數(shù)的同學(xué)向后轉(zhuǎn)，接著又讓報(bào)數(shù)是6的倍數(shù)的同學(xué)向后轉(zhuǎn)問(wèn)：現(xiàn)在面向老師的同學(xué)還有多少名?【解析】 在轉(zhuǎn)過(guò)兩次后，面向老師的同學(xué)分成兩類：第一類是標(biāo)號(hào)既不是4的倍數(shù)，又不是6的倍數(shù)；第二類是標(biāo)號(hào)既是4的倍數(shù)又是6的倍數(shù)150之間，4的倍數(shù)有=12,6的倍數(shù)有=8，即是4的倍數(shù)又是6的倍數(shù)的數(shù)一定是12的倍數(shù)，所以有=4于是，第一類同學(xué)有50-12-8+4=34人，第二類同學(xué)有4人，所以現(xiàn)在共有

18、34+4=38名同學(xué)面向老師【鞏固】 在游藝會(huì)上，有100名同學(xué)抽到了標(biāo)簽分別為1至100的獎(jiǎng)券按獎(jiǎng)券標(biāo)簽號(hào)發(fā)放獎(jiǎng)品的規(guī)則如下：（1）標(biāo)簽號(hào)為2的倍數(shù)，獎(jiǎng)2支鉛筆；（2）標(biāo)簽號(hào)為3的倍數(shù)，獎(jiǎng)3支鉛筆；（3）標(biāo)簽號(hào)既是2的倍數(shù)，又是3的倍數(shù)可重復(fù)領(lǐng)獎(jiǎng)；（4）其他標(biāo)簽號(hào)均獎(jiǎng)1支鉛筆那么游藝會(huì)為該項(xiàng)活動(dòng)準(zhǔn)備的獎(jiǎng)品鉛筆共有多少支?【解析】 1100，2的倍數(shù)有=50，3的倍數(shù)有=33個(gè)，因?yàn)榧仁?的倍數(shù)，又是3的倍數(shù)的數(shù)一定是6的倍數(shù)，所以標(biāo)簽為這樣的數(shù)有=16個(gè)于是，既不是2的倍數(shù)，又不是3的倍數(shù)的數(shù)在1100中有100-50-33+16=33所以，游藝會(huì)為該項(xiàng)活動(dòng)準(zhǔn)備的獎(jiǎng)品鉛筆共有：50×

19、;2+33×3+33×1=232支.板塊二、三量重疊問(wèn)題【例 9】 某班學(xué)生手中分別拿紅、黃、藍(lán)三種顏色的小旗，已知手中有紅旗的共有人，手中有黃旗的共有人，手中有藍(lán)旗的共有人其中手中有紅、黃、藍(lán)三種小旗的有人而手中只有紅、黃兩種小旗的有人，手中只有黃、藍(lán)兩種小旗的有人，手中只有紅、藍(lán)兩種小旗的有人，那么這個(gè)班共有多少人？【解析】 如圖，用圓表示手中有紅旗的，圓表示手中有黃旗的，圓表示手中有藍(lán)旗的如果用手中有紅旗的、有黃旗的與有藍(lán)旗的相加，發(fā)現(xiàn)手中只有紅、黃兩種小旗的各重復(fù)計(jì)算了一次，應(yīng)減去，手中有三種顏色小旗的重復(fù)計(jì)算了二次，也應(yīng)減去，那么，全班人數(shù)為： (人)【鞏固】 某

20、班有人，其中人愛(ài)打籃球，人愛(ài)打排球，人愛(ài)踢足球，人既愛(ài)打籃球又愛(ài)踢足球，人既愛(ài)打排球又愛(ài)踢足球，沒(méi)有一個(gè)人三種球都愛(ài)好，也沒(méi)有一個(gè)人三種球都不愛(ài)好問(wèn)：既愛(ài)打籃球又愛(ài)打排球的有幾人？【解析】 由于全班人沒(méi)有一個(gè)人三種球都不愛(ài)好，所以全班至少愛(ài)好一種球的有人根據(jù)包含排除法，既愛(ài)打籃球又愛(ài)打排球的人數(shù)，得到既愛(ài)打籃球又愛(ài)打排球的人數(shù)為：(人)【例 10】 四年級(jí)一班有46名學(xué)生參加3項(xiàng)課外活動(dòng)其中有24人參加了數(shù)學(xué)小組，20人參加了語(yǔ)文小組，參加文藝小組的人數(shù)是既參加數(shù)學(xué)小組也參加文藝小組人數(shù)的35倍，又是3項(xiàng)活動(dòng)都參加人數(shù)的7倍，既參加文藝小組也參加語(yǔ)文小組的人數(shù)相當(dāng)于3項(xiàng)都參加的人數(shù)的2倍，既參

21、加數(shù)學(xué)小組又參加語(yǔ)文小組的有10人求參加文藝小組的人數(shù)【解析】 設(shè)參加數(shù)學(xué)小組的學(xué)生組成集合A，參加語(yǔ)文小組的學(xué)生組成集合B，參加文藝小組的學(xué)生組成集合G三者都參加的學(xué)生有z人有=46，=24，=20，=3.5，=7，=2，=10因?yàn)椋?6=24+20+7x-10-2x-2x+x，解得x=3，即三者的都參加的有3人那么參加文藝小組的有37=21人【鞏固】 五年級(jí)三班學(xué)生參加課外興趣小組，每人至少參加一項(xiàng)其中有25人參加自然興趣小組，35人參加美術(shù)興趣小組，27人參加語(yǔ)文興趣小組，參加語(yǔ)文同時(shí)又參加美術(shù)興趣小組的有12人，參加自然同時(shí)又參加美術(shù)興趣小組的有8人，參加自然同時(shí)又參加語(yǔ)文興趣小組

22、的有9人，語(yǔ)文、美術(shù)、自然3科興趣小組都參加的有4人求這個(gè)班的學(xué)生人數(shù)【解析】 設(shè)參加自然興趣小組的人組成集合A，參加美術(shù)興趣小組的人組成集合日，參加語(yǔ)文興趣小組的人組成集合C =25，=35，=27，=12， =8，=9， =4.=.所以，這個(gè)班中至少參加一項(xiàng)活動(dòng)的人有25+35+27-12-8-9+4=62，而這個(gè)班每人至少參加一項(xiàng)即這個(gè)班有62人【鞏固】 五年級(jí)三班有46名學(xué)生參加三項(xiàng)課外活動(dòng)，其中24人參加了繪畫小組，20人參加了合唱小組，參加朗誦小組的人數(shù)是既參加繪畫小組又參加朗誦小組人數(shù)的3.5倍，又是三項(xiàng)活動(dòng)都參加人數(shù)的7倍，既參加朗誦小組又參加合唱小組的人數(shù)相當(dāng)于三項(xiàng)都參加人數(shù)

23、的2倍，既參加繪畫小組又參加合唱小組的有10人，求參加朗誦小組的人數(shù)。【解析】 設(shè)三項(xiàng)都參加的人數(shù)有X人，則參加朗誦小組的人數(shù)為7X人，參加繪畫小組又參加朗誦小組的人數(shù)為2X人，參加朗誦小組又參加合唱小組的人數(shù)為2X人，于是有46=（24+20+7X-2X-2X-10+X），解得X=3,所以參加朗誦小組的人數(shù)為21人?！纠?11】 三個(gè)面積均為平方厘米的圓紙片放在桌面上(如圖)，三個(gè)紙片共同重疊的面積是平方厘米三個(gè)紙片蓋住桌面的總面積是厘米問(wèn)：圖中陰影部分面積之和是多少？【解析】 將圖中的三個(gè)圓標(biāo)上、根據(jù)包含排除法，三個(gè)紙片蓋住桌面的總面積(圓面積圓面積圓面積與重合部分面積與重合部分面積與重合

24、部分面積三個(gè)紙片共同重疊的面積，得：與重合部分面積與重合部分面積與重合部分面積，得到、三個(gè)圓兩兩重合面積之和為：平方厘米，而這個(gè)面積對(duì)應(yīng)于圓上的那三個(gè)紙片共同重疊的面積的三倍與陰影部分面積的和，即：陰影部分面積，則陰影部分面積為：(平方厘米)【鞏固】 如圖，已知甲、乙、丙3個(gè)圓的面積均為30，甲與乙、乙與丙、甲與丙重合部分的面積分別為6，8，5，而3個(gè)圓覆蓋的總面積為73求陰影部分的面積【解析】 設(shè)甲圓組成集合A，乙圓組成集合B，丙圓組成集合C=30，=6，=8，=5，=73，而=.有73=30×3-6-8-5+，即=2，即甲、乙、丙三者的公共面積(部分面積)為2那么只是甲與乙()，

25、乙與丙()，甲與丙()的公共的面積依次為6-2=4，8-2=6，5-2=3，所以有陰影部分(、部分之和)的面積為73-4-6-3-2=58【例 12】 如圖，三角形紙板、正方形紙板、圓形紙板的面積相等，都等于60平方厘米陰影部分的面積總和是40平方厘米，3張板蓋住的總面積是100平方厘米，3張紙板重疊部分的面積是多少平方厘米？【解析】 陰影部分是有兩塊重疊的部分，被計(jì)算兩次，而三張紙重疊部分是被計(jì)算了三次所以三張紙重疊部分的面積(平方厘米)【鞏固】 如圖所示，、分別是面積為、的三張不同形狀的紙片，它們重疊在一起，露在外面的總面積為若與、與的公共部分的面積分別為、，、這三張紙片的公共部分為求與公

26、共部分的面積是多少？【解析】 設(shè)與公共部分的面積為，由包含與排除原理可得： 先“包含”：把圖形、的面積相加：，那么每?jī)蓚€(gè)圖形的公共部分的面積都重復(fù)計(jì)算了次，因此要排除掉 再“排除”：，這樣一來(lái)，三個(gè)圖形的公共部分被全部減掉，因此還要再補(bǔ)回 再“包含”：，這就是三張紙片覆蓋的面積根據(jù)上面的分析得：，解得：【例 13】 在某個(gè)風(fēng)和日麗的日子，個(gè)同學(xué)相約去野餐，每個(gè)人都帶了吃的，其中個(gè)人帶了漢堡，個(gè)人帶了雞腿，個(gè)人帶了芝士蛋糕，有個(gè)人既帶了漢堡又帶了雞腿，個(gè)人既帶了雞腿又帶了芝士蛋糕個(gè)人既帶了漢堡又帶了芝土蛋糕問(wèn)： 三種都帶了的有幾人？ 只帶了一種的有幾個(gè)？【解析】 如圖，用圓表示帶漢堡的人，圓表示

27、帶雞腿的人，圓表示帶芝士蛋糕的人 根據(jù)包含排除法，總?cè)藬?shù)帶漢堡的人數(shù)帶雞腿的人數(shù)帶芝士蛋糕的人數(shù)帶漢堡、雞腿的人數(shù)帶漢堡、芝士蛋糕的人數(shù)帶雞腿、芝士蛋糕的人數(shù)三種都帶了的人數(shù)，即三種都帶了的人數(shù)，得三種都帶了的人數(shù)為：(人) 求只帶一種的人數(shù)，只需從10人中減去帶了兩種的人數(shù)，即(人)只帶了一種的有人【鞏固】 盛夏的一天，有個(gè)同學(xué)去冷飲店，向服務(wù)員交了一份需要冷飲的統(tǒng)計(jì)表：要可樂(lè)、雪碧、橙汁的各有人；可樂(lè)、雪碧都要的有人；可樂(lè)、橙汁都要的有人；雪碧、橙汁都要的有人；三樣都要的只有人，證明其中一定有人這三種飲料都沒(méi)有要【解析】 根據(jù)根據(jù)包含排除法，至少要了一種飲料的人數(shù)(要可樂(lè)的人數(shù)要雪碧的人數(shù)

28、要橙汁的人數(shù))(要可樂(lè)、雪碧的人數(shù)要可樂(lè)、橙汁的人數(shù)要雪碧、橙汁的人數(shù))三種都要的人數(shù)，即至少要了一種飲料的人數(shù)為：(人)(人)，所以其中有人這三種飲料都沒(méi)有要【例 14】 (2008年西城實(shí)驗(yàn)考題)新年聯(lián)歡會(huì)上，共有90人參加了跳舞、合唱、演奏三種節(jié)目的演出如果只參加跳舞的人數(shù)三倍于只參加合唱的人數(shù)；同時(shí)參加三種節(jié)目的人比只參加合唱的人少7人；只參加演奏的比同時(shí)參加演奏、跳舞但沒(méi)有參加合唱的人多4人；50人沒(méi)有參加演奏；10人同時(shí)參加了跳舞和合唱但沒(méi)有參加演奏；40人參加了合唱；那么，同時(shí)參加了演奏、合唱但沒(méi)有參加跳舞的有_人【鞏固】 設(shè)只參加合唱的有人，那么只參加跳舞的人數(shù)為，由人沒(méi)有參加

29、演奏、人同時(shí)參加了跳舞和合唱但沒(méi)有參加演奏，得到只參加合唱的和只參加跳舞的人數(shù)和為人，即，得，所以只參加合唱的有人，那么只參加跳舞的人數(shù)為人，又由“同時(shí)參加三種節(jié)目的人比只參加合唱的人少人”，得到同時(shí)參加三項(xiàng)的有人，所以參加了合唱的人中“同時(shí)參加了演奏、合唱但沒(méi)有參加跳舞的”有：人【鞏固】 五一班有28位同學(xué)，每人至少參加數(shù)學(xué)、語(yǔ)文、自然課外小組中的一個(gè)。其中僅參加數(shù)學(xué)與語(yǔ)文小組的人數(shù)等于僅參加數(shù)學(xué)小組的人數(shù)，沒(méi)有同學(xué)僅參加語(yǔ)文或僅參加自然小組，恰有6個(gè)同學(xué)參加數(shù)學(xué)與自然小組但不參加語(yǔ)文小組，僅參加語(yǔ)文與自然小組的人數(shù)是3個(gè)小組全參加的人數(shù)的5倍，并且知道3個(gè)小組全參加的人數(shù)是一個(gè)不為0的偶數(shù)

30、，那么僅參加數(shù)學(xué)和語(yǔ)文小組的人有多少人？【解析】 參加3個(gè)小組的人數(shù)是一個(gè)不為0的偶數(shù)，如果該數(shù)大于或等于4，那么僅參加語(yǔ)文與自然小組的人數(shù)則大于等于20，而僅參加數(shù)學(xué)與自然小組的人有6個(gè)，這樣至少應(yīng)有30人，與題意矛盾，所以參加3個(gè)小組的人數(shù)為2。僅參加語(yǔ)文與自然小組的人數(shù)為10，于是僅參加語(yǔ)文與自然、僅參加數(shù)學(xué)與自然和參加3個(gè)小組的人數(shù)一共是18人，剩下的10人是僅參加數(shù)學(xué)與語(yǔ)文以及僅參加數(shù)學(xué)的。由于這兩個(gè)人數(shù)相等，所以僅參加數(shù)學(xué)和語(yǔ)文小組的有5人。【鞏固】 某學(xué)校派出若干名學(xué)生參加體育競(jìng)技比賽，比賽一共只有三個(gè)項(xiàng)目，已知參加長(zhǎng)跑、跳高、標(biāo)槍三個(gè)項(xiàng)目的人數(shù)分別為10、15、20人，長(zhǎng)跑、跳

31、高、標(biāo)槍每一項(xiàng)的的參加選手中人中都有五分之一的人還參加了別的比賽項(xiàng)目，求這所學(xué)校一共派出多少人參加比賽？【解析】 由條件可知，參加長(zhǎng)跑的人中有2人參加其它項(xiàng)目，參加跳高的人中有3人參加其它項(xiàng)目，參加標(biāo)槍的人中有4人還參加別的項(xiàng)目，假設(shè)只參加長(zhǎng)跑和跳高的人數(shù)為x，只參加長(zhǎng)跑和標(biāo)槍的人數(shù)為y，只參加標(biāo)槍和跳高的有z人，三項(xiàng)都參加的有n人.那么有以下方程組： 由條件可知，參加長(zhǎng)跑的人中有2人參加其它項(xiàng)目，參加跳高的人中有3人 參加其它項(xiàng)目，參加標(biāo)槍的人中有4人還參加別的項(xiàng)目，假設(shè)只參加長(zhǎng)跑和跳高的人數(shù)為x，只參加長(zhǎng)跑和標(biāo)槍的人數(shù)為y，只參加標(biāo)槍和跳高的有z人，三項(xiàng)都參加的有n人.那么有以下方程組：

32、將3條等式相加則有2（x+y+z）+3n=9，由這個(gè)等式可以得到，n必須是奇數(shù)，所以，n只能是1或3、5、7，如果n3時(shí)x、y、z中會(huì)出現(xiàn)負(fù)數(shù).所以n=1，這樣可以求得x=0，y=1，z=2.由此可得到這個(gè)學(xué)校一共派出了10+15+20-0-1-2-2×1=40人.將3條等式相加則有2（x+y+z）+3n=9，由這個(gè)等式可以得到，n必須是奇數(shù)，所以，n只能是1或3、5、7，如果n3時(shí)x、y、z中會(huì)出現(xiàn)負(fù)數(shù).所以n=1，這樣可以求得x=0，y=1，z=2.由此可得到這個(gè)學(xué)校一共派出了10+15+20-0-1-2-2×1=40人.【例 15】 全班有個(gè)學(xué)生，其中人會(huì)騎自行車，人

33、會(huì)游泳，人會(huì)滑冰，這三個(gè)運(yùn)動(dòng)項(xiàng)目沒(méi)有人全會(huì)，至少會(huì)這三項(xiàng)運(yùn)動(dòng)之一的學(xué)生數(shù)學(xué)成績(jī)都及格了，但又都不是優(yōu)秀若全班有個(gè)人數(shù)學(xué)不及格，那么， 數(shù)學(xué)成績(jī)優(yōu)秀的有幾個(gè)學(xué)生？ 有幾個(gè)人既會(huì)游泳，又會(huì)滑冰？【解析】 有個(gè)數(shù)學(xué)不及格，那么及格的有：(人)，即最多不會(huì)超過(guò)人會(huì)這三項(xiàng)運(yùn)動(dòng)之一而又因?yàn)闆](méi)人全會(huì)這三項(xiàng)運(yùn)動(dòng)，那么，最少也會(huì)有：(人)至少會(huì)這三項(xiàng)運(yùn)動(dòng)之一于是，至少會(huì)三項(xiàng)運(yùn)動(dòng)之一的只能是人，而這人又不是優(yōu)秀，說(shuō)明全班人中除了人外，剩下的名不及格，所以沒(méi)有數(shù)學(xué)成績(jī)優(yōu)秀的 上面分析可知，及格的人中，每人都會(huì)兩項(xiàng)運(yùn)動(dòng)：會(huì)騎車的一定有一部分會(huì)游泳，一部分會(huì)滑冰；會(huì)游泳的人中若不會(huì)騎車就一定會(huì)滑冰，而會(huì)滑冰的人中若不會(huì)

34、騎車就一定會(huì)游泳，但既會(huì)游泳又會(huì)滑冰的人一定不會(huì)騎自行車所以，全班有(人)既會(huì)游泳又會(huì)滑冰【鞏固】 五年級(jí)一班共有人，每人參加一個(gè)興趣小組，共有、五個(gè)小組，若參加組的有人，參加組的人數(shù)僅次于組，參加組、組的人數(shù)相同，參加組的人數(shù)最少，只有人那么，參加組的有_人【解析】 參加，三組的總?cè)藬?shù)是(人)，每組至少人，當(dāng)，每組 人時(shí)，組為人，不符合題意，所以參加組的有(人)【例 16】 以105為分母的最簡(jiǎn)真分?jǐn)?shù)共有多少個(gè)？它們的和為多少？【解析】 以105為分母的最簡(jiǎn)真分?jǐn)?shù)的分子與105互質(zhì)，105=3×5×7，所以也是求1到105不是3、5、7倍數(shù)的數(shù)有多少個(gè)，3的倍數(shù)有35個(gè)，

35、5的倍數(shù)有21個(gè)，7的倍數(shù)有15個(gè)，15的倍數(shù)有7個(gè)，21的倍數(shù)有5個(gè)，35的倍數(shù)有3個(gè)，105的倍數(shù)有1個(gè)，所以105以內(nèi)與105互質(zhì)的數(shù)有105-35-21-15+7+5+3-1=48個(gè)，顯然如果n與105互質(zhì)，那么（105-n）與n互質(zhì)，所以以105為分母的48個(gè)最簡(jiǎn)真分?jǐn)?shù)可兩個(gè)兩個(gè)湊成1，所以它們的和為24.【鞏固】 分母是385的最簡(jiǎn)真分?jǐn)?shù)有多少個(gè)？并求這些真分?jǐn)?shù)的和.【解析】 385=5×7×11，不超過(guò)385的正整數(shù)中被5整除的數(shù)有77個(gè)；被7整除的數(shù)有55個(gè)；被11整除的數(shù)有35個(gè)；被77整除的數(shù)有5個(gè)；被35整除的數(shù)有11個(gè)；被55整除的數(shù)有7個(gè)；被385

36、整除的數(shù)有1個(gè)；最簡(jiǎn)真分?jǐn)?shù)的分子可以有385-77-55-35+5+11+7-1=240.對(duì)于某個(gè)分?jǐn)?shù)a/385如果是最簡(jiǎn)真分?jǐn)?shù)的話，那么（385-a）/385也是最簡(jiǎn)真分?jǐn)?shù)，所以最簡(jiǎn)真分?jǐn)?shù)可以每?jī)蓚€(gè)湊成整數(shù)1，所以這些真分?jǐn)?shù)的和為120.【例 17】 (2008年西城實(shí)驗(yàn)考題)在1至2008這2008個(gè)自然數(shù)中，恰好是3、5、7中兩個(gè)數(shù)的倍數(shù)的數(shù)共有 個(gè)【解析】 1到2008這2008個(gè)自然數(shù)中，3和5的倍數(shù)有個(gè)，3和7的倍數(shù)有個(gè)，5和7的倍數(shù)有個(gè)，3、5和7的倍數(shù)有個(gè)所以，恰好是3、5、7中兩個(gè)數(shù)的倍數(shù)的共有個(gè)【鞏固】 有2000盞亮著的電燈，各有一個(gè)拉線開(kāi)關(guān)控制著，現(xiàn)按其順序編號(hào)為1，2

37、，3，2000，然后將編號(hào)為2的倍數(shù)的燈線拉一下，再將編號(hào)為3的倍數(shù)的燈線拉一下，最后將編號(hào)為5的倍數(shù)的燈線拉一下，三次拉完后，亮著的燈有多少盞？【解析】 三次拉完后，亮著的燈包括不是2、3、5的倍數(shù)的數(shù)以及是6、10、15的倍數(shù)但不是30的倍數(shù)的數(shù)。12000這2000個(gè)正整數(shù)中，2的倍數(shù)有1000個(gè)，3的倍數(shù)有666個(gè)，5的倍數(shù)有400個(gè)，6的倍數(shù)有333個(gè)，10的倍數(shù)有200個(gè)，15的倍數(shù)有133個(gè)，30的倍數(shù)有66個(gè)，亮著的燈一共有2000-1000-666-400+2×（333+200+133）-4×66=1002盞?！眷柟獭?在從1到1998的自然數(shù)中，能被2整

38、除，但不能被3或7整除的數(shù)有多少個(gè)？【解析】 表示取商的整數(shù)部分例如，要注意的是，符號(hào)與、符號(hào)一樣，也是一種運(yùn)算，叫取整運(yùn)算本題中，先求出能被2整除的數(shù)有多少個(gè)，再分別求出能被2和3、能被2和7分別整除的數(shù)的個(gè)數(shù)，那么用能被2整除的數(shù)的個(gè)數(shù)減去能被2和3整除的數(shù)的個(gè)數(shù)，再減去能被2和7整除的數(shù)的個(gè)數(shù)，所得的差是不是所求的得數(shù)呢？仔細(xì)想想你會(huì)發(fā)現(xiàn)不是的，因?yàn)樗鄿p了能同時(shí)被2、3、7整除的數(shù)故能被2整除的有：(個(gè))能被2和3同時(shí)整除的有：(個(gè))能被2和7同時(shí)整除的有：能被2、3、7同時(shí)整除的有：(個(gè))所以，能被2整除，但不能被3或7整除的數(shù)有(個(gè))課后練習(xí)練習(xí)1. 一個(gè)長(zhǎng)方形長(zhǎng)厘米，寬厘米，另一個(gè)長(zhǎng)方形長(zhǎng)厘米，寬厘米，它們中間重疊的部分是一個(gè)邊長(zhǎng)厘米的正方形，求這個(gè)組合圖形的面積【解析】 兩個(gè)長(zhǎng)方形如圖擺放時(shí)出現(xiàn)了重疊(見(jiàn)圖中的陰影部分)，重疊部分恰好是邊長(zhǎng)為厘米的正方形，如果利用兩個(gè)長(zhǎng)方形面積之和來(lái)計(jì)算被覆蓋桌面的面積，那么重疊部分在兩個(gè)長(zhǎng)方形面積中各被計(jì)算了一次，而實(shí)際上這部分只需計(jì)算一次就可以了所以，組合圖形的面積長(zhǎng)方形面積之和重疊部分于是，組合圖形的面積(平方厘米)練習(xí)2. 科技活動(dòng)小組有人在一次制作飛機(jī)模型和制作艦艇模型的定時(shí)科技活動(dòng)比賽中，老師到時(shí)清點(diǎn)發(fā)現(xiàn)：制作好一架飛機(jī)模型的同學(xué)有人，制作好一艘艦艇的同學(xué)有人每個(gè)同學(xué)都至少完成了一項(xiàng)制