導(dǎo)數(shù)與積分例題以及答案

1、高三數(shù)學(xué) 導(dǎo)數(shù)與積分經(jīng)典例題以及答案一. 教學(xué)內(nèi)容：導(dǎo)數(shù)與積分二. 重點(diǎn)、難點(diǎn)：1. 導(dǎo)數(shù)公式：2. 運(yùn)算公式 3. 切線，過P（）為切點(diǎn)的的切線， 4. 單調(diào)區(qū)間 不等式，解為的增區(qū)間，解為的減區(qū)間。 5. 極值（1）時(shí)，時(shí)， 為極大值（2）時(shí)，時(shí)， 為的極小值?！镜湫屠}】例1 求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)。（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）。分析：直接應(yīng)用導(dǎo)數(shù)公式和導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則解析：（1）（2）當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)， （3）（4）（5）（6）例2 如果函數(shù)的圖象在處的切線過點(diǎn)（0，）并且與圓C：相離，則點(diǎn)（）與圓C的位置關(guān)系 。解： 切 過（0，） 與圓相離， 點(diǎn)（）在圓內(nèi)例3 函數(shù)在上可導(dǎo)，

2、且，則時(shí)有（ ）A. B. C. D. 解：令 任取 即 故選C例4 分別為定義在R上的奇函數(shù)、偶函數(shù)。時(shí)，則不等式的解為 。解：令 奇，偶奇函數(shù) 解為例5 已知函數(shù)在處取得極值2。（1）求的解析式；（2）滿足什么條件時(shí)，區(qū)間（）為函數(shù)增區(qū)間；（3）若P（）為圖象上任一點(diǎn)，與切于點(diǎn)P求的傾斜角的正切值的取值范圍。解： 列表 （1，1） （1，+）令 例6 （1）在x=1，x=3處取得極值，求；（2）在，且，求證：（3）在（2）的條件下，比較與大小關(guān)系。解：（1） （2） （3）* *式 例7 已知拋物線和。如果直線同時(shí)是和的切線，稱是和的公切線，公切線上兩個(gè)切點(diǎn)之間的線段，稱為公切線段。（1）

3、取什么值時(shí)，和有且僅有一條公切線？寫出此公切線的方程；（2）若和有兩條公切線，證明相應(yīng)的兩條公切線段互相平分。分析：分別利用曲線 方程求切線的方程再比較，從而求得滿足條件；對于（2）兩條公切線段互相平分，也就是兩公切線段的中點(diǎn)坐標(biāo)相同。解析：（1）函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，曲線在點(diǎn)的切線方程是即 函數(shù)的導(dǎo)數(shù)曲線在點(diǎn)的切線方程是即 如果直線是過P和Q的公切線，則式和式都是的方程所以消去得方程若判別式，即時(shí)解得，此時(shí)點(diǎn)P與Q重合即當(dāng)時(shí)，和有且僅有一條公切線由得公切線方程為（2）由（1）可知，當(dāng)時(shí)和有兩條公切線設(shè)一條公切線上切點(diǎn)為，其中P在上，Q在上，則有線段PQ的中點(diǎn)為同理，另一條公切線段的中點(diǎn)也是所以公切線段

4、PQ和互相平分例8 已知拋物線過點(diǎn)，且在點(diǎn)處與直線相切，求的值。解析： 拋物線在點(diǎn)處與直線相切 ，且即又拋物線過點(diǎn)（1，1） （3）將（1）（2）（3）聯(lián)立解得例9 設(shè)函數(shù)的圖象與軸的交點(diǎn)為P點(diǎn)，且曲線在P點(diǎn)處的切線方程為，若函數(shù)在處取得極值為0，試確定函數(shù)的解析式。解析： 的圖象與y軸交點(diǎn)為P 點(diǎn)P的坐標(biāo)為 曲線在P點(diǎn)處的切線方程為，故P點(diǎn)坐標(biāo)適合此方程，將代入后得又切線的斜率為而， 又函數(shù)在處取得極值0 且即由（1）（2）解得 例10 已知曲線。（1）求曲線在點(diǎn)P（1，1）處的切線方程；（2）求曲線過點(diǎn)Q（1，0）的切線方程；（3）求滿足斜率為的曲線的切線方程。解析：（1） ，又P（1，1

5、）是曲線上的點(diǎn) P為切點(diǎn)，所求切線的斜率為 曲線在P點(diǎn)處的切線方程為，即（2）顯然Q（1，0）不在曲線上，則可設(shè)過該點(diǎn)的切線的切點(diǎn)為，則該切線斜率為則切線方程為（*）將Q（1，0）代入方程（*）得得。故所求切線方程為（3）設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為，則切線的斜率為解得 或，代入點(diǎn)斜式方程得或即切線方程為或例11 已知，函數(shù)，設(shè)，記曲線在點(diǎn)處的切線為。（1）求的方程；（2）設(shè)與x軸交點(diǎn)為，證明： ； 若，則。解析：（1）求的導(dǎo)數(shù)：，由此得切線的方程：（2）依題意，切線方程中令 當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號成立 若，則，且由，所以例12 設(shè)函數(shù)，其中，求的單調(diào)區(qū)間。解析：由已知得函數(shù)的定義域?yàn)?，且?）當(dāng)時(shí)，由知，函數(shù)在上單

6、調(diào)遞減（2）當(dāng)時(shí)，由，解得隨x的變化情況如下表：x0+極小值從上表可知當(dāng)時(shí)，0，函數(shù)在上單調(diào)遞減當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞增綜上所述：當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞減當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增例13 已知函數(shù)在R上是減函數(shù)，求的取值范圍。分析：因?yàn)樵赗上為減函數(shù)，即在R上恒成立，再解不等式即可得解。解析：求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：（1）當(dāng)時(shí)，是減函數(shù)，且所以，當(dāng)時(shí)，由知是減函數(shù)；（2）當(dāng)時(shí)，由函數(shù)在R上的單調(diào)性，可知當(dāng)時(shí)，是減函數(shù)；（3）當(dāng)時(shí)，在R上存在一個(gè)區(qū)間，其上有所以，當(dāng)時(shí)，函數(shù)不是減函數(shù)綜上，所求的取值范圍是例14 設(shè)為實(shí)數(shù)，函數(shù)在和上都是增函數(shù)，求的取值范圍。解析：其判別式（1）若，即當(dāng)或時(shí)，在上為增

7、函數(shù) （2）若，恒有，在上為增函數(shù) 即（3）若，即，令解得，當(dāng)或時(shí)，為增函數(shù)當(dāng)時(shí)，為減函數(shù)依題意得由得，解得由得解得從而 綜上，的取值范圍為即【模擬試題】（答題時(shí)間：60分鐘）1. 已知曲線的一條切線的斜率為，則切點(diǎn)的橫坐標(biāo)為（ ）A. 3B. 2C. 1D. 2. 設(shè)，曲線在點(diǎn)處切線的傾斜角的取值范圍為，則到曲線對稱軸距離的取值范圍是（ ）A. B. C. D. 3. 在函數(shù)的圖象上，其切線的傾斜角小于的點(diǎn)中，坐標(biāo)為整數(shù)的點(diǎn)的個(gè)數(shù)是（ ）A. 3B. 2C. 1D. 04. 的導(dǎo)數(shù)為（ ）A. B. C. D. 5. 已知函數(shù)在處的導(dǎo)數(shù)為3，則的解析式可能為（ ）A. B. C. D. 6.

8、 設(shè)分別為定義在R上的奇函數(shù)和偶函數(shù)，當(dāng)時(shí)，且，則不等式的解集是（ ）A. B. C. D. 7. 函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為（ ）A. B. C. D. 8. 設(shè)是函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，的圖象如下圖所示，則的圖象最有可能的是（ ） 9. 函數(shù)在處的導(dǎo)數(shù)等于（ ） A. 1B. 2C. 3D. 410. 已知與是定義在R上的連續(xù)函數(shù)，如果與僅當(dāng)時(shí)的函數(shù)值為0，且，那么下列情形不可能出現(xiàn)的是（ ）A. 0是的極大值，也是的極大值B. 0是的極小值，也是的極小值C. 0是的極大值，但不是的極值D. 0是的極小值，但不是的極值11. 已知二次函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為，對于任意實(shí)數(shù)，都有，則的最小值為（ ）A. 3B. C. 2D.

9、12. 設(shè)函數(shù)是R上以5為周期的可導(dǎo)偶函數(shù)，則曲線在處的切線的斜率為（ ）A. B. 0C. D. 513. 已知對任意實(shí)數(shù)x，有，且時(shí)，則時(shí)（ ）A. B. C. D. 14. 若曲線的一條切線與直線垂直，則的方程為（ ）A. B. C. D. 15. 設(shè)是函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，將和的圖象畫在同一個(gè)直角坐標(biāo)系中，不可能正確的是（ ） 16. 若對任意，則是（ ） A. B. C. D. 17. 是定義在上的非負(fù)可導(dǎo)函數(shù)，且滿足 任意正數(shù)，若，則必有（ ）A. B. C. D. 18. 曲線在點(diǎn)處切線的傾斜角為（ ）A. 30B. 45C. 135D. 4519. 設(shè)，則等于（ ）A. B. C. D

10、. 20. 拋物線到直線的最短距離為（ ）A. B. C. D. 以上答案都不對 21. 已知函數(shù)的圖象與x軸切于非原點(diǎn)的一點(diǎn)，且。（1）求的值；（2）函數(shù)，若函數(shù) 在區(qū)間上單調(diào)，求m的取值范圍。 22. 已知函數(shù)是R上的奇函數(shù)，且，。（1）求的值；（2）在的圖象C上任取一點(diǎn)P，在點(diǎn)P處的切線與圖象C的另一個(gè)交點(diǎn)為Q，設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為，線段PQ中點(diǎn)R的縱坐標(biāo)為。 用表示； 當(dāng)時(shí)，求的最大值。 23. 已知函數(shù)，（為常數(shù)），若直線與，的圖象都相切，且與的圖象相切的切點(diǎn)橫坐標(biāo)為1。（1）求直線的方程及的值；（2）當(dāng)時(shí)，求在上的最大值。 24. 已知函數(shù)。（1）若在上是增函數(shù)，求實(shí)數(shù)的取值范圍；（2）若方程至多有兩個(gè)解，求實(shí)數(shù)的取值范圍。【試題答案】1. A 2. B3. D4. C5. A6. D7. C8. C 9. D10. C11. C12. B13. B14. A15. D 16. B17. C18. B19. C20. B21. 解：（1）設(shè)函數(shù)的圖象與x軸切于點(diǎn) 又 由，代入式得把代入中，則令，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，不符合題意綜上所述，（2）由（1）知 在上單調(diào)，即在上恒大于零或恒小于零又由二次函數(shù)性質(zhì)，有恒大于零當(dāng)時(shí)， 當(dāng)時(shí)， m無解 綜上所述22. 解：（1）由為奇函數(shù)可知 ，