正弦和余弦(篇五)

1、正弦和余弦 教學(xué)建議 1 1 知識(shí)結(jié)構(gòu)：本小節(jié)主要學(xué)習(xí)正弦、余弦的概念， 3030、4545、6060角的正弦、余弦值，一個(gè)銳角的正弦 （余弦） 值與它的余角的余弦 （正弦） 值之間的關(guān)系，以 及應(yīng)用上述知識(shí)解決一些簡單問題（包括引言中的問題） 等。 2 2 重點(diǎn)、難點(diǎn)分析 （1 1） 正弦、余弦函數(shù)的定義是本節(jié)的重點(diǎn)，因?yàn)樗?是全章乃至整個(gè)三角學(xué)的預(yù)備知識(shí)。有了正弦、余弦函 數(shù)的定義，再學(xué)習(xí)正切和余切、解直角三角形、引入任 意角三角函數(shù)便都有了基礎(chǔ)。 （2 2） 正弦、余弦的概念隱含著角度與數(shù)值之間有一 一對(duì)應(yīng)關(guān)系的函數(shù)思想，并且用含有幾個(gè)字母的符號(hào)組 sinA sinA ， cosA co

2、sA 來表示，學(xué)生過去未接觸過，所以正弦、余 弦的概念是難點(diǎn)。 3 3 理解一個(gè)銳角的正弦、余弦值的唯一性，是理解 三角函數(shù)的核心。 銳角的正弦、余弦值是這樣規(guī)定的：當(dāng)一個(gè)銳角確 定了，那么這個(gè)銳角所在的直角三角形雖然有無窮多個(gè)， 但它們都是彼此相似的。如上圖，當(dāng) 確定時(shí)，包含 的 直角三角形有無窮多個(gè)，但它們彼此相似： s s s 因此，由于相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比 例，所以這些三角形的對(duì)應(yīng)邊的比都是相等的。 這就是說，每當(dāng)一個(gè)銳角確定了，包含這個(gè)角的直 角三角形的上述 2 2 種比值也就唯一確定了，它們有確定 不變的對(duì)應(yīng)關(guān)系。為了簡單地表達(dá)這些對(duì)應(yīng)關(guān)系， 我們 引入了正 （余） 弦的說法，

3、創(chuàng)造了 sinsin 和 coscos 這樣的符 號(hào)。 應(yīng)當(dāng)注意：單獨(dú)寫出三角函數(shù)的符號(hào) 或 cos cos 等是沒 有意義的。因?yàn)樗鼈冸x開了確定的銳角是無法顯示出它 的含義；另一方面，這些符號(hào)和角寫在一起時(shí)（如 ）， 它表示的就不再是角，而是一個(gè)特定的三角形的兩條邊 的比值了（如 ）。真正理解并掌握這些，才真正掌握了 這些符號(hào)的含義，才能正確地運(yùn)用它們。 4 4 我們應(yīng)當(dāng)學(xué)會(huì)認(rèn)識(shí)任何位置的直角三角形中的 一個(gè)銳角的正弦、余弦的表達(dá)式。 我們不僅應(yīng)當(dāng)熟練掌握如圖那樣的標(biāo)準(zhǔn)位置的直角 三角形的正弦、余弦的表達(dá)式，而且能熟練地寫出無論 怎樣放置的直角三角形的正弦、余弦的表達(dá)式。如， 如 圖所示，若

4、 ，則有 有的直角三角形隱藏在更復(fù)雜的圖形中，我們也應(yīng) 能正確地寫出所需要的三角函數(shù)表達(dá)式，如圖中， ABCD ABCD 是梯形， ，作 ， 我們應(yīng)正確地寫出如下的三角函數(shù)關(guān) 系式： 很顯然，這些表達(dá)式提供給我們豐富的邊與角間的 數(shù)量關(guān)系。 5 5 特殊角的正弦、余弦值既容易導(dǎo)出，也便于記憶， 應(yīng)當(dāng)熟悉掌握它們。 利用勾股定理，很容易求出含有 或 角的直角三角 形三邊的比；如圖（ 1 1）和圖（ 2 2）所示。 根據(jù)定義，有 另一方面，可以想像，當(dāng) 時(shí)，邊與 ACAC 重合（即）， 所以 當(dāng)時(shí)，邊 ABAB 與 CBCB 重合（即 AB=CB AB=CB , ACAC 的長縮小 為 0 0 ，

5、于是，有 把以上結(jié)果可以集中列出下面的表： 0 0 1 1 1 1 0 0 6 6 教法建議： (1 1)聯(lián)系實(shí)際，提出問題 通過修建揚(yáng)水站時(shí)，要沿斜坡鋪設(shè)水管而提出要求 水管最頂端離地面高度的問題，第一步把這問題歸結(jié)于 直角三角形中，第二步，再把這個(gè)問題歸于直角三角形 中， 已知一個(gè)銳角和斜邊的長， 求這個(gè)銳角所對(duì)直角邊 的一個(gè)幾何問題同時(shí)指出在這種情況下，用已學(xué)過的 勾股定理是解決不了的激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，調(diào)動(dòng)學(xué) 生探索新途徑，迫切需要學(xué)習(xí)新知識(shí)的積極性在這章 的第一節(jié)課，應(yīng)抓住這個(gè)具有教育性，富于啟發(fā)性的有 利開端，為引進(jìn)本章的重要內(nèi)容：銳角三角函數(shù)作了十 分必要的準(zhǔn)備 (2) (2)

6、動(dòng)手度量、總結(jié)規(guī)律、給出定義以含 的三角板 為例讓學(xué)生對(duì)大小不同的三角板進(jìn)行度量，并引導(dǎo)學(xué)生 得出規(guī)律： ，再進(jìn)一步對(duì)含 的三角板進(jìn)行度量，在探 索同樣的內(nèi)容時(shí)，要用到勾股定理，又類似地得到，所 有的這種等腰直角三角形中，都會(huì)得到 ，這時(shí)，應(yīng)當(dāng) 即給出 的正弦的定義及符號(hào)，即 ，再對(duì)照?qǐng)D形，分別 用 a a、b b、 c c 表示 、 、 的對(duì)邊，得出 及 ， 就這樣非 常簡潔地得到銳角三角函數(shù)的第一個(gè)定義，應(yīng)充分利用 課本中這種簡練的處理手段，使學(xué)生建立起銳角三角函 數(shù)的概念。 (3)(3) 加強(qiáng)數(shù)形結(jié)合思想的教學(xué) “解直角三角形”編在幾何教材中，突出了它的幾 何特點(diǎn)，但這只是從知識(shí)的系統(tǒng)性

7、方面講的，使它與幾 何前后知識(shí)可關(guān)系更緊密，便于學(xué)生理解和掌握，并沒 有改變它形數(shù)結(jié)合的本質(zhì)，因此教學(xué)中要充分利用這部 分教材，幫助學(xué)生掌握用代數(shù)方法解決幾何問題的方法， 提高在幾何問題中注意運(yùn)用代數(shù)知識(shí)的能力第一課時(shí) 一、教學(xué)目標(biāo) 1 1 。 使學(xué)生知道當(dāng)直角三角形的銳角固定時(shí)，它的 對(duì)邊、鄰邊與斜邊的比值也都固定這一事實(shí)。 2 2 。逐步培養(yǎng)學(xué)生觀察、比較、分析、概括等邏輯思 維能力。 3 3 。引導(dǎo)學(xué)生探索、發(fā)現(xiàn)，以培養(yǎng)學(xué)生獨(dú)立思考、勇 于創(chuàng)新的精神和良好的學(xué)習(xí)習(xí)慣。 二、學(xué)法引導(dǎo) 1 1 教學(xué)方法：引導(dǎo)發(fā)現(xiàn)和探索研究相結(jié)合，嘗試成 功教法。 2 2 學(xué)生學(xué)法：在教師的指導(dǎo)下，積極思維，

8、相互討 論，動(dòng)手感知，探索新知。 三、重點(diǎn)、難點(diǎn)、疑點(diǎn)及解決辦法 1 1 重點(diǎn)：使學(xué)生知道當(dāng)銳角固定時(shí)，它的對(duì)邊、鄰 邊與斜邊的比值也是固定的這一事實(shí)。 2 2 難點(diǎn)：學(xué)生很難想到對(duì)任意銳角，它的對(duì)邊、鄰 邊與斜邊的比值也是固定的事實(shí)，關(guān)鍵在于教師引導(dǎo)學(xué) 生比較、分析，得出結(jié)論。 3 3 疑點(diǎn)：無論直角三角形的銳角為何值，它的對(duì)邊、 鄰邊與斜邊的比值總是固定不變的。 4 4 解決辦法：教師引導(dǎo)學(xué)生比較、分析、討論，解 決重難點(diǎn)和疑點(diǎn)。 四、教具準(zhǔn)備 自制投影片，一副三角板 五、教學(xué)步驟 （一）明確目標(biāo) 1 1 如圖，長 5 5 米的梯子架在高為 3 3 米的墻上，則 間距離為多少米？ 2 2

9、長 5 5 米的梯子以傾斜角 為 3030靠在墻上，則 、 間的距離為多少？ 3 3 若長 5 5 米的梯子以傾斜角 4040架在墻上，則 、 間距離為多少？ 4 4 若長 5 5 米的梯子靠在墻上，使 、 間距離為 2 2 米， 則傾斜角為多少度？ 前兩個(gè)問題學(xué)生很容易回答，這兩個(gè)問題的設(shè)計(jì)主 要是引起學(xué)生的回憶，并使學(xué)生意識(shí)到，本章要用到這 些知識(shí)，但后兩個(gè)問題的設(shè)計(jì)卻使學(xué)生感到疑惑，這對(duì) 初三年級(jí)這些好奇、好勝的學(xué)生來說，起到激起學(xué)生的 學(xué)習(xí)興趣的作用，同時(shí)使學(xué)生對(duì)本章所要學(xué)習(xí)的內(nèi)容的 特點(diǎn)有一個(gè)初步的了解，有些問題單靠勾股定理或含 3030 角的直角三角形和等腰直角三角形的知識(shí)是不能解

10、決的， 解決這類問題，關(guān)鍵在于找到一種新方法，求出一條邊 或一個(gè)未知銳角，只要做到這一點(diǎn)，有關(guān)直角三角形的 其他未知邊角就可用學(xué)過的知識(shí)全部求出來。 通過四個(gè)例子引出課題。 （二）整體感知 1 1 請(qǐng)每一位同學(xué)拿出自己的三角板， 分別測(cè)量并計(jì) 算 3030、 4545、 6060角的對(duì)邊、鄰邊與斜邊的比值。 學(xué)生很快便會(huì)回答結(jié)果：無論三角尺大小如何，其 比值是一個(gè)固定的值，程度較好的學(xué)生還會(huì)想到，以后 在這些特殊直角三角形中，只要知道其中一邊長，就可 求出其他未知邊的長。 2 2 請(qǐng)同學(xué)畫一個(gè)含 4040角的直角三角形，并測(cè)量、 計(jì)算 4040角的對(duì)邊、鄰邊與斜邊的比值，學(xué)生又高興地 發(fā)現(xiàn)，不

11、論三角形大小如何，所求的比值是固定的，大 部分學(xué)生可能會(huì)想到，當(dāng)銳角取其他固定值時(shí)，其對(duì)邊、 鄰邊與斜邊的比值也是固定的嗎？ 這樣做，在培養(yǎng)學(xué)生動(dòng)手能力的同時(shí)，也使學(xué)生對(duì) 本節(jié)課要研究的知識(shí)有了整體感知，喚起學(xué)生的求知欲， 大膽地探索新知。 （三）教學(xué)過程 1 1 通過動(dòng)手實(shí)驗(yàn)，學(xué)生會(huì)猜想到“無論直角三角形 的銳角為何值，它的對(duì)邊、鄰邊與斜邊的比值總是固定 不變的”，但是怎樣證明這個(gè)命題呢？學(xué)生這時(shí)的思維 很活躍，對(duì)于這個(gè)問題，部分學(xué)生可能能解決它，因此 教師此時(shí)應(yīng)讓學(xué)生展開討論，獨(dú)立完成。 2 2 學(xué)生經(jīng)過研究，也許能解決這個(gè)問題若不能解 決，教師可適當(dāng)引導(dǎo)： 若一組直角三角形有一個(gè)銳角相等

12、，可以把其頂 點(diǎn),重合在一起，記作 ，并使直角邊, 落在同一條直線上，則斜邊 ，落在另一條直線 上，這樣同學(xué)們能解決這個(gè)問題嗎？引導(dǎo)學(xué)生獨(dú)立證明： 易知， ， s s s，.,，因此，在這些 直角三角形中， 的對(duì)邊、鄰邊與斜邊的比值，是一個(gè)固 定值。 通過引導(dǎo)，使學(xué)生自己獨(dú)立掌握了重點(diǎn)，達(dá)到知識(shí) 教學(xué)目標(biāo)，同時(shí)培養(yǎng)學(xué)生能力，進(jìn)行了德育滲透。 而前面導(dǎo)課中動(dòng)手實(shí)驗(yàn)的設(shè)計(jì)，實(shí)際上為突破難點(diǎn) 而設(shè)計(jì)。這一設(shè)計(jì)同時(shí)起到培養(yǎng)學(xué)生思維能力的作用。 3 3 .練習(xí)：教科書 P3P3 練習(xí)。此題為作了孕伏，同時(shí) 使學(xué)生知道任意銳角的對(duì)邊與斜邊的比值都能求出來。 （四）總結(jié)、擴(kuò)展 1 1 引導(dǎo)學(xué)生作知識(shí)總結(jié)：本

13、節(jié)課在復(fù)習(xí)勾股定理及 含 3030角直角三角形的性質(zhì)基礎(chǔ)上，通過動(dòng)手實(shí)驗(yàn)、證 明，我們發(fā)現(xiàn)，只要直角三角形的銳角固定，它的對(duì)邊、 鄰邊與斜邊的比值也是固定的。 教師可適當(dāng)補(bǔ)充：本節(jié)課經(jīng)過同學(xué)們自己動(dòng)手實(shí)驗(yàn)， 大膽猜測(cè)和積極思考，我們發(fā)現(xiàn)了一個(gè)新的結(jié)論，相信 大家的邏輯思維能力又有所提高，希望大家發(fā)揚(yáng)這種創(chuàng) 新精神，變被動(dòng)學(xué)知識(shí)為主動(dòng)發(fā)現(xiàn)問題，培養(yǎng)自己的創(chuàng) 新意識(shí)。 2 2 擴(kuò)展：當(dāng)銳角為 3030時(shí)，它的對(duì)邊與斜邊比值 我們知道，今天我們又發(fā)現(xiàn)，銳角任意時(shí)，它的對(duì)邊與 斜邊的比值也是固定的，如果知道這個(gè)比值，已知一邊 求其他未知邊的問題就迎刃而解了，看來這個(gè)比值很重 要，下節(jié)課我們就著重研究這

14、個(gè)“比值”，有興趣的同 學(xué)可以提前預(yù)習(xí)一下，通過這種擴(kuò)展，不僅對(duì)下、余弦 概念有了初步印象，同時(shí)又激發(fā)了學(xué)生的興趣。 六、布置作業(yè) 本節(jié)課內(nèi)容較少，而且是為正、余弦概念打基礎(chǔ)的， 因此課后應(yīng)要求學(xué)生預(yù)習(xí)正余弦概念。 七、板書設(shè)計(jì) 第二課時(shí) 一、教學(xué)目標(biāo) 1 1 使學(xué)生初步了解正弦、余弦概念；能夠較正確地 用 、 表示直角三角形中兩邊的比；熟記特殊角 3030 4545、6060角的正、余弦值，并能根據(jù)這些值說出對(duì)應(yīng) 的銳角度數(shù)。 2 2 逐步培養(yǎng)學(xué)生觀察、比較、分析、概括的思維能 力。 3 3 滲透教學(xué)內(nèi)容中普遍存在的運(yùn)動(dòng)變化、相互聯(lián)系、 相互轉(zhuǎn)化等觀點(diǎn)。 二、學(xué)法引導(dǎo) 1 1 教學(xué)方法：指導(dǎo)

15、發(fā)現(xiàn)探索法。 2 2 學(xué)生學(xué)法：自主、合作、探究式學(xué)習(xí)。 三、重點(diǎn)、難點(diǎn)、疑點(diǎn)及解決方法 1 1 教學(xué)重點(diǎn)：使學(xué)生了解正弦、余弦概念。 2 2 教學(xué)難點(diǎn)：用含有幾個(gè)字母的符號(hào)組 、表示正 弦、余弦；正弦、余弦概念。 3 3 疑點(diǎn)：銳角的正弦、余弦值的范圍。 4 4 解決辦法：通過舊知?jiǎng)?chuàng)設(shè)情境，采用從特殊到一 般的方法，引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行探究式學(xué)習(xí)，從而解決重難點(diǎn) 及疑點(diǎn)。 四、教具準(zhǔn)備 三角板一副 五、教學(xué)步驟 （一）明確目標(biāo) 1 1 引導(dǎo)學(xué)生回憶“直角三角形銳角固定時(shí)，它的對(duì) 與斜邊的比值、鄰邊與斜邊的比值也是固定的?！?2 2 明確目標(biāo)：這節(jié)課我們將研究直角三角形一銳角 的對(duì)邊、鄰邊與斜邊的比值

16、。 （二）整體感知 當(dāng)直角三角形有一銳角為 3030時(shí)，它的對(duì)邊與斜邊 的比值為 ，只要知道三角形任一邊長，其他兩邊就可知。 而上節(jié)課我們發(fā)現(xiàn)，只要直角三角形的銳角固定， 它的對(duì)邊與斜邊、鄰邊與斜邊的比值也固定，這樣只要 能求出這個(gè)比值，那么求直角三角形未知邊的問題也就 迎刃而解了。 通過與“ 3030角所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半”相 類比，學(xué)生自然產(chǎn)生想學(xué)習(xí)的欲望，產(chǎn)生濃厚的學(xué)習(xí)興 趣，同時(shí)對(duì)以下要研究的內(nèi)容有了大體印象。 （三）教學(xué)過程 正弦、余弦的要領(lǐng)是全章知識(shí)的基礎(chǔ)，對(duì)學(xué)生今后 的學(xué)習(xí)與工作都十分重要，因此確定它為本課重點(diǎn)，同 時(shí)正、余弦概念隱含角度與數(shù)之間具有一一對(duì)應(yīng)的函數(shù) 思想，

17、又用含幾個(gè)字母的符號(hào)組來表示， 因此概念也是 難點(diǎn)。 在上節(jié)課研究的基礎(chǔ)上，引入正、余弦，“把對(duì)邊、 鄰邊與斜邊的比值稱做正弦、余弦”。如圖 請(qǐng)學(xué)生結(jié)合圖形敘述正弦、余弦定義，以培養(yǎng)學(xué)生 概括能力及語言表達(dá)能力，教師板書：在 中， 為直角， 我們把銳角 的對(duì)邊與余邊的比叫做 的正弦，記作 ，銳 角 的鄰邊與斜邊的比叫做 的余弦，記作 。 。 若把 的對(duì)邊 記作 ，鄰邊 記作 ，斜邊 記作 ， 則，。 引導(dǎo)學(xué)生思考：當(dāng) 為銳角時(shí)， 、 的值會(huì)在什么范 來說有些難度，應(yīng)給學(xué)生充分思考時(shí)間，同時(shí)這個(gè)問題 也使學(xué)生將數(shù)與形結(jié)合起來。 圍內(nèi)？得結(jié)論 為銳角），這個(gè)問題對(duì)于較差學(xué)生 教材例 1 1 的設(shè)置

18、是為了鞏固正弦概念，通過教師示 范，使學(xué)生會(huì)求正弦，這里不妨增問“ 、 ”，經(jīng)過反 復(fù)強(qiáng)化，使全體學(xué)生都達(dá)到目標(biāo)，更加突出重點(diǎn)。 【例 1 1】求出如下圖所示的 中的 、 和 、 的值。 解：（1 1）v斜邊, ? ? （ 2 2 ） ， ? 學(xué)生練習(xí)教材 P6P67 7 中 1 1、2 2、3 3 題. 讓每個(gè)學(xué)生畫含 3030、 4545的直角三角形，分別 求 、 、 和 、 、 。這一練習(xí)既用到以前的知識(shí)，又 鞏固正弦、余弦的概念，經(jīng)過學(xué)習(xí)親自動(dòng)筆計(jì)算后，對(duì) 特殊角三角函數(shù)值印象很深刻。 ? ? ? ? 例 2 2】求下列各式的值： 1 1 ） ；（ 2 2） 解：（ 1 1） （ 2 2） 這了使學(xué)生熟練掌握特殊角三角函數(shù)值，這里還應(yīng) 安排六個(gè)小題： 1 1） （ 2 2 ） ； 3 3） （ 4 4 ） 5 5） 若 ，則銳角 6 6） 若 ，則銳角 在確定每個(gè)學(xué)生都牢記特殊角的三角函數(shù)值后，引 導(dǎo)學(xué)生思考， “請(qǐng)大家觀察特殊角的值， 猜測(cè)一下， 概在什么范圍內(nèi)， 呢？”這樣的引導(dǎo)不僅培養(yǎng)學(xué)生的觀 察力、注意力