數(shù)學為什么不能除以零

1、.數(shù)學為什么不能除以零除以零確實是個困擾很多人的問題。十除以二等于五，六除以三等于二，一除以零是多少?小學數(shù)學就會告訴你，答案是不能除。但是為什么?零也是個數(shù)字，它到底哪里特殊了?小學篇小學算術(shù)里，這個問題很簡單。那時我們把除法定義成“把一個東西分成幾份，分成一二三四五六七份都很容易想象，但是你要怎么把10個餅干分給0個人呢?想象不出來嘛!所以不能除。敏銳的同學可能會想到，要是0個餅干分給0個人的話，本來無一物，好似就沒關(guān)系了。但既然無物也無人，每個人分得多少都是可能的呀，根本無法給出一個單一確定的數(shù)值。這結(jié)論沒錯，但這都是憑直覺而得到的東西。你想象不出來，不一定意味著它沒有。遠古時代的數(shù)學是

2、建立在直覺上的，買菜是夠用了，但要進一步開展，就必需要有定義和證明所以，我們上了中學。初中篇如今我們開場接觸最最根本的代數(shù)學也就是解方程。我們發(fā)現(xiàn)，除法和乘法互為逆運算，所以問1 / 0 = ?就等于是解方程0 * x = 1好了，按照定義，0乘以任何數(shù)都是0，不可能等于1，所以滿足x的數(shù)字不存在，所以不能除。同樣，假如問0 / 0 = ?就等于是解方程0 * x = 0同理，任何數(shù)字都可以滿足x，所以也不能除無法確定一個單一的答案。高中篇等到接觸了根本的形式邏輯，我們又會發(fā)現(xiàn)另一種證明方式：反證法。一堆真的表述，不能推出一個假的表述，所以假如我們用“可以正常地除以零加上別的一堆真表述，最后推

3、出假的來，那只能說明“除以零這件事情不成立了。所以，0 * 1 = 00 * 2 = 0推出 0 * 1 = 0 * 2兩邊同時除以零，得到 0 / 0 * 1 = 0 / 0 * 2化簡得到 1 = 2。這顯然是錯的啦。那么，問題解決了吧!其實還沒有。想想另一個問題：-1的平方根是多少?你可能會說，-1不能開平方根，因為所有數(shù)的平方都是非負的。但是這說的是實數(shù)，我要是增加一個定義呢?定義i2=-1，這就創(chuàng)造出了虛數(shù)，于是-1也能開平方根了。那么，為何不能定義一個“新的數(shù)，讓 1 / 0 也等于它，并為這個數(shù)設(shè)立一套運算法那么呢?這就得去大學里答復(fù)了。大一篇剛學微積分課程就會立即接觸到&

4、;infin;這個符號。咦，這不就是“無限嘛。我們都學了極限的概念了，那么我令b趨向于0，然后把a/b的極限定義為無窮，不行嗎?這就立即遇到一個問題，它的左極限和右極限不一樣啊。b是從負的那頭靠近0，還是正的那頭?這一個是越來越負，一個是越來越正，碰不到一起去。這樣的極限是沒法定義的。因此，微積分課程里會反復(fù)說，雖然用到了∞這個符號，但是這只是代表一個趨勢，絕對不是一個真正的數(shù)，不可參與運算。大二篇那么汲取教訓，我不用現(xiàn)成符號了，我直接定義 1 / 0 = w，w是個“無限大的數(shù)，不碰什么極限，你總沒話說了吧!然而，定義不是說來就來的，你雖然可以隨意定義東西，但定義完了假如

5、和現(xiàn)有的其他系統(tǒng)矛盾，那就不能用，或者很不好用。而我們面對w立即就遇到了問題。首先，w要怎么放入根本的加減乘除體系里?1 + w等于多少?w - w等于多少?假如你造了一個數(shù)，卻連加減乘除都不能做，那就不是很有用對吧。比方直覺上，1 + w 應(yīng)該等于 w，它都無限了嘛! 而 w - w 那么等于0，自己減自己嘛!但這樣立即會和加法里極其重要的“結(jié)合律產(chǎn)生矛盾： 1 + w - w = 1 + 0 = 1，可是 1 + w - w = w - w = 0。結(jié)合律是加法里非常根本的東西，為了一個w，連結(jié)合律都不要了，這本錢有點大不光是結(jié)合律本身，多少數(shù)學定理證明過程中不自覺都用了它，扔了它就都得重

6、來，建立新體系。新體系不是不能建，但是費心費力又暫時無卵用，所以大家還是在老實用舊的而舊的里面，為了保住結(jié)合律，就不能這么玩。歡送讀者們發(fā)揮自己的想象力，嘗試為 w 給出運算方式。但是你會發(fā)現(xiàn)，無論怎么規(guī)定w和別的數(shù)字之間的關(guān)系，只要你還堅持 1 / 0 = w，你就沒法讓它和你從小學習的根本數(shù)學不矛盾。還是那句話，你可以另立門戶，在w的根底上建立起你的新數(shù)學，但它和大部分傳統(tǒng)數(shù)學是不相容的，而且肯定會非常不好用，所以我們用了一個不能除以零的體系是非常合理的。大三篇你可能會提出反對：有那么多的定義方式，我都試過?要是沒試過，我怎么知道不會某一天冒出來一個可以自洽的方法?“新發(fā)現(xiàn)推翻舊結(jié)論這種事

7、情，在生物里可以有，化學里可以有，物理里可以有，唯獨數(shù)學里沒有。因為數(shù)學建立在邏輯上，個案有例外，邏輯沒有例外。當然我們的數(shù)學還沒有完成最終公理化，還要面對哥德爾的幽靈，但至少在這個例子里，假如w是一個真正的數(shù)，那它就違背了一些非常重要的公理，而這些公理的地位可是非常之深。比方有一組根本的公理叫“皮亞諾公理，其中有一條說，每一個確定的自然數(shù)都有一個確定的后繼，后繼也是自然數(shù);另一條說，自然數(shù)b=c，當且僅當b的后繼=c的后繼。那w是誰的后繼呢或者說，誰加上1能得到w呢?顯然所有其他的數(shù)字都已經(jīng)有了自己的后繼，w在其中沒有位置，沒有任何其他的數(shù)加上1能成為w。那么就只能是1+w=w了，可那就直接

8、和第二句話矛盾。而沒有皮亞諾公理，整個自然數(shù)的體系都不能成立。這里假定w是自然數(shù)。其他情況會略微復(fù)雜一些，但無論如何，類似的事情發(fā)生在w的各種定義里。假如你想把w當成一個數(shù)，那就沒法和我們現(xiàn)有的實數(shù)兼容。所以我們在幾乎所有場合下都只能宣布，不能除以0。大四以上篇既然我們之前說了個“幾乎，那就是有例外的在個別奇葩場合下，可以。比方有一個東西叫做“復(fù)無窮，它是擴大復(fù)平面上的一個點，真的是有定義的一個點。在這個特殊的規(guī)那么下你可以寫下 1 / 0 = ∞ 這樣一個表達式。這么做的原因就說來話長了，但它不是平常意義上的運算比方你不能把0拿回來，不能寫 1 = 0 * &in

9、fin;。另外，“無窮二字在一些別的場合下是可以當成一個“東西去對待的。比方當你衡量一個集合的大小的時候，它可以是無窮大的。但這就有很多種不同的無窮大了自然數(shù)是無窮多的，有理數(shù)是無窮多的，實數(shù)也是無窮多的，可是奇數(shù)和偶數(shù)和正整數(shù)和負整數(shù)和自然數(shù)和有理數(shù)都一樣多，而實數(shù)卻比它們都多!同樣是無窮，有的無窮比別的無窮更無窮。但這就是另一個話題了，打住。總結(jié)篇觀察內(nèi)容的選擇，我本著先靜后動，由近及遠的原那么，有目的、有方案的先安排與幼兒生活接近的，能理解的觀察內(nèi)容。隨機觀察也是不可少的，是相當有趣的，如蜻蜓、蚯蚓、毛毛蟲等，孩子一邊觀察，一邊提問，興趣很濃。我提供的觀察對象，注意形象逼真，色彩鮮明，大

10、小適中，引導(dǎo)幼兒多角度多層面地進展觀察，保證每個幼兒看得到，看得清?？吹们宀拍苷f得正確。在觀察過程中指導(dǎo)。我注意幫助幼兒學習正確的觀察方法，即按順序觀察和抓住事物的不同特征重點觀察，觀察與說話相結(jié)合，在觀察中積累詞匯，理解詞匯，如一次我抓住時機，引導(dǎo)幼兒觀察雷雨，雷雨前天空急劇變化，烏云密布，我問幼兒烏云是什么樣子的，有的孩子說：烏云像大海的波浪。有的孩子說“烏云跑得飛快。我加以肯定說“這是烏云滾滾。當幼兒看到閃電時，我告訴他“這叫電光閃閃。接著幼兒聽到雷聲驚叫起來，我抓住時機說：“這就是雷聲隆隆。一會兒下起了大雨，我問：“雨下得怎樣?幼兒說大極了，我就舀一盆水往下一倒，作比較觀察，讓幼兒掌握

11、“傾盆大雨這個詞。雨后，我又帶幼兒觀察晴朗的天空，朗讀自編的一首兒歌：“藍天高，白云飄，鳥兒飛，樹兒搖，太陽公公咪咪笑。這樣抓住特征見景生情，幼兒不僅印象深化，對雷雨前后氣象變化的詞語學得快，記得牢，而且會應(yīng)用。我還在觀察的根底上，引導(dǎo)幼兒聯(lián)想，讓他們與以往學的詞語、生活經(jīng)歷聯(lián)絡(luò)起來，在開展想象力中開展語言。如啄木鳥的嘴是長長的，尖尖的，硬硬的，像醫(yī)生用的手術(shù)刀樣，給大樹開刀治病。通過聯(lián)想，幼兒可以生動形象地描繪觀察對象。唐宋或更早之前，針對“經(jīng)學“律學“算學和“書學各科目，其相應(yīng)傳授者稱為“博士，這與當今“博士含義已經(jīng)相去甚遠。而對那些特別講授“武事或講解“經(jīng)籍者，又稱“講師?！敖淌诤汀爸叹瓰閷W官稱謂。前者始于宋，乃“宗學“律學“醫(yī)學“武學等科目的講授者；而后者那么于西晉武帝時代即已設(shè)立了，主要協(xié)助國子、博士培養(yǎng)生徒?！爸淘诠糯粌H要作入流的學問，其教書育人的職責也十清楚晰。唐代國子學、太學等所設(shè)之“助教一席，也是當朝打眼的學官。至明清兩代，只設(shè)國子監(jiān)國子學一科的“助教，其身價不謂顯赫，也稱得上朝廷要員。至此，無論是“博士“講師，還是“教授“助教，其今日老師應(yīng)具有的根本概念都具有了。所以，當我們說不能除以零的時候，理由竟然出乎意料地充足。有許多直覺在數(shù)學里被推翻了，但是這一條沒有。我們有種種數(shù)學上的方式去證