收集-橢圓的切線方程

1、“橢圓的切線方程”教學(xué)設(shè)計(jì)馬鞍山二中 劉向兵一、教學(xué)目標(biāo)知識(shí)與技能：1、能根據(jù)已知條件求出已知橢圓的切線方程；2、讓學(xué)生可以運(yùn)用研究圓的切線方程的方法類比到橢圓切線方程的研究。過程與方法：嘗試用橢圓的切線方程解決橢圓的切線性質(zhì)問題。情感態(tài)度與價(jià)值觀：通過對(duì)橢圓的切線方程問題的探究，培養(yǎng)學(xué)生勤于思考，勇于探索的學(xué)習(xí)精神。二、教學(xué)重點(diǎn)與難點(diǎn)教學(xué)重點(diǎn)：應(yīng)用特殊化（由特殊到一般）方法解決問題。教學(xué)難點(diǎn)：橢圓的切線方程的探究。三、教學(xué)流程設(shè)計(jì)（一）創(chuàng)設(shè)情境復(fù)習(xí)：怎樣定義直線與圓相切？設(shè)計(jì)意圖：溫故而知新。由前面學(xué)習(xí)過的直線與圓相切引出直線與橢圓相切。定義做類比, 都是“直線與其有且只有一個(gè)交點(diǎn)”來定義相

2、切，從而通過解析法中聯(lián)立方程組，消元，一 元二次方程中的判別式等于零來解決。(二)探究新知 基礎(chǔ)鋪墊:22x2V2, yJ2。先由x y問題1、已知橢圓C : 1與直線l只有一個(gè)公共點(diǎn)82(1)請(qǐng)你寫出一條直線l的方程；(2)若已知直線l的斜率為k 1 ,求直線l的方程；(3)若已知切點(diǎn)P(2,1),求直線l的方程；(4)若已知切點(diǎn)P(聲,B),求直線l的方程。設(shè)計(jì)意圖：(1)根據(jù)橢圓的特征，可以得到特殊的切線方程如特殊情況過渡到一般情況。切線確定，切點(diǎn)確定。(2)已知斜率求切線，有兩條，并且關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱。利用斜截式設(shè)直線，聯(lián)立方程組，消元，得到一元二次方程，判別式 0。切線斜率確定，切線不確

3、定。(3)已知切點(diǎn)求切線，只有唯一一條。利用點(diǎn)斜式設(shè)直線，聯(lián)立方程組，消元，得到一元二次方程，判別式0。由于切點(diǎn)是整數(shù)點(diǎn)，運(yùn)算簡潔。切點(diǎn)確定，切線確定?？煽偨Y(jié)由(2) (3)兩道小題得到求切線方程的一般步驟：設(shè)直線，聯(lián)立方程組，消元，得到一元二次方程，判別式0。(4)同(3)的方法，但是切點(diǎn)不是整數(shù)點(diǎn)，運(yùn)算麻煩，學(xué)生運(yùn)算有障礙，所以要引出由 切點(diǎn)得到橢圓切線的一般方法。問題一般化： 22猜想：橢圓C :t 4 1與直線l相切于點(diǎn)P(X0, y°),則切線l的方程? a b(橢圓的切線方程的具體求法，詳情請(qǐng)見微課)設(shè)計(jì)意圖：類比經(jīng)過圓上一點(diǎn) P(xo, yo)的切線的方程為xox yo

4、y r2進(jìn)行猜想，培養(yǎng)學(xué)生合情推理的能力。由于具體的求解過于繁瑣，思想方法同問題1,所以上課時(shí)沒必要花費(fèi)時(shí)間進(jìn)行求解，做成微課方便學(xué)生課后時(shí)間自己解決。探究：在橢圓中，有關(guān)切線問題，還可以求哪些量?例：已知圓的方程是x2 + y2 = r2,求經(jīng)過圓上一點(diǎn)P(X0, y0)的切線的方程。經(jīng)過圓上一點(diǎn)P(X0, y0)的切線的方程為XoX yoy r2,且直線OP垂直于切線,所以，kop k切線=-1,1.點(diǎn)與圓設(shè)點(diǎn) P(xo, yo),圓(x a)2 (y b)2 r2則.,、222點(diǎn)在圓內(nèi)(Xo a)(yo b) r ,222點(diǎn)在圓上(Xoa)(yob)r,222點(diǎn)在圓外(Xo a)(yo

5、b) r由圓C方程及直線l的方程，消去一個(gè)未知數(shù)，得一元二次方程，設(shè)一元二次方程的根的判別式為A,則l與圓C相交。，l與圓C相切o,l與圓C相離 o2已知圓C : X2類比到圓中:r2與直線l相切于點(diǎn)P(Xo,yO),且點(diǎn)P(Xo,yo)在第一象限，若直線l與x軸、y軸分別交于點(diǎn)B、A.結(jié)論(1)過點(diǎn)P的切線方程為(2) ；OP ABkop kAB時(shí)，橢圓圓，所以kop kAB1；(可以用極限的思想理解,1)當(dāng)橢圓中的a(3)過點(diǎn)P的切線方程為 xoxy0y2B(,0),所以kAB 無；(橢圓中kAB xoy。22rr與x軸、y軸分別交于點(diǎn) B、A , A(0,一), y。b2xx一0也可理解

6、為a趨于b時(shí)，kAB趨于 )a V。y0(4)|AB|AP| |BP| 2j|AP| | BP |2j|OP|2 2r ,當(dāng)且僅當(dāng) | AP | | BP | r 時(shí),取“二由2014年浙江tWj考題最后一道題 222014 浙江卷如圖，設(shè)橢圓C:與 4 1(a b 0),動(dòng)直線l與橢圓C只有一個(gè)公共 a b點(diǎn)P,且點(diǎn)P在第一象限.(1)已知直線l的斜率為k,用a, b, k表示點(diǎn)P的坐標(biāo)；(2)若過原點(diǎn)O的直線11與l垂直，證明：點(diǎn) P到直線11的距離的最大值為 a-b.2 x如圖，設(shè)橢圓C : -ya2七1(a bb 0),動(dòng)直線l與橢圓C只有一個(gè)公共點(diǎn)P,且點(diǎn)P在(1)已知直線l的斜率為

7、k,用a, b, k表示點(diǎn)P的坐標(biāo);a2 + b2=1聯(lián)立消去 y 得(b2+ a2k2)x2 + 2a2kmx +a2m2 a2b2= 0. 422222222由于l與C只有一個(gè)公共點(diǎn)，所以 4a k m 4a (m b )(b a k ) 0 ,化簡得m2a2k2b2(*),解得點(diǎn)P的坐標(biāo)為a2kmb2mb2 + a2k2' b2 + a2k2 .又點(diǎn)P在第一象限，故 m Ja2k2 b2 ,所以點(diǎn)P的坐標(biāo)為P(a2kb2)a2k2 b2 ' a2k2 b2(2)設(shè)點(diǎn)P(x0,y。)，且點(diǎn)P(-0,yo)在第一象限，用點(diǎn) p的坐標(biāo)Xo,yo表示橢圓的切線方程;(2)解：P(

8、xo, y0),則由(1 )知刈a2kb2則可設(shè)過點(diǎn)P切線l的方程為y y0入 y yok(xxo)得 y yo一a2k2b2，yOk(xXo)消參得. a2k2XoVob2a2k k單。代a Vo2 xo -2 a化為整式2巨1b22,2a y°y b x°x22.22a yob xo兩邊同除以b2x2a Vo22a yoa2b2得橢圓的切線方程(xXo),22b xo2. 2a b (因p在橢圓上，所以所以，過切點(diǎn)P(xo,yo)的橢圓的切線方程x°xyoy2 T2a bx°xyoy22ab1 ,與圓的切線方程做類比， 形式相仿。1.連接OP,切線l

9、的斜率為k切線，直線OP的斜率為kop,求證kOp k班g =定值;(3)由(2)中所得的xoV。a2k k又因?yàn)楸厝缫籵 xoxo O所以kop kABb2x)a2%b2i2 = 7E 值a(與圓的kop k明=-1做類比,橢圓加強(qiáng)為了圓，所以kOPkAB可以用極限的思想理解，當(dāng)橢圓中的 a b時(shí),11)a2 x 問題2、已知橢圓C : 一2a2b21與直線l相切于點(diǎn)P(xo,yo),且點(diǎn)P(xo, yo)在第一象限,若直線l與x軸、y軸分別交于點(diǎn)B、A ,求線段| AB |的最小值。直線AB的方程設(shè)為y kx m,Am),B( m,。)，則根據(jù)兩點(diǎn)間的距離公式可得 k29. 9. 9.a

10、k b (*),代入可得2 m 2一、.，一 . 一.| AB| 一初m ,又因?yàn)榍懊娓鶕?jù)直線和橢圓相切已求出 k2.2m 22 222 b| AB |2- m a k b a kk,2/ 21 2b (a kb2 2ab (ab)2，線段| AB |的最小值為a b .當(dāng)且僅當(dāng)a2kk2k4b ，一時(shí)，取到a卜面再繼續(xù)討論“”取到時(shí)的條件。由前面已證kAB2y。2x。b3 ab3x。232a y。23X0a (13)babx。22ax。2x。3-a一,代入a bkop22y。2x。b3 ,日 得a2y。b3 a b '所以可得到，|PA|22X0(Y0m)2X02 (kx。)2(12

11、 2k )x。b、2(1)x0a32alX0，得 |PA|a ba2. |PA| a,| PB| b22問題3、已知橢圓C :、$ a b1與直線l相切于點(diǎn)P(x0,y°),且點(diǎn)P(xo, yo)在第一象限,若直線l與x軸、y軸分別交于點(diǎn)B、A.若過原點(diǎn)O的直線li與l垂直交與點(diǎn)D,證明:| PD | |AB| 定值.B、A,a4 b4'1,x。2y。222所以 A(0,b-),B(,0),則 |AB |V。Xo由于直線li過原點(diǎn)O且與l垂直,故直線li的方程為x + ky = 0,所以點(diǎn)P到直線li的前面已證過 kb2x。a2y。距離 pd 1 ky。x。1,；k2 11 b1 PD 1ky。 1a2 x0_病1b4x。2 1V a4y。2|PD | |AB| |a2 b2| a2 b2,2,22,2,| a xo yo b xoy。| a b |242-44.a y。 b x。ab:x。2y。21=定值(c為橢圓的半焦距)22問題4、如圖，設(shè)橢圓C:與 Vt 1（a b 。），動(dòng)直線l與橢圓C只有一個(gè)公共點(diǎn)P,a b且點(diǎn)P在第一象限.若過原點(diǎn)O的直線li與l垂直，證明：點(diǎn) P到直線li的距離的最大值為a b.證明：方法一、由于直線li過原點(diǎn)O且與l垂直，故直線li的方程為x + ky =。，所以點(diǎn)P到直線li的