數(shù)列遞推關(guān)系式

1、基本知識概述1、遞推關(guān)系式an數(shù)列遞推關(guān)系式S,(n=1)" Sn _Sj(n_2)2、求和的兩種重要方法 裂項(xiàng)相消法錯(cuò)位相消法求和典型例題1、（2015年烏市一模理12）設(shè)數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn,且滿足an十Sn = 1 ,則Sn的取值范圍為（）A、 （0,1） B、 （0,+）考點(diǎn)：數(shù)列遞推公式分析：根據(jù)條件進(jìn)行化簡,的表達(dá)式，即可得到結(jié)論。.11 得到數(shù)列an是以1為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)歹U,22求出Sn/c c1n 1 時(shí)，a= 2a，a=萬Sn =1 -4n*2時(shí)，<= Sn S,=an一anSn 1 - 1 - an jan1即 an = an一 an , 2an

2、 = an-1 即 = an-12二數(shù)列%是以2為首項(xiàng)為公比的等比數(shù)列則Sn =*1-(2門21 一,1,=1(鼻)，則 1-萬£6<1,選 C2、 (2016年烏市一模理 16）設(shè)數(shù)列an的各項(xiàng)均為正數(shù)，其前 n項(xiàng)和為1 , 2Sn = 一 ( an +3an -4，則 an =6解：n=1 時(shí)，6sl =a12+3a1-4,即 a12-3al-4=0,得 21=4或21=-1(舍)由題意得:2_6Sn 1=an 1 +3an 1-46Sn=an2+3an-4.(2)22兩式相減得 6an+=an 由-an +3an 由3an,即(an 由+ an) (an 中an3) =

3、0；an> 0,. an 1 -an=3匕力是以4為首項(xiàng),3為公差的等差數(shù)列,an =4+3 (n-1)=3n+13、(2017年烏市一模理16)已知數(shù)列 an滿足a1 =1周書=a(nw N*),則an 2a1o =;1211解：由已知得二一 1-T =2(1)an 1anan 1an一1n 1 1n又4 =1,故一+1 =2 (+1)=2 , ana111an = n, a10 二2n -110234、(2016年一模 文16)設(shè)數(shù)列an的前前n項(xiàng)和& ,且Sn小 = a+1),若a1 = 2 ,貝U an =；解析：由題意得 Sn 1 =a1(Sn - 1).(1)當(dāng) n&

4、gt;2時(shí)，&=4(&+1).(2)(1)-(2)得 an+=2an,即 a1A=2 an二nA2時(shí)，數(shù)列an是公比為2,首項(xiàng)為2的等比數(shù)列. an =2 2n、2n當(dāng)n =1時(shí)，a1 =2 ,滿足故 an - 2n點(diǎn)評：本題考查了等比數(shù)列的通項(xiàng)公式、遞推關(guān)系，考查了推理計(jì)算能力，屬于中檔題。5、(2015全國卷二理16)設(shè)Sn是數(shù)列an的前n項(xiàng)和，且a1 = 1 , an+ = SnSn由，則 Sn =11解：由已知得：an =Sn¥Sn =Sn¥，Sn ,兩邊同時(shí)除以 Sn卡5得一=一1&.1 Sn1】11故數(shù)列%是以-1為首項(xiàng)，-1為公差的等差

5、數(shù)列，則 ,= _1_(n_1) = nS JSnSn Jn【名師點(diǎn)睛】本題考查數(shù)列遞推式和等差數(shù)列通項(xiàng)公式，要搞清楚項(xiàng)an與Sn的關(guān)系，-，,1從而轉(zhuǎn)化為Sn中與Sn的遞推式，并根據(jù)等差數(shù)列的定義判斷 一卜是等差數(shù)列，屬于中 Sn檔題.216、【2013課標(biāo)全國I,理14若數(shù)列an的前n項(xiàng)和Sn= an+-，則an的通項(xiàng)公式是 33an=.【答案】：an =(-2)nJL2 1 一【解析】：= Sn = an +，3 321 _，當(dāng)n“時(shí)，&=工工十.33一 一22a一，得an =2an 2an，即 旦 =2.33an4a1= 1.2,a1 G a -33n-1 an是以1為首項(xiàng)，一

6、2為公比的等比數(shù)列，an =(2).3、 一、7、(2017年烏干二模理 16)已知定義在 R上的奇函數(shù)f(x)滿足f (- - x) = f (x),f(-2) = -3, Sn 為數(shù)列an的前 n 項(xiàng)和，且 Sn =2an+n,則 f(as)+f (a6)=解析：:函數(shù)f(x)是奇函數(shù)，二f(x)=f(x)33Tf(二-x) = f(x) . f(二-x)=f(刃.f(3 x)=f(x)22二f (x)是以3為周期的周期函數(shù); Sn =2an + n當(dāng) n =1 時(shí)，得 a1 = 1當(dāng) n '2時(shí)，Sn =2an +n(1，Sn=2an-+ n1.(2)(1)- (2n = 2an

7、2an,+1a 1即 an=2an一1, J. an1=2( an二一1) 即=2an J -1二數(shù)列an -1是以-2為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列.an=1 -2n.a5= -31,a6 = -63.f(a5) f (a6) = f(-31) f(-63) = f (2) f (0) = f(2) = -f(-2) =38、在數(shù)列an中，a=1,a2=2,且 anq2an=1+(-d), (nN),則 a1 +a 2+. +a 5 ;解析：丁數(shù)列an中，a1 =1,a2 =2 ,且 an眼- an =1 +(-1)na3 - a1 = 0a5 - a3 = 0a51 - a49a = a3 = a§ -. - a§1 = 1由 a4 a2= 2 得a4= a2+2 = 4 ,同理可得a6= 6,a8=8., a50 = 50aa2 .a3. a5=(a1a3a5.也51)a4a50)“ (2 50) 25 =26 6二 6762評述：依題意，可求得 a1 a3 = a§ . a§1 =1 ,1a2n）是以2為首項(xiàng)，2為公差的等差數(shù)列，從而可求得a1+a2+.+a51的值，本題考查數(shù)列的求和， 著重考查等差數(shù)列的 判定和求和，突出考查分組求和，屬于中檔題。9