數(shù)列中an及Sn的關(guān)系

1、 課題淺談數(shù)列中an與G的遞推公式的應(yīng)用對于任意一個(gè)數(shù)列，當(dāng)定義數(shù)列的前n項(xiàng)和通常用Sn表示時(shí)，記作 Sn = ai + a2+-+an,此時(shí)通項(xiàng)§, n = 1,公式an= 1.Sn 1, n>2而對于不同的題目中的 an與S的遞推關(guān)系，在解題時(shí)又應(yīng)該從哪些方向去靈活應(yīng)用an=Sn-Sni(n> 2)去解決不同類型的問題呢？我們將從下面三個(gè)角度去探索在各類考試中出現(xiàn)的an與S相關(guān)的問題：歸納起來常見的角度有:角度一：直觀運(yùn)用已知的 Sn,求an；角度二：客觀運(yùn)用 an = Sn-Sn i(n> 2),求與a” S有關(guān)的結(jié)論；角度三：an與Sn的延伸應(yīng)用. 角度一：

2、直觀運(yùn)用已知的 S,求an方法：已知 &求an的三個(gè)步驟(此時(shí)S為關(guān)于n的代數(shù)式)：(1)先利用ai = S求出ai；(2)用n-1替換Sn中的n得到一個(gè)新的關(guān)系，利用 an = Sn-Sn i(n> 2)便可求出當(dāng)n>2時(shí)an的表 達(dá)式；(3)對n = 1時(shí)的結(jié)果進(jìn)行檢驗(yàn)，看是否符合n>2時(shí)an的表達(dá)式，如果符合，則可以把數(shù)列的通項(xiàng)公式合寫；如果不符合，則應(yīng)該分 n = 1與n >2兩段來寫.同時(shí)，在部分題目中需要深刻理解“數(shù)列的前n項(xiàng)和”的實(shí)際意義，對“和的式子”有本質(zhì)的認(rèn)識(shí)，這樣才能更好的運(yùn)用 3n求解.如：a i + 2a 2+ 3a 3+ na n =

3、 2n 1 ,其中a 1 + 2a 2+ 3a 3+ na n表不 數(shù)列na n的前n項(xiàng)和. .已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和Sn = n2-2n+2,則數(shù)列an的通項(xiàng)公式為（）A . an=2n 3B. an=2n + 31 , n = 11 , n = 1C.an=D . a n=、2n 3, n>22n+ 3, n>2【解析】當(dāng)n>2時(shí)，an=SnSn1 = 2n 3.當(dāng)n = 1時(shí)，a 1 = S1 = 1,不滿足上式.2. (2015 河北石家莊一中月考 )數(shù)列an滿足：ai+3a2+5a3 + + (2n 1) an=(n1) - 3n+1 +3(nCN*),則數(shù)列的通項(xiàng)

4、公式an=.【解析】當(dāng)n>2時(shí)，a +3a2+5a3+ (2 n - 3) - an 1= (n-2) 3n+ 3；則用已知等式減去上式 得(2n 1) an=(2n 1) , 3n,得 an=3n；當(dāng) n = 1 時(shí)，a 1 = 3,滿足上式；故 an = 3n.【答案】an = 3n3. (2015 天津一中月考)已知an的前n項(xiàng)和為S,且滿足10g 2(Sn+1) = n+1,則an =.【解析】由已知得 Sn+1 = 2n+1,則 Sn = 2n+11;當(dāng) n>2 時(shí)，an=Sn-Sn-1=2n + 1-1-2n+1=2n;3 n = 1當(dāng)n = 1時(shí)，a 1 = Si =

5、 3,不滿足上式；故 an=" 口.、2n, n >23 n= 14. (2015 四川成都樹德期中)已知an是一個(gè)公差大于0的等差數(shù)列，且滿足 a3a5=45, a2+a6=14 .(1)求an的通項(xiàng)公式；b1 b2bn(2)右數(shù)列bn滿足：萬十夕+”=an+1(n C N*),求bn的刖n項(xiàng)和.【解】(1)設(shè)等差數(shù)列an的公差為d,則d>0,由 a2+a6=14,可得 a4= 7由 a3a5 = 45,得(7 d)(7 +d) = 45,解得 d = 2 或 d = 2(舍) " an = a4 + (n 4)d = 7 + 2(n 4),即 an = 2n

6、 1.bn(2)令 Cn=7,則 C1 + C2+C3+ + Cn = an+ 1 = 2n 當(dāng) n>2 時(shí)，C1+C2 + C3+ cn 1 = 2(n 1)由一得，Cn = 2,當(dāng)n = 1時(shí)，Ci=2,滿足上式；bn一貝U Cn= 2(ne N*),即 1=2, bn=2n ,故數(shù)列bn是首項(xiàng)為4,公比為2得等比數(shù)列，4(1 -2n)，數(shù)列bn的前 n 項(xiàng)和 Sn=2n+2-4.1 2角度二：客觀運(yùn)用 an=Sh-Sh 1(n> 2),求與an, Sn有關(guān)的結(jié)論此類題目中，已知條件往往是一個(gè)關(guān)于an與S的等式，問題則是求解與 an, S有關(guān)聯(lián)的結(jié)論.那么我們需要通過對所求問題

7、進(jìn)行客觀分析后，判定最后的結(jié)果中是保留an,還是Sn.那么，主要從兩個(gè)方向利用 3n = Sh-Sh i(n> 2):方向一：若所求問題是與an相關(guān)的結(jié)論，那么用 Sn-S-i=an (h> 2)消去等式中所有Sn與Sn-1,保 留項(xiàng)數(shù)an,在進(jìn)行整理求解；1 . (2015 廣州潮州月考)數(shù)列an的前n項(xiàng)和記為S, ai=1, an+i= 2Sn+1(n71 , n C N*),則數(shù) 列的通項(xiàng)公式是 .【解析】當(dāng) n>2 時(shí)，an = 2S 1+1,兩式相減得 an+1 an= 2(Sn S 1),即 an+1 an= 2an,得 an+ 1=3an；當(dāng)n = 1時(shí)，a2=

8、3,則a2=3a1，滿足上式；故an是首項(xiàng)為1,公比為3得等比數(shù)列，ancn 1【答案】an = 3nT2 .數(shù)列an的前 n 項(xiàng)和為 Sn,若 an+1= 4Sn+ 1 , a 1 = 1 .(1)求數(shù)列an的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)bn= na n,求數(shù)列bn的前n項(xiàng)和玉.【解】(1)當(dāng) n>2 時(shí)，an= - 4Sn 1 + 1 ,又 an +1= 4Sn + 1 ,3(n >2),. an + 1, , a n+ 1 a n = 4an,即an又 a2= 4a1 + 1 = 3, a 1 = 1 ,.數(shù)列an是首項(xiàng)為a1 = 1,公比為q= 3的等比數(shù)歹U,一 a n = ( 一

9、 3)(2)由(1)可得 bn=n ( -3)n1,7=1(-3)0+2 (與)+ 3 (3)2+ + (n- 1) (3)n2 + n (-3)n1,-3T；= 1 - ( 3)2 (與)2+ (n 2) - ( 3)n 2+(n- 1) - ( 3)n 1 + n(-3)n,，4= 1 + (3)U ( 3)2+ + ( 3)n1n ( )n,所以，Tn =1 -(4n + 1)( 3)n 16方向二：若所求問題是與Sn相關(guān)的結(jié)論，那么用 an = Sn Sn1(n> 2)消去等式中所有項(xiàng)數(shù)an,保留S與Sn-1,在進(jìn)行整理求解.11 .已知數(shù)列an的刖n項(xiàng)和為S且滿足an +2s1

10、=0(n>2), a.(1)求證：g遑等差數(shù)列；(2)求an的表達(dá)式.【解】(1)證明：an=S Sn _1(n>2),又 an = 2Sn Sn1,.Sn-1-Sn = 2Sn Sn1, Snwo.11因此 三一w=2(n>2). SnSn-1二-Q、k 1<11故由等差數(shù)列的定義知建以m=一=2為首項(xiàng)，2為公差的等差數(shù)列.SiSi a 1(2)由(1)知!=! + (n-1)d = 2 + (n- 1) x 2 2n,即 S = J. Sn Si2n1當(dāng) 22 時(shí)，3-20- S 1 = -2n(n-1)'1又a1 = 2,不適合上式.1 “2，n= 1 ,

11、 , a n = -I2n(n 1)n >2.2. (2015 江西名校聯(lián)盟調(diào)考)已知正項(xiàng)數(shù)列an的前n項(xiàng)和為S,且an-2Sn3n+ 1 = 0.(1)求數(shù)列Sn的通項(xiàng)公式；(2)求證:111工+丁+ 三> 2(&+11).Si S2Sn(提示:【解】(1) a.n = Sn-Sn 1(n>2),由 an 2&an + 1 = 0,得(Sn S-1)2 2Sn(S S-1)+ 1=0,整理得 1 = 1.當(dāng) n = 1 時(shí)，a2-2S1a 1+ 1 = 0,且 a1>0,解得 a 1= 1,故由等差數(shù)列的定義知9是以1為首項(xiàng)，1為公差的等差數(shù)列. Sn

12、= n,則 Sn = yfn.1122 -(2)由知S?而=訪>師=2(g G-+-+ >2S1 S2Sn(啦-1) +2(3-)+2(由 + 1 5)=2(# + 1 1)11即了+"+S1 S21->2(Sn + 1-1)【總結(jié)】此類題目往往伴隨著等差、等比數(shù)列的判定，所以需要對數(shù)列的判定方法熟練掌握.角度三：a n與Sn的延伸應(yīng)用S1, n = 1 , 解此類題目中不僅需要深刻理解“數(shù)列的前n項(xiàng)和”的實(shí)際意義，還需要對an=關(guān)5S 1, n>2系式的形式結(jié)構(gòu)很熟練的掌握，這樣才能在題目中對已知等式靈活地變換.當(dāng)然在解決問題的時(shí)候仍然需要從求誰的角度出發(fā)分

13、析，確定等式的變換方向.方向一：關(guān)于雙重前 n項(xiàng)和此類題目中一般出現(xiàn)“數(shù)列 an的前n項(xiàng)和為Sn,數(shù)列S的前n項(xiàng)和為工”的條件，在解答時(shí)需要 確定清楚求的是與 an, Sn,工中誰相關(guān)的問題，確定已知等式的運(yùn)用方向.但一般是求解最底層的an.1 . (2015 湖北武漢質(zhì)檢)設(shè)數(shù)列an的前n現(xiàn)和為Sn,數(shù)列Sn的前n項(xiàng)和為品，滿足T1 = 2Sn-n2, n £ N*.(1)求ai的值；(2)求數(shù)列an的通項(xiàng)公式.【解】(1)當(dāng) n = 1 時(shí)，Ti = 2S 1 ,且 Ti=S=ai,解得 a1 = 1 ,(2)當(dāng) n>2 時(shí)，Sn = Tn Tn -1 = 2 Sn n2

14、2 Sn 1 (n 1)2 = 2 Sn 2Sn 1 2n + 1.Sn=2Sh 1 +2n-1則 Sn+1=2Sn + 2n + 1由一，得 an+1 = 2an+2,一 一,rran+1+2 一,.an+1 + 2 = 2(an+2),即-z- = 2(n>2),an 2'''a2+ 2 一易求得，aI+2=3, a2 + 2 = 6,則 = 2,a1 + 2數(shù)歹Uan + 2是首項(xiàng)為3,公比為2的等比數(shù)歹U, .an+2=3 2n1,則 an = 3 2n12(n C N*).2. (2015 安徽滁州期末聯(lián)考)設(shè)數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn,數(shù)列Sn的前n項(xiàng)和

15、為 品，且2Tl = 4Sn (n2+ n), n C N*.(1)證明：數(shù)列an+1為等比數(shù)列；n +1(2)設(shè) bn=7,證明：b+b2+ bn< 3.an+ 1【解】(1)當(dāng) n = 1 時(shí)，2Ti = 4S 2,且 Ti = S = a1,解得 a1 = 1 ,當(dāng) n = 2 時(shí)，2T2 = 2(a1 + a1 + a2) = 4(a1 + a2)6,解得 a2 = 3,當(dāng) n>2 時(shí)，2Tn 1 = 4Sn 1-(n -1)2+(n- 1) - 2 Sn= 2Tn 2Tn 1 = 4 Sn (n 2 + n) 4 Sn 1 + (n 1) 2+ (n 1)整理得S = 2

16、Sn_1+n 則 Sn+1=2Sn+n + 1由一，得 an+1 = 2an+ 1,an+1+ 1. a n+1 + 1 = 2(an + 1),即=2( n > 2),an 1a2+ 1_顯然TT7= 2，a 11.數(shù)列an+1是首項(xiàng)為2,公比為2的等比數(shù)歹U,(2)由(1)知，an + 1 =2n,則 bnnn.234 n+1則 b+b2+ + bn= + 2+ .+ 2n，234 n+1令 Tn = 2 + 2y+ 2y +-21-，234 n n+12+ 23 +落+矛+"1,由一,得 2Tl=1+三+27+三十聲"27771122(1-2n1) n+1 3

17、n + 3 3=1 +1 2 n +1 = 2 2n+ 1 < 212則 Tn<3,即 bi + b2+ + bn<3.方向二：已知等式在整理過程中需要因式分解此類問題大多數(shù)時(shí)候會(huì)伴隨“各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列an”這樣的條件，運(yùn)用在因式分解后對因式進(jìn)行符號的判定，對因式進(jìn)行的取舍.1. (2015 山東青島一模)各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列an滿足a： = 4S 2an 1(ne N*),其中S為an的前n項(xiàng)和.求a1，a2的值;(2)求數(shù)列an的通項(xiàng)公式.【解】(1)當(dāng) n = 1 時(shí)，T1 = 2S| 1；又 T1=S=a1,則 a1 = 2a1一1,解得 a1 = 1 ；(2)當(dāng) n

18、>2 時(shí)，Sn = Tn Tn 1= (2 Sn n2) 2 Sn 1 (n 1)2 = 2 Sn 2Sn 1 2n+1,整理得Sn = 2Sn 1+2n- 1 .Sn+1 = 2S+2n+ 1由，得a n+1= 2a n2 2a n 12an+1 + 2= 2(an + 2),即=2(n>2)an + 2又 72=2&-4；得 a2= 4a 1 + 2當(dāng) n = 1 時(shí)，a 1 + 2=3, a2+2=6,貝U=2,a2+ 2.數(shù)列an + 2是以3為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列.則 an+ 2=3 2 nT,所以 an=3 2 nT 2.2.已知數(shù)列an的各項(xiàng)均為正數(shù)，前n

19、 項(xiàng)和為 Sn,且 Sn = n(2n) nC N*.求證:數(shù)列an是等差數(shù)列;1(2)設(shè) b n = qq , 2SnTn= bi + b2+ bn,求Tn.【解】（1）由已知得，當(dāng)n=1時(shí)，ai=Si =a i( a i + 1)(an>0), ai= 1.2Sn = an+an)2S-1 = an-i + a n - 1得 2an= anH- an an-1 an-i. 即(an+an-i)(an an-1 - 1) = 0, anH-an-i>05an an-1= 1（nR2）.1n(n+ 1)所以數(shù)列an是以1為首項(xiàng)，1為公差的等差數(shù)歹U.(2)由(1)可彳導(dǎo) an=n,

20、 Sn=, b n =22Sn11111.T1 = bi + b2 + b3 + -+ bn = 15 + 5 3+ + n- = 1-方向三：需對已知等式變形后，再求解1. （2015 江西五校聯(lián)考）已知正項(xiàng)數(shù)列an中，其前n項(xiàng)和為Sn,且an=2W1.求數(shù)列an的通項(xiàng)公式；1(2)設(shè) bn=, Tn = bi + b2+b3 + -+ bn,求工.an - an+1【解】(1)由已知得,4Sn=(an+1)2.當(dāng) n>2 時(shí)，4Sn i=(an i + 1)2,則 4s 4S 1 = (a n + 1) 2(an 1 + 1) 2 ,整理得(a n1)2(an i + 1)2= 0,

21、(an an-1 2)(an + an-1)=。又 an>0,貝 1 anan1 = 2,當(dāng) n = 1 時(shí)，4s = (ai + 1)2,得 ai=1；故數(shù)列an是首項(xiàng)為1 ,公差為2的等差數(shù)列；a n= 2n 1.(2)由(1)可彳導(dǎo) b n = "= TZ 7X , a = 0 ,0 n 9n-l-l 卜an , an+i 2n 12n+i 2kn 12n+ 1)1111-Ti = + b 1 b 2 b3 b n1卜3j+卜1卜+ 1 -焉U=21-1 n二 二 1=.2n + 1 ； 2n +12. (2015 浙江溫州中學(xué)月考)設(shè)數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn,已知31

22、= 2, 32=8, Sn+i+4Sn i=5Sn(n>2), T是數(shù)列l(wèi)og 23n的前n項(xiàng)和.(1)求數(shù)列an的通項(xiàng)公式；(2)求【解】(1)當(dāng) n>2 時(shí)，Sn+1 + 4Sn-1=5Sn,Sn+1 Sn = 4(Sn S11),即 3n+1=43n,當(dāng) n = 1 時(shí)，32 = 431；故數(shù)列an是以2為首項(xiàng)，4為公比的等比數(shù)列.3n=2 - 4nT=22nT.(2)由(1)可知 log 23n=log 222n =2n1, .7 = log 2a 1+ log 232 + log 2a3+ 10g 2a n= 1 + 3 + 5+ 2n- 1n(1 + 2n 1)2=2=

23、 n -3. (2015 江西三縣聯(lián)考)已知數(shù)列an的各項(xiàng)均為正數(shù)，記 A(n) = 31 + 32 + + 3n, B(n)=32 + 33 + + an+1, C(n)= a3+a4+ an + 2,其中 n N N*.(1)若31=1, 32 = 5,且對任意nCN*,三個(gè)數(shù)A(n), B(n), C(n)依次組成等差數(shù)列，求數(shù)列 an的 通項(xiàng)公式；(2) 31 = 1,對任意nCN*,三個(gè)數(shù)A(n), B(n), C(n)依次組成公比為 q的等比數(shù)列，求數(shù)列an的 前n項(xiàng)和An.【解】(1)二.任意nCN*,三個(gè)數(shù)A(n), B(n), C(n)依次組成等差數(shù)列， .B(n)-A(n)

24、 = C(n)-B(n),貝U an+1 a 1 = an+2 a2,即 an +2 an +1= 32 a1 = 4,故數(shù)列an是首項(xiàng)為1 ,公差為4的等差數(shù)列； " a n= 1 (n 1) x 4= 4 n 3.(2)若對任意nCN*,三個(gè)數(shù)A(n), B(n), C(n)依次組成公比為q的等比數(shù)歹U, .B(n)=qA(n), C(n) = qB(n),則 C(n) B(n)= q B(n) A(n),得 an+2 a2= q(an+1 a 1),即 an+2qa n+1= a2 qa1,當(dāng) n = 1 時(shí)，由 B(1) = qA (1),可得 a2= qa 1；貝Uan+2

25、 qa n+1= a2 qa 1 = 0,又 an>0, 則3n+ 2an+ 1a2q.故數(shù)列an是以1為首項(xiàng)，q為公比的等比數(shù)列.n q=1,An=i1qn,q w 1.1 _q，y4. （2015 遼寧沈陽診斷考試）設(shè)數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn, a1 = 10, an+1 = 9Sn+10.(1)求證：lg an是等差數(shù)列；(2)設(shè)Tn是數(shù)列i7-3-一；酌前n項(xiàng)和，求”;(lg a n)(lg a n+ 1)_12(3)求使Tn>(m （2015 江蘇揚(yáng)州外國語中學(xué)模擬）已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和Sh = 2n-3,則數(shù)列an的通項(xiàng)公式 為. 5m)對所有的n C N*恒成立的整

26、數(shù) m的取值集合. 4【解】(1)證明：當(dāng)n>2時(shí)，an= 9Sn 1 + 10,rr a n +1a n+1 a n= 9( Sn Sn-1),貝 U an+1=10an,即 =10, a n當(dāng) n = 1 時(shí)，a2 = 9a 1 + 10 = 100 ,貝U ,= 10 ,a1故數(shù)列an是以10為首項(xiàng)，10為公比的等比數(shù)列.an= 10n,貝U lg an= n,lg an+1 lg a n= n + 1 - n = 1,故數(shù)列l(wèi)g an是首項(xiàng)為1,公差為1的等差數(shù)列.3311(2)解：由知(lg an)(lgan+1)=3>審).Ti = 3 11 111113n2+2-3+

27、十 丁q 7 3廠nrr 尸 e 3n _3, Tn = n+1 = "n+一 一一， 3，當(dāng)n = 1時(shí)，工取最小值£.312依題息有£>4(m2 5m),解得一1vmv6,故整數(shù)m的取值集合為0,1,2,3,4,5【解析】當(dāng) n>2 時(shí)，an = Sn Sn-1 = 2n32n +3=2n .當(dāng) n = 1 時(shí)，a=S1 = 1,不滿足上式.1, n= 1、.一. a2 an2. (2015 遼寧沈陽二中月考)已知數(shù)列an滿足a1 + y +-+ =a2n-1,求數(shù)列an的通項(xiàng)公式.，一，a2an 10【解】當(dāng) 時(shí)，小了+nl =a2n-1a由已知

28、等式減去上式，得 -2=a2n-1-a2n-2+1 = (a2-1)a2n-2, nan= n(a2-1)a2n 2,當(dāng)n=1時(shí)，a 1 = a2 1,滿足上式； " a n = n (a 1) a n .3. (2015 安徽江淮十校聯(lián)考)已知函數(shù)f(x)是定義在(0 , +8)上的單調(diào)函數(shù)，且對任意的正數(shù) x, y都有 f(x - y)= f(x)+f(y),若數(shù)列an的前 n 項(xiàng)和為 S,且滿足 f(Sn+2) f(an)= f(3)( n C N*),則 an 為()3-2【解析】由f(xy)=f(x)+f(y),f(Sn+2)-f(3n)=f(3),得 S + 2 = 3a

29、n,Shi+2 = 3ani(n>2),兩3,. 式相減得2an=3ani；當(dāng)n = 1時(shí)，S + 2 = 3ai= a1 + 2,則a1=1.所以數(shù)列an是首項(xiàng)為1 ,公比為的等比數(shù)列.【答案】an=1")T34. (2015 遼寧鞍山二中期中)設(shè)數(shù)列an是等差數(shù)列，數(shù)列bn的前n項(xiàng)和Sn滿足Sn = 2(bn-1), 且 a2= b 1, a5= b2.(1)求數(shù)列an和bn的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)Cn=an - bn, Ti為Cn的前n項(xiàng)和，求 品.3【解】(1)當(dāng) n>2 時(shí)，Sn 1 = 2(bn 1- 1),33則 bn=SSn 1 = 2(bn 1) 2(bn

30、1 1),整理得 bn=3bn 1,. 一.3 .當(dāng) n = 1 時(shí)，b1=2(b1-1),解得 b1=3;故數(shù)列bn是以3為首項(xiàng)，3為公比的等比數(shù)列.bn=3n,設(shè)等差數(shù)列an的公差為d ,由a2= b 1= 3, a5=b2 = 9,'ai + d = 3, 貝卜解得 d=2, ai = 1, . an= 2n- 1,©1 + 4d = 3,1. a n= 2n - 1, bn = 3n.(2)由(1)知 Cn = an bn = (2n 1)-3n, .7 = 3+ 3 32+ 5 33+ + (2n- 1) 3n,3Tl=32+3 33+ 5 34+ + (2n 3)

31、 3n+(2n 1) B"1,由一，得2Tl = 3+2(32 + 33+ + 3n )-(2n- 1) 3n+132(1 - 3 n1)一4= 3+2X;-(2n- 1) 3n=(2-2n) 3n -6,1 3 Tn = (n 1) 3n +3.5.在數(shù)列an中，已知a1 = 1, an=2(an 1 + an 2+ a2+a1)(nn 2, n C N*),則數(shù)列的通項(xiàng)公式【解析】由已知n >2時(shí)，an = 2Sn_1；當(dāng)n>3時(shí)，an _1 = 2Sn2整理得an=3 (n> 3)an11、2X3n 2,n = 1,n> 2.1,、2X3n2,n = 1

32、, n >2.6. (2015 廣東桂城摸底)已知各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn,且an + an=2Sn.求a1；(2)求數(shù)列an的通項(xiàng)公式;.5-11Tn<3.'是不：號<212n 112n+ 11若 bn=ar(n N*), T = b1 + b2+- + bn,求證:【解】(1)當(dāng) n = 1 時(shí)，a2+ a 1 = 2S1,且 an>0,得 a1 = 1；(2)當(dāng) n>2 時(shí)，an1+an1 = 2S 1 ；且 a n + a n= 2Sn ;由，得(an+an 1)(an an1 1) = 0,又 an>0,貝U an an 1

33、= 1,故數(shù)列an是首項(xiàng)為1,公差為1的等差數(shù)列；(3)證明：由(2)知，bn = "= 一 a n n. 一 ,5當(dāng)n = 1時(shí)，b1 = 1<-,不等式成立； 31142n-1 2n+1 '當(dāng)“'2時(shí)蘆<=4T7=2111111112n + 153'-Tn = b1 + b2 + -+bn=1 + 27+ /+正<1+2 3一石+5-7+ =7. (2015 大連雙基測試)已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和S=n2+2n+1(nC N*),則an =.【解析】當(dāng)n>2 時(shí)，an = S Sn-1=2n+1,當(dāng) n=1 時(shí)，a1 = S = 4w

34、2X1+1,因此 an =4, n = 1 , =2n + 1, n>2.2n+ 1, n>21,8. (2014 煙臺(tái)一樽已知數(shù)列an前n項(xiàng)和為S,首項(xiàng)為a1，且3, an, Sn成等差數(shù)列. (1)求數(shù)列an的通項(xiàng)公式；(2)數(shù)列bn滿足 bn = (log 2a2n + 1)x (log2a2n + 3),求數(shù)列 ip吊勺前 n 項(xiàng)和.11【解】(1)27 an, S成等差數(shù)列，,2 an=S+2,11當(dāng) n = 1 時(shí)，2a1 = S + &,，a1=亍1 一 一1當(dāng) n>2 時(shí)，Sn 2a n_ 2 , Sn-1 2an-L2，an 一兩式相減倚：an= S

35、n Sn-1= 2an 2an 1, , a =2,11, c所以數(shù)列an是首項(xiàng)為2,公比為2的等比數(shù)列，即an=£X2nT = 2n-2.(2) bn=(log 2a2n+1) X (log2a2n+3) = (log 222n+ 12) x (log222n+ 3 2)= (2 n 1)(2 n + 1),1 11111I 二乂 二T=二 77- ZT !,b n 2n - 1 2n + 1 22n1 2 n +1J，數(shù)列31卜前n項(xiàng)和bnTnu 2、2n + 1 J11111 / 1 1 Rb；+b；+豆+= 2( 3J+ 3n2n + T9. (2014山西四校聯(lián)考)已知數(shù)列

36、an的前n項(xiàng)和為Sn, Sn = 2an-n,則an =.【解析】當(dāng) n > 2 時(shí)，a n = Sn Sn 1= 2a n n 2a n1+(n 1),即 a n = 2a n 1+1, an+1=2(an 1+ 1),.數(shù)列an+1是首項(xiàng)為 a+1=2,公比為 2 的等比數(shù)列，an+1= 2 2nT= 2n,an=2n1.【答案】2n 1，一 一，一一一 一、， 一一 n2 + n *10. (2014 湖南卷已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和Sn = 2, nCN .(1)求數(shù)列an的通項(xiàng)公式；(2)設(shè) bn=2an+(1)nan,求數(shù)列bn的前 2n 項(xiàng)和.【解】(1)當(dāng)n = 1時(shí)，a=S

37、 = 1；n2 + nn 2+ n -當(dāng) n2 時(shí)，an = S - S 1= 2-2= n-又a 1= 1滿足上式，故數(shù)列an的通項(xiàng)公式為an=n.(2)由(1)知，bn = 2n+(-1)nn,記數(shù)列bn的前2n項(xiàng)和為T2n, 則 T2n =(21+22+ 22n) + (1 +2 3 +4+ 2n). 1 oo2 1 22n記 A = 21 + 22+ + 2 , B= 1+2 3 + 4+ 2n ,則 A = 212,1-2，B=(-1 +2) + (-3+4)+ - + (2n 1) + 2n= n.故數(shù)列bn的前 2n 項(xiàng)和 T2n = A+B= 22n+1 + n-2.11 .已

38、知數(shù)列an是各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列，a3=4, an的前3項(xiàng)和為7.求數(shù)列an的通項(xiàng)公式；n111(2)右 a 1b什 a2b2+ + anbn = (2n- 3)2 + 3,設(shè)數(shù)列bn的前 n 項(xiàng)和為 Sn,求證：+ -<2Si S2Snaq = 4,a 1 = 1,【解】(1)設(shè)數(shù)列an的公比為q,由已知得q>0,且'a+a1q +4=7,、q = 2.數(shù)列an的通項(xiàng)公式為an = 2nT.(2)【證明】當(dāng)n = 1時(shí)，2/1 = 1,且a1 = 1,解得b 1 = 1 .當(dāng) n>2 時(shí)，anbn = (2n -3)2n + 3-(2n-2 - 3)2n 1-3=

39、 (2n- 1) 2 1. an=2nT,，當(dāng) n>2 時(shí)，bn = 2n1.b 1= 1 = 2 x 1 T 滿足 bn= 2n -1 ,，數(shù)列bn的通項(xiàng)公式為bn = 2n 1(n C N*).數(shù)列bn是首項(xiàng)為1,公差為2的等差數(shù)列.2 Sn= n . .當(dāng) n = 1 時(shí)，=1 = 2 ；.S11當(dāng)n'2時(shí)，"二v 1Sn nn(n -1) n -1 n442L S1S2sn1 1 2 n-1 n n12 .設(shè)數(shù)列an的前 n 項(xiàng)和為 Sn, 3 1=1, 3n=n+ 2 (n -1) ( n N*).(1)求證：數(shù)列an為等差數(shù)列，并分別寫出an和S關(guān)于n的表達(dá)

40、式；S2 S3Sn.(2)是否存在自然數(shù) n,使得S +不+了+(n 1)2 = 2 013 ?若存在，求出n的值；若不存在,2 3n請說明理由.【解】由 an=>2(nT),得&=川一2n(ni) (MN*).當(dāng) n >2 時(shí)，an= Sn Sn 1= na n(n 1)an 1 4(n 1),即 anan1 = 4,故數(shù)列an是以1為首項(xiàng)，以4為公差的等差數(shù)列. c ca+an n c 2，一、于是，a n= 4n -3, Sn =2=2nn (nCN).(2)由 Sn=na n-2n(n- 1),得與=2n - 1 (n N*),n S2 S3S ,-22 ,- c .又 S1+ + + + (n 1)2 = 1 +3+5 + 7+ + (2n 1) (n 1)2=n2 (n 1)2=2n 1 . 23 n令2n1 = 2 013 ,得n = 1 007 ,即存在滿足條件的自然數(shù)n= 1 007 .=方王-技百=1211 .已知Sn為正項(xiàng)數(shù)列an的前n項(xiàng)和，且滿足 Sn = 2an + £an(n C N ).(1)求 an a2, a3, a4的值；(2)求數(shù)列an的通項(xiàng)公式.一 ,1 C 1 1 C 1-【解】(1)由 Sn = 2a n + ,a n,可得 a 1 = 231 +231 ,解得 31 = 1；1