最優(yōu)控制課程設(shè)計報告

1、液體搬送過程中的液面振動控制問題第一章前言在鑄造行業(yè)的澆鑄過程中，溶液的澆鑄是一項非常危險的作業(yè)。 由于溶液溫度的降 低會影響鑄件的品質(zhì)，所以要求澆鑄過程要在最短時間內(nèi)完成。因此， 要求澆鑄行業(yè)向 自動化、高速化方向發(fā)展。當前，鑄造行業(yè)中大多采用鑄件在生產(chǎn)線上移動的澆鑄系統(tǒng)。由于鑄件經(jīng)常處于頻繁地加速起動和減速制動過程中，導(dǎo)致溶液激烈振動、甚至從鑄件中溢出的現(xiàn)象發(fā)生。這不僅給生產(chǎn)帶來危險，而且也會導(dǎo)致鑄件的質(zhì)量下降。同時，劇烈的運動還會造成鑄模破損，從而使鑄件報廢。針對以上問題，我們希望開發(fā)一種高速澆鑄系統(tǒng)，在鑄件快速移動的過程中， 通過 對生產(chǎn)線拖動電機的電壓控制，達到對溶液液面的振動進行控

2、制的目的， 從而使液面不 僅在運動停止時不產(chǎn)生振動，而且在整個運動過程中也保持平穩(wěn)。關(guān)于液面振動的控制問題，文獻1建立了液體的一次振子模型，并對該侍服系統(tǒng) 利用二次評價函數(shù)及加權(quán)的方法求出了最優(yōu)控制信號。文獻2針對長方體的容器，建立了液體的振子模型，設(shè)計了一種 H0c魯棒控制器，實現(xiàn)了對液面振動的控制。本論文以振動液體為控制對象，首先利用拉格朗日法推導(dǎo)出描述液體振動的數(shù)學模 型，并利用不同波形的輸入電壓信號進行了仿真計算，從而了解了鑄件在運動過程中液體的振動特性及規(guī)律。在此基礎(chǔ)上，通過給出系統(tǒng)評價函數(shù)，利用FR Fletcher-Reeves ） 法計算該非線性系統(tǒng)的最優(yōu)輸入。仿真結(jié)果表明，控

3、制結(jié)果是令人滿意的。但是，本論文只對開環(huán)系統(tǒng)進行了分析。 若考慮抗干擾等問題，則應(yīng)設(shè)計閉環(huán)反饋 控制器，采用PID控制器或其他方法（例如極點配置法）進行控制。這些工作將在今后 著手進行。第二章概述2.1 自動控制理論的發(fā)展自動控制是指應(yīng)用自動化儀器儀表或自動控制裝置代替人自動地對儀器設(shè)備或 工業(yè)生產(chǎn)過程進行控制，使之達到預(yù)期的狀態(tài)或性能指標 。對傳統(tǒng)的工業(yè)生產(chǎn)過程采 用自動控制技術(shù)，可以有效提高產(chǎn)品的質(zhì)量和企業(yè)的經(jīng)濟效益。對一些惡劣環(huán)境下的控 制操作，自動控制顯得尤其重要。自動控制理論是與人類社會發(fā)展密切聯(lián)系的一門學科， 是自動控制科學的核心。自從19世紀Maxwell對具有調(diào)速器的蒸汽發(fā)動機

4、系統(tǒng)進行線 性常微分方程描述及穩(wěn)定性分析以來， 經(jīng)過20世紀初Nyquist , Bode, Harris , Evans, Wienner, Nichols等人的杰出貢獻，終于形成了經(jīng)典反饋控制理論基礎(chǔ)，并于 50年代 趨于成熟。經(jīng)典控制理論的特點是以傳遞函數(shù)為數(shù)學工具 ，采用頻域方法，主要研究 “單輸入一單輸出”線性定?？刂葡到y(tǒng)的分析與設(shè)計，但它存在著一定的局限性，即對“多輸入一多輸出”系統(tǒng) 不宜用經(jīng)典控制理論解決，特別是對非線性、時變系統(tǒng)更是 無能為力。隨著20世紀40年代中期計算機的出現(xiàn)及其應(yīng)用領(lǐng)域的不斷擴展，促進了自動控制理論朝著更為復(fù)雜也更為嚴密的方向發(fā)展，特別是在Kalman提出

5、的可控性和可觀測性概念以及 noHTpHTHH提出的極大值理論的基礎(chǔ)上，在 20世紀50、60 年代開始出現(xiàn)了以狀態(tài)空間分析（應(yīng)用線性代數(shù)）為基礎(chǔ)的現(xiàn)代控制理論。現(xiàn)代控制理論 本質(zhì)上是一種“時域法”，其研究內(nèi)容非常廣泛，主要包括三個基本內(nèi)容：多變量線性 系統(tǒng)理論、最優(yōu)控制理論以及最優(yōu)估計與系統(tǒng)辨識理論?，F(xiàn)代控制理論從理論上解決了 系統(tǒng)的可控性、可觀測性、穩(wěn)定性以及許多復(fù)雜系統(tǒng)的控制問題。但是，隨著現(xiàn)代科學 技術(shù)的迅速發(fā)展，生產(chǎn)系統(tǒng)的規(guī)模越來越大，形成了復(fù)雜的大系統(tǒng)，導(dǎo)致了控制對象、 控制器以及控制任務(wù)和目的的日益復(fù)雜化， 從而導(dǎo)致現(xiàn)代控制理論的成果很少在實際中 得到應(yīng)用。經(jīng)典控制理論、現(xiàn)代控制

6、理論在應(yīng)用中遇到了不少難題，影響了它們的實際應(yīng)用，其主要原因有三：這些控制系統(tǒng)的設(shè)計和分析都是建立在精確的數(shù)學模型的基 礎(chǔ)上的，而實際系統(tǒng)由于存在不確定性、不完全性、模糊性、時變性、非線性等因素， 一般很難獲得精確的數(shù)學模型；研究這些系統(tǒng)時，人們必須提出一些比較苛刻的假設(shè)， 而這些假設(shè)在應(yīng)用中往往與實際不符； 為了提高控制性能，整個控制系統(tǒng)變得極為復(fù) 雜，這不僅增加了設(shè)備投資，也降低了系統(tǒng)的可靠性。于是，自動控制工作者一直在尋求新的出路，他們在考慮：能否不要完全以控制對象為研究主體，而以控制器為研究主體呢？能否用20世紀50年代中期出現(xiàn)并得到快速發(fā)展的人工智能的邏輯推理、 啟發(fā)式 知識、專家系

7、統(tǒng)等來解決難以建立精確數(shù)學模型的控制問題呢？第三代控制理論即智能 控制理論就是在這樣的背景下提出來的， 它是人工智能和自動控制交叉的產(chǎn)物， 是當今 自動控制科學的出路之一。在該論文中我們用的便是最優(yōu)控制理論，在第4章我們將詳細介紹最優(yōu)控制的一般研究方法。2.2 自動控制技術(shù)在澆鑄行業(yè)的應(yīng)用隨著中國入世步伐的不斷加快，冶金行業(yè)只有不斷進行技術(shù)改造，提高產(chǎn)品檔次， 降低生產(chǎn)成本，才能在市場中爭得一席之地。因此設(shè)計一種金屬回收率高、能耗低、單 流產(chǎn)量高、鑄坯質(zhì)量好、機械化、自動化程度高的高效連鑄機成為鋼鐵企業(yè)技術(shù)進步一 個重要標志。以實際生產(chǎn)線為例，鋼水包由轉(zhuǎn)爐車間運至連鑄車間后，由車間行車將鋼 水

8、包置于大包回轉(zhuǎn)臺鋼包臂上，旋轉(zhuǎn)至澆注位后，鋼水由鋼包流入中間罐車，達到開澆液面后，澆鑄開始。鋼水經(jīng)中間罐車注入結(jié)晶器，經(jīng)過初次冷卻控制以及振動控制調(diào)節(jié) 后，進入二冷區(qū)。自控系統(tǒng)自動跟蹤鑄坯的位置及長度，鑄坯到達冷卻段時，由二次冷 卻系統(tǒng)對鑄坯進行水/氣的混合冷卻。系統(tǒng)跟蹤鋼坯頭到達矯直區(qū)時，拉矯機依次進行 換壓操作;跟蹤到脫引錠位時，自動進行脫引錠操作。鋼坯達到定尺長度后，由火焰切 割機實施切割，切割后由輸出輾道運出，再由橫向移鋼機運至熱送輾道，最后由熱送輾 道運到中型加熱爐進行軋制。在整個過程中都用到了自動控制，因此，該系統(tǒng)控制功能 先進、安全穩(wěn)定可靠，有效地提高了勞動生產(chǎn)率，確保了生產(chǎn)的順

9、行?，F(xiàn)在世界各國都在開發(fā)、研制高效連鑄機，相對來說，我國起步較晚，設(shè)計能力較差。很多機械設(shè)備 國內(nèi)完全能做，但由于設(shè)計能力跟不上，所以我們在引進設(shè)備的同時，一定要注重自動化系統(tǒng)及一些技術(shù)訣竅的引進，這樣才能提高高效連鑄機的操作水平，才能保證生產(chǎn)出 高質(zhì)量的連鑄坯來。第三章數(shù)學模型的建立3.1 知識準備為了設(shè)計一個控制系統(tǒng)，首先需要建立它的數(shù)學模型，也就是建模， 即用數(shù)學模型 來表示系統(tǒng)的輸入與輸出之間的因果關(guān)系。 所謂數(shù)學模型，就是描述這一系統(tǒng)運動規(guī)律 的數(shù)學表達式。一旦系統(tǒng)的數(shù)學模型被推導(dǎo)出來，就可以采用各種分析方法和計算機工 具對系統(tǒng)進行分析和綜合。數(shù)學模型可以有許多不同的形式，較常見的有

10、三種： 一種是 把系統(tǒng)的輸入量與輸出量之間的關(guān)系表達出來，稱之為輸入-輸出描述或外部描述，例如微分方程式、傳遞函數(shù)和差分方程。第二種不僅可以描述系統(tǒng)的輸入與輸出之間的關(guān) 系，而且還可以描述系統(tǒng)的內(nèi)部特性，稱之為狀態(tài)變量描述或內(nèi)部描述，它特別適用于多輸入、多輸出系統(tǒng)，也適用于時變系統(tǒng)、非線性系統(tǒng)和隨機控制系統(tǒng)。第三種方式是用比較直觀的方塊圖模型來進行描述。同一控制系統(tǒng)的數(shù)學模型可以表示為不同的形 式，需要根據(jù)不同的情況對各種模型進行取舍，以利于對控制系統(tǒng)進行有效分析。液體搬運過程中，液體會因為振動而溢出容器。為了工作安全和運輸效率，容器內(nèi) 液體的振動幅度在整個工作過程中要控制在一定范圍內(nèi)，并且到

11、達目的地時液體應(yīng)該盡快停止振動。為此，我們首先分析液體搬運過程中液體的動態(tài)特征，找出其規(guī)律。即建 立其動態(tài)數(shù)學模型，在控制系統(tǒng)的分析和設(shè)計中，首先要建立其數(shù)學模型。控制系統(tǒng)的數(shù)學模型是描述系統(tǒng)內(nèi)部物理量（或變量）之間關(guān)系的數(shù)學表達式。要對液體搬運分析首先需要建立其數(shù)學模型。本文采用廣義坐標下的拉格朗日方 程來描述，比較清楚簡明，也便于分析和設(shè)計。=Qjj = 1,2,.,k對受完整、理想約束的系統(tǒng)，具動力學方程為： d '盯 ' 盯 dtqj十上 此式即為拉格朗日方程。一.關(guān)于此方程的幾點說明：用廣義坐標描述系統(tǒng)運動;適用于完整、理想約束系統(tǒng)， 方程中不出現(xiàn)約束反力，直接建立主

12、動力與運動之間的關(guān)系； 得到的是常微分方程組，每個方程都是二階的，方程數(shù)與自由度數(shù)相同，是建立非自由質(zhì)系動力學數(shù)學模型的規(guī)范方法；當主動力有勢時，勢能九，？J ,根據(jù)式Qj拉格朗日方程有形式d , 打、:TV(j = 1, 2,.k ,(j : 1,2,.k(_) - -二 一dt qq jq或d屋L、1 八 =udt vaqj j 叫其中L = T- V稱為質(zhì)系的拉格朗日函數(shù)。二.運用拉格朗日方程的注意事項： 選好廣義坐標。廣義坐標的個數(shù)與質(zhì)點系自由度相同，彼此間獨立，能完全確定質(zhì)點系的位置。在滿足上述要求的前提下，廣義坐標的選擇具有很大的靈活性和一定的技巧性。可以選擇相對于定參考系的位移或

13、轉(zhuǎn)角為廣義坐標，也允許選擇相對于某個動參考系的位移或轉(zhuǎn)角為廣義坐標，總的目標是使計算簡單一些。正確地計算質(zhì)點系的動能、勢能或廣義力。要把動能T或拉格朗日函數(shù)L表示成廣義坐標、廣義速度、時間t的一般函數(shù)。不管廣義坐標如何選擇，為了計算動 能，必須先計算質(zhì)點的絕對速度。3.2數(shù)學模型的建立波動現(xiàn)象是自然界最普遍的現(xiàn)象之一，在空間的一點上某一物理量再平衡狀態(tài)受 到擾動后，該擾動向四周傳播的現(xiàn)象稱為波，其中最直觀的便是液體波動，即液體的振動。由于液體受到外界干擾就會產(chǎn)生振動這一性質(zhì)的存在，給液體在運輸時形成了諸多不便，下面就將解決這一問題。為了研究液體搬運過程中液體的動態(tài)特征，將液體等效成單振子單擺3

14、示意圖3-1如下：圖3-1液體搬運系統(tǒng)示意圖其中m為液體的質(zhì)量；c為液體的粘性系數(shù)；l為等效單擺的臂長；L為液體容器 的直徑；h為容器底面到靜止液面的高度；8為液面振動為一次關(guān)系時液面的傾角；hs 為容器端部液面變動。根據(jù)能量守恒關(guān)系可得如下方程1 2動能T m x - 卜 cos71(3-1)2勢能U = mg(l -1 cos。)(3-2)1 2消散能F C卜COS(3-3)2將以上三個式子代入(3.4)拉格朗日方程d : T : U : F C= =0(3-4) dt 二 二 二計算過程如下所示：T .,二- ml cosu x - H cosu cQ(3-5)d m . .一 = ml

15、e xsine + ml% cose dt)2 - 2-2ml u sn cos? - mlxcos1(3-6)-mg lsi n(3-7)F ,22=cl cos VdQ(3-8)綜上可得22.2.mWxsinF ml cos71 - 2ml sm cos712 -mlxcos - mglsin71 cl由于振子角度6 ； 0,若將二階導(dǎo)數(shù)項忽略則有：.2 .ml： m l x mg l帶動液體容器運動的驅(qū)動電機的數(shù)學模型為Tmxx x n KmxU七田(3-9)(3-10)由(3-9) ( 3-10)可得出液體搬運過程中電機的驅(qū)動電壓與反映液面平衡情況的各參量的 狀態(tài)方程4:x0xX1 =

16、 xx21X31Tx = x x 1 ?11*01mx0KmxTmxI八I0K mxTmxl第四章系統(tǒng)仿真4.1 仿真技術(shù)概論控制系統(tǒng)數(shù)字仿真是分析、研究、設(shè)計自動控制系統(tǒng)的一種快速和經(jīng)濟的輔助手 段。仿真（Simulation ）,就是用模型（物理模型或數(shù)學模型）代替實際系統(tǒng)進行實驗 和研究。仿真所遵循的原則是相似原理，即幾何相似及數(shù)學相似。依據(jù)這個原理，仿真 可以分為物理仿真和數(shù)學仿真（數(shù)學仿真又可分為模擬計算機和數(shù)字計算機仿真） 。在該論文中我們將用到的是自動控制系統(tǒng)中的計算機仿真。在進行自動控制系統(tǒng)分析、綜合與設(shè)計過程中，除了進行理論分析與設(shè)計外，還要對系統(tǒng)的特性進行實驗研究。 比如我

17、們用控制理論（包括經(jīng)典控制理論和現(xiàn)代控制理論）設(shè)計好一個系統(tǒng)，這樣設(shè)計出來的系統(tǒng)是否是正確可行的呢？設(shè)計的控制器參數(shù)符合實際情況嗎？系統(tǒng)性能對參 數(shù)變化敏感嗎？實際存在的非線性因素影響嚴重嗎？等等。我們現(xiàn)場實施以前往往要進行一下實驗，進行系統(tǒng)性能的考核，沒有進行實驗研究是不能直接將設(shè)計好的系統(tǒng)放到 生產(chǎn)實際中去的，特別是對于一些危險的場合， 或價值昂貴的實驗（如導(dǎo)彈發(fā)射實驗）。 當然，我們可以在實驗室里建一套物理模擬裝置來進行實驗。但是，這種方法十分費事有費錢，甚至有的時候物理模擬幾乎是不可能的， 因此用計算機進行數(shù)字仿真的方法已 日益被人們所采納。4.2 系統(tǒng)仿真4.2.1 系統(tǒng)仿真概述任何

18、系統(tǒng)都有三個方面需要研究的內(nèi)容，即實體、屬性、活動。實體是組成系統(tǒng)的 具體對象；屬性是指實體的特性（狀態(tài)和參數(shù)）；活動是對象隨時間推移而發(fā)生的狀態(tài) 變化。系統(tǒng)仿真就是建立系統(tǒng)的數(shù)學模型并在模型上進行仿真實驗的過程?，F(xiàn)在隨著計算機的推廣及應(yīng)用，計算機仿真已經(jīng)日益成為科技工作人員進行科學研究的有效手段， 計算機仿真也叫數(shù)學仿真，它包括三個基本要素：系統(tǒng)、模型和計算機。聯(lián)系著它們的三個基本的活動：數(shù)學模型建立、仿真模型建立、仿真實驗。系統(tǒng)仿真5的目的及其在系統(tǒng)研究中的重要性在于：(1)優(yōu)化設(shè)計。由于現(xiàn)代大型系統(tǒng)的規(guī)模和復(fù)雜性，要求在建立系統(tǒng)之前能夠預(yù) 測系統(tǒng)的性能和參數(shù)，以便使設(shè)計的系統(tǒng)達到最優(yōu)指標

19、。(2)經(jīng)濟性。對于一個大型的系統(tǒng)，直接實驗成本十分昂貴，而采用仿真實驗的 方法僅需成本的1/51/10,而且設(shè)備可以重復(fù)使用。(3)安全性。對于某些系統(tǒng)，直接實驗往往是危險的和不允許的。(4)預(yù)測。對于經(jīng)濟、社會、生物等非工程系統(tǒng)，直接實驗幾乎是不可能的，仿 真則可以用語預(yù)測系統(tǒng)的特性和外部作用的影響，從而研究控制的策略。4.2.2 MATLAB 及 Simulink 簡介MATLAB是MathWorks公司于1982年推出的一套高性能數(shù)值計算和可視化軟件，它 集數(shù)值分析、矩陣運算、信號處理和圖形顯示于一體，構(gòu)成了一個方便的、界面友好的用戶環(huán)境。MATLAB的推出得到了各個領(lǐng)域?qū)＜覍W者的廣泛

20、關(guān)注，其強大的擴展功能為 各個領(lǐng)域的應(yīng)用提供了基礎(chǔ)。由各領(lǐng)域?qū)＜覍W者相繼推出了MATLAEB：具箱，控制系統(tǒng)是其中一個工具箱。本文主要用到Simulink 口進行仿真，Simulink是MATLA葉用于數(shù)字計算機仿真的 軟件包，它支持線性和非線性系統(tǒng)，連續(xù)的和離散的模型，或者是兩者的混合。通過應(yīng) 用Simulink建模和仿真，我們可以超越理想的線性模型去探索更為現(xiàn)實的非線性模型， 比如現(xiàn)實世界中摩擦、空氣阻力、齒輪的滑動等現(xiàn)象。Simulink能使我們的計算機變成一個實驗室，以用來對各種現(xiàn)實中不可能存在或現(xiàn)實中恰恰相反的系統(tǒng)進行建模和仿 真。它已經(jīng)在學術(shù)和工業(yè)等領(lǐng)域得到了廣泛的應(yīng)用，用它可以進

21、行動態(tài)系統(tǒng)的建模和仿真，也可以隨意的建立各種模型。Simulink網(wǎng)仿真是交互式的，可以很隨地改變模型的 參數(shù)并且馬上就可以看到改變參數(shù)后的結(jié)果。MATLA的分析與可視工具多種多樣并且易于操作，所以用戶可以對仿真的結(jié)果進行分析使之可視化。4.2.3同種信號不同時間長度下的仿真結(jié)果-U一三2匚35一口圖4-1時間為4s時的三角波的仿真結(jié)果3-&E 一 pass圖4-2時間為6s時的三角波的仿真結(jié)果qmTl圖4-3時間為8s時的三角波的仿真結(jié)果以上三組圖是不同時間跨度下輸入信號為相同波形且罐體運動距離相等時的仿真 結(jié)果圖，通過對以上三組圖形的比較我們會發(fā)現(xiàn)：在液體容器運動相同距離的前提下，

22、 當輸入電壓信號的變化越緩和時，液體振動的幅度越小，外在表現(xiàn)就是圖中Angle的振 幅越來越小。為了進一步證明在輸入其他波形的電壓也會產(chǎn)生同樣的效果，下面將列出其他兩種具有代表性的波形信號予以參考。3 - J - -T&E1石 >UU0T3UE 茄QIs e 而1 o 1n-O.-peot_6u<sImSSIm一 pmmmu<叵UJ-P嗇-CLImIm10o o 圖4-8時間為6s時的梯形波的仿真結(jié)果T石 EE1O> -UJ-BOUEIGQSIelm-1 -nu-o-O4.2.4不同信號相同時間長度下的仿真結(jié)果圖4-10時間為6s時的矩形波的仿真結(jié)果【AmFoA

23、【ehuue15q場E-PB方->BEE1O>Is)fm【ewolieisq可£-pa>由 dtn- 叵pgwm通過以上四組圖的比較我們會發(fā)現(xiàn)：時間跨度相同，但信號波形類型不同時，Angle 的變化幅度依然是很大的，而且隨不同信號波形的改變它也發(fā)生相應(yīng)的變化 ，我們不得 不思考有沒有一種信號輸入可以使得液體的振動盡可能的減小呢 ？下一章的我們將解決 這一問題。第五章最優(yōu)控制5.1動態(tài)系統(tǒng)的最優(yōu)控制方法最優(yōu)控制9是現(xiàn)代控制理論的核心。最優(yōu)控制研究的主要問題是：根據(jù)已建立的被 控對象的數(shù)學模型，選擇一個容許的控制律，使得被控對象按預(yù)定要求進行，并使給定的某一性能指標達到

24、極小值（或極大值）0從數(shù)學觀點來看，最優(yōu)控制研究的問題是求 一類帶有約束條件的泛函極值問題，屬于變分學范疇。下面簡要介紹一下最優(yōu)控制的研究方法。 當系統(tǒng)數(shù)學模型、約束條件及性能指標確 定后，求解最優(yōu)控制問題的主要方法有以下三類：（1）解析法解析法適用于性能指標及約束條件有明顯解析表達式的情況。一般先用求導(dǎo)方法 或變分法求出最優(yōu)控制的必要條件，得到一組方程或不等式，然后求解這組方程式或不 等式，得到最優(yōu)控制的解析解。解析法大致可以分成兩類：當控制無約束時，采用微分 法或經(jīng)典變分法；當控制有約束時，采用極小值原理或動態(tài)規(guī)劃。如果系統(tǒng)是線行的， 性能指標是二次型形式的，則可采用狀態(tài)調(diào)節(jié)器理論求解。（

25、2）數(shù)值計算法若性能指標比較復(fù)雜，或無法用變量顯函數(shù)表示，則可采用直接搜索法，經(jīng)過若 干次迭代，搜索到最優(yōu)點。數(shù)值計算法又可分為：1）區(qū)間消去法，又稱一維搜索法。適用于求解單變量極值問題，主要有菲波那西 法、黃金分割法和多項式插值法。2）爬山法，又稱多維搜索法。適用于求解多變量極值問題，主要又坐標輪轉(zhuǎn)法、 步長加速法、方向加速法等。（3）梯度型法這是一種解析于數(shù)值計算相結(jié)合的方法，其中包括：1）無約束梯度法。主要又陡降法、擬牛頓法、共腕梯度法和變尺度法等。2）有約束梯度法。主要可以分為方向法和梯度投影法。進行最優(yōu)控制的關(guān)鍵就是取得最優(yōu)控制量，該論文中將用到共腕梯度法（FR共腕梯度法）共腕梯度法

26、是最重要的共腕方向法之一，其特點是利用上一次的搜索方向和 本次出發(fā)點的負梯度的線性組合來生成共腕方向，計算量和存貯量都較少。1.共腕梯度法定義1設(shè)ReR近是對稱正定矩陣。稱 小，內(nèi)是A-共腕的，是指PAp2 =0,J?。口)。性質(zhì)1設(shè)有小居。產(chǎn)工周用)是彼此共腕的中維向量,即7= 0, J j,Pia .工> 0, I =jr則Pn，Pi，避一定是線性無關(guān)的性質(zhì)2 設(shè)向量即4口名融是線性無關(guān)的向量組，則可通過它們的線性組合得出 一組向量-，而巧/1'衣牌是兩兩共腕的2.共腕方向的構(gòu)造定理1(共腕方向構(gòu)造方法)1 TT設(shè) f(X)=QX QX +b X +c,Q正定，Xo是初始點

27、R=Vf(Xo),Xk+ =Xk +%Pk,k=0,1，m1,%是最優(yōu)步長，且Pk1 =f(Xk1)akPk其中ak:烏立出PkTQPk那么，Po, P,，Pm是關(guān)于Q的共腕向量組。在定理1所給出的共腕方向的構(gòu)造方法中，需要用目標函數(shù)的Hesse矩陣來計算線性組合系數(shù)a-這使得計算量和存貯量都增加許多。為簡化計算并減少存貯量，我 們在下面介紹有關(guān)ak的另一個等價的計算公式，不需要計算 Hesse矩陣。定理2(ak的簡化公式)在定理1條件下，ak可簡化為2vf(Xk1) vf(Xk1)"(Xki)|ak _t-2f(Xk)T"(Xk)f(Xk)3.共腕梯度法算法10當目標函數(shù)

28、是具有正定 Hesse矩陣的二次函數(shù)，且每次迭代所依據(jù)的步長 /都是 精確的最優(yōu)步長時，按定理4.8的方法構(gòu)造搜索方向Pk+i進行搜索，最多可在n步之內(nèi) 達到極小點。但是如果上述兩條件之一不滿足，情況就可能會有所變化。注意到在定理4.9的證明中，有、f(Xki)TRi =tf(Xk.i)T("(Xk.i) akR)一"(Xk"烝”兇.1)飛如果Xk書不是按精確的最優(yōu)步長所生成，那么f (Xk書)TPk #0,有可能使Vf(Xk書)TPk書A0 ,導(dǎo)致R書不是下降方向。另外，若目標函 數(shù)不是具有正定Hesse矩陣的二次函數(shù)，在僅僅n次迭代后一般都不可能達到精確的極

29、小點。這時，需要令當前所得的點 Xn(或XnQ為初始點，重新進行新一輪迭代。下面所 給的算法，稱之為Fletcher-Reeves共腕梯度法。Fletcher-Reeves共腕梯度法的算法步驟：設(shè)f(X)可微,X0為初始點。(D P0 7f (X°),k=0;(2)求解一維搜索問題min f(Xk , Pk),s.t九至0設(shè)是最優(yōu)步長，令Xi=Xk + ?*Pk；(3)如果X-滿足終止準則，輸出Xk書，計算停止；否則，轉(zhuǎn)(4);(4)如果 k=n-1 ,令 X。=Xk由,k =0轉(zhuǎn)(1);否則，轉(zhuǎn)(5);_Wf(XkJ(5)令9k -f(Xk)2Pki =f(Xki) akPk(6)

30、如果 Vf (XkQTPk4之0,令X0=X轉(zhuǎn)(1),否則，k = k+1,轉(zhuǎn)(2)。注：第(4)步中，也可以取k =n4.算法性質(zhì)與評價理論與計算實踐都表明,Fletcher-Reeves共腕梯度法是一種較為理想的無約束最 小化算法，它具有如下良好的性質(zhì)：(1)具備有限收斂性，當應(yīng)用于 n元正定二次目標函數(shù)時，最多 n次可達到精確 極小點；(2)算法產(chǎn)生的點列收斂于平穩(wěn)點，且收斂速度是超線性的，優(yōu)于最速下降法(但 低于Newton法)；(3)對初始點的要求不太高，優(yōu)于 Newton法(但比最速下降法略差)；(4)不進行矩陣運算，對存貯量要求少，優(yōu)于Newton法，而與最速下降法相似。對于大型

31、的變量較多的非線性規(guī)劃問題， 采用Fletcher-Reeves共腕梯度法較為適 應(yīng)。5.2液體搬運系統(tǒng)的最優(yōu)控制從第三章中我們知道液體搬運過程中當輸入信號為三角波、正弦波、矩形波、梯 形波等具有代表性的波形時，液體振動都相當明顯，這就給這就給鑄造等行業(yè)帶來諸多 不便，因為在鑄造行業(yè)的澆鑄過程中， 溶液的澆鑄是一項非常危險的作業(yè)。由于溶液溫 度的降低會影響鑄件的品質(zhì)，所以要求澆鑄過程要在最短時間內(nèi)完成。 因此我們可以設(shè) 計一套控制方式使液體在搬運過程中盡可能的少振動或不振動。在第二章中我們建立液體搬運系統(tǒng)的數(shù)學模型，模型表達式如式(5.1):0 I0x =10I 0I01TmxKmxTmxl(

32、5-1 )評價函數(shù)為:J = X(tf )TW(tf)tfTx(t) W1x(t)dtt0(5-2)其中：X(tf)= 1.5%(tf)為(tf) X2(tf) X3(tf) 表示終端條件，W = diag106 106 106 106為權(quán)重矩陣，而X(t)=X2 X3為中間條件，以保證罐在移動過程中液體的振角最小。W1 = diag 500 500亦為為權(quán)重矩陣。利用FR (Fletcher-Reeves )法計算該非線性系統(tǒng)的最優(yōu)輸入。下面我們將對最優(yōu) 控制部分的仿真結(jié)果分為帶有積分環(huán)節(jié)和不帶積分環(huán)節(jié)兩種情況加以討論：5.2.1 不帶積分環(huán)節(jié)的最優(yōu)控制4200246810121416182

33、0ts02468101214161820mraeeDSts 20 110-10 -2002468101214161820ts4 e2 o V 0 -202468101214161820ts圖5-1時間為4s時不帶積分環(huán)節(jié)的最優(yōu)控制的仿真結(jié)果由圖5-1仿真結(jié)果我們可以發(fā)現(xiàn)：經(jīng)過不帶積分環(huán)節(jié)的最優(yōu)控制后，液體振動的幅度 明顯減小，而且當液體達到搬運終點是幾乎停止振動。同時我們還可以發(fā)現(xiàn)，搬運相同 距離時，所用時間越長，則液體振動的幅度就越小，這是因為搬送過程中的輸入加速度變小的緣故。從上面結(jié)果來看，控制效果是令人滿意的 。5.2.2帶有積分環(huán)節(jié)的最優(yōu)控制42mlecnarcFD1ST mLaeeD

34、S-Veoguove gA-202468101214161820ts圖5-2時間為4s時帶有積分環(huán)節(jié)的最優(yōu)控制的仿真結(jié)果由圖5-2仿真結(jié)果我們可以看出：加入帶有積分環(huán)節(jié)的最優(yōu)控制信號后，液體振動的 幅度和頻率較不加積分環(huán)節(jié)的最優(yōu)控制時的更小了，但是在到達終點后殘余振動得不到徹底消除。從總體上看，控制效果還是比較理想的。第六章技術(shù)經(jīng)濟分析隨著中國入世步伐的不斷加快，鑄造行業(yè)只有不斷進行技術(shù)改造，提高產(chǎn)品檔次， 降低生產(chǎn)成本，才能在市場中爭得一席之地。相對來說，我國起步較晚，設(shè)計能力較差。 很多機械設(shè)備國內(nèi)完全能做，但由于設(shè)計能力跟不上，所以我們在引進設(shè)備的同時，-定要注重自動化系統(tǒng)及一些技術(shù)訣竅

35、的引進， 針對以上問題，我們希望開發(fā)一種高速澆 鑄系統(tǒng)，在鑄件快速移動的過程中，通過對生產(chǎn)線拖動電機的電壓控制，達到對溶液液 面的振動進行控制的目的，從而使液面不僅在運動停止時不產(chǎn)生振動， 而且在整個運動 過程中也保持平穩(wěn)。該設(shè)計就是采用最優(yōu)控制的方式進行的研究，首先建立數(shù)學模型， 然后做出仿真模型，最后的得到最優(yōu)輸入量，通過仿真結(jié)果我們可以看出：該系統(tǒng)控制 功能先進、安全穩(wěn)定可靠，有效地提高了勞動生產(chǎn)率，確保了生產(chǎn)的順行。因此提高了 產(chǎn)品檔次和勞動生產(chǎn)率。該論文主要采用計算機仿真的研究方式， 對于一個大型的系統(tǒng)，直接實驗成本十分 昂貴，而采用仿真實驗的方法僅需成本的 1/51/10,而且設(shè)備

36、可以重復(fù)使用。因此。 這種研究方法是適合現(xiàn)階段我們做這種研究的。第七章結(jié)論與展望該論文以振動液體為控制對象，首先利用拉格朗日法推導(dǎo)出描述液體振動的數(shù)學模 型，并利用不同波形的輸入電壓信號進行了仿真計算，從而了解了鑄件在運動過程中液體的振動特性及規(guī)律。在此基礎(chǔ)上，通過給出系統(tǒng)評價函數(shù)，利用FR Fletcher-Reeves ) 法計算該非線性系統(tǒng)的最優(yōu)輸入。仿真結(jié)果表明，控制結(jié)果是令人滿意的。本研究所取得的成果和得出的結(jié)論主要表現(xiàn)在以下幾個方面：(1)本研究通過仿真得到了三角波、正弦波、方波、梯形波等各種具有代表性的 電壓信號作用下被搬運液體的波形振幅及頻率的參數(shù)，這對以后設(shè)計控制器和液體的振 動性質(zhì)有一定的指導(dǎo)意義和參考價值(2)本設(shè)計通過建立系統(tǒng)的數(shù)學模型得出系統(tǒng)的評價函數(shù)，從而運