有趣的追及問題

1、有趣的追及問題K數(shù)學(xué)廣角R同學(xué)們，龜兔賽跑的故事一定聽說過吧，實(shí)際上龜兔賽跑是 行程問題中的另一種情況，它是一種同向行程問題，我們把它叫 做追及問題。兩個(gè)運(yùn)動(dòng)物體同向前進(jìn)，有一個(gè)運(yùn)動(dòng)物體速度較快，另一個(gè) 運(yùn)動(dòng)物體速度較慢。如果慢的走在前，快的就能追上慢的，這就 產(chǎn)生了追及問題。求追及時(shí)間的關(guān)系式是：追及時(shí)間=追及距離+ 速度差。K智慧密碼R例1小明步行上學(xué)，每分行75米，小明離家12分后，爸爸發(fā)現(xiàn) 小明忘帶了書包騎自行車去追，每分行 375米，爸爸出發(fā)多少分 后能追上小明分析畫出線段圖。小朋I-每分乃來甚 |每分375米小明上學(xué)離家走了 12分后，他爸爸才去追，由于爸爸速度比較 快，最后一定會(huì)

2、追上小明。算術(shù)方法：從圖中，可以看出，當(dāng)爸爸出發(fā)時(shí)，小明已經(jīng)行了 75X 12 = 900米，這實(shí)際上就是爸爸追小明的路程即路程差，而每經(jīng)過1分，爸爸要追上小明375 75= 300米，這實(shí)際上就是速度差， 因此爸爸要追上小明，只要看這 900米里包含有幾個(gè)300米，就 是爸爸追上小明需要幾分。解爸爸出發(fā)距小明的米數(shù) 75X 12= 900 （米）爸爸每分鐘比小明多行的米數(shù) 37575 = 300 （米）爸爸出發(fā)后追上小明的時(shí)間 900+ 300= 3 （分）追及問題的基本關(guān)系式：路程差=速度差 如及時(shí)間速度差=路程差 及時(shí)間 追及時(shí)間=路程差 到（度差方程方法：用方程思想來解決這一類問題，關(guān)

3、鍵之處是要找到等 量關(guān)系，觀察線段圖即可發(fā)現(xiàn)在爸爸追上小明的時(shí)刻，小明和爸 爸所行的路程相等。解：設(shè)爸爸x分鐘可以追上小明。75 X 12 + 75x = 375x375x - 75x = 900300x= 900X = 3答：爸爸3分鐘可以追上小明。多長時(shí)間追上環(huán)行路上的行程問題，有著它獨(dú)特的方面，由 于環(huán)行的道路是封閉的，因此，環(huán)行路上的運(yùn)動(dòng)，計(jì)算行程時(shí)， 通常與環(huán)行道路的周長有關(guān)。例2 在400米的環(huán)行跑道上，A、B兩點(diǎn)相距100米，甲、乙兩 人分別從A、B兩點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，按逆時(shí)針方向跑步。甲每秒跑 5 米，乙每秒跑4米，他們每人跑100米，都要停10秒鐘。求甲 追上乙需要多少秒分析：這道

4、題初看時(shí)，由于他們每人跑 100米，都要停10 秒鐘。似乎不太好解決。但如果將二人看成不停的跑，就很容易 算出甲追上乙的時(shí)間，這時(shí)再考慮在這期間所停留的時(shí)間，問題 的解決就比較簡單了。解答：如果甲、乙不停的跑步，甲追上乙共需：100+ （54） =100 （秒）,甲在100秒中共跑：5X100=500 （米）,而甲在 跑100米、200米、300米、400米時(shí)共停留了 4次，到了 500 米處恰好追上乙。不必計(jì)算停留的時(shí)間。所以，甲追上乙所需的 時(shí)間是：100 + 4X10=140 （秒）說明：甲跑到500米處時(shí)，正好是乙跑完400米，并且休息 完10秒時(shí)。當(dāng)甲跑到時(shí)，乙恰好要出發(fā)，他們兩個(gè)在

5、這一瞬間 正好相遇。例3如圖，A、B是圓直徑的兩個(gè)端點(diǎn)，小華在點(diǎn) A,小明 在點(diǎn)B,他們同時(shí)出發(fā)，反向而行。他們?cè)?C點(diǎn)第一次相遇，C 點(diǎn)離A點(diǎn)100米；在D點(diǎn)第二次相遇，D點(diǎn)離B點(diǎn)80米。求這 個(gè)圓的周長分析：第一次相遇，兩人合起來走了半圈，第二次相遇，兩 人合起來走了一圈，因此，從開始出發(fā)到第二次相遇，兩人合起 來走了一圈半。也就是說，第二次相遇時(shí)兩人合起來走的路程是 第一次相遇時(shí)合起來所走路程的 3倍，因此，不難看出AD的距 離是AC距離的3倍，所以再求圓周的長度就比較簡單了。解答：因?yàn)锳C=100米，AD的長度是AC長度的3倍。AD=AC X3=100X 3=300 （米）半個(gè)圓的周長

6、：300-80=220 （米）整個(gè)圓的周長：220X2=440 （米）說明：這道題還可以從另一個(gè)角度進(jìn)行考慮。由于 C到D兩 人共走了一個(gè)圓周，由A、B到C兩人共走了半個(gè)圓周，所以， CD的長度是AC長度的2倍。因此，同樣可以判斷出 AD的距離 是AC距離的3倍。例4如圖，沿邊長為90米的正方形，按逆時(shí)針的方向，甲 從A出發(fā)，每分鐘走65米，乙從B出發(fā)，每分鐘走72米，當(dāng)乙 第一次追上甲時(shí)是在正方形的哪一條邊上AD甲BC分析：這是一道環(huán)行追及問題，這類問題可以先看成“直線” 的追及問題，求出乙追上甲所用的時(shí)間，再回到環(huán)行路上的追及 問題，根據(jù)乙這段時(shí)間所走的路程，推算出應(yīng)在正方形的哪一條 邊上

7、。解答：先求追上甲時(shí)乙所用的時(shí)間：27090X3+ (7265) = 7(分)再求這段時(shí)間乙所走的路程：27012777二一72X 7 =7 (米)由于，正方形每邊長90米，因此:112777 -777 = (4X7 + 2) X 90+7這樣不難看出，乙走的比7圈零兩條邊還多哈米，所以,當(dāng)乙第一次追上甲時(shí)，甲和乙應(yīng)在正方形的 AD邊上。說明：如何將直線上的追及問題，與環(huán)行道路的特點(diǎn)相結(jié)合, 是這道題得以解決的關(guān)鍵。K牛刀小試31、一輛面包車的速度是每小時(shí)60千米，在面包車開出30分鐘 后，一輛小轎車以每小時(shí)84千米的速度從同一地點(diǎn)出發(fā)沿著 同一行駛路線去追趕面包車，多少時(shí)間后追上2、姐姐步行

8、的速度是每分鐘 75米，妹妹步行的速度是每分鐘 65米，在妹妹先出發(fā)20分鐘后姐姐去追趕妹妹，問姐姐多少 分鐘后追上妹妹這時(shí)離出發(fā)地多少米3、實(shí)驗(yàn)小學(xué)組織學(xué)生排隊(duì)步行去郊游，步行速度是每秒1米，排頭的王老師以每秒米的速度趕到排尾，然后立即返回排頭，共用10分鐘，求隊(duì)伍的長度。4、兄妹兩人同時(shí)從家出發(fā)去1080米遠(yuǎn)的學(xué)校上學(xué)，哥哥騎車每 分鐘走360米，妹妹步行每分鐘走 60米，哥哥到校門口時(shí)，發(fā) 現(xiàn)忘帶課本，立即原路返回，問哥哥再次由家出發(fā)在離學(xué)校多遠(yuǎn) 處追上妹妹5、有甲、乙、丙三輛汽車，各以一定的速度從 A地開往B地。 乙比內(nèi)晚出發(fā)10分鐘，經(jīng)40分鐘追上丙；甲比乙晚出發(fā) 20分鐘，經(jīng)50分

9、鐘追上乙，那么甲出發(fā)后多長時(shí)間追上內(nèi)K俱樂部R陳景潤不愛玩公園，不愛逛馬路，就愛學(xué)習(xí)。學(xué)習(xí)起來，常 常忘記了吃飯睡覺。有一天，陳景潤吃中飯的時(shí)候，摸摸腦袋，哎呀，頭發(fā) 太長了，應(yīng)該快去理一理，要不，人家看見了，還當(dāng)他是個(gè)姑娘 呢。于是，他放下飯碗，就跑到理發(fā)店去了。理發(fā)店里人很多，大家挨著次序理發(fā)。陳景潤拿的牌子 是三十八號(hào)的小牌子。他想：輪到我還早著哩。時(shí)間是多么寶貴 啊，我可不能白白浪費(fèi)掉。他趕忙走出理發(fā)店，找了個(gè)安靜的地 方坐下來，然后從口袋里掏出個(gè)小本子，背起外文生字來。他背 了一會(huì)，忽然想起上午讀外文的時(shí)候，有個(gè)地方?jīng)]看懂。不懂的 東西，一定要把它弄懂，這是陳景潤的脾氣。他看了看手表，才 十二點(diǎn)半。他想：先到圖書館去查一查，再回來理發(fā)還來得及， 站起來就走了。誰知道，他走了不多久，就輪到他理發(fā)了。理發(fā) 員叔叔大聲地叫： 三十八號(hào)！誰是三十八號(hào)快來理發(fā)！ ”你想想, 陳景潤正在圖書館里看書，他能聽見理發(fā)員叔叔喊三十八號(hào)嗎過了