機(jī)械優(yōu)化設(shè)計(jì)1復(fù)習(xí)資料

1、一、填空題1 .用最速下降法求f(x)=10 0x2x1)十(1x1 )2最優(yōu)解時(shí)，設(shè)x(° )= 0.5,0.5，第一 步迭代的搜索方向?yàn)椤? .機(jī)械優(yōu)化設(shè)計(jì)采用數(shù)學(xué)的規(guī)劃法，其核心一是最佳步長(zhǎng)，二是搜索方向。3 .當(dāng)優(yōu)化問題是凸規(guī)劃的情況下,在任何局部最優(yōu)解就是全域最優(yōu)解。4 .應(yīng)用外推法來確定搜索區(qū)間時(shí)，最后得到的三點(diǎn)，即為搜索區(qū)間的始點(diǎn)，中間點(diǎn)和終 點(diǎn)，他們的函數(shù)值形成趨勢(shì) 高低高。5 .包含n個(gè)設(shè)計(jì)變量的優(yōu)化問題，稱為 n 維優(yōu)化問題。1 T_T6. 函數(shù)一xT Hx + BT x + c的梯度為 HX+B 。27 .與負(fù)梯度成銳角的方向?yàn)楹瘮?shù)值下降方向,與梯度成直角的方向

2、為函數(shù)值的不變方向。8 .設(shè)G為nxn對(duì)稱正定矩陣，若 n維空間中有兩個(gè)非零向量 d°, d1,滿足(d0 jGd1 =0 , 則d°, d1之間存在共軻關(guān)系。9 .設(shè)計(jì)變量，目標(biāo)函數(shù)，約束條件是優(yōu)化設(shè)計(jì)問題的數(shù)學(xué)模型的基本要素。10 .對(duì)于無約束二元函數(shù) f (Xi,X2 ),若在Xo =(Xi2,X34 )點(diǎn)處取得極小值，其必要條件是 在Xo點(diǎn)的梯度為0,充分條件是 筐Xo點(diǎn)的海賽矩陣正定。11 . K-T條件可以敘述為在極值點(diǎn)處目標(biāo)函數(shù)的負(fù)梯度為起作用的各約束函數(shù)梯度的非負(fù) 線性組合。212 .用黃金分割法求一兀函數(shù)f(x)=x -10x + 36的極值點(diǎn)，初始搜索區(qū)

3、間b,b】=-10,10,經(jīng)第一次區(qū)間消去后得到新區(qū)間2.36 10。13 .優(yōu)化設(shè)計(jì)問題的數(shù)學(xué)模型的基本要素有設(shè)計(jì)變量，目標(biāo)函數(shù)，約束條件。14 .牛頓法搜索方向dk=-N2f (xk/巧(xk ),其計(jì)算量大，且要求初始在級(jí)極小點(diǎn) 的近位置。.將函數(shù) f(X)=x 12+X22-X 1X2-10X 1-4x 2+60 表示成 1 XT HX + BT X + C 的形式21kxx1 x2212 -1 I X1 I 1J| II 1 + -10 -41-1 2艘仃6015 .存在矩陣H,向量d1，d2,當(dāng)滿足d1THd=0向量d1和向量d2是關(guān)于H共薪方向。16 .采用外點(diǎn)法求約束優(yōu)化問題時(shí)

4、，將約束優(yōu)化問題轉(zhuǎn)化為外點(diǎn)形式時(shí)引入的懲罰因子r數(shù)列，具有單調(diào)遞增特點(diǎn)。17 .采用數(shù)學(xué)規(guī)劃法求解多元函數(shù)極值點(diǎn)時(shí)，根據(jù)迭代公式需要進(jìn)行一維搜索，即求 通史 步長(zhǎng)O18 .對(duì)于一維搜索，搜索區(qū)間為a,b,中間插入兩個(gè)點(diǎn) a1，b1，a1cbi，計(jì)算出f (a)< f (b ),則縮短后的搜索區(qū)間為a,b 。19 .由于確定搜索方向和最佳步長(zhǎng)的方法不一致,派生出不同的無約束優(yōu)化問題過程中，懲罰因子具體有趨于0變化規(guī)律。20 .尋出等式約束極值條件時(shí)，將等式優(yōu)化問題轉(zhuǎn)化為無約束問題的方法有消元法和拉格朗日乘子法。21 .優(yōu)化問題中二元函數(shù)等值線，從外層向內(nèi)層函數(shù)值逐漸變小22 .優(yōu)化設(shè)計(jì)中，

5、可行設(shè)計(jì)點(diǎn)為 可行域內(nèi)的設(shè)計(jì)點(diǎn)。23 .方向倒數(shù)定義為函數(shù)在某點(diǎn)處沿某一方向的變化率。24 .設(shè)f(X )為定義在凸集R上具有連續(xù)二階導(dǎo)數(shù)的函數(shù)，則 f ( X )在R上為凸函數(shù)充分 必要條件是海賽矩陣 G (X次R上處處大于025 .在n維空間中互相共軻的非零向量是個(gè)數(shù)最多有n個(gè)。26 .約束優(yōu)化問題在可行域內(nèi)對(duì)設(shè)計(jì)變量求目標(biāo)函數(shù)的極小點(diǎn)。27 .外點(diǎn)懲罰函數(shù)法的迭代過程在可行域外進(jìn)行，懲罰項(xiàng)的作用是迫使迭代點(diǎn)逼近邊界或等式約束曲面二、選擇題1 .下面Cf法需要求海賽矩陣。A.最速下降法 B.共軻梯度法C.牛頓型法D.DFP法2 .對(duì)于約束問題一22f x = x1 x2 -4x2 4丫 x

6、 =x1 -x；-1 40Y, x =3-x1 三0丫3 x =x2 <0根據(jù)目標(biāo)函數(shù)等值線和約束曲線，判斷為。x。）= h,11T 為 d,A內(nèi)點(diǎn)；內(nèi)點(diǎn)B.外點(diǎn)；外點(diǎn) C內(nèi)點(diǎn)；外點(diǎn)D.外點(diǎn)；內(nèi)點(diǎn)3 .內(nèi)點(diǎn)懲罰函數(shù)用于求解B 優(yōu)化問題。A.無約束優(yōu)化問題B只含不等式的約束優(yōu)化問題C只含等式的優(yōu)化問題D.含有不等式和等式的約束的優(yōu)化問題4 .拉格朗日乘子法師求解等式約束優(yōu)化問題的一種經(jīng)典法，它是一種 _D。A降維法B.消元法C數(shù)學(xué)規(guī)戈U法D.升維法5 .對(duì)于一維搜索，搜索區(qū)間為la,b,中間插入兩個(gè)點(diǎn)a1, b1 , a1cbi，計(jì)算出f f 3 ),則縮短后的搜索區(qū)間為 D。A. Ia1

7、,b1 1 B. b1,b C/ah Da,b1 16 . D 不是優(yōu)化設(shè)計(jì)問題數(shù)學(xué)模型的基本要素。A.設(shè)計(jì)變量 B.約束條件 C目標(biāo)函數(shù) D.最隹步長(zhǎng)7 .變尺度發(fā)的迭代公式為xk噌=xk-akHkVf (xk ),下列不屬于Hk必須滿足的條件是C。A.Hk之間有簡(jiǎn)單的迭代形式B擬牛頓條件C.與海賽矩陣正定D.對(duì)稱正定8 .函數(shù)f(x次某點(diǎn)的梯度方向?yàn)楹瘮?shù)在該點(diǎn)的A 。A.最速上升方向B.上升方向C.最速下降方向D下降方向9 .下面四種無約束優(yōu)化方法中， D在構(gòu)成搜索方向時(shí)沒有使用到目標(biāo)函數(shù)的一階或二階導(dǎo)數(shù)。A.梯度法B.牛頓法C.變尺度法D.共軻梯度法10 .設(shè)f(x )為定義在凸集 R上

8、且具有連續(xù)二階導(dǎo)數(shù)的函數(shù)，則f(x )在R上為凸函數(shù)的充分必要條彳是海賽矩陣G (x )在R上處處_A。A.正定B.半正定C.負(fù)定D.半負(fù)定11 .通常情況下，下面四種算法中收斂速度最慢的是B。A.牛頓法B.梯度法C.共軻梯度法D.變尺度法12 . 一維搜索試探方法中，黃金分割法比二次插值法的收斂速度A 。A慢B.快C. 一樣D.不確定13 .下列關(guān)于最常用的一維搜索試探方法黃金分割法的敘述，錯(cuò)誤的是C D,假設(shè)要求在區(qū)間 b,b插入兩點(diǎn)a1, a2, a1 <a2。A.其縮短率為 0.618B.a1=b- b -aC.a2 =b+Mb-a)D.在該方法中縮短搜索區(qū)間采用的外推法14 .

9、與梯度成銳角的方法為函數(shù)值A(chǔ) 方向,與負(fù)梯度成銳角的方向?yàn)楹瘮?shù)值_B_方向，與梯度成直角的方向?yàn)楹瘮?shù)值的 C方向。A.上升B.下降C.不變D.為零_AoB.梯度為0的點(diǎn)D.海賽矩陣正定15 .二維目標(biāo)函數(shù)的無約束極小點(diǎn)就是A.等值線族的一個(gè)共同中心C.全局最優(yōu)解16 .最速下降法相鄰兩搜索方向dk和dk+1必為向量B。A.相切B.正交C.成銳角D.共軻17 .下列關(guān)于共軻梯度法的敘述，錯(cuò)誤的是 A OA需要求海賽矩陣B除第一步以外的其余各步的搜索方向是將負(fù)梯度偏轉(zhuǎn)一個(gè)角度C.共軻梯度法具有二次收斂性D.第一步迭代的搜索方向?yàn)槌跏键c(diǎn)的負(fù)梯度18 .下列關(guān)于內(nèi)點(diǎn)懲罰函數(shù)法的敘述，錯(cuò)誤的是 AA.可

10、用來求解含不等式約束和等式約束的優(yōu)化問題B.懲罰因子是不斷遞減的正值C.初始點(diǎn)應(yīng)該選擇一個(gè)離約束邊界較遠(yuǎn)的點(diǎn)D.初始點(diǎn)必須在可行域內(nèi)19 .設(shè)f (x阿定義在凸集 D上具有連續(xù)二階導(dǎo)數(shù)的函數(shù)，則 f (x )在D上嚴(yán)格凸函 數(shù)的充要條件是 B:A.Hess和陣處處半正定B.Hess和陣處處正定C.Hesse巨陣處處半負(fù)定D.Hesse巨陣處處負(fù)定20 .下列幾種無約束問題求解方法中，哪種算法需要計(jì)算海賽矩陣A 。A.牛頓法B.梯度法C.共軻梯度法D.變尺度法21 .關(guān)于正交方向和共軻方向之間的關(guān)系，下列說法正確的是B。A.共軻矩陣是正交矩陣的特殊情況B.共軻矩陣是正交矩陣的推廣C.n維空間中相

11、互共軻的非零向量個(gè)數(shù)可以為任一數(shù)量D.22 .多元函數(shù)的海賽矩陣是其A.一階 C.三階23 .關(guān)于變尺度優(yōu)化方法的變尺度矩陣A.Ak有簡(jiǎn)單的迭代形式 C與海賽矩陣正交24 .關(guān)于梯度，下列說法不正確的是A.與切線方向垂直C.是函數(shù)變化率最大的方向25 .與梯度成銳角的方向?yàn)楹瘮?shù)值A(chǔ).上升B.下降三、判斷題1.2.3.4.5.6.7.8.9.10.11.12.13.14.15.B偏導(dǎo)數(shù)所形成的對(duì)稱矩陣。B.二階D四階Ak,下列說法不正確的是 CB.應(yīng)滿足擬牛頓條件D.應(yīng)為對(duì)稱正定B oB.是等值面的切線方向D.函數(shù)最速下降方向A 方向。C.不變D.為零二元函數(shù)等值線密度的區(qū)域函數(shù)值變化慢。（x）

12、海賽矩陣正定的充要條件是它的各階主子式都大于零。（，）當(dāng)?shù)咏鼧O值點(diǎn)時(shí)，最速下降法會(huì)出現(xiàn)鋸齒現(xiàn)象，導(dǎo)致收斂速度慢。（，）外點(diǎn)懲罰函數(shù)法的懲罰因子降低系數(shù)越小，則迭代次數(shù)越多。（，）梯度法求解無約束優(yōu)化問題的迭代過程中相鄰兩次迭代方向?qū)Ｙ惥仃嚬草V。（X ）數(shù)值迭代法求極值的核心就是建立搜索方向和計(jì)算最佳步長(zhǎng)。（，）海賽矩陣負(fù)定的充要條件是它的各階主子式都大于零。（X ）拉格朗日乘子法師求解無約束優(yōu)化問題的一種方法。（X ）凸規(guī)劃的任何局部最優(yōu)解就是全局最優(yōu)解。（，）一維搜索的二次插值法用到了點(diǎn)的函數(shù)值，一階導(dǎo)數(shù)和二階導(dǎo)數(shù)信息。（X）二元函數(shù)等值線稀疏的區(qū)域函數(shù)值變化慢。（，）海賽矩陣正定的充

13、要條件是它的主子式都小于零。（X ）外點(diǎn)懲罰函數(shù)法師只試用于不等式約束問題（X）變尺度法求解優(yōu)化問題時(shí)需計(jì)算海賽矩陣（X ）梯度法求解無約束優(yōu)化問題的迭代過程中相鄰兩次迭代方向相互垂直。（，）四、問答題1 .什么是一維搜索問題？答：當(dāng)方向dk給定時(shí)，求最佳步長(zhǎng) o(k就是求一元函數(shù)f (xk4) = f (xk +o(kdk)=中(如)的極值問題，它稱為一維搜索。2 .試述兩種一維搜索方向的原理，它們之間有何區(qū)別？答：搜索的原理是：區(qū)間消去法原理區(qū)別：(1)、試探法：給定的規(guī)定來確定插入點(diǎn)的位置，此點(diǎn)的位置確定僅僅按照區(qū) 間的縮短如何加快，而不顧及函數(shù)值的分布關(guān)系，如黃金分割法(2)、插值法：

14、沒有函數(shù)表達(dá)式，可以根據(jù)這些點(diǎn)處的函數(shù)值，利用插值方法建立函 數(shù)的某種近似表達(dá)式，近而求出函數(shù)的極小點(diǎn)，并用它作為原來函數(shù)的近似值。這種 方法稱為插值法，又叫函數(shù)逼近法。3 .共軻梯度法是利用梯度求共軻方向的，那共軻方向與梯度之間有什么關(guān)系？1f XXtGX bTX c k對(duì)于二次函數(shù)，2，從X點(diǎn)出發(fā)，沿G的某一共軻方向,kk 1k 1jd作一維搜索，到達(dá) X 點(diǎn)，則X 點(diǎn)處的搜索方向d應(yīng)滿足ml(x,r1，r2)= f (x) rG(g“x) 2" H(hk(x) j TIy(d ) (gk書-gk )=0,即終jk TkkjX 與始點(diǎn)X的梯度之差gk+ gk與d的共軻方向d正交。

15、3.懲罰函數(shù)法求解約束優(yōu)化問題的基本原理是什么？答：懲罰函數(shù)求解約束優(yōu)化問題的基本原理是將約束優(yōu)化問題min f (x)s.t.gj (x) <0 (j =1,2； ,m)hk (x) =0(k =1,2, ,l)中的不等式和等式約束優(yōu)化函數(shù)經(jīng)過加權(quán)轉(zhuǎn)化后，和原目標(biāo)函數(shù)結(jié)合成新的目標(biāo)函數(shù)-懲罰函數(shù)，即求解該新的目標(biāo)函數(shù)的無約束極小值，以期得到原問題的約束最 優(yōu)解。4.與最速下降法和牛頓法比較，試述變尺度法的特點(diǎn)。答：牛頓法對(duì)于二次正定函數(shù)只需作一次迭代就得到最優(yōu)解，特別是在極小點(diǎn)附近， 收斂性很好、速度快，而最速下降法在極小點(diǎn)附近收斂速度很差。但牛頓法也有缺點(diǎn)， 它要求初始點(diǎn)在最優(yōu)點(diǎn)附近

16、，否則牛頓法不能保證其收斂，甚至也不是下降方向。因 此，變尺度法就是在克服了梯度法收斂速度慢和牛頓法計(jì)算量、存儲(chǔ)量大的特點(diǎn)基礎(chǔ) 上而發(fā)展起來。6,試述數(shù)值解法求最佳步長(zhǎng)因子的基本思路。答主要用數(shù)值解法，利用計(jì)算機(jī)通過反復(fù)迭代計(jì)算求得最佳步長(zhǎng)因子的近似值.7,寫出應(yīng)用數(shù)學(xué)規(guī)劃法求解優(yōu)化設(shè)計(jì)問題的數(shù)值迭代公式，并說明公式中各變量的意義，并說明迭代公式的意義。X1=x0+a0d0.答：意義是從 X0出發(fā)沿某一規(guī)定方向d0求函數(shù)的極值點(diǎn)，設(shè)此點(diǎn)為X1,再從X1出發(fā)沿di方向求函數(shù)的極值點(diǎn) X2,如此繼續(xù)。8,變尺度矩陣的搜索方向是什么？變尺度矩陣應(yīng)滿足什么條件？變尺度矩陣在極小點(diǎn) 處逼近什么矩陣？并寫

17、出其初始形式。答：搜索方向是擬牛頓方向S (0)=-A(0) f(X(k)，條件：(1)為保證迭代公式具有下降的性質(zhì)，要求變尺度矩陣中的每一個(gè)矩陣都是對(duì)稱正定的。(2)要求矩陣之間具有簡(jiǎn)單的形式：H k , = H k + Ek。(3)要求矩陣必須滿足擬牛頓條件。變尺度矩陣在 極小點(diǎn)處逼近海塞矩陣的逆矩陣。初始形式Hk=I (單位矩陣)。T kgkd <0,也就是9,在變尺度法中，變尺度矩陣Hk為什么要求都是正定對(duì)稱的?答：因?yàn)槿粢笏阉鞣较?dk =一“©卜為下降方向，即要求 一8"8 <0,這樣gkHkgk>0,即Hk應(yīng)為對(duì)稱正定。10 .什么是共軻方

18、向？滿足什么關(guān)系？共軻與正交是什么關(guān)系?答：共軻方向是若干個(gè)方向矢量組成的方向組，具有某種共同的性質(zhì)，之間存在特定T的關(guān)系。存在矩陣H,向量d1, d2,當(dāng)滿足d1 Hd2=0,向量d1和向量d2是關(guān)于H 共軻方向。共軻是正交的推廣，正交是共軻的特例。11 .請(qǐng)寫出應(yīng)用MATLA就化工具箱處理約束優(yōu)化設(shè)計(jì)問題的基本步驟。答：(1)編寫定義目標(biāo)函數(shù)的M-件如：functionf =ws331(x)f=1000-x(1)A2-2*x(2)A2-x(3)A2-x(1)*x(2)-x(1)*x(3)(2)編寫定義約束方程函數(shù)的M文件如：functionc,ceq =ws332(x)C (小于等于 0)

19、 =-x(1);-x(2);-x(3);Ceq (等于 0) =x(1)A2+x(2)A2+x(3)A2-25;8*x(1)+14*x(2)+7*x(3)-56;(3)在窗口調(diào)用求解命令求解.。求解格式為：x0=-1,1x, fval=fmincon(fun1 ,x0, con)12 .試述求解無約束優(yōu)化問題的最速下降法與牛頓型方法的優(yōu)缺點(diǎn)。答：最速下降法此法優(yōu)點(diǎn)是直接、簡(jiǎn)單，頭幾步下降速度快。缺點(diǎn)是收斂速度慢，越 到后面收斂越慢。牛頓法優(yōu)點(diǎn)是收斂比較快，對(duì)二次函數(shù)具有二次收斂性。缺點(diǎn)是每 次迭代需要求海塞矩陣及其逆矩陣，維數(shù)高時(shí)及數(shù)量比較大。13 .何為優(yōu)化設(shè)計(jì)的可行設(shè)計(jì)域和可行設(shè)計(jì)點(diǎn)?答：

20、可行域：滿足所有約束條件的設(shè)計(jì)點(diǎn)，它在設(shè)計(jì)空間中的活動(dòng)范圍稱作可行域。在 可行域內(nèi)的任意一點(diǎn)可以叫做可行設(shè)計(jì)點(diǎn)。14 .無約束優(yōu)化問題數(shù)值求解的一般步驟是什么？答：(1)編寫 M件，function f =fun1(x)如 f=xA4-5*xA3+4*xA2-6*x+60目標(biāo)函數(shù)文件。(2)在命令窗口中調(diào)用無約束線性函數(shù)fminunc求解。(單變量用 fminbnd )求解格式為：x0=-1,1x, fval=fminunc(fun1,x0)五、解答題1 .試用牛屯法求f (x ) = (x1-2 2十(x1-2x2f的最優(yōu)解，設(shè)初始點(diǎn)x(°)=b,1。2 .設(shè)有函數(shù)f (X )=x； +2x2 -2x1x2 -4x1，試?yán)脴O值條件求其極值點(diǎn)和極值。3 .試用梯度法求目標(biāo)函數(shù)f (X )=1.5x2+0.5x2 -xe-2x)的最優(yōu)解，設(shè)初始點(diǎn)xf)= 1-2,4，迭代精度3 = 0.02 (迭代一步)。4 .求目標(biāo)函數(shù)f (X )=x； +2x2 +x1x2+4x1 +6x2 +10的極