7曲線積分與路徑的無關性

1、7.4 曲線積分與路徑的無關性曲線積分與路徑的無關性一、曲線積分與路徑無關的定義一、曲線積分與路徑無關的定義設設D是開區(qū)域，是開區(qū)域， ,P x yQ x y在在D內具有一階連續(xù)偏導數內具有一階連續(xù)偏導數.如果如果D內任意兩個指定點內任意兩個指定點A, B以及在以及在D內從點內從點A到點到點B的任的任意兩條曲線意兩條曲線L1，L2有：有：12LLPdxQdyPdxQdy恒成立，恒成立，則稱曲線積分則稱曲線積分 在在D內內與路徑無關與路徑無關,LPdxQdy 二、平面曲線積分與路徑無關的條件二、平面曲線積分與路徑無關的條件1定理定理、DPQD設 為單連通域,在 上具有一階連續(xù)設 為單連通域,在

2、上具有一階連續(xù)偏導數,則偏導數,則(1)LDPdxQdy 在 內與路徑無關在 內與路徑無關(2)0,LPdxQdyLD 閉曲線閉曲線可得如下四個等價命題：可得如下四個等價命題： (4),DPdxQdyu x y 在 內為某一函數的全微分,在 內為某一函數的全微分,(3)(3),PQDyx 在 內在 內(4)12,LLPdxQdyPdxQdy12LLPdxQdyPdxQdy 120,LLPdxQdyPdxQdy 0.LPdxQdy (1)(2)(1)(2)證明(2)(3)0.LPdxQdy ,uuPQxy 用定義證明用定義證明( , )M x y00( ,)M x y(, )Nxx y 0M M

3、PdxQdy 當起點固定時只與終點有關，記當起點固定時只與終點有關，記000( , )(,)( , )x yM MxyPdxQdyPdxQdyu x y000(, )(,)(, )xx yxyM MMNu xx yPdxQdy (, )( , )( , )xxMNxu xx yu x yP x y dx (, ),(01)P xx yx 中中值值定定理理(,)uPxyx (,)uQ xyy 同同 理理 ：34（ ） （ ）（ ） （ ）,uuPQxy 22,uPuQx yyy xx PQyx 偏偏 導導 連連 續(xù)續(xù)41（ ） （）()0LDQPPdxQdydxdyxy12LLPdxQdyPdx

4、QdyQPxy 1“” ,DL如果 內有一個洞為包圍這個“洞”的如果 內有一個洞為包圍這個“洞”的2L任意閉曲線,為挖掉該“洞”的任意閉曲線,任意閉曲線,為挖掉該“洞”的任意閉曲線,12、LL其中均取逆時針方向.其中均取逆時針方向.則則 3,P x yQ x yD定理設在某復連通域 內具定理設在某復連通域 內具 D有一階連續(xù)偏導數,且在 內恒有有一階連續(xù)偏導數,且在 內恒有2解解23.15 Qx 原積分與路徑無關原積分與路徑無關 例例1 計算計算 . .其中其中L224(2)()Lxxy dxxydy (0, 0)O(1, 1)Bsin2xy 為由點為由點 到點到點 的曲線弧的曲線弧 .Py

5、2(2)xxyy 2x 24()xyx 2x PQyx 故故 原式原式 120 x dx 140(1)ydy 解解2()2,Pxyxyyy( )( ),Qyxyxxx 2( ,),P xyxy ( ,)( ),Q xyyx 例例2 設曲線積分設曲線積分 與路徑無關與路徑無關, , 2( )Lxy dxyx dy (1,1)2(0,0)( )xy dxyx dy (0)0 其中其中 具有連續(xù)的導數具有連續(xù)的導數, , 且且 , , 計算計算: :PQyx積分與路徑無關積分與路徑無關，100dx 1.2 2( )xxc 2( )xx ( )2yxxy (0)0 由由0c 知知故故 (1,1)2(0

6、,0)( )xy dxyx dy 10ydy (1,1)22(0,0)xy dxx ydy 解解Py Qx 例例3 計算計算(sin)(cos)xxLIeymy dxeym dy 22,0,0 xyaxym( ,0)a(0,0)其中其中L為由點為由點 到點到點 的上半圓周的上半圓周(sin)xeymyy cosxeym(cos)xeymx cosxey QPmxyL OA Ddxdym,82am OA , 0 082 am.82am I OAL OAI L OAOA ()DQPdxdyxy 00adx () 0 xem(sin)(cos)xxLIeymy dxeym dy 22Lxy dxxy

7、 dyxy 例4 求,其中 例4 求,其中 1 LL為不包圍原點的任意閉曲線, 取逆時針方向;為不包圍原點的任意閉曲線, 取逆時針方向; 2 LL為包圍原點的任意閉曲線, 取逆時針方向.為包圍原點的任意閉曲線, 取逆時針方向.D 1 解解LD所圍成的區(qū)域 為單連通域,所圍成的區(qū)域 為單連通域, 220.Lxy dxxy dyxy 22222,QPxxyyxyxy 2 解解,QPDxy 復連通域,又在 上復連通域,又在 上1cos ,：sin ,xRLyR 作取逆時作取逆時 針方向,針方向,L 220cossinsincossincosRRRRRRdR 2 . 0,0 ,LD因為 所圍成的閉區(qū)域

8、包含原點所以 為因為 所圍成的閉區(qū)域包含原點所以 為 122Lxy dxxy dyxy 224,4Lxy dxxy dyIxy 例5 求其中例5 求其中 221,011,0 .Lxy從點沿上半圓到點從點沿上半圓到點 22222844QPxxyyxyxy 解解所以在不包含原點的單連通區(qū)域內曲線積分所以在不包含原點的單連通區(qū)域內曲線積分與路徑無關與路徑無關. 1,0L為了計算方便，將路徑 換成從點沿上為了計算方便，將路徑 換成從點沿上 22411,0 ,xy半橢圓周到點半橢圓周到點其參數方程為:其參數方程為:1cos ,sin ,0,2xt yt t 從 變到從 變到 011cossinsinco

9、s2sincos22tttttt dt 2244Lxy dxxy dyIxy 2201sincos2tt dt 012dt .2 三、全微分三、全微分 ,P x y dxQ x y dy 對于表達式如果存在對于表達式如果存在 ,：u x y一個函數使得一個函數使得 ,du x yP x y dxQ x y dy ,P x y dxQ x y dyu x y 則表達式稱則表達式稱函數函數為為 ,u x yP x y dxQ x y dy 的全微分,并稱為的全微分,并稱為.的一個原函數的一個原函數當條件滿足時，函數當條件滿足時，函數u(x , y)(不計一常數不計一常數)可由可由曲線積分求出，其形

10、式為：曲線積分求出，其形式為：D定理4 設區(qū)域 是一個單連通域，函數定理4 設區(qū)域 是一個單連通域，函數 ,P x yQ x yD在 內具有一階連續(xù)偏在 內具有一階連續(xù)偏PQyx ,P x y dxQ x y dyD 導數，則在 內為導數，則在 內為 ,:u x y某函數的全微分的充要條件是某函數的全微分的充要條件是D在 內恒成立.在 內恒成立. 00( , )(,),B x yA xyP x y dxQ x y dy 000,( ,)( , )xyxyu x yP x y dxQ x y dy000(, )( , ).yxyxuQ xy dyP x y dx或或定義 如果方程定義 如果方程

11、,0P x y dxQ x y dy ,P x y dxQ x y dy 的左邊恰好是某函數的左邊恰好是某函數 ,u x y 的全微分,則稱方程的全微分,則稱方程 ,0P x y dxQ x y dy為全微分方程.為全微分方程. ,0P x y dxQ x y dy 為全微分方程為全微分方程.PQyx ,0P x y dxQ x y dy若不是全微分方程，若不是全微分方程， ( , ),( , ),0( , )x y P x y dxx y Q x y dyx y 而若而若是全微分方程，叫做方程的一 分因子。是全微分方程，叫做方程的一 分因子。積積 ,0P x y dxQ x y dy若為全微

12、分方程,若為全微分方程, ,u x y則存在函數使得則存在函數使得 ,0,du x yP x y dxQ x y dy ,.u x yC ,0u x yCP x y dxQ x y dy為全微分方程為全微分方程的通解.的通解.應用曲線積分與路徑無關應用曲線積分與路徑無關.xQyP 可得通解如下：可得通解如下：通解為通解為：( , )u x y ,u x y ( , );u x yC 或或000( ,)( , )xyxyP x y dxQ x y dy 000(, )( , )yxyxQ xy dyP x y dx 22，xoyxy dxx ydy 例6驗證在平面內例6驗證在平面內，是某函數的全

13、微分并求出一個這樣的函數.是某函數的全微分并求出一個這樣的函數.2,QPxyxy解解22xy dxx ydy是是 ,u x y某函數的全微分.某函數的全微分.000,0,xy取取 ,u x y 200 xxdx 20yx ydy 22.2x y 3232(3)(3)0.xxydxyx y dy求方程求方程的通解的通解解解6,PQxyyx 是全微分方程是全微分方程,( , )u x y 44223,442xyx y例例7 730(0)xxdx 44223.442xyx yC原方程的通解為原方程的通解為 3203yyx y dy 00( , )(,)( , ),x yxyu x yP x y dx

14、Q x y dy 常見的全微分表達式常見的全微分表達式 222yxdydyxdx xydxydxxdy2 xydyxydxxdyarctan22 xydxyydxxdyln )ln(212222yxdyxydyxdx yxyxdyxydxxdyln2122222 (1)0.xxy dxxydy 的通解的通解解解將方程左端重新組合將方程左端重新組合, ,有有例例8 8 求微分方程求微分方程22220,xdxxxydxxydy2222()()0,d xxyd xxydy222()()0,d xxyd xy原方程的通解為原方程的通解為32222().3xxyC23.1dyxxydxx 求微分方程的通

15、解求微分方程的通解例例9解解 整理得整理得23()(1)0,xxy dxx dy1,PQyx.是全微分方程是全微分方程A. 用曲線積分用曲線積分法法: :()u x,y 2300()(1)xyxxdxx dy,3434xxyxy34()034xxdyd xydd ，34()0.34xxd yxyB. 湊微分法湊微分法: :23()0,dyxdyydxx dxx dxB.湊微分法湊微分法3434xxyxyC23()(1)0,xxy dxx dyC .不定積分不定積分法法: :23,uxxyx 23()uxxy dx 34,34( )xxxyC y( ),uxCyy 1,uxy 又又( )1,xC

16、yx ( )1,Cy ( ),C yy 原方程的通解為原方程的通解為34.34xxyxyC23()(1)0,xxy dxx dy 01,x 例10設函數具有連續(xù)的導數,且例10設函數具有連續(xù)的導數,且 ,x 試確定使方程試確定使方程 220 xyyx y dxxxy dy為全微分方程,并求此方程的通解.為全微分方程,并求此方程的通解. 2,2,Pxyyx yQxxy 解解使方程為全微分方程的充要條件是使方程為全微分方程的充要條件是QPxy 即得即得 ,01.xxx 且且此方程為一階線性非齊次方程, 其通解為此方程為一階線性非齊次方程, 其通解為 dxdxxexedxC 1,xCex 01,2,

17、C 由由 21.xxex 所以所以代入所給方程得全微分方程代入所給方程得全微分方程 222210.xxyyyedxexxydy ,20,0,2221x yxxu x yyyyedxexxydy ,01.xxx 且且 0221yxexxydy 22.xyexyxyy 因此,方程的通解為因此,方程的通解為22.xyexyxyyC ,20,0,2221x yxxu x yyyyedxexxydy 四、空間曲線積分與路徑無關的條件四、空間曲線積分與路徑無關的條件定理定理 設在某曲面單連通域設在某曲面單連通域G內，函數內，函數 , ,、, ,、, ,P x y zQ x y zR x y zG在 內具有在 內具有一階連續(xù)偏導數,則空間曲線的曲線積分一階連續(xù)偏導數,則空間曲線的曲線積分LPdx QdyRdz GG在 內與路徑無關 或沿 內任意閉曲線的曲線在 內與路徑無關 或沿 內任意閉曲線的曲線 G積分為零的充分必要條件是在 內恒有積分為零的充分必要條件是在 內恒有0ijkxxxPQR 四個等價命題見四個等價命題見P201 000, ,