曲線積分與曲面積分習(xí)題及答案

1、第十章 曲線積分與曲面積分(A)1計(jì)算，其中為連接及兩點(diǎn)的連直線段。2計(jì)算，其中為圓周。3計(jì)算，其中為曲線，。4計(jì)算，其中為圓周，直線及軸在第一角限內(nèi)所圍成的扇形的整個(gè)邊界。5計(jì)算，其中為內(nèi)擺線，在第一象限內(nèi)的一段弧。6計(jì)算，其中為螺線，。7計(jì)算，其中為拋物線上從點(diǎn)到點(diǎn)的一段弧。8計(jì)算，其中是從點(diǎn)到點(diǎn)的直線段。9計(jì)算，其中是從點(diǎn)到點(diǎn)的一段直線。10計(jì)算，其中為擺線，的一拱(對(duì)應(yīng)于由從0變到的一段弧)：11計(jì)算，其中是：1）拋物線上從點(diǎn)到點(diǎn)的一段??；2）曲線，從點(diǎn)到的一段弧。12把對(duì)坐標(biāo)的曲線積分化成對(duì)弧和的曲經(jīng)積分，其中為：1）在平面內(nèi)沿直線從點(diǎn)到；2）沿拋物線從點(diǎn)到點(diǎn)；3）沿上半圓周從點(diǎn)到點(diǎn)

2、。13計(jì)算其中為，且從大的方向?yàn)榉e分路徑的方向。14確定的值，使曲線積分與積分路徑無(wú)關(guān)，并求，時(shí)的積分值。15計(jì)算積分，其中是由拋物線和所圍成區(qū)域的正向邊界曲線，并驗(yàn)證格林公式的正確性。16利用曲線積分求星形線，所圍成的圖形的面積。17證明曲線積分在整個(gè)平面內(nèi)與路徑無(wú)關(guān)，并計(jì)算積分值。18利用格林公式計(jì)算曲線積分，其中為正向星形線。19利用格林公式，計(jì)算曲線積分，其中為三頂點(diǎn)分別為、和的三角形正向邊界。20驗(yàn)證下列在整個(gè)平面內(nèi)是某函數(shù)的全微分，并求這樣的一個(gè)，。21計(jì)算曲面積分，其中為拋物面在平面上方的部分。22計(jì)算面面積分，其中為平面和三坐標(biāo)閏面所圍立體的整個(gè)表面。24求拋物面殼的質(zhì)量，殼的

3、度為。25求平面介于平面，和之間部分的重心坐標(biāo)。26當(dāng)為平面內(nèi)的一個(gè)閉區(qū)域時(shí)，曲面積分與二重積分有什么關(guān)系？27計(jì)算曲面積分其中為柱面被平面及所截的在第一卦限部分的前側(cè)。28計(jì)算式中為球殼 的外表面。29反對(duì)坐標(biāo)的曲面積分化成對(duì)面積的曲面積化成對(duì)面積的曲面積分，其中是平面在第一卦限的部分的上側(cè)。30利用高斯公式計(jì)算曲面積：1），其中為平面，所圍成的立體的表面和外側(cè)。2），其中為柱面與平面，所圍立體的外表面。31計(jì)算向理穿過(guò)曲面流向指定側(cè)的通量：1），為立體，流向外側(cè)；2），為橢球面，流向外側(cè)。32求向理場(chǎng)的散度。33利用斯托克斯公式計(jì)算曲經(jīng)積分其中為圓周，若從軸正向看去，這圓周取逆時(shí)針?lè)较颉?

4、4證明，其中為圓柱面與的交線。35求向量場(chǎng)，其中為圓周，。36求向量場(chǎng)的旋度。37計(jì)算，其中為用平面切立方體，的表面所得切痕，若從軸的下向看去與逆時(shí)針?lè)较颉?B)1計(jì)算，其中為拋物線由到的一段。2計(jì)算，其中為擺線，一拱。3求半徑為，中心角為24的均勻圓弧(線心度)的重心。4計(jì)算，其中為螺線，。5計(jì)算，其中為空間曲線，上相應(yīng)于從0變到2的這段弧。6設(shè)螺旋線彈簧一圈的方程為，它的線心度為，求：1）它關(guān)于軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量；2）它的垂心。7設(shè)為曲線，上相應(yīng)于從0變到1的曲線弧，把對(duì)坐標(biāo)的曲線積分化成對(duì)弧長(zhǎng)的曲線積分。8計(jì)算，其中為圓周(按逆時(shí)針?lè)较蚶@行)。9計(jì)算，其中為曲線，從到的一段。10計(jì)算，其中為方

5、向?yàn)樵龃蟮姆较颉?1驗(yàn)證曲線積分與路徑無(wú)關(guān)并計(jì)算積分值。12證明當(dāng)路徑不過(guò)原點(diǎn)時(shí)，曲線積分與路徑無(wú)并，并計(jì)算積分值。13利用曲線積分求橢圓的面積。14利用格林公式計(jì)算曲線積分，其中是圓周上由點(diǎn)到點(diǎn)的一段弧。15利用曲線積分，求笛卡爾葉形線的面積。16計(jì)算曲線積分，其中圓周，的方向?yàn)槟鏁r(shí)針?lè)较颉?7計(jì)算曲面積分，其中為拋物面在平面上的部分。18計(jì)算，其中是錐面被柱面所截得的有限部分。19求面心度為的均勻半球殼對(duì)于軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。20求均勻的曲面被曲面所割下部分的重心的坐標(biāo)。21計(jì)算曲面積分，其中。22計(jì)算，其中是平面，所圍成的空間區(qū)域的整個(gè)邊界邊界曲面的外例。23計(jì)算，其中為橢球面。24計(jì)算，式中

6、為圓錐面的外表面。25設(shè)，是兩個(gè)定義在閉區(qū)域上的具有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)的函數(shù)，、依次表示，沿外法線方向的方向?qū)?shù)。證明：，其中是空間閉區(qū)域的整個(gè)邊界曲面，這個(gè)公式叫做格林第二公式。26利用斯托克斯公式計(jì)算曲線積分其中是螺旋線，從到的一段。27設(shè)是有兩階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，求證：。(C)1求曲線的弧長(zhǎng)，從到。2計(jì)算，其中為懸鏈線。3求均勻的弧，的重心坐標(biāo)。4計(jì)算，其中是沿由點(diǎn)逆時(shí)針?lè)较虻降陌雸A周。5設(shè)在內(nèi)有連續(xù)的導(dǎo)函數(shù)，求，其中是從點(diǎn)到點(diǎn)的直線段。6計(jì)算，沿著不與軸相交的路徑。7已知曲線積分與路徑無(wú)關(guān)，是可微函數(shù)，且，求。8設(shè)在平面上有構(gòu)成內(nèi)場(chǎng)，求將單位質(zhì)點(diǎn)從點(diǎn)移到場(chǎng)力所作的功。9已知曲線積分，其中為逆時(shí)針

7、方向曲線：1）當(dāng)為何值時(shí)，使？2）當(dāng)為何值時(shí)，使取的最大值？并求最大值。10計(jì)算其中為曲面的下側(cè)。11計(jì)算，其中的方程為。12計(jì)算曲面積分，其中是曲線繞軸旋轉(zhuǎn)一周所得曲面的外側(cè)。13計(jì)算，其中為由點(diǎn)到點(diǎn)的上半圓周14證明與路徑無(wú)關(guān)，其中不經(jīng)過(guò)直線，且求的值。15求圓錐的側(cè)面關(guān)于軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。16選擇，值使為某個(gè)函數(shù)的全微分，并求原函數(shù)。17計(jì)算曲面積分，其中為曲面，平面，所圍立體外面的外側(cè)。18證明1）；2）第十章 曲線積分與曲面積分(A)1解：兩點(diǎn)間直線段的方程為：， 故 所以。2解：的參數(shù)方程為， 則 所以 3解：故4解：如圖：，：，：， 5解： 6解：。7解：8解：直線段的方程為，化成參

8、數(shù)方程為 ，從1變到0 故 9解：直線的參數(shù)方程為，() 10解： 11解：1)原式 2)原式 12解：1）的方向余弦，2），故3），故13解：因?yàn)?故原積分與路徑無(wú)關(guān)，于是原式 。14解：，由，得，解得故當(dāng)時(shí)，所給積分與路徑無(wú)關(guān) 取計(jì)算，其中，15解：原式 又 16解取，可得面積設(shè)為在第I象限部分的面積，由圖形的對(duì)稱性所求面積 注：還可利用17解：， ， 因?yàn)?，所以積分與路徑無(wú)關(guān) 取路徑 原式18解：， 原式。19解：， 原式 20解：1），故是某個(gè)的全微分。2）， 21解：，故原式 22解：原式 這里為在第一象限部分23解：，原式 24解： 25解：平面這部分的面積因而 故重心坐標(biāo)為26解

9、：因?yàn)榍娣e分有向曲面，所以當(dāng)積分曲面取在的上側(cè)時(shí)為正號(hào)，取在下側(cè)時(shí)為負(fù)號(hào)27，解：，面積為0，原式。28解：根據(jù)輪換對(duì)稱，只要計(jì)算 ： 注意到：，再利用極坐標(biāo)可得 于是原式29解：原式，這里，是的法向理的方向余弦而是平面在第一卦限部分的上側(cè)，取。，故原式。30解：1） 原式 20， 故原式。31解： 2） 。32解：，故33解：取為平面，被所圍成的部分的上側(cè)，的面積為，的單位法向量為原式 。34證：平面的單位法向理由斯托克斯公式得左邊 35解：閉曲線是平面上的圓周(逆時(shí)針?lè)较?，它的參數(shù)方程為，故環(huán)流量為.36解：。37解：證平面合科立方體內(nèi)的部分為，它在平面上的射影為，面積為，取平面的上側(cè)

10、，單位法向量，于是由斯托克斯公式得原式 。(B)1解：的參數(shù)方程，則所以2解： 所以 3解：取坐標(biāo)系如圖，設(shè)重心坐標(biāo)為，由扇形的對(duì)稱性可知，又4解： 所以5解 所以 6解： 1） 2） 7解：由，得，故 故8解：圓周的參數(shù)方程為，故9解： 10解：如圖，：，：故原式 11解：由于， 又，故曲線積分與路徑無(wú)關(guān)，取折線，則原式。 12解：由于，又故當(dāng)路徑不過(guò)原點(diǎn)時(shí)，該曲線積分與路徑無(wú)關(guān)，取折線，得原式13解：取參數(shù)方程，面積14解：不是閉曲線，要用格林公式，先得補(bǔ)添路徑，使其封閉，如圖，因?yàn)楣?，所以原?5解：作代換，得曲線的參數(shù)方程 ，由于， 從而，故面積 16解：由于時(shí)，被積函數(shù)無(wú)意義，故所包

11、圍的區(qū)域不滿足格林公式的條件，作一小圓挖去原點(diǎn)，作逆時(shí)針?lè)较虻膱A周：，使全部補(bǔ)所包圍，在和為邊界的區(qū)域內(nèi)，根據(jù)格要公式，有 ，故上式為零。17解：， 原式 18解：， 原式 。19解：半球殼的方程為 ： 。20解：質(zhì)量為從而垂心的坐標(biāo)為 即重心坐標(biāo)為。21解：由于曲面得分成上下兩部分，記成，又由解得：，所以 22解：證在，平面上的部分分別為，在面上的部分為。故原式 (另解：可求得，由對(duì)稱性可得原式也可用高斯公式)23解：，由輪換對(duì)稱，只要計(jì)算積分再利用廣義極坐標(biāo)可得于是原式。24解：證，分別為錐面的底面和側(cè)面而，為錐面外法線的方向余弦：，則 又對(duì)上的任一點(diǎn)有故在各坐標(biāo)平面上射影分別為，于是 故原式25證：由格林第一公式得同理兩式相減得：。26解：設(shè)，其中為從到的直線段，則為封閉曲線，由斯托克斯公式得，其中是以為邊界且與構(gòu)成右手系的任曲面。 27證： (C)1解：，于是當(dāng)時(shí)，有當(dāng)時(shí)，有故當(dāng)時(shí)，有2解：，于是 3解： 質(zhì)量為 于是垂心坐標(biāo)為 4解： ， 但，又 原式5解：，故當(dāng)時(shí)，因此只要路徑不過(guò)軸，點(diǎn)到點(diǎn)的曲線積分與路徑無(wú)關(guān)，取路徑，有原式 6解：時(shí)，有， 改右半平面，由于是單連通區(qū)域，且在其上，故在上的是某函數(shù)的全微分，且可取 于是原式7解：， ，即解此一階線性微分方程得 由得，故所求函數(shù)為8解：所求的功， ， 當(dāng)時(shí)，此積分與路徑無(wú)關(guān)故