MATLAB中的插值運算

1、MATLAB中的插值運算 在數(shù)學中，有時需要查表，如對數(shù)表。在具體查表時，需要的數(shù)據(jù)表中可能沒有，這時一般可以先找出它相鄰的數(shù)，再從表中查出其相應(yīng)結(jié)果，然后按一定的關(guān)系把這些相鄰的數(shù)以及它相應(yīng)的結(jié)果加以修正，就可求出要查數(shù)的數(shù)據(jù)結(jié)果的近似值，這個修正關(guān)系就是一種插值。在實踐中，常常需要測量某些數(shù)據(jù)，但由于客觀條件的限制，所測得的數(shù)據(jù)可能不夠細密，滿足不了實踐的需要，這時便可以通過插值方法對數(shù)據(jù)進行加密處理。此外，對于給定的離散數(shù)據(jù)對，如果要找一個函數(shù)來近似描述其對應(yīng)關(guān)系，常常也需要插值。與插值有關(guān)的MATLAB 函數(shù) (一) POLY2SYM 函數(shù) 主要功能：把多項式的系數(shù)向量轉(zhuǎn)換為符號多項式

2、。調(diào)用格式一：poly2sym (C) 調(diào)用格式二：f1=poly2sym(C,'V') 或 f2=poly2sym(C, sym ('V') ), (二) POLYVAL 函數(shù) 主要功能：估計多項式的值。調(diào)用格式：Y = polyval(P,X) (三) POLY 函數(shù) 主要功能：把根轉(zhuǎn)換為多項式的系數(shù)向量。調(diào)用格式：Y = poly (V)(四) CONV 函數(shù) 主要功能：計算卷積和多項式的和。調(diào)用格式：C =conv (A, B) (五) DECONV 函數(shù) 主要功能：計算逆卷積和多項式的除法、商和余式。調(diào)用格式：Q,R =deconv (B,A) (六)

3、 roots(poly(1:n)命令 調(diào)用格式：roots(poly(1:n) (七) det(a*eye(size (A) - A)命令 調(diào)用格式：b=det(a*eye(size (A) - A)1.Lagrange插值方法介紹 對給定的n個插值點及對應(yīng)的函數(shù)值 ，利用n次Lagrange插值多項式，則對插值區(qū)間內(nèi)任意x的函數(shù)值y可通過下式求的： MATLAB中沒有直接實現(xiàn)拉格朗日算法的函數(shù)所以需建立M 文件：function y=lagrange (a,b,x) y=0; for i=1:length(a) l=1; for j=1:length(b) if j=i l=l; else

4、l=l.*(x-a(j)/(a(i)-a(j); end end y=y+l*b(i); end算例：給出f(x)=ln(x)的數(shù)值表，用Lagrange計算ln(0.54)的近似值。>> x=0.4:0.1:0.8;>> y=-0.916291,-0.693147,-0.510826,-0.356675,-0.223144;>> lagrange(x,y,0.54)ans = -0.6161優(yōu)缺點： 拉格朗日插值法的公式結(jié)構(gòu)整齊緊湊，在理論分析中十分方便，然而在計算中，當插值點增加或減少一個時，所對應(yīng)的基本多項式就需要全部重新計算，于是整個公式都會變化，非

5、常繁瑣。這時可以用重心拉格朗日插值法或牛頓插值法來代替。此外，當插值點比較多的時候，拉格朗日插值多項式的次數(shù)可能會很高，因此具有數(shù)值不穩(wěn)定的特點，也就是說盡管在已知的幾個點取到給定的數(shù)值，但在附近卻會和“實際上”的值之間有很大的偏差。這類現(xiàn)象也被稱為龍格現(xiàn)象，解決的辦法是分段用較低次數(shù)的插值多項式。2、Runge現(xiàn)象和分段插值問題的提出：根據(jù)區(qū)間a,b上給出的節(jié)點做插值多項式p(x)的近似值，一般總認為p(x)的次數(shù)越高則逼近f(x)的精度就越好，但事實并非如此。反例： 在區(qū)間-5,5上的各階導(dǎo)數(shù)存在，但在此區(qū)間上取n個節(jié)點所構(gòu)成的Lagrange插值多項式在全區(qū)間內(nèi)并非都收斂。 取n=10,

6、用Lagrange插值法進行插值計算。>> x=-5:1:5; y=1./(1+x.2); x0=-5:0.1:5;>> y0=lagrange(x,y,x0);>> y1=1./(1+x0.2);%繪制圖形>> plot(x0,y0,'-r')%插值曲線>> hold on>> plot(x0,y1,-b')%原曲線 為解決Rung問題，引入分段插值。算法分析：所謂分段插值就是通過插值點用折線或低次曲線連接起來逼近原曲線。MATLAB實現(xiàn)： 可調(diào)用內(nèi)部函數(shù)。命令 ：interp1功能 ： 一維數(shù)據(jù)

7、插值（表格查找）。該命令對數(shù)據(jù)點之間計算內(nèi)插值。它找出一元函數(shù)f(x)在中間點的數(shù)值。其中函數(shù)f(x)由所給數(shù)據(jù)決定。格式：yi = interp1(x,Y,xi,method) %用指定的算法計算插值： nearest：最近鄰點插值，直接完成計算； linear：線性插值（缺省方式），直接完成計算； spline：三次樣條函數(shù)插值。 cubic： 分段三次Hermite插值。例題：對 進行Lagrange插值>> x0=-1+2*0:10/10; >> y0=1./(1+25*x0.2);>> x=-1:.01:1;>> y=lagrange(x0,y0,x); % Lagrange 插值>&