橢圓與雙曲線常見題型歸納

1、橢圓與雙曲線常見題型歸納一 .“曲線方程 +直線與圓錐曲線位置關(guān)系”的綜合型試題的分類求解1. 向量綜合型例 1. 在直角坐標(biāo)系 xOy 中，點(diǎn) P 到兩點(diǎn) (0, 3),(0,3) 的距離之和為 4，設(shè)點(diǎn) P 的軌跡為 C , 直線y kx 1 與 C 交于 A, B 兩點(diǎn)。 （）寫出 C 的方程 ;uuuruuur（）若 OAOB ，求 k 的值。例 2設(shè) F1 、F2 分別是橢圓 x2y 2uuuruuuur1的左、右焦點(diǎn) . （）若 P 是該橢圓上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)， 求 PF1PF24的最大值和最小值 ; （）設(shè)過定點(diǎn) M ( 0,2) 的直線 l 與橢圓交于不同的兩點(diǎn)A 、 B ，且 AO

2、B為銳角（其中 O 為坐標(biāo)原點(diǎn)），求直線 l 的斜率 k 的取值范圍2例 3 設(shè) F1 、 F2 分別是橢圓 xy 21的左、右焦點(diǎn)， B(0, 1) （）若 P 是該橢圓上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，4uuuruuuur求 PF1 PF2 的最大值和最小值 ; （）若 C為橢圓上異于B 一點(diǎn)，且 BF1CF1 ，求的值；（）設(shè) P 是該橢圓上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，求PBF1 的周長的最大值 .例 已知中心在原點(diǎn)的雙曲線C的右焦點(diǎn)為(2,0)，右頂點(diǎn)為 ( 3,0)4(1) 求雙曲線 C 的方程； (2)若直線 l ： ykx2 與雙曲線 C 恒有兩個(gè)不同的交點(diǎn)A和 B，且OA OB2 ( 其中 O為原點(diǎn) ) ，求 k

3、 的取值范圍。例 5已知橢圓 x2y2（ ）的離心率 e6 ，過點(diǎn)（ ， ）的直線與原點(diǎn)a 2b2a b 03A（0，- b）和 B a 0的距離為3（ ）求橢圓的方程（ ）已知定點(diǎn) E（-1， ），若直線 ykx （k ）與橢圓交于212020C、D兩點(diǎn)問：是否存在k 的值，使以 CD為直徑的圓過 E 點(diǎn) ?請說明理由2“中點(diǎn)弦型”例 6. 已知橢圓 x2y21 ，試確定 m 的值，使得在此橢圓上存在不同兩點(diǎn)關(guān)于直線y 4x m 對稱。43例 7. 已知雙曲線的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在 x 軸上，離心率 e3，焦距為 2 3（I ）求該雙曲線方程 . （II ）是否定存在過點(diǎn) P (1 ，1）的直

4、線 l 與該雙曲線交于 A ， B 兩點(diǎn)，且點(diǎn) P 是線段 AB 的中點(diǎn)？若存在，請求出直線 l 的方程，若不存在，說明理由 .例 已知橢圓的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)為 F1 (0，2 2)，F(xiàn)2（，22 ），且離心率 e2 2 。803（ I ）求橢圓的方程；（II ）直線 l （與坐標(biāo)軸不平行）與橢圓交于不同的兩點(diǎn)A、B，且線段 AB中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為1 ，求直線 l 傾斜角的取值范圍。23“弦長型”例 9直線 ykx b 與橢圓 x2y21交于、兩點(diǎn)，記的面積為4A BAOBS(I) 求在 k 0，0b1 的條件下， S 的最大值；（ ) 當(dāng) AB 2， S 1 時(shí)，求直線 AB的方程yAOxBur

5、rurr例 已知向量 m1= （0，x）， n1（ ， ）， m2=（x ， ）， n2 （y2， ）（其中 x，y 是實(shí)數(shù)），又10= 1 10=1ur urrrurrurrC.（）求曲線 C設(shè)向量 m = m1 + 2n2 ， n =m22 n1 ，且 m /n ，點(diǎn) P（x，y）的軌跡為曲線的方程；（）設(shè)直線 l : ykx1與曲線 C交于M、 N兩點(diǎn)，當(dāng)|MN 42 時(shí)，求直線 l 的方程.|=3.二“基本性質(zhì)型”例 11設(shè)雙曲線C1 的方程為x2y21(a0, b 0)， 、為其左、右兩個(gè)頂點(diǎn)，P是雙曲線C1上的a2b2A B任一點(diǎn)，引 QB PB, QAPA ， AQ與 BQ相交于

6、點(diǎn) Q。（ 1）求 Q點(diǎn)的軌跡方程；（ 2）設(shè)（ 1）中所求軌跡為 C2 ， C1 、 C2 的離心率分別為 e1 、 e2 ，當(dāng) e12 時(shí)，求 e2 的取值范圍。例 12 P 為橢圓 x 2y 2上一點(diǎn)， F、 F為左右焦點(diǎn)，若FPF260112125 9（ 1）求 F1 PF 2 的面積；（2）求 P 點(diǎn)的坐標(biāo)2 2例 13已知雙曲線與橢圓 x y 1共焦點(diǎn)，且以 y 4x 為漸近線，求雙曲線方程49243例 14. k 代表實(shí)數(shù)，討論方程kx22 y280 所表示的曲線 .例 1.解 :（）設(shè) P（ x，y），由橢圓定義可知， 點(diǎn) P的軌跡 C是以 (0，3)，(0， 3)為焦點(diǎn)， 長

7、半軸為2 的橢圓 它的短半軸b22( 3)21 ，故曲線C 的方程為x2y21 （）設(shè)A(x1, y1 ), B(x2 , y2 ) ，其坐標(biāo)滿足42y2，x41 消去 y 并整理得 (k 24) x22kx30 ，故 xx22k， x x231k241k24ykx1.uuuruuurk 2 x1x2若 OAOB ，即 x1x2y1 y20 而 y1 y2k ( x1x2 ) 1，于是 x1 x2y1 y233k 242k 210 ，化簡得4k210 ，所以 k1k24k 2k242例 2解：（）解法一：易知a2, b 1,c3 ，所以 F13,0, F23,0，設(shè) P x, y，則uuuru

8、uuurx2y2x2x213x2PF1PF23x,y ,3x,y3138因?yàn)?x2,2，故當(dāng)44uuuruuuur2當(dāng) x2，即點(diǎn) P 為橢圓長軸端點(diǎn)時(shí)，uuuruuuurx0，即點(diǎn) P 為橢圓短軸端點(diǎn)時(shí)，PF1PF2有最小值PF1PF2 有最大值 1解法二：易知 a2, b1,c3，所以 F13,0, F23,0，設(shè) Px, y，則uuur2uuuur2uuuur 2uuuruuuuruuuruuuurcosF1PF 2uuuruuuurPF 1PF 2uuuurF1 F2PF 1PF 2PF 1PF 2PF 1PF 2uuur2 PF1PF 21x32x2y2 12x2y3 （以下同解法一

9、）y 2322（）顯然直線x0不滿足題設(shè)條件，可設(shè)直線l : ykx2, Ax1 , y2 , B x2, y2，聯(lián)立ykx2x2y2，14消去 y ，整理得：k 21x24kx30 x1x24k, x1x2314k21k24424 k 134k230得： k3或 k3又 00A0B900cos A0B0uuur uuur由4kOA OB 0，422uuuruuur2 k 2 x1x23k28k2 OA OB x1 x2y1 y2 0又 y1y2kx12 kx22k x1x244k21k 2144.k 21 3k210 ，即 k 242 k2，故由、得2k3或3k 2k21212122kk44

10、4例 3解：（）易知 a2, b1,c3 ，所以 F13,0, F23,0, 設(shè) Px, y, 則uuur uuuurx2y23 x2 1x21 3x2PF1 PF23 x, y , 3 x, y38uuur44因?yàn)?x2,2，故當(dāng) x0 ，即點(diǎn) P 為橢圓短軸端點(diǎn)時(shí)，uuuur2PF1PF2 有最小值當(dāng)uuur uuuurx 2 ，即點(diǎn) P 為橢圓長軸端點(diǎn)時(shí)， PF1 PF2 有最大值 1（）設(shè) C（ x 0， y0）， B(0,1) F13,0由 BF1CF1 得3(1), y01x02y021267 0x0，又4所以有解得7(10舍去) （）因?yàn)閨PF1| |PB| 4 |PF2| |P

11、B| 4 |BF 2| PBF1 周長 4|BF 2| |B F1 | 8所以當(dāng) P 點(diǎn)位于直線BF2 與橢圓的交點(diǎn)處時(shí)，PBF1 周長最大，最大值為 8例 4解：（） 設(shè)雙曲線方程為x2y21(a 0,b0). 由已知得 a3, c 2, 再由 a 2b 222 ,得 b21.a2b2故雙曲線 C的方程為 x 2y 23l 與雙曲線交于不同的兩點(diǎn)得A( xA , y A ), B( xB , yB ) ，則 xA 而 xA xB yA yB xA xB (kxA1.（）將 ykx2代入 x 2y 21得 (13k 2 ) x262kx9 0.由直線313k 20,即 k 21 且 k 21.

12、設(shè)(62k) 236(13k2 )36(1k 2 )0.36 2k2 , xA xBuuuruuurxB19 2 ,由OA OB2得 x A xB yA yB2,13k3k2)( kxB2) (k 2 1)xA xB2k (xAxB ) 2(k2962k23k273k272,即3k290,解此不等式得1)22k3k23k2.于是212113k113k3k1k 23. 由、 得1k 21.故 k 的取值范圍為 (1,3 )( 3 ,1).3333例 5解析：（ 1）直線 AB方程為：bx- ay- ab 0依題意c6 ，a3，a3解得ab3b1a2b22橢圓方程為 x2y2ykx2，3k2 )

13、x2 12kx 9 0 1 （ 2）假若存在這樣的得 (1k 值，由3 y233x20x1x212k2 ，(12k) 236(13k 2 ) 0 設(shè) C ( x1 ， y1) 、 D ( x2， y2 ) ，則13k而x1x293k 21.y1y2(kx12)(kx22)k2 x1 x22k( x1x2 )4 要使以 CD為直徑的圓過點(diǎn)E（-1 ， 0），當(dāng)且僅當(dāng) CEDE時(shí)，則y1y21即 y1 y2( x11)( x21)0 (k 21) x1 x22(k1)(x1x2 )50 將式代入整理解得x11 x21k7經(jīng)驗(yàn)證， k7k7E6，使成立綜上可知，存在，使得以 CD為直徑的圓過點(diǎn)66例

14、 6.解：設(shè) A( x1, y1 ), B( x2 , y2 ) ， AB 的中點(diǎn) M (x0 , y0 ) ， kABy2y11 , 而 3x124 y1212, 3x224 y2212,x2x14相減得 3( x22x12 )4( y22y12 )0, 即 y1y23(x1x2 ),y03x0 ， 3x04 x0m, x0m, y03mm29m223m23而 M ( x0 , y0 ) 在橢圓內(nèi)部，則31,即13134例 7. （ 1） x 2y 21（ 2）設(shè) A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) ，直線： ykx1k ，代入方程 x2y 21得22(2k 2 ) x 2

15、2k(1k) x(1k )220 （ 2k 20 ） 則 x12x2k(1k )1，解得k2 ，此時(shí)方程2 k 2為 2x 24 x30 ，0方程沒有實(shí)數(shù)根。所以直線l 不存在。y2x 2c2 2例 8解：（ I ）設(shè)橢圓方程為1，由已知 c22，又解得a=3=1a2b2a3，所以 b ，故所求方程為y2x21（II）設(shè)直線 l的方程為 ykxb(k 0)代入橢圓方程整理得9(k 29) x 2b2( 2kb)24(k 29)(b29)02kbx90由題意得x1x22kb1解得 k3或 k3 又直k 29線 l與坐標(biāo)軸不平行故直線 l傾斜角的取值范圍是(，2)(， 2 )323例 9(I)解：

16、設(shè)點(diǎn) A 的坐標(biāo)為 ( ( x1 ,b) ，點(diǎn) B 的坐標(biāo)為 (x2 , b) ，由 x2y21，解得 x1,221b2 ，所以4S1 b | x1x2 |2b1b2b21b21當(dāng)且僅當(dāng) b2時(shí)，S 取到最大值 122ykxby（）解：由x2得 (4 k21) x28kbx4b240y21A4.OxB16(4k 2b21) ， AB 1k2 | xx |1k216(4k2b2 1)2 124k21又因?yàn)?O到 AB 的距離 d| b |2S1所以 b2k 211k 2| AB|代入并整理，得4k44k210，解得， k 21 ,b23，代入式檢驗(yàn)，022故直線 AB的方程是： y2 x6或 y

17、2 x6或 y2 x6或 y2 x622222222例 10 解：（I ）由已知， m(0, x)(2 y 2 ,2), (2 y2 , x2),n(x,0)(2,2)( x2,2).Q m / n,22)(x2)( x2)0x2y 21.2 y (即所求曲線的方程是：2x 224k（）由2y1,消去 y得 : (12k 2 ) x 24kx0. 解得 x1=0,x2=2 ( x1 , x2分別為 M，N的橫坐標(biāo)） .12kykx1.由|MN |1k2| x1x2 |1k2|4k2 |42,解得 : k1.所以直線l的方程 x y+1=0或 x y1=0.2k3+1例 11. 解：（ 1）設(shè)

18、P( x0 , y0 ),Q (x, y) ， A(a,0),B( a,0),QBPB,QAPAy0gy1y0 2y2x022y0 2b2y22x0a x ag1，y01 ，ay0x02a2b2x0a2a2x2a2，gy1a2x2a22b2x0a xa化簡得： a2 x2b2 y2a4 ，經(jīng)檢驗(yàn)，點(diǎn) (a,0),(a,0) 不合題意，點(diǎn)Q的軌跡方程為 a2 x2b2 y2a4 ,( y 0)22a2a4221（ 2） 由（ 1）得 C2 的方程為xy1 ，2b21a1a1，a2a4e2a2b2c2a2e121b2 e12 ， e221(112 ， 1 e22 。2) 2例 12 解析 ： 5， b3c 4（ 1）設(shè)| PF1| t 1 ，| PF2 | t2 ，則 t1t 210 at12t222t1t2cos6082，由2得 t1t 212S F1 PF21 t1 t2sin 6011233 3222（ 2）設(shè) P( x, y) ，由 SF1PF212c| y |4|y |得 4 | y |33| y | 33y33 ，將 y3 3 代入橢圓方2444程解得 x