概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)第三章隨機(jī)向量

1、第二章隨機(jī)向量在實(shí)際問題中，除了經(jīng)常用到一個(gè)隨機(jī)變量的情形外，還常用到多個(gè)隨機(jī)變量的情形例如，觀察炮彈在地面彈著點(diǎn)e的位置，需要用它的橫坐標(biāo)X( e)與縱坐標(biāo)Y (e)來(lái)確定,而橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)是定義在同一個(gè)樣本空間Q =e=所有可能的彈著點(diǎn)上的兩個(gè)隨機(jī)變量又如，某鋼鐵廠煉鋼時(shí)必須考察煉出的鋼e的硬度X (e)、含碳量Y ( e)和含硫量Z (e)的情況，它們也是定義在同一個(gè)Q =e上的三個(gè)隨機(jī)變量因此，在實(shí)用上，有時(shí)只用一個(gè)隨機(jī)變量是不夠的，要考慮多個(gè)隨機(jī)變量及其相互聯(lián)系本章以兩個(gè)隨機(jī)變量的情形為代表，講述多個(gè)隨機(jī)變量的一些根本內(nèi)容第一節(jié)二維隨機(jī)向量及其分布1. 二維隨機(jī)向量的定義及其分布函數(shù)

2、定義3. 1設(shè)E是一個(gè)隨機(jī)試驗(yàn)，它的樣本空間是 Q = e.設(shè)X ( e)與Y (e)是定義在 同一樣本空間Q上的兩個(gè)隨機(jī)變量，那么稱(X(e),Y(e)為Q上的二維隨機(jī)向量(2-dimensional random vector)或二維隨機(jī)變量 (2 -dimensional random variable)，簡(jiǎn)記為(X, Y).類似地定義n維隨機(jī)向量或n維隨機(jī)變量(n2).設(shè)E是一個(gè)隨機(jī)試驗(yàn)，它的樣本空間是Q = e，設(shè)隨機(jī)變量X1(e),X2(e), , ,Xn(e)是定義在同一個(gè)樣本空間 Q上的n個(gè)隨機(jī)變量，那么稱向量(X1 ( e), X2 (e), , , Xm(e)為 Q上的n維

3、隨機(jī)向量或n維隨機(jī)變量.簡(jiǎn)記為(X1, X2, , , X.).與一維隨機(jī)變量的情形類似，對(duì)于二維隨機(jī)向量，也通過(guò)分布函數(shù)來(lái)描述其概率分布規(guī) 律.考慮到兩個(gè)隨機(jī)變量的相互關(guān)系，我們需要將(X, Y)作為一個(gè)整體來(lái)進(jìn)行研究.定義3. 2設(shè)(X, Y)是二維隨機(jī)向量，對(duì)任意實(shí)數(shù)x和y，稱二元函數(shù)F (x, y) =PXW x, YW y(3.1)為二維隨機(jī)向量(X, Y)的分布函數(shù)，或稱為隨機(jī)變量X和Y的聯(lián)合分布函數(shù).類似定義n維隨機(jī)變量(Xi, X2, , ,Xn)的分布函數(shù).設(shè)(X1, X2, , , Xn)是n維隨機(jī)變量，對(duì)任意實(shí)數(shù)x1, x2, , , xn，稱n元函數(shù)F(Xi,X2, ,

4、Xn)=PXi xi,X2 X2，XnW xn為 n 維隨機(jī)變量(Xi, X2, , ,Xn)的聯(lián)合分布函數(shù).我們?nèi)菀捉o出分布函數(shù)的幾何解釋.如果把二維隨機(jī)變量(X, Y)看成是平面上隨機(jī)點(diǎn)的坐標(biāo)，那么，分布函數(shù) F ( x, 丫)在(x, y)處的函數(shù)值就是隨機(jī)點(diǎn)(X, Y)落在直線X=x的左側(cè)和直線 Y=y的下方的無(wú)窮矩形域內(nèi)的概率(如圖3-1所示).根據(jù)以上幾何解釋借助于圖3-2，可以算出隨機(jī)點(diǎn)(X, Y)落在矩形域X1 v X X2, y1 YW y2內(nèi)的概率為：PX1 XW x2,y1 xA時(shí)，F(xiàn) (x2,y) F (xi,y)；對(duì)于任意固定的x,當(dāng)y2yi 時(shí)，F(xiàn)(x,y?)?F(

5、x,yj(2) OWF(x,y)w 1，且對(duì)于任意固定的y, F ( _,y)=0,對(duì)于任意固定的x,F ( x,-a) =0, F ( _g, _g) =0, F (+8, + a) =1.(3) F (x, y)關(guān)于x和y是右連續(xù)的，即F (x, y) =F (x+0, y) , F (x, y) =F (x, y+0).(4) 對(duì)于任意(xi, yi), (X2, y2),XiV x2,yi i, Y?3及 PX=i.解 PX i , Y?3= PX=2 , Y=3+ PX=2 , Y=4+ P X=3 , Y=3+ PX=3 , Y=4=0.3 ;PX=1= PX=1,Y=1+ PX=

6、1,Y=2+ PX=1,Y=3+ PX=1,Y=4=0.2 .例3. 2 設(shè)隨機(jī)變量X在1, 2, 3, 4四個(gè)整數(shù)中等可能地取值，另一個(gè)隨機(jī)變量Y在1X中等可能地取一整數(shù)值，試求(X，Y)的分布律.解 由乘法公式容易求得(X，Y)的分布律，易知X=i，Y=j的取值情況是：i=1，2, 3，4，j取不大于i的正整數(shù)，且1 1PX=i, Y=j= PY=j | X=iPX=i=, i=1 , 2, 3, 4, j 0(x,yv + );(2) L.J f(u,v)dudv=1 ;(3) 假設(shè)f (x , y)在點(diǎn)(x , y)處連續(xù)，那么有2=f(x,y);:F(x,y):x .y(4) 設(shè)G為

7、xOy平面上的任一區(qū)域，隨機(jī)點(diǎn)( X , Y)落在G內(nèi)的概率為P (X , Y) G=f(x,y)dxdy .(3.6)G在幾何上，z=f (x , y)表示空間一曲面，介于它和xOy平面的空間區(qū)域的立體體積等于1 , P (X , Y) G的值等于以G為底，以曲面z=f (x , y)為頂?shù)那斨w體積. 與一維隨機(jī)變量相似，有如下常用的二維均勻分布和二維正態(tài)分布設(shè)G是平面上的有界區(qū)域，其面積為A,假設(shè)二維隨機(jī)變量(X , Y)具有概率密度1f(x , y) JA,(x,y)70,其他.那么稱(X , Y)在G上服從均勻分布.類似設(shè)G為空間上的有界區(qū)域，其體積為A,假設(shè)三維隨機(jī)變量(X ,

8、Y , Z)具有概率密度!,(x,y,z) G,f(x,y,z)= a0,其他.那么稱(X , Y, Z )在G上服從均勻分布. 設(shè)二維隨機(jī)變量(X , Y)具有分布密度_(MA)2JM4)2f(x,y)=1e2(1)ma2 n 1二1 -、_ 0,6 2 0,-1vpV 1,那么稱(X, Y)為具有參數(shù) 的二維正態(tài)隨機(jī)變量，記作：(X, Y) N (3. 3 設(shè)(X, Y)在圓域x2+y2W 4上服從均勻分布，求(X, Y)的概率密度；P0 v Xv 1, 0v Yv 1.(1)圓域x2+y2 4的面積A=4n，故(X,其中 3 1, 3 2, 6 1,6 2, P3 2 , 6 1 , 6

9、 2, p例(1)(2)解31,3 2,Y)的概率密度為1x2f (x, y) =4 ni 0,G為不等式0v xv 1, 0 v yv 1所確定的區(qū)域，所以1 1 1P0 v X v 1, 0v Yv 1= Il f(x, y)dxdy 二 dx dy 二 G00 4 n例3. 4設(shè)二維隨機(jī)變量(X, Y)的概率密度為(2)f (x, y)=3y), x 0,y0, 其他.(1)確定常數(shù)k; (2)求(X, Y)的分布函數(shù); 解 (1)由性質(zhì)有(3)求 PX0,x0. 其他.PXY= d f (x, y)dxdy 二 f (x, y)dxdyxy解易知f引進(jìn)極坐標(biāo)產(chǎn)一 / x卡y)=0 薩e

10、(X, Y) N (0, 0,異,(x.y)e2兀cr3y2 y2dx dy = J0 3e一1 一 e y)dy =d 2, 0),求 PXvY.x2 y2-2 _2、二(_8 x, yv + g),所以PXv Y=ey2 nX2 -y22二 dxdy.x=rcos 0 , y=rsin B ,5n :PX v Y= j 04第二節(jié)邊緣分布二維隨機(jī)變量(X，Y)作為一個(gè)整體，它具有分布函數(shù)F ( x，y).而 X和Y也都是隨機(jī)變量，它們各自也具有分布函數(shù)將它們分別記為 FX ( x)和FY (y)，依次稱為二維隨機(jī)變量(X，Y)關(guān)于X和Y的邊緣分布函數(shù)(Marginal distributi

11、on function ).邊緣分布函數(shù)可 以由(X，Y)的分布函數(shù)F (x，y)來(lái)確定，事實(shí)上Fx (x) =PX x= PX x, Yv + oo =F (x , +O) ),(3.7)Fy (y) =PY y= P Xv + o , Y y= F (+ o , y) .(3.8)下面分別討論二維離散型隨機(jī)變量與連續(xù)型隨機(jī)變量的邊緣分布1.二維離散型隨機(jī)變量的邊緣分布設(shè)(X , Y)是二維離散型隨機(jī)變量，其分布律為：Px=xi , 丫=比=卩耳,i , j=i, 2,.于是，有邊緣分布函數(shù)Fx (x) =F (x , + o)=；：二 R .xi空j由此可知，X的分布律為：PX=Xi=?p

12、j , i=1 , 2 , , ,(3.9)j稱其為(X , Y)關(guān)于X的邊緣分布律.同理，稱(X , Y)關(guān)于Y的邊緣分布律為：PY=yj八 pij ，j=1，2，, .(3.10)i例3. 6設(shè)袋中有4個(gè)白球及5個(gè)紅球，現(xiàn)從其中隨機(jī)地抽取兩次，每次取一個(gè)，定義 隨機(jī)變量X , Y如下：0,1 ,第一次摸出紅球；0,第二次摸出白球，1,第二次摸出紅球.寫出以下兩種試驗(yàn)的隨機(jī)變量X, Y的聯(lián)合分布與邊緣分布.1有放回摸球；2無(wú)放回摸球.解1采取有放回摸球時(shí)，X，Y的聯(lián)合分布與邊緣分布由表3-4給出.表3-4X01P X=Xi04/9 4/94/9 4/94/915/9 4/95/9 4/95/

13、9PY=yj4/95/92采取無(wú)放回摸球時(shí)，X，Y的聯(lián)合分布與邊緣分布由表3-5給出.表3-5X01P X=xi04/9 4/84/9 4/84/915/9 4/85/9 4/85/9PY=yj4/95/9在上例的表中，中間局部是X，Y的聯(lián)合分布律，而邊緣局部是X和Y的邊緣分布律，它們由聯(lián)合分布經(jīng)同一行或同一列的和而得到，“邊緣二字即由上表的外貌得來(lái)顯然,離散型二維隨機(jī)變量的邊緣分布律也是離散的另外，例3.6的1和2中的X和Y的邊緣分布是相同的，但它們的聯(lián)合分布卻完全不同由此可見，聯(lián)合分布不能由邊緣分布惟一確定，也就是說(shuō)，二維隨機(jī)變量的性質(zhì)不能由它的兩個(gè)分量的個(gè)別性質(zhì)來(lái)確定此外，還必須考慮它們

14、之間的聯(lián)系這進(jìn)一步說(shuō)明了多維隨機(jī)變量的作用在什么情況下，二維隨機(jī)變量的聯(lián)合分布可由兩個(gè)隨機(jī)變量的邊緣分布確定，這是第四節(jié)的內(nèi)容2.二維連續(xù)型隨機(jī)變量的邊緣分布fx, y，由Fx (x) =F (x, +s)設(shè)X，Y是二維連續(xù)型隨機(jī)變量，其概率密度為知，X是一個(gè)連續(xù)型隨機(jī)變量，且其概率密度為dFxx嚴(yán)fx x = f x, ydy,3.11dxq同樣，Y也是一個(gè)連續(xù)型隨機(jī)變量，其概率密度為fY (y)=dFy(y) dybe=_.f (x,y)dx,(312)分別稱fx x , fY 丫為X, Y關(guān)于X和關(guān)于Y的邊緣分布密度或邊緣概率密度 例3 7設(shè)隨機(jī)變量X和Y具有聯(lián)合概率密度f(wàn) (x,0,其

15、他.求邊緣概率密度f(wàn)x x, fY y 解fx ( x)-be=J(x,y)d yx2L6dy =6(x -x ),0,0 - x -1, 其他.那么有同理r fY(y) = rf(x,y)dxjjy 6dx = 6(3y), s0,其他.例3. 8求二維正態(tài)隨機(jī)變量的邊緣概率密度.-be解 fx (x) = f (x, y)dy,，由于(y - J 2 ?fx xfx1(x) = e2 n 1(X二i)(y二J = y - 嚇 2_ 22X12t=1(x-1)22門2-T2(X_4)2一 2疔y 丄2e 2 d t-O1fY (y) =e寸2 n 2-Heeod1頁(yè)1_沔-_叫-1(xJ)2

16、2門2(y2)22&, -8V yV8dyX0，那么稱PX=Xi I Y=yj=PX=Xi, 丫=力/PY=yj , i=1, 2,為在Y=yj條件下隨機(jī)變量 X的條件分布律Conditional distribution .同樣，對(duì)于固定的i，假設(shè)P X=Xi 0,那么稱PY=yj I X=Xi= PX=Xi,Y=yj/P X=xi, j=1,2,為在X=xi條件下隨機(jī)變量Y的條件分布律例3. 9(X, Y)的聯(lián)合分布律如表3-6所示表3-61234P Y=yj11/41/81/121/1625/48201/81/121/1613/483001/122/1610/48PX=Xi1/41/41

17、/41/4求：(1)在丫=1的條件下，X的條件分布律;(2)在X=2的條件下，Y的條件分布律.解 (1)由聯(lián)合分布律表可知邊緣分布律于是1 25PX=1 | Y=1=/=12/25;4 481 25PX=2 | Y=1=/=6/25;8 48125PX=3 | Y=1=/=4/25;12 48125P X=4 | Y=1=/=3/25.16 48即，在Y=1的條件下X的條件分布律為表3-7X1234P12/256/254/253/25(2)同理可求得在X=2的條件下Y的條件分布律為表3-8Y123P1/21/20例3. 10 一射手進(jìn)行射擊，擊中的概率為p ( 00，如果Py- & v Yw

18、y+ 0,那么可以考慮PX 0，假設(shè)lim P：X y - ； ：丫込 y ；，- 0 存在，那么稱此極限為在 Y=y的條件下X的條件分布函數(shù)，記作PXwx | Y=y或Fxiy(x | y). 設(shè)二維連續(xù)型隨機(jī)變量(X,Y)的分布函數(shù)為F(x,y),分布密度函數(shù)為f(x,y),且f (x, y)和邊緣分布密度函數(shù) fY (y)連續(xù)，fY (y) 0,那么不難驗(yàn)證，在 Y=y的條件下 X的條件分布函數(shù)為Fx| y (x | y)( ,y) du.；fY(y)假設(shè)記fx | Y (X | y)為在Y=y的條件下X的條件分布密度，那么 fx|Y (x | y) =f (x, y) /fY (y)

19、類似地，假設(shè)邊緣分布密度函數(shù)fx (X)連續(xù)，fx (x) 0,那么在X=x的條件下Y的條件分布函數(shù)為y f(x,v),fx(X)Fyi x(y | x)=dv假設(shè)記fYl X (y | X)為在X=x的條件下Y的條件分布密度，那么fYlX(yl x)=匕山fx(X)例 3. 11 設(shè)(X, Y) N (0, 0,解 易知f (x, y)=.2 n1, 1, p ),求 fx|Y (X | y)與 fYl X(y | x). x2 -2 :Xy y2 e 2(1)(s x, yv + 8),所以X&21 2(1). 2 e ?2)fxi Y( x| y)=儀衛(wèi)fY(x)J2M1-y _攻2f)

20、例3. 12 設(shè)隨機(jī)變量XU(0,1)，當(dāng)觀察到 密度f(wàn)Y (y).解 按題意，x具有概率密度f(wàn)x (x)=1,0,0 :： x : 1其他.彳(y | x) = f (x, y)fY1 X ( y| X)= ,2-.fx (x)J2 M1 - P2)X=x (0vxv 1)時(shí)，YU(x,1)，求 Y 的概率類似地，對(duì)于任意給定的值 x (0 v xv 1),在X=x的條件下，Y的條件概率密度f(wàn)Yi x (y I=廿其他1因此，X和Y的聯(lián)合概率密度為f (x, y) =fY| x (y Ix)fx ( x)=1j-,0xcyv1,$1 X0, 其他.于是，得關(guān)于Y的邊緣概率密度為-feefY

21、(y) =. f (x, y)dx =y 1dx = In(1 y),0 ： y : 1,1 - x0,其他.第四節(jié) 隨機(jī)變量的獨(dú)立性我們?cè)谇懊嬉呀?jīng)知道，隨機(jī)事件的獨(dú)立性在概率的計(jì)算中起著很大的作用紹隨機(jī)變量的獨(dú)立性，它在概率論和數(shù)理統(tǒng)計(jì)的研究中占有十分重要的地位.定義3. 7設(shè)X和Y為兩個(gè)隨機(jī)變量，假設(shè)對(duì)于任意的 x和y有PX x, YW y=PX xPYW y,那么稱X和Y是相互獨(dú)立(Mutually independent )的.假設(shè)二維隨機(jī)變量(X, Y)的分布函數(shù)為 F ( x, y),其邊緣分布函數(shù)分別為 Fy (y),那么上述獨(dú)立性條件等價(jià)于對(duì)所有x和y有F(x, y)=Fx (

22、x) fy (y).對(duì)于二維離散型隨機(jī)變量，上述獨(dú)立性條件等價(jià)于對(duì)于yj)有.下面我們介Fx (x)和(3.13)(X，Y)的任何可能取的值 (人,(3.14)x 和 y有(3.15)fY (y)分別是邊緣概率密度函P X=Xi，Y=yj= P X=XiP Y=yj.對(duì)于二維連續(xù)型隨機(jī)變量，獨(dú)立性條件的等價(jià)形式是對(duì)一切 f (x，y) =fx (x) fY (y)，fx (x )和這里，f (x，丫)為(X，Y)的概率密度函數(shù)，而數(shù).如在例3.6中，1有放回摸球時(shí)，X與Y是相互獨(dú)立的；而2無(wú)放回摸球時(shí)，X 與Y不是相互獨(dú)立的.例3. 13設(shè)X, Y在圓域x2+y2w 1上服從均勻分布，問 X和

23、Y是否相互獨(dú)立？解 X, Y的聯(lián)合分布密度為由此可得1 X2y2叮,0,其他1乞X乞1,fx (x):=_ f(x,y)dy =二n10,其他.fv (y):=f(x,y)dx 二 7 f一1空y乞1,I 0,其他.f (x, y)=二可見在圓域x2+y2 0,;fY (y)=0,其他.； yo,o,其他.求X和Y的聯(lián)合概率密度f(wàn) x, y.解 由X和Y相互獨(dú)立可知f (x, y) =fx (x) fY (y) = =e_4x4y),x0,y:0,0,其他.第五節(jié)兩個(gè)隨機(jī)變量的函數(shù)的分布下面討論兩個(gè)隨機(jī)變量函數(shù)的分布問題，就是二維隨機(jī)變量X, Y的分布律或密度函數(shù)，求Z= X, Y的分布律或密

24、度函數(shù)問題 .1.二維離散型隨機(jī)變量函數(shù)的分布律設(shè)X, Y為二維離散型隨機(jī)變量，那么函數(shù) Z= X, Y仍然是離散型隨機(jī)變量.從下 面兩例可知，離散型隨機(jī)變量函數(shù)的分布律是不難獲得的例3. 15設(shè)X, Y的分布律為XY-12-15/203/20表3-92/206/203/201/20求Z=X+Y和Z=XY的分布律.解先列出下表表 3-10p5/202/206/203/203/201/20(X , Y)p-1, -1)(-1, 1)(-1 , 2)(2 , -1)(2 , 1)(2 , 2)X+Y-201134XY1-1-2-224從表中看出 Z=X+Y可能取值為-2, 0, 1, 3, 4,且

25、PZ=-2= PX+Y=-2= PX=-1, Y=-1=5/20 ；PZ=0= PX+Y=0= PX=-1，Y=1=2/20 ；PZ=1= PX+Y=1= PX=-1，Y=2+ PX=2，Y=-1=6/20+3/20=9/20 ；PZ=3= PX+Y=3= PX=2，Y=1=3/20 ；PZ=4= PX+Y=4= PX=2，Y=2=1/20 .于是Z=X+Y的分布律為表 3-11X+Y-20134P5/202/209/203/201/20同理可得，Z=XY的分布律為表 3-12XY-2-1124P9/202/205/203/201/20例3. 16設(shè)X, Y相互獨(dú)立，且分別服從參數(shù)為入1與入2

26、的泊松分布，求證 Z=X+Y服從參數(shù)為入1+入2的泊松分布證 Z的可能取值為0, 1, 2, , , Z的分布律為k djPZ=k= PX+Y=k= px 二=k-i?i =0k IIk -1=、丄2e1 e2 二丄 e41，2)( -2)k, k=0, 1, 2,.yi!(k-i)!k!所以Z服從參數(shù)為入什入2的泊松分布本例說(shuō)明 假設(shè)X,Y相互獨(dú)立，且 Xn (入1), Yn (入2),那么X+Yn (入1 +入2).這種 性質(zhì)稱為分布的可加性，泊松分布是一個(gè)可加性分布類似地可以證明二項(xiàng)分布也是一個(gè)可加性分布，即假設(shè) X , Y相互獨(dú)立，且 XB 5 , p), YB (n2 , p),那么

27、X+YB (n什n2 , p) 2.二維連續(xù)型隨機(jī)變量函數(shù)的分布設(shè)(X , Y)為二維連續(xù)型隨機(jī)變量，假設(shè)其函數(shù) Z= (X,Y)仍然是連續(xù)型隨機(jī)變量，那么存 在密度函數(shù)fz (z).求密度函數(shù)fz (z)的一般方法如下：首先求出Z= (X , Y)的分布函數(shù)Fz (z) =PZW z=P(X, Y)W z= P ( X , Y) G=! f (u, v)dudv ,G其中 f (x , y)是密度函數(shù)，G= (x , y)|(x , y)w z.其次是利用分布函數(shù)與密度函數(shù)的關(guān)系，對(duì)分布函數(shù)求導(dǎo)，就可得到密度函數(shù)fz (z)F面討論兩個(gè)具體的隨機(jī)變量函數(shù)的分布(1) Z=X+Y的分布設(shè)(X，

28、Y)的概率密度為f(x, y),那么Z=X+Y的分布函數(shù)為Fz (z) =PZw z=| | f(x, y)dxdy,x y這里積分區(qū)域 G : x+y z是直線x+y=z左下方的半平面，化成累次積分得Fz (z)f (x, y)dxz固定z和y，對(duì)積分 _ f (x, y)dx作變量變換，令x=u-y,得Z:f (x,y)dx = j二f (u -y,y)du.-be zFz (z)=U Uf(y,y)dudy = UiU由概率密度的定義，即得 Z的概率密度為f (u -y, y)dy du.bofZ (z) =，f(z y, y)dy.由X, Y的對(duì)稱性，fZ (z)又可寫成(3.16)q

29、QfZ (z) = f (x, z-x)dx.這樣，我們得到了兩個(gè)隨機(jī)變量和的概率密度的一般公式特別地，當(dāng)X和Y相互獨(dú)立時(shí)，設(shè)(X, Y)關(guān)于X, fY (y),那么有(3.17)Y的邊緣概率密度分別為fx (x),40fZ (z) = .； fx(z-y)fY(y)dy;(3.18)fZ (z) = fX (x) fY(z -x)dx.-oO這兩個(gè)公式稱為卷積(Convolution )公式，記為fX*fY,即(3.19)bobofx*fr= .fx(z-y)fY(y)dy 二fx(x)fY(z-x)dx.例3. 17設(shè)X和Y是兩個(gè)相互獨(dú)立的隨機(jī)變量，它們都服從N (0, 1)分布,的概率分

30、布密度.解由題設(shè)知-at)求 Z=X+YX,Y的分布密度分別為x2/、_1 Tfx ( x) =e ,-m XV +m,v 2 nfY(y) ,由卷積公式知fZ (z) =，x(x)fY(z-x)dxx2(z_x)22 J 2dx 二丄 e2n設(shè)t= x _ z，得21fz(z)=e2 nz24- : 2e 丄 dt =即Z服從N( 0，2)分布.一般，設(shè)X，Y相互獨(dú)立且Z=X+Y仍然服從正態(tài)分布，且有 態(tài)隨機(jī)變量之和的情況，即假設(shè)XN ( ui,ZN (iXiN ( Ui(U22U1 + U2, d 1 + d 2 ,d 2) (i=1,2,d 12) ,YN2經(jīng)過(guò)計(jì)算知 n個(gè)獨(dú)立正,d 2

31、2),由公式().這個(gè)結(jié)論還能推廣到,n),且它們相互獨(dú)立，那么它們的和3.19)nZ=X1+X2+, +Xn仍然服從正態(tài)分布，且有 ZN (7 Uji 4更一般地，可以證明有限個(gè)相互獨(dú)立的正態(tài)隨機(jī)變量的線性組合仍服從正態(tài)分布 例3. 18設(shè)X和Y是兩個(gè)相互獨(dú)立的隨機(jī)變量，其概率密度分別為fx (x)=1,0X 蘭1,( y)=0, 其他；e*, y 0,0, 其他.求隨機(jī)變量Z=X+Y的分布密度.解 X, Y相互獨(dú)立，所以由卷積公式知fZ (z) =fX(x)fY(z-x)dx.-=0由題設(shè)可知fX (x) fY (y)只有當(dāng)Owx0，即當(dāng)Ow x0時(shí)才不等于 零.現(xiàn)在所求的積分變量為x,

32、z當(dāng)作參數(shù)，當(dāng)積分變量滿足 x的不等式組0w xw 1XV z時(shí)，被積函數(shù)fX (x) fY (z-x)M 0.下面針對(duì)參數(shù)z的不同取值范圍來(lái)計(jì)算積分.當(dāng)zv 0時(shí)，上述不等式組無(wú)解，故fx (x) fY (z-x) =0.當(dāng)0w zw 1時(shí)，不等式組的解為0w xw乙當(dāng)z 1時(shí)，不等式組的解為 0w xw 1.所以fez)dx=1e=,0 蘭 z1,J01 1fZ (z) =* eDdx = e(e T), z = 1,J=0,其他.Fz (z)=Il f(uv,uvg)J dudv = J-be.f (uv,u) u dudv.這就是說(shuō)，隨機(jī)變量 Z的密度函數(shù)為-be.fz ( z) =

33、Jf(zu,u)u du.(3.20)特別地，當(dāng)X和Y獨(dú)立時(shí)，有fz( z)二 fX(zu) fY(u)u du，(3.21)_ i*0其中fx(x)，fY( y)分別為(X，Y)關(guān)于X和關(guān)于Y的邊緣概率密度.例3.佃 設(shè)X和Y相互獨(dú)立，均服從 N ( 0，1)分布，求Z=X/Y的密度函數(shù)fz(z)解由3.21式有fz( z) = J Jx(zu)fY(u)u d u =u2(1 -z2)-2u du=丄.ue 斗 d un8V zV + oo例3. 20 設(shè)X, Y分別表示兩只不同型號(hào)的燈泡的壽命, 密度依次為X, Y相互獨(dú)立，它們的概率f (x)=；e，xaO,=0,其他；少，y0,0,其

34、他.求Z=X/Y的概率密度函數(shù).解當(dāng)z0時(shí)，Z的概率密度為-bo fz (z) = ,0ye。2 %占；當(dāng) z 0 時(shí)，fZ (z) =0.于 是/、 j-2, zaO,fz(z) = (2 z)20,z(3) M=max(X,Y)及 N=min (X, Y)的分布設(shè)X, Y相互獨(dú)立，且它們分別有分布函數(shù)Fx(x)與Fy( y).求X, Y的最大值，最小值：M=max(X,Y), N=min(X,Y)的分布函數(shù) Fm ( z) , Fn (z).由于M=max(X,Y)不大于z等價(jià)于X和Y都不大于z,故P M z=PXW乙Yw z，又由 于X和Y相互獨(dú)立，得Fm (z) =PM w z= PX

35、w 乙YWz=PXz=1-PX乙Yz=1-PXz PYz=1-(1-Fx(z)(1-Fy(z).(3.23)以上結(jié)果容易推廣到 n個(gè)相互獨(dú)立的隨機(jī)變量的情況.設(shè)X1, X2, , , Xn是n個(gè)相互獨(dú)立的隨機(jī)變量，它們的分布函數(shù)分別為Fxi(xi)(i=1,2, ,n)，貝U M=max(X1,X2, ,Xn)及N=mi n(Xi ,X2特別，當(dāng)Xi,Xn)的分布函數(shù)分別為Fm(z)= Fx1(Z)Fx2(Z)Fxn(z)；Fn(z)=1-1- Fx1(z)1- Fx2(z)1Fxn(Z).X2, , ,Xn是相互獨(dú)立且有相同分布函數(shù)Fm(z)= ( F(z) n, Fn(z)=1- 1-F(

36、z)n.設(shè)X, Y相互獨(dú)立，且都服從參數(shù)為例 3. 21 函數(shù).解 設(shè)X, Y的分布函數(shù)為F (x),那么(3.24)(3.25)F (x)時(shí)，有(3.26)(3.27)的指數(shù)分布，求 Z=maxX, Y的密度F (x)=0,x _ 0,x 0.由于z的分布函數(shù)為Fz (z) =PZw z= PXw z, YW z= PX zPY z= : F (z) 2,2(1 -)，z_0,0,z 0.所以，Z的密度函數(shù)為fz (z) =F z(z)=2F(z)F (z)= F面再舉一個(gè)由兩個(gè)隨機(jī)變量的分布函數(shù)求兩隨機(jī)變量函數(shù)的密度函數(shù)的一般例子例3. 22 設(shè)X, Y相互獨(dú)立，且都服從N ( 0,異)，

37、求Z=Jx2 +Y2的密度函數(shù).解先求分布函數(shù)Fz (z) =PZz=P ： X2 Y2 z.當(dāng) z 0時(shí)，=0 ；Fz( z)=P . X2 Y2 wz=作極坐標(biāo)變換 x= rcos 0 , y=rsin 0Fz (z)yi圖3-3(0 w r w z, 0W 0 v 2 n )(如圖 3-3),于是有2 2 rz2 nz22fre 用 dr=1e 心0 -0故得所求z的密度函數(shù)為Z -2fz(z)=F z(z)= 產(chǎn)e ， z A，0,z 蘭 0.此分布稱為瑞利分布(Rayleigh ),它很有用.例如，炮彈著點(diǎn)的坐標(biāo)為(X, Y),設(shè)橫向 偏差XN(0，異)，縱向偏差YN (0, d 2

38、) , X, Y相互獨(dú)立，那么彈著點(diǎn)到原點(diǎn)的距離D便服從瑞利分布，瑞利分布還在噪聲、海浪等理論中得到應(yīng)用小 結(jié)對(duì)一維隨機(jī)變量的概念加以擴(kuò)充，就得多維隨機(jī)變量，我們著重討論二維隨機(jī)變量.1. 二維隨機(jī)變量(X , Y)的分布函數(shù)：F(x,y)=PX xYW y,- mxg, -g y0):y xF(x,y)= .二:f (x,y)dxdy,對(duì)任意 x,y.一般，我們都是利用分布律或概率密度(不是利用分布函數(shù))來(lái)描述和研究二維隨機(jī)變量的.2. 二維隨機(jī)變量的分布律與概率密度的性質(zhì)與一維的類似.特別，對(duì)于二維連續(xù)型隨機(jī)變量，有公式P(X, Y) G=f(x, y) dxd y.G其中，G是平面上的某

39、區(qū)域，這一公式常用來(lái)求隨機(jī)變量的不等式成立的概率，例如：PY X= P(X,Y) G=丨丨 f (x, y)dxdy .G其中G為半平面yw x.3. 研究二維隨機(jī)變量(X, Y)時(shí)，除了討論上述一維隨機(jī)變量類似的內(nèi)容外，還討論 了以下新的內(nèi)容：邊緣分布、條件分布、隨機(jī)變量的獨(dú)立性等(1) 對(duì)(X, Y)而言，由(X, Y)的分布可以確定關(guān)于X、關(guān)于Y的邊緣分布反之，由X和Y的邊緣分布一般是不能確定(X, Y)的分布的只有當(dāng)X, Y相互獨(dú)立時(shí)，由兩邊緣分布能確定(X, Y)分布.(2) 隨機(jī)變量的獨(dú)立性是隨機(jī)事件獨(dú)立性的擴(kuò)充.我們也常利用問題的實(shí)際意義去判斷兩個(gè)隨機(jī)變量的獨(dú)立性.例如，假設(shè)X,

40、 Y分別表示兩個(gè)工廠生產(chǎn)的顯像管的壽命，那么可以認(rèn)為X, Y是相互獨(dú)立的.(3) 討論了 Z=X+Y, Z=X/Y, M=max(X,Y), N=min(X,Y)的分布的求法(設(shè)(X, Y)分 布)；這是很有用的.4. 本章在進(jìn)行各種問題的計(jì)算時(shí)，例如，在求邊緣概率密度，求條件概率密度，求Z=X+Y的概率密度或在計(jì)算概率P X，Y G= II f x, ydxdy時(shí)，要用到二重積分，或用到G二元函數(shù)固定其中一個(gè)變量對(duì)另一個(gè)變量的積分此時(shí)千萬(wàn)要搞清楚積分變量的變化范圍題目做錯(cuò)，往往是由于在積分運(yùn)算時(shí)，將有關(guān)的積分區(qū)間或積分區(qū)域搞錯(cuò)了在做題時(shí)，畫出有關(guān)函數(shù)的積分域的圖形，對(duì)于正確確定積分上下限肯定是有幫助的另外，所求得的邊緣密度、條件密度或 Z=X+Y的密度，往往是分段函數(shù)，正確寫出分段函數(shù)的表達(dá)式當(dāng)然是必 須的重要術(shù)語(yǔ)及主題二維隨機(jī)變量X，Y離散型隨機(jī)變量X，Y的分布律連續(xù)型隨機(jī)變量X，Y的概率密度 離散型隨機(jī)變量X，Y的邊緣分布律 連續(xù)型隨機(jī)變量X，Y的邊緣概率密度 條件分布函數(shù)條件概率密度Z=X+Y的概率密度M=maxX,Y，N=minX,Y的概率密度