絕對值的三角不等式典型例題

1、11.4絕對值三角不等式教學目標：1.理解絕對值的定義，理解不等式基本性質的推導過程；2. 掌握定理1的兩種證明思路及其幾何意義；3. 理解絕對值三角不等式+；4. 會用絕對值不等式解決一些簡單問題。教學重點：定理1的證明及幾何意義。教學難點：換元思想的滲透。教學過程：一、引入:證明一個含有絕對值的不等式成立，除了要應用一般不等式的基本性質之 外，經(jīng)常還要用到關于絕對值的和、差、積、商的性質：(1) a+ba+b( 2) a_bEa+b(3)(4)a (b HO)請同學們思考一下，是否可以用絕對值的幾何意義說明上述性質存在的道理？實際上，性質.a .a b和| = E(bHO)可以從正負數(shù)和零

2、的乘法、除法|b| b法則直接推出；而絕對值的差的性質可以利用和的性質導出。因此，只要能夠證明a +b| 3 a +b對于任意實數(shù)都成立即可。我們將在下面的例題中研究它的證明?，F(xiàn)在請同學們討論一個問題：設a為實數(shù)，a和a哪個大?顯然a > a，當且僅當a 3 0時等號成立(即在a 3 0時，等號成立。在a c 0時，等號不成立)。同樣，a蘭-a.當且僅當a蘭0時，等號成立。含有絕對值的不等式的證明中，常常利用a*+a、a工-a及絕對值的和的性質。二、典型例題：例 1、證明(1) a + b X'a +b ，(2) 1 a +b Z a .b。證明(1)如果 a +b K0,那么,

3、a+b =a+b.所以 a + b Za+b = a+b.女口果 a+b<0, 那 么a+b| = (a+b). 所 以a + b 蘭一a+(-b) = -(a+b) = a+b（2）根據(jù)（1）的結果，有 a+b + _b a+b_b ,就是，a + b + b 啟 a 。 所以，a +b色a _ b。例2、證明 a_b蘭a_b蘭a+b 。例 3、證明 a _b 蘭 a _c + b _c 。思考：如何利用數(shù)軸給出例3的幾何解釋？（設A, B, C為數(shù)軸上的3個點，分別表示數(shù)a，b, c,則線段ab乞AC cb . 當且僅當C在A, B之間時，等號成立。這就是上面的例3。特別的，取c=

4、0（即 C為原點），就得到例2的后半部分。）探究：試利用絕對值的幾何意義，給出不等式a + b K a +b的幾何解釋?定理1 如果a, b R ,那么a + b Z a + b<在上面不等式中，用向量a,b分別替換實數(shù) 則當a,b不共線時，由向量加法三角形法則： 向量a, b ,a - b構成三角形，因此有| a+b |其幾何意義是什么？含有絕對值的不等式常常相加減，得到較為復雜的不等式，這就需要利用例 1,例2和例3的結果來證明。證明cx a c 一，2y -b例4、已知:-，求證2=(x a) + (yc,2c , c十 y -b £ 十一=c2 2cx -a<-,

5、y -b證明(x y) -(a - b)x a由( 1), (2)ax<-,4y例5、已知(x + y) _(a +b) < c.-b)(2)得:(x y) (a b).求證:aaax一，y<_，-2x<-,3y2x -3y6:c:a。(1)由例 1 及上式，2x3y 蘭 2x + 3y ca + a = a 。2 2注意：在推理比較簡單時，我們常常將幾個不等式連在一起寫。但這種寫 法，只能用于不等號方向相同的不等式。四、鞏固性練習：1、已知 Aab <£.求證：(AB)(ab) cc。222、已知x _ac< 一，y b< C.求證：2x

6、_3y - 2a +3bc。46作業(yè)：習題1.2 2、3、51.4絕對值三角不等式學案預習目標：1.理解絕對值的定義，理解不等式基本性質的推導過程;2. 了解定理1的兩種證明思路及其幾何意義；3.預習內容：理解絕對值三角不等式。f1 .絕對值的定義：-a - R , |a| =2.絕對值的幾何意義：1 °實數(shù)a的絕對值|a| ,表示數(shù)軸上坐標為a的點A-b5#2°.-兩個實數(shù)a,b，它們在數(shù)軸上對應的點分別為A, B ,那么|a _ b |的幾何意義是3. 定理1的內容是什么？其證法有幾種？4. 若實數(shù)a, b分別換成向量a, b定理1還成立嗎？5. 定理2是怎么利用定理1

7、證明的？探究學習：1、絕對值的定義的應用例1設函數(shù)f (x) = x十1 一 x -4 .1解不等式f(x) -2 ;2求函數(shù)y二f (x)的最值.2.絕對值三角不等式：探究|a| , |b|, |a-b|之間的關系. a b 0時,如下圖,容易得：|a，b| | a | | b |.* *>r：*O ah a+b x”+b 占0 O a b ：° 時，如圖，容易得：|a，b| | a | |b |.b a+b 0 a xQ 0+b b a b =0 時，顯然有：|a b| |a | |b |.綜上，得定理1如果a,b三R ,那么| a b | a | - |b | .當且僅當

8、 時,等號成在上面不等式中,用向量a,b分別替換實數(shù)a,b ,則當a,b不共線時，由向量加法三角形法則：向量a,b ,a b構成三角形,因此有|a b|一|a 1 |b 1它的幾何意義就是：定理1的證明：時,等號成定理2如果a,b,cR,那么|a9|a-b|b-c|.當且僅當3、定理應用例 2（ 1）a,bR 證明 a+b Xa bcc、(2)已知 x < y, y _b| *2，求證 (x+y)(a+b) <c.。課后練習：a亠b1.當a、R時，不等式-1成立的充要條件是2yA. ab 0 B . a 亠 b = oC . ab ：: 0 D . ab > 02. 對任意實

9、數(shù)x , |x -1 | |2| .a恒成立，則a的取值范圍是:3. 對任意實數(shù)x , | x 1 | | x 3 k： a恒成立，則a的取值范圍是4. 若關于x的不等式| x _4 | | x 3 | ： a的解集不是空集，則a的取值范圍是5. 方程|諾卜舞的解集為丄不等式|亡 A 占的解集是6. 已知方程|2x 一1 | 一| 2x 1 | = a 1有實數(shù)解，則a的取值范圍為 。7. 畫出不等式x + y <1的圖形，并指出其解的范圍。利用不等式的圖形解不等 式1°、|x +1 一 x 一1| c 1 ；2x + 2 y 蘭1.9#8.解不等式:312x 1£

10、X 1；2>1;x -1x+1| + x+2：>3 ;4x+2 -x-1+3=0.9. 1、已知a< -,yx:. 求證:62x 3y < a。102、已知x _ ac< 一,y b<c.求證：2x _3y 2a +3b46:c。3、已知A as<-,B _b3s<-,C3求證：(A + B+C)-(a+b + c) cs11#10 . 1 °、已知x' < 4a , y c 4a.求證：xy < a.x2”、已知 x <ch, y acaO.求證：< h.y參考答案：課后練習1、B.2、a v 33、a > 44、a> 75、-3 vxv =-2 或 x> =0 x<0 或 x>26、-3<=a<-17、先考慮不等式在平面直角坐標系內第一象限的情況。在第一象限內不等式等價于:x_0， y_0， xy.其圖形是由第一象限中直線y = 1 - x下方的點所組成。同樣可畫出二、三、四象限的情況。從而得到不等式x + y蘭1的圖形是以原點 0為中心，四個等點分別在坐標軸上的正方形。不等式解的范圍一 目了然。探究：利用不等式的圖形解不等式1.