絕對(duì)值(基礎(chǔ))知識(shí)講解

1、絕對(duì)值(基礎(chǔ))【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1掌握一個(gè)數(shù)的絕對(duì)值的求法和性質(zhì)；2 進(jìn)一步學(xué)習(xí)使用數(shù)軸，借助數(shù)軸理解絕對(duì)值的幾何意義；3. 會(huì)求一個(gè)數(shù)的絕對(duì)值，并會(huì)用絕對(duì)值比較兩個(gè)負(fù)有理數(shù)的大??；4. 理解并會(huì)熟練運(yùn)用絕對(duì)值的非負(fù)性進(jìn)行解題.【要點(diǎn)梳理】要點(diǎn)一、絕對(duì)值1. 定義：一般地，數(shù)軸上表示數(shù) a的點(diǎn)與原點(diǎn)的距離叫做數(shù) a的絕對(duì)值，記作|a|. 要點(diǎn)詮釋?zhuān)?1)絕對(duì)值的代數(shù)意義： 一個(gè)正數(shù)的絕對(duì)值是它本身；一個(gè)負(fù)數(shù)的絕對(duì)值是它的相反數(shù); 的絕對(duì)值是0 .即對(duì)于任何有理數(shù) a都有：fa (a=0)|a| 二 0 (a =0)_a (a ；： 0)(2 )絕對(duì)值的幾何意義：一個(gè)數(shù)的絕對(duì)值就是表示這個(gè)數(shù)的點(diǎn)到原點(diǎn)

2、的距離，離原點(diǎn)的距 離越遠(yuǎn)，絕對(duì)值越大；離原點(diǎn)的距離越近，絕對(duì)值越小.(3 )一個(gè)有理數(shù)是由符號(hào)和絕對(duì)值兩個(gè)方面來(lái)確定的.2. 性質(zhì)：絕對(duì)值具有非負(fù)性，即任何一個(gè)數(shù)的絕對(duì)值總是正數(shù)或0.要點(diǎn)二、有理數(shù)的大小比較1. 數(shù)軸法：在數(shù)軸上表示出這兩個(gè)有理數(shù)，左邊的數(shù)總比右邊的數(shù)小.女口： a與b在數(shù)軸上的位置如圖所示，則 av b.2. 法則比較法：兩個(gè)數(shù)比較大小，按數(shù)的性質(zhì)符號(hào)分類(lèi)，情況如下:兩數(shù)同號(hào)同為正號(hào)：絕對(duì)值大的數(shù)大同為負(fù)號(hào)：絕對(duì)值大的反而小兩數(shù)異號(hào)正數(shù)大于負(fù)數(shù)數(shù)為0正數(shù)與0 :正數(shù)大于0負(fù)數(shù)與0 :負(fù)數(shù)小于0要點(diǎn)詮釋?zhuān)汉蘒用絕對(duì)值比較兩個(gè)負(fù)數(shù)的大小的步驟：(1)分別計(jì)算兩數(shù)的絕對(duì)值；(2

3、)比較絕對(duì)值的大??；(3)判定兩數(shù)的大小.3. 作差法：設(shè)a、b為任意數(shù)，若 a-b >0，則a>b;若a- b= 0,則a= b;若a-b v 0, av b； 反之成立.aaa4. 求商法：設(shè)a、b為任意正數(shù)，若 1，則a b ；若 1，則a =b ；若 1，則a b ；bbb反之也成立.若a、b為任意負(fù)數(shù)，則與上述結(jié)論相反.5. 倒數(shù)比較法：如果兩個(gè)數(shù)都大于 0，那么倒數(shù)大的反而小.【典型例題】類(lèi)型一、絕對(duì)值的概念1.求下列各數(shù)的絕對(duì)值.-11 , -0.3, U2I 2丿【思路點(diǎn)撥】11 , -0.3 , 0,-單位長(zhǎng)度，這個(gè)數(shù)字2I 2丿就是各數(shù)的絕對(duì)值還可以用絕對(duì)值法則

4、來(lái)求解.【答案與解析】解法一：因?yàn)?1 1到原點(diǎn)距離是11個(gè)單位長(zhǎng)度，所以2 2因?yàn)?0.3到原點(diǎn)距離是0.3個(gè)單位長(zhǎng)度，所以 卜0. 3| = 0.3.因?yàn)?到原點(diǎn)距離為0個(gè)單位長(zhǎng)度，所以| 0| = 0.因?yàn)橐?31到原點(diǎn)的距離是31個(gè)單位長(zhǎng)度，所以解法因?yàn)?1 <0，所以-11 =2 2I 2 .丿2因?yàn)?0. 3v0,所以卜 0. 3| = -（- 0.3） = 0. 3.因?yàn)?的絕對(duì)值是它本身，所以| 0| = 0.因?yàn)?gt;0，所以-31 K31.I 2丿12【總結(jié)升華】求一個(gè)數(shù)的絕對(duì)值有兩種方法：一種是利用絕對(duì)值的幾何意義求解（如方法1）,一種是利用絕對(duì)值的代數(shù)意義求解（

5、如方法2），后種方法的具體做法為：首先判斷這個(gè)數(shù)是正數(shù)、負(fù)數(shù)還是0.再根據(jù)絕對(duì)值的意義，確定去掉絕對(duì)值符號(hào)的結(jié)果是它本身，是它的相 反數(shù)，還是0 .從而求出該數(shù)的絕對(duì)值. 2.已知一個(gè)數(shù)的絕對(duì)值等于2009,則這個(gè)數(shù)是.【答案】2009或-2009【解析】根據(jù)絕對(duì)值的定義，到原點(diǎn)的距離是 2009的點(diǎn)有兩個(gè)，從原點(diǎn)向左側(cè)移動(dòng) 2009 個(gè)單位長(zhǎng)度，得到表示數(shù)-2009的點(diǎn)；從原點(diǎn)向右側(cè)移動(dòng) 2009個(gè)單位長(zhǎng)度，得到表示數(shù)2009 的點(diǎn).【總結(jié)升華】 已知絕對(duì)值求原數(shù)的方法：（1）利用概念；（2）利用數(shù)形結(jié)合法在數(shù)軸上表示出 來(lái).無(wú)論哪種方法都要注意若一個(gè)數(shù)的絕對(duì)值是正數(shù)，則此數(shù)有兩個(gè)，且互為相

6、反數(shù)舉一反三：【變式1】求絕對(duì)值不大于 3的所有整數(shù).【答案】絕對(duì)值不大于3的所有整數(shù)有-3、-2、-1、0、1、2、3.【高清課堂：絕對(duì)值比大小356845典型例題3】【變式2】如果丨x | = 2，那么x = ;如果丨一x |= 2，那么x=.如果| X 2 |= 1，那么x =; 如果| x |> 3，那么x的范圍是第3頁(yè)共5頁(yè)【答案】-2或-2 ;2或-2 ; 1或3； x3或xv-3【變式3】數(shù)軸上的點(diǎn) A到原點(diǎn)的距離是6，則點(diǎn)A表示的數(shù)為 .【答案】6或-6類(lèi)型二、比較大小3.比較下列有理數(shù)大小：（1）-1和0;（2）- 2和卜3| ; （3） _ _1和I 3丿-1-0.1

7、【答案】（1）0大于負(fù)數(shù)，即-1v 0;先化簡(jiǎn)卜3| = 3，負(fù)數(shù)小于正數(shù)，所以11、1 (1 1，即 _ <22 “3132-2V 3, 即 -2V 卜 3| ;（4）先化簡(jiǎn) 1 1 ,0*1 = 0.1，這是兩個(gè)負(fù)數(shù)比較大?。阂?yàn)?0.1|=0.1，而 1>0.1 ,所以一1丈-0.1，即1 v0.1【解析】（2）、（3）、（4）先化簡(jiǎn)，再運(yùn)用有理數(shù)大小比較法則.【點(diǎn)評(píng)】在比較兩個(gè)負(fù)數(shù)的大小時(shí)，可按下列步驟進(jìn)行：先求兩個(gè)負(fù)數(shù)的絕對(duì)值，個(gè)絕對(duì)值的大小，最后根據(jù)“兩個(gè)負(fù)數(shù)，絕對(duì)值大的反而小”做出正確的判斷. 舉一反三：【高清課堂：絕對(duì)值比大小356845典型例題2】【變式1】比大小

8、：5 63-3;-1-3.21-（+3.2）;0.00016 7-1.38 1.384 ; n 3.14 .【答案】;=；【變式2】（山東臨沂）下列各數(shù)中，比一 1小的數(shù)是（）A. 0B. 1C. 2D. 2【答案】C【變式3】數(shù)a在數(shù)軸上對(duì)應(yīng)點(diǎn)的位置如圖所示，則a, -a, -1的大小關(guān)系是（11ii.a -1 0一1=1 ,再比較兩1000;第5頁(yè)共5頁(yè)A . - a v av -1C. a v -1 v - aB. -1 v - av aD. av - av -1第#頁(yè)共5頁(yè)第#頁(yè)共5頁(yè)【答案】C類(lèi)型三、絕對(duì)值非負(fù)性的應(yīng)用a4. 已知 |2-m| +| n-3| = 0,試求 m-2n

9、的值.【思路點(diǎn)撥】 由丨a |> 0即絕對(duì)值的非負(fù)性可知，丨2-m | > 0 ,丨n-3 | > 0，而它們的和 為 0.所以 | 2-m | = 0, |n-3| = 0.因此，2-m = 0, n-3 = 0，所以 m= 2, n = 3.【答案與解析】 因?yàn)閨 2-m| +| n-3| = 0且| 2-m| > 0, | n- 3| > 0所以 | 2-m| = 0, | n-3| = 0即 2-m= 0, n-3= 0所以 m = 2, n = 3故 m-2n= 2-2X 3 = -4.【總結(jié)升華】 若幾個(gè)數(shù)的絕對(duì)值的和為0,則每個(gè)數(shù)都等于 0，即| a

10、| +| b| +, +| m| = 0時(shí)，貝U a= b = , = m = 0.類(lèi)型四、絕對(duì)值的實(shí)際應(yīng)用5. 正式足球比賽對(duì)所用足球的質(zhì)量有嚴(yán)格的規(guī)定，下面是6個(gè)足球的質(zhì)量檢測(cè)結(jié)果，用正數(shù)記超過(guò)規(guī)定質(zhì)量的克數(shù)，用負(fù)數(shù)記不足規(guī)定質(zhì)量的克數(shù).檢測(cè)結(jié)果（單位：克）：-25,+10, -20, +30 , +15,-40.裁判員應(yīng)該選擇哪個(gè)足球用于這場(chǎng)比賽呢？請(qǐng)說(shuō)明理由.【答案】 因?yàn)閨 +10 |v| +15 |v| -20 |v| -25 |v| +30 | <| -40 |,所以檢測(cè)結(jié)果 為+10的足球的質(zhì)量好一些.所以裁判員應(yīng)該選第二個(gè)足球用于這場(chǎng)比賽.【解析】根據(jù)實(shí)際問(wèn)題可知，哪個(gè)

11、足球的質(zhì)量偏離規(guī)定質(zhì)量越小，則足球的質(zhì)量越好.這個(gè)偏差可以用絕對(duì)值表示，即絕對(duì)值越小偏差也就越小，反之絕對(duì)值越大偏差也就越大.【點(diǎn)評(píng)】絕對(duì)值越小，越接近標(biāo)準(zhǔn).舉一反三：【變式1】某企業(yè)生產(chǎn)瓶裝食用調(diào)和油，根據(jù)質(zhì)量要求，凈含量（不含包裝）可以有0.002L的誤差.現(xiàn)抽查6瓶食用調(diào)和油，超過(guò)規(guī)定凈含量的升數(shù)記作正數(shù)，不足規(guī)定凈含量的升數(shù)記作負(fù)數(shù).檢查結(jié)果如下表：+0. 0018-0.0023+0.0025-0. 0015+0.0012+0.0010請(qǐng)用絕對(duì)值知識(shí)說(shuō)明：（1）哪幾瓶是合乎要求的（即在誤差范圍內(nèi)的）？（2）哪一瓶?jī)艉孔罱咏?guī)定的凈含量？【答案】（1）絕對(duì)值不超過(guò)0. 002的有4瓶，分別是檢查結(jié)果為+0. 0018, -0. 0015, +0.0012, +0. 0010的這四瓶.（2）第6瓶?jī)艉颗c規(guī)定的凈含量相差最少，最接近規(guī)定的凈含量.【變式2】一只可愛(ài)的小蟲(chóng)從點(diǎn) O出發(fā)在一條直線上來(lái)回爬行，假定向右爬行的路程記為正數(shù)，向左爬行的路程記為負(fù)數(shù)，小蟲(chóng)爬行的各段路程（單位：cm）依次記為：+5 , -3, +10 ,-