第十八章隱函數(shù)定理及其應(yīng)用

1、一.填空題1. 橢球面x2+2y2+3z2=6在(1,1,1 )處的切平面方程 ,法線方程2. 隱函數(shù)存在惟一性定理的條件是 條件.13. 由方程F (x, y) = y -X -一sin y所確定的隱函數(shù) y = f (x)的導(dǎo)數(shù)為2Q9匸乙匸Z4. 設(shè) z 3xyz = a ,貝V =. =.excy2 2 25. 曲線x3 + y3 = a'(an0)上任一點處的切線方程為 .6螺旋線x = acost,y=asin t,z= bt在t“= 處的切線方程為，法平3面方程.7. 設(shè) sin y + exxy2 =0,貝U 魚=.dx8. 在曲面z = xy上點處，法線垂直于平面 x

2、 + 3y+z + 9 = 0.9. 利用拉格朗日乘數(shù)法是將條件極值化為 極值.32310. 由方程F(x,y,z)=xyz x y -z = 0所確定二元隱函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)為：Z _:z _r _ J_'x:y二.計算題2 2 2 2 f |H1. 設(shè)z = xy ,其中y = f (x)為由方程x -xy y =1所確定的隱函數(shù)，求 J j2 2 22. 確定正數(shù),使曲面xyz = 與橢球面2 七勺=1在某一點相切(即在該點有公a b c共切平面).3. 求內(nèi)接于半徑為a的球且有最大體積的長方體.4. 在平面xoy上求一點，使它到 x=0, y=0,及x，2y-16 = 0三直線的距離

3、平方之和為最小。2 2 25. 求平面曲線x3 y3 =a3(a 0)上任一點處的切線方程，并證明這些切線被坐標(biāo)軸所截 取的線段等長.2x.“f6. 設(shè) arcsinx lny-etgy=O確定隱函數(shù) y = y(x),求 y (0).7. 拋物面x2 yz被平面x y z=1截成一個橢圓，求這個橢圓到原點的最長與最短距離.8驗證二元方程F(x, y) =xy 2x -2y =0在點0的某鄰域確定唯一一個有連續(xù)導(dǎo)數(shù)的隱函數(shù)y = (x),并求;(x).239.求出曲線x = t, y =t ,z = t上的點，使在該點的切線平行于平面x 2y 4.x卄10.設(shè) e -xyz =0,求 Zxx填

4、空題答案：1.切平面方程x 2y 3z = 6 ,法線方程x -1 y-1 z-12.充分條件.3.f (x)Z2- cos y4.Zyz；z:xz2-xyxz""2 z - xy5.6.切線方程ax 2a法平面方程.3二a)陀-于上0.7也dx2y -ecosy -2xy8. (-3,-1,3).9.無條件.10.:z yz3 2x 2x 1 -3xyz32:z xz 3y_ 2:y1 - 3xyz計算題答案：1.解：由x -xy y=1得 =y,由z = xy,得dx x 2y2 2生=2x 2y史=2(x 一y)dxdx x-2yzxx4(x-yy)(x-2y) -2

5、(x2 -y2)(1-2y )(x-2y)24x-2y 6x3 .x-2y (x-2y)2.解：設(shè)兩曲面在點 P0(x0,y0,z)相切,那么曲面xyz='在點F0的切平面y° z( w X)+ Z X予 y+ X (y -z )oZ.與橢球面在點P0的切平面3.篤(x-Xo所以Xoyo解：設(shè)球面方程為(y -Zoc oX oyx2y2 z2(Z-oZ )應(yīng)為一個平面，所以XoyoZob2Xoyo硬= Xoy(Z-a ,一個頂點，那么此長方體的長、寬、高分別為abco<3'(x, y,Z)是它的內(nèi)接長方體在第一卦限內(nèi)的2x,2 y,2z,體積為 V = 8xyz

6、令 L(x, y,z) =8xyz ： ； (x2 y2 z2 _a2)Lx =8yz 2，x = o, 由? Ly =8xz + 2hy = o,LZ 二 8xy 2 z = o,4yz：.= o,即4xz+&y=o,4xy + kz = o,解得代入x2y2z a2, 得，43a,(,)為惟一駐點，由題意可知長:/ 3 - 3 -./3方體的最大體積存在，所以當(dāng)長方體的長、寬、高都為=時其體積最大。.34.解：設(shè)所求點為(x, y),那么此點到三直線的距離依次為:x 2y-16.三距離平方之和為X 2廣 0'r0=2x 2(x 2y -16) =0 .:x5由< 內(nèi)4

7、=2y -(x 2y -16) =O y5求得駐點由于駐點惟,根據(jù)問題本身可知，距離平方和最小的點必定存在2Fx(x, y)Fy(x,y|y_3.2 2 2解：令 F (x, y) = x3 y3 -a3,那么于是,曲線上任一點(xo,yo)處的切線方程為：1 13Xo 3xyo 3y = a .6.切線與兩軸的交點分別為1 2 1 2(x°3a3)2 (y°3a3)2解：方程兩邊對x求導(dǎo)得1 2 _(x°3,a30), (0,y°3,a3),而4 2 2冷佑 y°町=也 arcs 7 _2e1-x2y2x -二0 ,解得cos y2e2x -

8、y =晁五ln y1二212cos y由原方程y(0)盲丄，*1兀故 y(0) =1 ln .7.L(x,y,z,=x2z2 r.(x2 y2 _ z) | (x y z _1),8.那么有LyLzL九=2x 2x，=0 = 2y 2y-=0=2z -， _ 0=x y _z = 0x y z -1 = 0求得方程組的解為丸=一3 ±5/337 31，3由于所求問題存在最大值與最小值，故由f (二13,二13,. 3)所求得的2 -兩個值9二5； 3 ,正是該橢圓到原點的最長距離.93與最短距離：9 - 53 .解：函數(shù) Fx (x,y)二 y 2x|n2與 Fy (x, y) = x - 2y ln2在點(0, 0 )鄰域連續(xù)，且F(0,0) =0, Fy(0,0) =-l n2=0由隱函數(shù)存在定理，在點0的某個鄰域(-)存在唯一一個有連續(xù)導(dǎo)數(shù)的函數(shù)y = (x),使 Fx, (x) =0,且(0) =0.24Xy 2 丨 n 2 2yln 2 .29.解：=xt =1,yt =2t,zt =3t ,設(shè)所求點對應(yīng)的參數(shù)為to,那么曲線在該點處切向量2可取為T =(1,2t0,3t0 ),而平面的法向量為n = (1,2,1),切線與平面平行，得2 1 、1亠4t°亠3t°0,解得 鮎二-1