小學(xué)數(shù)學(xué)常見(jiàn)錯(cuò)誤分析—復(fù)合應(yīng)用題素材_第1頁(yè)
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1、復(fù)合應(yīng)用題復(fù)合應(yīng)用題就是要用兩步或兩步以上的運(yùn)算才能解答的應(yīng)用題。因此,每個(gè)復(fù)合應(yīng)用題一般都由兩個(gè)或兩個(gè)以上有聯(lián)系的簡(jiǎn)單應(yīng)用題復(fù)合而成。復(fù)合應(yīng)用題中需要用特殊的思路與方法進(jìn)行解答的,這類題稱為典型應(yīng)用題。復(fù)合應(yīng)用題由于數(shù)量關(guān)系復(fù)雜,解題時(shí)應(yīng)特別注意遵循以下步驟:第一步:審題。了解題中的內(nèi)容,理解題意,找出題中的已知條件和要求的問(wèn)題。第二步:分析。重點(diǎn)分析題中的數(shù)量關(guān)系,即已知數(shù)與已知數(shù)的關(guān)系,已知數(shù)和未知數(shù)的關(guān)系,從而找出解題的途徑與方法。第三步:列式。確定解題步驟與方法,先算什么,再算什么,.最后算什么,并列出分步式或者綜合式,進(jìn)行計(jì)算得出答案。第四步:驗(yàn)算。通過(guò)驗(yàn)算最后確定答案正確與否。第

2、五步:答題。寫出題目中所要求的答案。在以上的步驟中,審題是基礎(chǔ),分析是關(guān)鍵。只有認(rèn)真審題,正確分析,才能找到正確的解題思路,列出正確的算式進(jìn)行解答。驗(yàn)算往往在解題時(shí)容易忽略,其實(shí)這一步是非常重要的,有的學(xué)生解答完一道題后,自己不知道是否正確,沒(méi)有把握,這就是沒(méi)有進(jìn)行“驗(yàn)算”訓(xùn)練的表現(xiàn)。作答一般來(lái)講是容易的事,正因?yàn)槿绱耍谧鞔饡r(shí)往往出現(xiàn)張冠李戴的錯(cuò)誤。例1 勝利機(jī)械廠1995 年的產(chǎn)值是65 萬(wàn)元,1997 年的產(chǎn)值比1995 年增長(zhǎng)了3 倍。1997 年的產(chǎn)值是多少萬(wàn)元?解65+65×3=65+195=260(萬(wàn)元)?;蛘?5×(3+1)=65×4=260(萬(wàn)元

3、)。答:1997 年的產(chǎn)值是260 萬(wàn)元。常見(jiàn)錯(cuò)誤65×3=195(萬(wàn)元)。答:1997 年的產(chǎn)值是195 萬(wàn)元。例2 果園鄉(xiāng)去年收桔子40 萬(wàn)箱,今年收桔子120 萬(wàn)箱。今年的桔子產(chǎn)量比去年增加了幾倍?解(120-40)÷40=80÷40=2。答:今年的桔子產(chǎn)量比去年增加2 倍。常見(jiàn)錯(cuò)誤120÷40=3(倍)。答:今年桔子產(chǎn)量比去年增加了3 倍。分析以上兩例的錯(cuò)誤,主要是由于學(xué)生對(duì)“倍數(shù)”關(guān)系理解不清而造成的。例1 誤把“增長(zhǎng)了3 倍”與“求一個(gè)數(shù)的3 倍是多少”等同起來(lái),不知道1997年的產(chǎn)值比1995 年增長(zhǎng)3 倍以后,是1995 年產(chǎn)值的4 倍,

4、因此產(chǎn)生了錯(cuò)誤;例2 對(duì)“今年的桔子產(chǎn)量比去年增加了幾倍”理解不清,把它與“今年的產(chǎn)量是去年的幾倍”等同起來(lái),所以產(chǎn)生了錯(cuò)誤,列式中由于“倍”不是計(jì)量單位,因此最后在“倍”字上加括號(hào)作為計(jì)量單位,也是錯(cuò)誤的。應(yīng)用題中所講的“倍數(shù)”一般是由兩個(gè)數(shù)量相比較而得出來(lái)的。例如“桃樹(shù)的棵數(shù)是梨樹(shù)的3 倍”,是桃樹(shù)棵數(shù)與梨樹(shù)棵數(shù)相比較而得來(lái)的;“1997年的產(chǎn)值比1995 年增長(zhǎng)了3 倍”,即1997 年的產(chǎn)值比1995 年產(chǎn)值增長(zhǎng)的數(shù)與1995 年產(chǎn)值相比得出的3 倍,因此,在解題時(shí),若遇到“倍數(shù)”問(wèn)題,一定要弄清它是由哪兩個(gè)數(shù)量比較而得來(lái)的。解倍數(shù)應(yīng)用題,準(zhǔn)確地找到“1 倍數(shù)”,這是解題的關(guān)鍵。倍數(shù)應(yīng)

5、用題中有個(gè)誰(shuí)與誰(shuí)比的問(wèn)題,那個(gè)被比的數(shù)就是“1 倍數(shù)”,如例1 中1995 年的產(chǎn)值是“1 倍數(shù)”。為了使學(xué)生正確地解答這類問(wèn)題,培養(yǎng)學(xué)生用圖示法解題是很重要的。例如桃樹(shù)有150 棵,是梨樹(shù)棵數(shù)的3 倍,梨樹(shù)有多少棵?學(xué)生如能畫(huà)出下面的圖,則解題就容易得多了。從圖中很清楚地可以看出,桃樹(shù)的棵數(shù)是梨樹(shù)棵數(shù)的3 倍,求梨樹(shù)的棵數(shù),就是把桃樹(shù)的棵數(shù)平均分成3 份,取其中的1 份,如例1,學(xué)生能畫(huà)出下面的圖,解答也就不困難了。從圖中可以看出,1997 年的產(chǎn)值相當(dāng)于1995 年產(chǎn)值的4 倍。例2 結(jié)合題目的分析可繪出如下的示意圖。從圖中可以看出,要求今年桔子產(chǎn)量比去年增長(zhǎng)幾倍,必須先求出今年的桔子比去

6、年增長(zhǎng)了多少萬(wàn)箱,再看增長(zhǎng)的箱數(shù)是去年產(chǎn)量的幾倍,就是增長(zhǎng)幾倍。例3 狐貍在奔跑時(shí)最高速度可達(dá)每分鐘750 米。照這樣計(jì)算,1 小時(shí)可跑多少千米?解750×60÷1000=45000÷1000=45(千米)?;蛘撸?50÷1000×60×60=45(千米)。答:狐貍最高速度1 小時(shí)可跑45 千米。常見(jiàn)錯(cuò)誤750÷1000=0.75(千米)。答:狐貍最高速度1 小時(shí)可跑0.75 千米。例4 一個(gè)餐廳長(zhǎng)12 米,寬10 米,用邊長(zhǎng)為2 分米的正方形瓷磚鋪地,需要這種瓷磚多少塊?解12×10÷×0.2

7、)=120÷=3000(塊)?;蛘?120×100÷(2×2)=12000÷4=3000(塊)。答:需要瓷磚3000 塊。常見(jiàn)錯(cuò)誤12×10÷(2×2)=120÷4=30(塊)。答:需要瓷磚30 塊。分析以上兩例的錯(cuò)誤,一方面是學(xué)生對(duì)題意不理解,另一方面就是計(jì)量單位的選用對(duì)解題產(chǎn)生了較大的干擾,而導(dǎo)致了錯(cuò)誤,如例3 中只有一個(gè)數(shù)量750米供學(xué)生解題時(shí)思考,他們?cè)谒伎紩r(shí)各種計(jì)量單位的化聚同時(shí)出現(xiàn)在腦海里,無(wú)所適從,因此,就選擇了750÷1000 的錯(cuò)誤方法。要防止出現(xiàn)類似錯(cuò)誤,必須透徹地理解每一步

8、解題的算理。如例3 分析時(shí)可畫(huà)出下面的方框圖。從圖中可以看出,1 分鐘跑750 米,1 小時(shí)跑多少千米?跑的時(shí)間由1分鐘變成了1 小時(shí)(60 分鐘),即擴(kuò)大了60 倍,那么,跑的距離也應(yīng)該擴(kuò)大60 倍,即750×60。而題中要求的是多少千米,因此再算一步得750×60÷1000。例4 有兩種解答方法,第一種是先統(tǒng)一用“米”作長(zhǎng)度單位,這樣,面積就都以“平方米”作單位。第二種是先統(tǒng)一用“分米”作長(zhǎng)度單位,這樣,面積就以“平方分米”作單位。只有單位統(tǒng)一后,才能求出正確的答案。例5100 千克蓖麻籽可以榨油45 千克,1 千克蓖麻籽可以榨多少千克蓖麻油?解45÷

9、;100=0.45(千克)。答:1 千克蓖麻籽可以榨0.45 千克油。常見(jiàn)錯(cuò)誤100÷2.22(千克)。答:1 千克蓖麻籽可以榨2.22 千克油。例6 用0.5 度電可以生產(chǎn)化肥0.4 千克。照這樣計(jì)算,生產(chǎn)1 千克化肥需要多少度電?解÷0.4=1.25(度)。答:生產(chǎn)1 千克化肥要1.25 度電。常見(jiàn)錯(cuò)誤÷0.5=0.8(度)。答:生產(chǎn)1 千克化肥要0.8 度電。分析學(xué)生解以上兩題出現(xiàn)錯(cuò)誤的原因有兩個(gè)方面。第一是他們不熟悉題中的事情,沒(méi)有這方面的感性知識(shí);第二是在學(xué)習(xí)整數(shù)時(shí),除法運(yùn)算都是較大數(shù)除以較小數(shù),而到了學(xué)習(xí)小數(shù)時(shí),較小的數(shù)也可以作為被除數(shù),因此,他們對(duì)確

10、定被除數(shù)與除數(shù),還不能從算理上進(jìn)行分析,要么憑經(jīng)驗(yàn)用較大數(shù)作被除數(shù)(例5),要么瞎猜亂碰(例6)。為了防止上述錯(cuò)誤的發(fā)生,首先要分析算理,如例5,45 千克蓖麻油是從100 千克蓖麻籽中榨出來(lái)的,要求每千克蓖麻籽能榨油多少千克,應(yīng)該把45 千克油平均分成100 份,每份就是1千克蓖麻籽榨出的油的千克數(shù),所以用45÷100 而不是100÷45。其次,要讓學(xué)生弄明白蓖麻籽榨成油后,分成了兩部分,一部分是蓖麻油,另一部分是蓖麻餅。題中要求1 千克蓖麻籽榨多少千克蓖麻油,這個(gè)結(jié)果一定是小于1 千克。學(xué)生若明白了這個(gè)事理,就不會(huì)錯(cuò)成1 千克蓖麻籽榨出2.22 千克油來(lái)。為了防止出現(xiàn)這

11、類問(wèn)題的錯(cuò)誤,可有針對(duì)性地解答以下問(wèn)題:小明跑100 米用了20 秒鐘。a平均每跑1 米用了多少時(shí)間?b平均每秒跑了多少米?某煤礦每采420 千克煤需用電4 度。a平均每度電可采煤多少千克?b平均每采1 千克煤需用電多少度?例7 張村今年植樹(shù)1480 棵,比李村植樹(shù)的棵數(shù)少245 棵。今年兩村共植樹(shù)多少棵?解1480+(1480+245)=1480+1725=3205(棵)。答:今年兩村共植樹(shù)3205 棵。常見(jiàn)錯(cuò)誤1480+245=1725(棵)。答:今年兩村共植樹(shù)1725 棵。例8 洪江路小學(xué)參加科技小組的同學(xué)有120 人,比參加數(shù)學(xué)小組人數(shù)的2 倍多20 人。參加兩個(gè)小組的同學(xué)共有多少人?

12、解120+(120-20)÷2=120+100÷2=120+50=170(人)。答:參加兩個(gè)小組的同學(xué)共有170 人。常見(jiàn)錯(cuò)誤(1)120×2-20=240-20=220(人)。答:參加兩個(gè)小組的同學(xué)共有220 人。(2)120×2+20=240+20=260(人)。答:參加兩個(gè)小組的同學(xué)共有260 人。分析以上兩例有一個(gè)共同的特點(diǎn),就是題中的一個(gè)已知條件在解題時(shí)要重復(fù)運(yùn)用一次。因此,學(xué)生解這類問(wèn)題時(shí)極易發(fā)生錯(cuò)誤。如例7“今年植樹(shù)1480棵”這一已知條件要運(yùn)用兩次才能解答此題,而學(xué)生往往錯(cuò)誤地認(rèn)為將1480加上245 就是兩年植樹(shù)的棵數(shù),從而發(fā)生了錯(cuò)誤。

13、例8 中“參加科技小組的同學(xué)有120 人”這個(gè)已知條件解題時(shí)也要重復(fù)用兩次,而學(xué)生解題時(shí)容易理解成“參加科技小組人數(shù)的2 倍多20 人”就是兩個(gè)小組的人數(shù),因而發(fā)生了解題錯(cuò)誤。為了防止發(fā)生上述錯(cuò)誤,可用填圖的方法進(jìn)行思考,如例7 填圖法的解題思路是這樣的:通過(guò)以上的步驟進(jìn)行填圖,就明白了要求兩村一共植樹(shù)多少棵,一定要知道張村與李村各植樹(shù)多少棵。這樣,就不會(huì)發(fā)生遺漏已知條件的解題錯(cuò)誤。其次是通過(guò)畫(huà)圖來(lái)理解數(shù)量關(guān)系。如例8 可畫(huà)出下圖:從圖中形象地看出,其中數(shù)學(xué)組的人數(shù)不知道,如果從科技組的人數(shù)中去掉20 名,則正好是數(shù)學(xué)組人數(shù)的2 倍,從而求出數(shù)學(xué)組的人數(shù),進(jìn)一步求出兩組共有的人數(shù)。以上兩例中的

14、一個(gè)已知條件解題時(shí)只重復(fù)使用兩次,有的題已知條件要重復(fù)使用多次。例如:某運(yùn)輸隊(duì)第一天運(yùn)了64.5 噸煤,第二天比第一天少運(yùn)了18 噸,第三天運(yùn)的噸數(shù)是第一天的3 倍。三天一共運(yùn)多少噸?這道題的解法是:×3=304.5(噸)。答:三天共運(yùn)煤304.5 噸。例9 蔬菜公司運(yùn)進(jìn)一批南瓜和辣椒,南瓜比辣椒多560 千克,南瓜50筐,每筐40 千克,辣椒40 筐,每筐多少千克?解(40×50-560)÷40=(2000-560)÷40=1440÷40=36(千克)。答:辣椒每筐36 千克。常見(jiàn)錯(cuò)誤40×50-560÷40=2000-5

15、60÷40=1440÷40=36(千克)。答:辣椒每筐36 千克。分析例9 的錯(cuò)誤是沒(méi)有使用括號(hào),此題盡管解題的思路是正確的,但由于沒(méi)有使用括號(hào)而導(dǎo)致綜合算式的錯(cuò)誤。另外,在應(yīng)用題解答中添加多余的括號(hào)的現(xiàn)象也很普遍。產(chǎn)生上述錯(cuò)誤的原因是沒(méi)有理解使用括號(hào)的作用,以及不知道如何使用括號(hào)。糾正的辦法也應(yīng)該從這兩方面著手。第一通過(guò)實(shí)際例子認(rèn)識(shí)到括號(hào)的作用是改變運(yùn)算順序。例如計(jì)算并說(shuō)明下面每組算式的結(jié)果為什么不同。通過(guò)以上的練習(xí),學(xué)生認(rèn)識(shí)到,在一個(gè)算式中,由于使用了括號(hào),就改變了原來(lái)的運(yùn)算順序,計(jì)算出的結(jié)果就不同。其次是弄清怎樣正確使用括號(hào)。列綜合算式解應(yīng)用題是學(xué)生學(xué)習(xí)的難點(diǎn),而正確

16、地使用括號(hào)又是小學(xué)生列綜合算式的難點(diǎn)。為了突破這個(gè)難點(diǎn),一般可分下面兩個(gè)階段進(jìn)行訓(xùn)練。第一階段:分步列式解答應(yīng)用題。第二階段:將分步式改寫成綜合算式。如例9,分步列式應(yīng)該為:40×50=2000(千克).南瓜的總重量2000-560=1440(千克).辣椒的總重量1440÷40=36(千克).辣我們知道,混合運(yùn)算的順序是先算括號(hào)里面的再算括號(hào)外面的。有括號(hào)是先算小括號(hào),再算中括號(hào),最后算大括號(hào)里面的。先把第一步算式用小括號(hào)括起來(lái)(不算出結(jié)果),即(40×50),再把第二步算式用中括號(hào)括起來(lái),即(40×50)-560,最后除以40 的運(yùn)算顯然可以放在中括號(hào)

17、之外了,這樣得到綜合算式如下:(40×50)-560)÷40。由于中括號(hào)里面的運(yùn)算應(yīng)該是先乘除后加減,因此小括號(hào)是多余的,去掉里面小括號(hào),將外面中括號(hào)改為小括號(hào),即得例9 的綜合算式為:(40×50-560)÷40。例10 一個(gè)工廠3 小時(shí)加工零件96 個(gè)。照這樣計(jì)算,再工作5 小時(shí),一共加工零件多少個(gè)?(用兩種方法解答)解法1:96+96÷3×5=96+32×5=96+160=256(個(gè))。解法2:設(shè)再工作5 小時(shí),一共加工零件x 個(gè)。x÷(5+3)=96÷3,x÷8=32,x=256。答:再

18、工作5 小時(shí),一共加工零件256 個(gè)。常見(jiàn)錯(cuò)誤解法1:(1)平均每小時(shí)加工多少個(gè):96÷3=32(個(gè))。(2)這個(gè)工人還要工作5 小時(shí),加工零件多少個(gè)?32×5=160(個(gè))。(3)他一共加工零件多少個(gè)?96+160=256(個(gè))。解法2:96+96÷3×5=96+32×5=96+160=256(個(gè))。答:再工作5 小時(shí),一共加工零件256 個(gè)。例11 食堂有煤12 噸,前5 天燒了3 噸,照這樣計(jì)算,剩下的煤可以燒多少天?(用兩種方法解答)解法1:(12-3)÷(3÷5)=9÷=15(天)。解法2:設(shè)剩下的煤可以

19、燒x 天答:剩下的煤可以燒15 天。常見(jiàn)錯(cuò)誤解法1:設(shè)剩下的煤可以燒x 天。(12-3)÷x=3÷5,9÷x=0.6,x=9÷0.6,x=15。解法2:設(shè)剩下的煤可以燒x 天。3÷5=(12-3)÷x,0.6=9÷x,x=9÷0.6,x=15。答:剩下的煤可以燒15 天。分析例10 解答都沒(méi)有錯(cuò),只是把解題思路相同的分步列式解答與綜合列式解答作為兩種解法,例11 的兩種解法都是用同一方程解應(yīng)用題,不同的只是等式兩邊互換了一下位置,這實(shí)際上也是一種解法。出現(xiàn)這種情況的原因是不理解“兩種解法”的含義,不知道所謂“兩種解

20、法”就是用兩種不同的思路去解題,而不是形式上的不同,不同的思路去解題,必然列出的算式的算理不同,當(dāng)然一般而言算術(shù)解法與代數(shù)解法(即列方程)屬于不同解法。要真正理解不同解法的實(shí)質(zhì),應(yīng)分析比較不同的算術(shù)解法的算理。例如:王師傅裝配一臺(tái)機(jī)器,原來(lái)要用2.2 小時(shí),革新技術(shù)后,現(xiàn)在裝配一臺(tái)機(jī)器比原來(lái)縮短0.2 小時(shí),問(wèn)原來(lái)裝配60 臺(tái)機(jī)器所需的時(shí)間,現(xiàn)在可以裝配多少臺(tái)?解法1:×60÷(2.2-0.2)=132÷2=66(臺(tái))。解法2:×60÷(2.2-0.2)=60+12÷2=60+6=66(臺(tái))。解法1 與解法2 的列式不同,顯然算理也不

21、同。解法1:原來(lái)裝60 臺(tái)所需的時(shí)間÷現(xiàn)在裝配一臺(tái)用的時(shí)間=現(xiàn)在可以裝配多少臺(tái)。解法2:原來(lái)裝的60 臺(tái)+節(jié)省時(shí)間后可以多裝的臺(tái)數(shù)=現(xiàn)在可以裝配多少臺(tái)。當(dāng)然本題還可以用列方程的方法求解,應(yīng)用題多種解法的目的在于開(kāi)拓解題思路,如果能夠用不同的方法題解,就應(yīng)該選擇一種最簡(jiǎn)便的方法。例12 良豐農(nóng)場(chǎng)收割小麥,計(jì)劃每天收割86 公頃,需18 天完成任務(wù),根據(jù)小麥成熟情況,必須提前6 天完成收割任務(wù),這樣每天應(yīng)收小麥多少公頃?解 86×18÷(18-6)=1548÷12=129(公頃)。答:提前6 天完成任務(wù),每天應(yīng)收割129 公頃。常見(jiàn)錯(cuò)誤86×18&

22、#247;6=1548÷6=258(公頃)。答:提前6 天完成任務(wù),每天應(yīng)收割258 公頃。例13 云麗小學(xué)要做400 套校服,原來(lái)按每套2.4 米買回一批布料,實(shí)際采用新裁剪方法做,平均每套節(jié)約0.4 米布,這批布料實(shí)際可做多少套校服?解×400÷(2.4-0.4)=960÷2=480(套)?;?×400÷(2.4-0.4)=400+160÷2=400+80=480(套)。答:這批布料可以做校服480 套。常見(jiàn)錯(cuò)誤(1)(2.4-0.4)×400÷=2×400÷=800÷3

23、33(套)。答:這批布料可以做校服333 套。×400÷=400+160÷400+67=467(套)。答:這批布料可以做校服467 套。分析例12 的錯(cuò)誤是將“提前6 天完成收割任務(wù)”當(dāng)成了“6 天完成收割任務(wù)”,因此列式錯(cuò)誤。下面重點(diǎn)分析例13 的兩種解法的錯(cuò)誤。錯(cuò)解(1)中的2.4-0.4,即每套校服節(jié)約用布后需用布多少米,(2.4-0.5)×400 即節(jié)約用布后,做400 套校服總共用布多少米。那么算式(2.4-0.4)×400÷××400÷2.4 即400 套總共節(jié)約的用布,按原來(lái)的方法裁剪可以做多少套校服,再加上400 套,顯然不是題目所問(wèn)的了。如果把400 套總共節(jié)約的用布,按現(xiàn)在的方法裁剪可以做多少套計(jì)算出來(lái)后,再加上400 套,這又是題目所問(wèn)的了,這也就是上面正確解答中的解法二。防止因數(shù)量關(guān)系分析不清而產(chǎn)生解題錯(cuò)誤的主要辦法是對(duì)每一步算式弄清算理,錯(cuò)誤的算式只有在分析算理后才能知道錯(cuò)在什么地方,分

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