概率論與數(shù)理統(tǒng)計考試版

1、P30.5. 假設(shè)一批產(chǎn)品中一、二、三等品各占60%，30%，10%，從任取出一件，結(jié)果不是三等品，求取到一等品的概率為？解：P=0.6/(0.6+0.3)=2/37. 某保險公司把火災(zāi)保險的客戶分為“易發(fā)”和“偶發(fā)”兩類，該公司的統(tǒng)計資料表明“易發(fā)”客戶占30%，一年內(nèi)索賠的概率為10%；“偶發(fā)”客戶占70%，一年內(nèi)索賠的概率為2%，假設(shè)現(xiàn)有一客戶向保險公司索賠，試分別求該客戶為是“易發(fā)”和“偶發(fā)”客戶的概率。解：記A表示投保的客戶是偶發(fā)的客戶；B表示客戶向保險公司索賠的事件; 記C表示投保的客戶是易發(fā)的客戶：則：P（A）=0.7,P(C)=0.3,P(B|A)=0.02,P(B|C)=0.

2、1P(B)= P(B|A) P(A)+ P(B|C) P(C)=0.7x0.2+0.3x0.1=0.044同理：P(C|B)= P(B|C) P(C)| P(B)=003|0.044=5|22P42.3：將兩信息分別編碼為A和B傳遞出去，接收站接收時，A被誤收作B的概率為0.02，而B被誤收作A的概率為0.01，信息A與信息B傳送的頻繁程度為2:1,若接收站收到的信息是A，問原發(fā)信息是A在概率是多少？解：以A記事件“收到信息為A”，以B記“傳送信息為A”，記B的對立事件為C。P(B)=2/3,P(C)=1/3.P(A|B)=0.98,P(A|C)=0.01.則P(B|A)=P(A|B)P(B)

3、/P(A|B)P(B)+P(A|C)P(C)=196/197P43.6. 設(shè)某地區(qū)成年居民中肥胖者占10%, 不胖不瘦者占82%, 瘦者占8%, 又知肥胖者患高血壓的概率為20%, 不胖不瘦者患高血壓的概率為10%, 瘦者患高血壓的概率為5%。試求：（1）此居民患高血壓的概率。（2）從該地區(qū)任選一居民，發(fā)現(xiàn)此人是高血壓病人，那么屬于哪種體型的可能性最大？說出你的依據(jù)。解：患高血壓概率P=0.1×0.2+0.82×0.1+0.08×0.05=0.02+0.082+0.004=0.106(2)高血壓病人為肥胖者概率P(B)=0.02|0.106=10|53高血壓病人為

4、不胖不瘦概率P(C)=0.082|0.106=41|53高血壓病人為瘦者概率P(D)=0.004|0.106=2|53因此：屬于不胖不瘦體型的可能性最大。P56.例2.P62.例3.P63,2.設(shè)隨機(jī)變量X的概率密度為f（x）=Ae (-|x|) (-<x< +),求：（1）常數(shù)A；（2）P(-1<X<1)（1）-,+f(x)dx =-,0Aexdx+0,+Ae(-x)dx =A+A=1,則： A=1/2.（2）x<0時,F(x)=-,x(1/2)etdt=ex/2. x>=0時,F(x)=-,0(1/2)etdt+0,x(1/2)e(-t)dt =1/2+

5、1/2-e(-x)/2 =1-e(-x)/2.代入P(-1<X<1)=F(1)-F(-1)=1-(1/2)(1/e)- (1/2)(1/e)=1-1|e 3.試求：（1）常數(shù)a；（2）P（-1<X<0.5）；（3）X的分布函數(shù)F（x）（2）用積分（-1到0.5）3x2dx=1/8或者P（-1<X<0.5）=F(0.5)-F(-1)=（1/2)3-0=1/84. 設(shè)隨機(jī)變量x的分布函數(shù)為F(x)=1-e(-x2/2) x>0 F(x)=0 x<=0試求：（1）X的概率密度函數(shù)（2）計算P（X<=2）和P(X>3)解：（1）當(dāng)x>0

6、時，F(xiàn)(x)=f(x)=( 1-e(-x2/2)=x e(-x2/2)當(dāng)x<=0時，F(xiàn)(x)=f(x)=0則x的概率密度函數(shù)為： x e(-x2/2) x>0 f(x)= 0 x<=0(2)P(x<=2)=F(2)=1-e(-2)P(x>3)=F(3)= 1-e(-9/2)P71.5. 將溫度調(diào)節(jié)器放置在存貯著某種液體的容器內(nèi)，調(diào)節(jié)器設(shè)定在d，液體的溫度X（單位：）是一個隨機(jī)變量，且XN（d，0.52）（1）若d=90°，求X小于89的概率；（2）若要保持液體的溫度至少為80的概率不低于0.99，問d至少是多少？解：（1）P（X89）=F（89）=（89

7、-90）/0.5）=（-2）=1-（2）=1-0.9772=0.0228（2）由已知d滿足0.99P（X80），即1-P（X80）1-0.01，P（X80）0.01（(80-d)/0.5）0.01=（-2.327）（(80-d)/0.5）-2.327d81.1635故d至少為81.1635P72.3某地抽樣調(diào)查結(jié)果表明，考生的數(shù)學(xué)成績（百分制）XN（72，ð 2）,且96分以上的考生占考生總數(shù)的2.3%，（1）考生數(shù)學(xué)成績在60至84分之間的概率（2）5位同學(xué)中至少有一位同學(xué)成績?yōu)?0至84分的概率解：（1）因?yàn)镕（96）=（96-72）/ð）=1-0.023=0.9770

8、=（2）所以ð=12；成績在60至84分之間的概率：F（84）-F（60）=（(84-72)/1212）-（(60-72)/）=（1）-（-1）=2（1）-1=2×0.8413-1=0.6826（2）成績不在60至84分之間的概率為1-0.6826=0.3174則5位同學(xué)中至少有一位同學(xué)成績?yōu)?0至84分的概率1- 0.31745=0.9968P77.6.P87.例2P109.3.若（X，Y）的分布律如下表所示，則a，b應(yīng)滿足關(guān)系為：a+b=1/3,若X與Y獨(dú)立，則a=2/9 b=1/9 YX 1 2 31 1/6 1/9 1/182 1/3 a bP110.例1.P132

9、.P141.A12. 設(shè)隨機(jī)變量X的概率密度為f(x)=a+bx2,0<x<1;0,其他。已知E(X)=3/5，求：（1）a，b的值；（2）D（X）；解：B4. 隨機(jī)變量X的概率密度為f(x)=a+bx，0<x<1;0,其他，且P(X>1/2)=5/8,求：（1）a，b.解: 密度函數(shù)f(x)=a+bx，那么分布函數(shù) 當(dāng)0<x<1時，F(xiàn)(x)=1/2bx²+ax+C(C是個待定的常數(shù)) 當(dāng)x1時，F(xiàn)(x)=1 當(dāng)x0時，F(xiàn)(x)=0 然后把x=0，1帶入。F(0)=C=0，F(xiàn)(1)=1/2b+a=1 然后還有個條件Px1/2=1-Px1/2=

10、1-F(1/2)=1-(1/8b+1/2a)=5/8 聯(lián)立解得:a=1/2，b=1P143.例1.P149.6. 設(shè)（X，Y）的聯(lián)合分布律為： YX 0 1 0 0.3 0.21 0.4 0.1 求cov（X，Y），XY，D（X+Y）解：X，Y，XY的分布律分別為： X 0 1 P 0.5 0.5 Y 0 1 P 0.7 0.3 XY 0 1 P 0.9 0.1易知：E（X）=0.5，E（Y）=0.3，E（XY）=0.1，E（X2）=0.5，E（Y2）=0.3,D(X)= E（X2）- E（X）2=0.25,D(Y)= E（Y2）- E（Y）2=0.21,故：cov（X，Y）= E（XY）-

11、E（X）E（Y）=0.1-0.15=-0.05XY=（cov（X，Y）/D(X)D(Y)）=-21/21D（X+Y）= D(X)+ D(Y)+2 cov（X，Y）=0.25+0.21-（-0.05）x2=0.36P177.6. 設(shè)總體XN（0，1），從總體中取一個容量為6的樣本(X1,X2.X6),令Y=（X1+X2+X3）2+（X4+X5+X6）2,試確定常數(shù)c，使得隨機(jī)變量cY服從X2分布，并求該分布的自由度解：根據(jù)線性關(guān)系有：（X1+X2+X3）N（0,3），：（X4+X5+X6）N（0,3），所以 (1/3)*（X1+X2+X3)2X(1)(X是卡方分布符號)， (1/3)*（X4+X

12、5+X6)2X(1)。 所以C=1/3.根據(jù)X2分布的可加性知其自由度為2.2.設(shè)X1,X2，X3，X4是來自總體N（0，22）的簡單隨機(jī)樣本，X=a(X1-2X2)2+b(3X3-4X4)2 則當(dāng)a=_1/20_,b=_1/100_時，X服從卡方分布，自由度為_2_.P179,三.1. 設(shè)X1,X2X9是來自正態(tài)總體N（0，22）的簡單隨機(jī)樣本，求系數(shù)啊a，b，c，使Q=a（X1+X2）2+b(X3+X4+X5)2c(X6+X7+X8+X9）2服從卡方分布，并求其自由度。解：x1+x2N(0,8) x3+x4+x5N(0,12) x6+x7+x8+x9N(0,16) 由于x2分布定義為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的平方和，因此a