202X_202X學(xué)年高中數(shù)學(xué)第三章推理與證明3綜合法與分析法3.2分析法課件北師大版選修1_2

1、-1-3.2分析法目標導(dǎo)航1.了解直接證明的另一種基本方法:分析法.2.理解分析法的思考過程及特點.3.學(xué)會用分析法和分析綜合法證明問題.知識梳理1.分析法(1)定義:從求證的結(jié)論出發(fā),一步一步地探索保證前一個結(jié)論成立的充分條件,直到歸結(jié)為這個命題的條件,或者歸結(jié)為定義、公理、定理等.我們把這樣的思維方法稱為分析法.(2)基本思路分析法的基本思路是“執(zhí)果索因”.由求證走向已知,即從數(shù)學(xué)題的待證結(jié)論或需求問題出發(fā),一步一步地探索下去,最后找到一個明顯成立的條件.(3)思維模式若用Q表示要證明的結(jié)論,則分析法可以用如下的框圖來表示:QP1P1P2P2P3得到一個明顯成立的條件知識梳理名師點撥用分析

2、法證明問題要注意以下三點:(1)用分析法證明,從結(jié)論出發(fā),執(zhí)果索因,即從“未知”看“需知”,逐步向“已知”靠攏.(2)分析法屬邏輯方法范疇,它的嚴謹性體現(xiàn)在其步驟的步步可逆.分析法的優(yōu)點是有利于思考,因為它結(jié)果明確,思路自然,易于掌握,而綜合法的優(yōu)點是易于表述,條理清晰,形式簡捷.因而證明問題時,常用分析法尋找解題思路,再用綜合法有條理地表達證明過程.知識梳理2.分析綜合法(1)定義:分析綜合法又叫混合型分析法,它一方面從問題的結(jié)論出發(fā),用追溯型分析法回溯(倒推)到中間;一方面從問題的條件出發(fā),用前進(順推)型分析法,經(jīng)邏輯推理導(dǎo)出一個相同的中間結(jié)果,從而溝通思路,使問題得到解決.(2)基本思

3、路已知條件中途結(jié)果結(jié)論分析綜合法既是證明推理方法,又是探求方法.(3)思維模式若用P表示已知條件、定義、定理、公理等,用Q表示要證明的結(jié)論,則分析綜合法可用框圖表示為:PP1P1P2PnPQQmQ2Q1Q1Q知識梳理【做一做】 已知abc0,則下列不等式成立的是 ()解析:因為abc0,所以a-b0,a-c0,b-c0.因為a-c=(a-b)+(b-c),即2b=a+c時,等號成立.故選C.答案:C典例透析題型一題型二題型三題型四用分析法證明不等式問題 分析:本題條件較為簡單,結(jié)論比較復(fù)雜,我們可以從要證的結(jié)論入手,一步步探求結(jié)論成立的充分條件,即用分析法.典例透析題型一題型二題型三題型四典例

4、透析題型一題型二題型三題型四反思由于題目中條件比較簡單,結(jié)論比較復(fù)雜,用綜合法比較困難,可以從結(jié)論出發(fā),逐步反推,尋求使當(dāng)前命題成立的充分條件.典例透析題型一題型二題型三題型四典例透析題型一題型二題型三題型四用分析法證明幾何問題【例2】 如圖,SA平面ABC,ABBC,過A作SB的垂線,垂足為E,過E作SC的垂線,垂足為F,求證:AFSC.分析:本例所給的已知條件中,垂直關(guān)系較多,我們不容易確定如何在證明中使用它們,因而用綜合法比較困難.這時,可以從結(jié)論出發(fā),逐步反推,尋求使當(dāng)前命題成立的充分條件.典例透析題型一題型二題型三題型四證明:要證AFSC,只需證SC平面AEF,只需證AESC(因為E

5、FSC),只需證AE平面SBC,只需證AEBC(因為AESB),只需證BC平面SAB,只需證BCSA(因為ABBC).由SA平面ABC可知,BCSA成立.所以AFSC.反思在立體幾何中,通?？梢园炎C明兩條直線互相垂直的問題,轉(zhuǎn)化為證明直線與平面垂直的問題.典例透析題型一題型二題型三題型四【變式訓(xùn)練2】 如圖,P是ABC所在平面外一點,并且PA,PB,PC兩兩垂直,PH平面ABC于點H,求證:H是ABC的垂心.證明:要證H是ABC的垂心,只需證ACHB,且BCAH,只需證BC平面PHA,AC平面PHB,只需證BCAP,且BCPH,ACPB,且ACPH.由于PH平面ABC,所以只需證BCAP,AC

6、PB.即證AP平面PBC,PB平面PAC.也就是要證APPB,APPC,PBPA,PBPC.由條件PA,PB,PC兩兩垂直,上式顯然成立,所以結(jié)論成立,即H是ABC的垂心.典例透析題型一題型二題型三題型四用分析綜合法證明問題 因此只需證c(b+c)+a(a+b)=(a+b)(b+c),即證c2+a2=ac+b2.由ABC的三個內(nèi)角A,B,C的度數(shù)成等差數(shù)列,知B=60.由余弦定理,得b2=c2+a2-2accos60.即b2=c2+a2-ac.即c2+a2=ac+b2.故命題得證.典例透析題型一題型二題型三題型四反思綜合法推理清晰,易于書寫,分析法從結(jié)論入手,易于尋找解題思路,在實際證明命題時

7、,常把分析法與綜合法結(jié)合起來使用,稱為分析綜合法,其結(jié)構(gòu)特點是:根據(jù)條件的結(jié)構(gòu)特點去轉(zhuǎn)化結(jié)論,得到中間結(jié)論Q;根據(jù)結(jié)論的結(jié)構(gòu)特點去轉(zhuǎn)化條件,得到中間結(jié)論P,若由Q可推出P,即可得證.典例透析題型一題型二題型三題型四【變式訓(xùn)練3】 若tan(+)=2tan,求證:3sin=sin(2+). 即sin(+)cos=2cos(+)sin.(*)要證3sin=sin(2+),即證3sin(+)-=sin(+)+,即證3sin(+)cos-cos(+)sin=sin(+)cos+cos(+)sin.化簡,得sin(+)cos=2cos(+)sin.由已知得(*)已經(jīng)成立,所以,命題成立.典例透析題型一題

8、型二題型三題型四易錯辨析易錯點不等式變形時,未注意前提而致誤典例透析題型一題型二題型三題型四12345解析:由條件,知x0,y0,要比較x,y的大小,只需比較x2,y2的大小,答案:B12345種,其中最合理的是()A.綜合法B.類比法C.分析法D.歸納法解析:從待證不等式不易發(fā)現(xiàn)證明的出發(fā)點,類比法、歸納法更不行,故應(yīng)選擇分析法,故選C.答案:C123453.分析法又叫執(zhí)果索因法,若使用分析法證明:設(shè)abc,且A.a-b0B.a-c0C.(a-b)(a-c)0D.(a-b)(a-c)0(a-c)(a-b)0.故選C.答案:C12345答案:a2+b2-2ab0(a-b)20(a-b)20123455.設(shè)a,b,c為任意三角形的三邊長,I=a+b+c,S=ab+bc+ca.求證:3SI24S.證明:因為I2=(a+b+c)2=a2+b2+c2+2(ab+bc+ca)=a2+b2+c2+2S,所以要證3SI24S,只需證3Sa2+b2+c2+2S4S,即證Sa2+b2+c