第二章一元函數(shù)微分學

1、第二章 一元函數(shù)微分學2008考試內(nèi)容 (本大綱為數(shù)學1，數(shù)學2-4需要根據(jù)大綱作部分增刪)導數(shù)和微分的概念 導數(shù)的幾何意義和物理意義 函數(shù)的可導性與連續(xù)性之間的關系 平面曲線的切線和法線 導數(shù)和微分的四則運算 基本初等函數(shù)的導數(shù) 復合函數(shù)、反函數(shù)、隱函數(shù)以及參數(shù)方程所確定的函數(shù)的微分法 高階導數(shù) 一階微分形式的不變性 微分中值定理 洛必達法則 函數(shù)單調(diào)性的判別 函數(shù)的極值 函數(shù)圖形的凹凸性、拐點及漸近線 函數(shù)圖形的描繪 函數(shù)的最大值與最小值 弧微分 曲率的概念 曲率圓與曲率半徑2008年考試要求1. 理解導數(shù)和微分的概念，理解導數(shù)與微分的關系，理解導數(shù)的幾何意義，會求平面曲線的切線方程和法線

2、方程，了解導數(shù)的物理意義，會用導數(shù)描述一些物理量，理解函數(shù)的可導性與連續(xù)性之間的關系。2. 掌握導數(shù)的四則運算法則和復合函數(shù)的求導法則，掌握基本初等函數(shù)的導數(shù)公式。了解微分的四則運算法則和一階微分形式的不變性，會求函數(shù)的微分。3. 了解高階導數(shù)的概念，會求簡單函數(shù)的高階導數(shù)。4. 會求分段函數(shù)的導數(shù)，會求隱函數(shù)和由參數(shù)方程所確定的函數(shù)以及反函數(shù)的導數(shù)。5. 理解并會用羅爾（Rolle）定理、拉格郎日（Lagrange）中值定理和泰勒（Taylor）定理，了解并會用柯西（Cauchy）中值定理。6. 掌握用洛必達法則求未定式極限的方法。7. 理解函數(shù)的極值概念，掌握用導數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性和求函數(shù)

3、極值的方法，掌握函數(shù)最大值和最小值的求法及其應用。8. 會用導數(shù)判斷函數(shù)圖形的凹凸性（注：在區(qū)間（a，b）內(nèi)，設函數(shù)f(x)具有二階導數(shù)。當時，f(x)的圖形是凹的；當時，f(x)的圖形是凸的），會求函數(shù)圖形的拐點以及水平、鉛直和斜漸近線，會描繪函數(shù)的圖形。 了解曲率、曲率圓與曲率半徑的概念，會計算曲率和曲率半徑。一、導數(shù)的定義、幾何意義、物理意義、經(jīng)濟學意義1.1定義：在的某一鄰域內(nèi)有定義，而且稱為導數(shù)?？蓪П剡B續(xù)，連續(xù)不一定可導。導數(shù)的定義是可導的充要條件形式。注意以下兩點極限 特點是分子必須存在一個定點函數(shù)。 ，如下列均為導數(shù)極限定義的幾種等價形式： 可導的充分條件必須同時滿足下列4個條

4、件和必須有一個是，不妨設稱為定點函數(shù)，而稱為動點函數(shù)；比如就不滿足此條件； 必須能兩側(cè)趨于0，也隨之變號；比如或或就不滿足此條件； 與為同價無窮小，比如就不滿足此條件。而和就滿足充分條件。必要條件形式（特點是：沒有一個固定點） 也就是說：相應的極限存在，不一定存在。 重要公式： 如果存在，并且為同價無窮小時, 下列公式成立 陳氏第3技 題型1 導數(shù)存在的條件題法【例4】函數(shù)在處連續(xù)，下列命題是否正確？ A） B）C） D）解：在處連續(xù)，則在處的鄰域內(nèi)有定義。A），命題正確。B），命題正確C），命題正確。D）命題錯誤?！纠?】解：1.2 的幾何意義為點切線的斜率，的物理意義為點的變化率，的經(jīng)濟學

5、意義為點的邊際。1.3 存在，則和存在且相等。1.4 可導的奇函數(shù)的導數(shù)為偶函數(shù)；可導的偶函數(shù)的導數(shù)為奇函數(shù)；求導不改變函數(shù)的周期性；但積分會改變函數(shù)的周期性。二、 導數(shù)定義的基本應用題型2 導數(shù)定義的應用題法2.1求分界點或邊界點的導數(shù)【例6】設在上滿足，若已知， 求：。解：設 【例7】設有反函數(shù)，且，求； 求；解：記，為的反函數(shù)，已經(jīng)改變了符號，為利用反函數(shù)公式，需要將 該為 注意到由等式，兩邊再次關于求導得 令，則 【例8】設；求。解：當 當 【例9】設函數(shù) 求。解： 也可以這樣計算：， 這是因為此題中的分段函數(shù)沒有共同的分界點?！纠?0】 若存在，求解： =【例11】 （1）討論的可導

6、性；（2）討論的連續(xù)性。解：（1）在內(nèi)處處可導，僅需討論點。，故在處處可導。 （2） 由于：為無界量，故為的第二類振蕩間斷點。評 注 本題也說明了函數(shù)連續(xù)，其導函數(shù)不連續(xù)的情形?！纠?2】討論的可導問題。 解: ，即在點可導； 當時，不失一般性，令，從而 同理：可見，同樣可以證明：。因此，在點處不可導，由于，除了點外，任何都存在不可導點。評 注 本題也說明了函數(shù)在某一點可導，在該點的任何鄰域都存在不可導點的情形。【例13】 在原點連續(xù)，求的范圍。解：（1）在內(nèi)處處可導，僅需討論點。 （2） 綜上所述 ?！纠?4】 已知，在點的切線與軸的交點為，求。解： 切線方程 2.2 求解特殊的常微分方程【

7、例15】 設在實軸上連續(xù)，存在， ；求。 解：令或0；如 當；令 2.3 在只知道連續(xù)而未知可導的情況下【例16】設在處連續(xù)；求。 解：【例17】設；在連續(xù)，但不可導，又存在，證明：。 證明：如果：，由于和存在，則 如果：，則由商的求導法知：在可導，與題設矛盾； 所以充要條件是：。2.4 陳氏第4技 關于絕對值求導，但在為不可導點 在點階可導，且題型3 關于絕對值求導題法【例18】函數(shù)不可導點的個數(shù)是 解：由陳氏第4技，直接判斷出不可導點為共2個，故選?！纠?9】函數(shù)，則是在處可導的解：， 直接得出正確。2.5函數(shù)在內(nèi)有界，則下列命題成立：1） 證 明： 設，不妨設，由極限的保號性知，存在，當

8、時，可使，于是，與有界矛盾；當，由極限的保號性知，存在，當時，可使，于是，與有界矛盾；故 。2），反例：。3），反例：。4），反例：。2.6反函數(shù)二階導數(shù)公式 證明：，沒有改變符號。 三、新數(shù)學3專題-導數(shù)的經(jīng)濟學應用3.1 經(jīng)濟分析中常用的五大經(jīng)濟學函數(shù) 1）總成本函數(shù) （Total Cost Function） 在經(jīng)營活動中的總成本（用字母C表示）與產(chǎn)品的產(chǎn)量（用字母表示）密切相關，經(jīng)過抽象簡化，可以看成僅是產(chǎn)量的函數(shù)，即： 在不考慮產(chǎn)品積壓，假設供求平衡的條件下，為產(chǎn)品的產(chǎn)量為產(chǎn)品的銷售量。 其中：表示固定成本，如設備維修費、企業(yè)管理費等等，表示可變成本，如購買原材料、動力費等等。 平均

9、成本：2）總收入（或稱總收益）函數(shù) （用字母R表示）（Total Receipt Function） 當產(chǎn)品的單價（price）為p，為銷售量時 3）總利潤函數(shù) （用字母L表示）（Total Gain Function） 4）需求函數(shù) （用字母表示）（Demand Function） 5）供給函數(shù) （用字母表示）（Supply Function） 6）復利公式 設銀行存款的年利率為r，開始存錢為，則t年后， 年復利公式： 月復利公式： 連續(xù)復利公式（即：按天、時或更少的時間）：如果當初的沒有存入銀行，則當初的相當于現(xiàn)在的值： 3.2 邊際與邊際分析在經(jīng)濟問題中，常常會使用變化率的概念，變化率又

10、分為平均變化率和瞬時變化率平均變化率就是函數(shù)增量與自變量增量之比，函數(shù)在內(nèi)的平均變化率為，如我們常用到年產(chǎn)量的平均變化率、成本的平均變化率、利潤的平均變化率等瞬時變化率就是函數(shù)對自變量的導數(shù)，即當自變量增量趨于零時平均變化率的極限： 在經(jīng)濟學中，一個經(jīng)濟函數(shù)的導數(shù)稱為該函數(shù)的邊際函數(shù)在點處的導數(shù)稱為在點處的變化率，也稱為在點處的邊際函數(shù)值它表示在點處的變化速度現(xiàn)設是一個可導的經(jīng)濟函數(shù)，于是當很小時由于產(chǎn)品的最小單位是1，故，當或時，分別給出 或 因此邊際函數(shù)值的經(jīng)濟意義是：經(jīng)濟函數(shù)在點處，當自變量再增加1個單位時，因變量的改變量的近似值，或近似于經(jīng)濟函數(shù)值與之差但在應用問題中解釋邊際函數(shù)值的具

11、體意義時，常略去“近似”兩字，因為產(chǎn)品的最小單位為1，不存在小數(shù)【例1】 設函數(shù)，試求在時的邊際函數(shù)值解 因為，所以 該值表明：當時，改變一個單位(增加或減少一個單位)，約改變10個單位(增加或減少10個單位)下面介紹經(jīng)濟學中常用的三個邊際概念3.2.1邊際成本某產(chǎn)品的總成本是指生產(chǎn)一定數(shù)量的產(chǎn)品所需的全部經(jīng)濟資源投入(勞力、原料、設備等)的價格或費用總額它由固定成本和可變成本兩部分組成平均成本是生產(chǎn)一定量產(chǎn)品，平均每單位產(chǎn)品的成本邊際成本是總成本的變化率在生產(chǎn)技術(shù)水平和生產(chǎn)要素的價格固定不變的條件下，成本是產(chǎn)量的函數(shù)設總成本函數(shù)，為產(chǎn)量，則平均成本函數(shù)為 ， 生產(chǎn)個單位產(chǎn)品時的邊際成本函數(shù)為

12、 稱為當產(chǎn)量為時的邊際成本西方經(jīng)濟學家對它的解釋是：當生產(chǎn)個單位產(chǎn)品前最后增加的那個單位產(chǎn)品所花費的成本或生產(chǎn)個單位產(chǎn)品后增加的那個單位產(chǎn)品所花費的成本這兩種理解均算正確，我們一般使用后一種說法【例2】 已知生產(chǎn)某產(chǎn)品Q件的成本為(元)，試求：(1)邊際成本函數(shù)；(2)產(chǎn)量為1000件時的邊際成本，并解釋其經(jīng)濟意義；(3)產(chǎn)量為多少件時，平均成本最?。拷?(1)邊際成本函數(shù)：(2)產(chǎn)量為1000件時的邊際成本：它表示當產(chǎn)量為1000件時，再生產(chǎn)1件產(chǎn)品需要的成本為60元；(3)平均成本：，令0，得Q = 3000(件)由于0，故當產(chǎn)量為3000件時平均成本最小【例3】 某工廠生產(chǎn)個單位產(chǎn)品的總

13、成本為產(chǎn)量 的函數(shù)，求：(1)生產(chǎn)900個單位時的總成本和平均成本；(2)生產(chǎn)900個單位到1000個單位時的總成本的平均變化率；(3)生產(chǎn)900個單位時的邊際成本；解 (1)生產(chǎn)900個單位時的總成本為平均成本為(2)生產(chǎn)900個單位到1000個單位時的總成本的平均變化率為(3)生產(chǎn)900個單位時的邊際成本為3.2.2 邊際收益和邊際利潤總收益是生產(chǎn)者出售一定量產(chǎn)品所得到的全部收入平均收益是生產(chǎn)者出售一定量產(chǎn)品，平均每單位產(chǎn)品所得到的收入，即單位商品的售價邊際收益為總收益的變化率總收益、平均收益、邊際收益均為產(chǎn)量的函數(shù)設為價格，（有時也用表示，但要注意與完全不同！）為銷售量，則總收益函數(shù)為：

14、 若需求函數(shù)為，則總收益函數(shù)為 ， 故平均收益函數(shù)為 ， 即價格可視作從需求量(這里需求量即為銷售量)上獲得的平均收益邊際收益為 的經(jīng)濟意義為：表示銷售量為個單位時，多銷售一個單位產(chǎn)品或少銷售一個單位產(chǎn)品時收益的改變量由經(jīng)濟學知識，總利潤是總收益與總成本之差，設總利潤為，則總利潤函數(shù)為 (其中為商品量) 那么邊際利潤函數(shù)為 它的經(jīng)濟意義是：表示銷售量為單位時，再銷售一個單位商品時利潤的改變量【例4】 設某產(chǎn)品的需求函數(shù)為：，其中為價格，為銷售量，當銷售量為15個單位時，求總收益、平均收益與邊際收益；解 因為需求函數(shù)為，則總收益函數(shù)為：，故銷售量為15個單位時，有總收益 ，平均收益 ，邊際收益

15、【例5】 某工廠生產(chǎn)一批產(chǎn)品的固定成本為2000元，每增產(chǎn)一噸產(chǎn)品成本增加50元，設該產(chǎn)品的市場需求規(guī)律為Q = 1100 10P(P為價格)，產(chǎn)銷平衡，試求：(1)產(chǎn)量為100噸時的邊際利潤；(2)產(chǎn)量為多少噸時利潤最大？解 由于 故總收入為，總成本為，故總利潤為(1)邊際利潤為當產(chǎn)量為100噸時，邊際利潤為(元)(2)令得Q = 300(噸)由于，故當產(chǎn)量為300噸時，利潤最大同樣，還有邊際需求和邊際供給，一共5個邊際函數(shù)。3.3 彈性與彈性分析前面所談的函數(shù)改變量與函數(shù)變化率是絕對改變量與絕對變化率在實際問題中，有時僅知道函數(shù)的改變量及絕對改變率是不夠的例如，設有A和B兩種商品，其單價分

16、別為10元和100元同時提價1元，顯然改變量相同，但提價的百分數(shù)大不相同，分別為10%和1%前者是后者的10倍，因此有必要研究函數(shù)的相對改變量以及相對變化率，這在經(jīng)濟學中稱為彈性它定量地反映了一個經(jīng)濟量(自變量)變動時，另一個經(jīng)濟量(因變量)隨之變動的靈敏程度，即自變量變動百分之一時，因變量變動的百分數(shù)定義 設函數(shù)在點處可導，且函數(shù)的相對改變量與自變量的相對改變量之比當時的極限稱為函數(shù)在點處的彈性，記作，即 由定義知，當時，可見，函數(shù)的彈性具有下述意義：函數(shù)在點處的彈性表示在點處當改變1%時，函數(shù)在的水平上近似改變在應用問題中解釋彈性的具體意義時，常略去“近似”二字由定義還可見，函數(shù)的彈性與量

17、綱無關，即與各有關變量的計量單位無關這使得彈性概念在經(jīng)濟中具有廣泛應用例如，顯然各種商品的計量單位不盡相同，但比較不同商品的需求彈性并不受到計量單位的限制函數(shù)在點的彈性反映了對的變化反映的強烈程度或靈敏度的表達式可改寫為 ， 故在經(jīng)濟學中，彈性又可解釋為邊際函數(shù)與平均函數(shù)之比3.3.1需求彈性在經(jīng)濟學中常用到需求彈性（指需求彈性對價格），它也是經(jīng)濟類考生必考的重點內(nèi)容“需求”是指在一定價格條件下，消費者愿意購買并且有支付能力購買的商品量設表示商品價格，表示需求量函數(shù)，那么需求函數(shù)：定義需求彈性（注意它與基本的彈性定義差一個符號，這僅僅是需求彈性的特點） 一般說來，商品價格低，需求大；商品價格高

18、，需求小因此，一般需求函數(shù)是單調(diào)減少函數(shù)，而，這就是為什么加上一個負號的原因，這也是符合教育部對經(jīng)濟類考生的命題規(guī)范的，所以，讀者切忌亂改上訴定義及其有關符號。需求彈性是刻劃商品價格變動時需求變動的強弱 在解題時，我們要常常用到下列形式： 3.3.2 彈性分析（指需求彈性的分析） 1），稱為高彈性，降價或提價使總收益沒有明顯影響；2），稱為單位彈性，降價可使總收益增加，提價可使總收益減少；2），稱為低彈性，降價可使總收益減少，提價可使總收益增加?！纠?】 設某商品需求函數(shù)為，求：(1)需求彈性函數(shù)；(2)，時的需求彈性, 并說明其經(jīng)濟意義.解 (1)由已知有 ，則(2) ，說明當時，價格上升1

19、%，需求量則下降1%可見此時價格與需求變動的幅度相同；，說明當時，價格上漲1%，需求只減少0.6%，此時需求變動的幅度小于價格變動的幅度；，說明當時，價格上漲1%，需求減少1.2%此時需求變動的幅度大于價格變動的幅度彈性的四則運算：(1) 加法性質(zhì)：設與于處的彈性為與，則在處的彈性為證明 按彈性定義有 推論 設在處的彈性為，則在處的彈性為(2)設與于處的彈性為與，則在處的彈性為證明 按彈性定義有即函數(shù)的乘積的彈性等于各自彈性的和(2) 乘法性質(zhì)：設與于處的彈性為與，則在處的彈性為即函數(shù)的商的彈性等于分子的彈性減去分母的彈性該公式請讀者自證【例7】 某商品需求函數(shù)為，求：(1)需求價格彈性函數(shù)；

20、(2)當時的需求價格彈性；(3)在時，若價格上漲，其總收益是增加，還是減少？它將變化百分之幾？解 (1)按彈性定義有(2)當時的需求價格彈性為(3)由于總收益，于是總收益的價格彈性函數(shù)，從而在時，總收益的價格彈性故在時，若價格上漲，需求僅減少, 總收益將增加, 總收益約增加四、 微 分41微分定義微分本質(zhì)：一般是一個的復雜函數(shù)，與具體無關；而微分是它的線性主部，是線性簡單函數(shù)；在，代替，意味著使用簡單的線性函數(shù)代替復雜函數(shù)來求解。42 微分符號規(guī)定 43 微分與函數(shù)增量的重要關系： 44幾何意義：在條件下：以直線段代替曲線段，以線性代替非線性。 45物理意義：在范圍內(nèi)，以常量代替變量。 46弧

21、微分： 47曲率與曲率半徑：48 二階微分法分析 五、主要初等函數(shù)的導數(shù)公式 六、導數(shù)的基本求法與技巧 1反函數(shù)求導 2 參數(shù)方程求導 3 變限積分求導 4隱函數(shù)求導確定誰是求導宗量，另一量應是宗量的函數(shù)，構(gòu)成復合求導。一般方法：對求一階導數(shù)兩邊同時求微分法；對較高階求導采用兩邊同時求導。6初等函數(shù)常用階導數(shù)公式 , 稱為萊布尼茨公式。 7極坐標方程下的求導 8平面曲線的切線與法線 9求導技巧8法：1） 定義法2） 取對數(shù)法3） 兩邊同時微分法（適合一階）4） 變量代換法5） 變限積分求導法6） 利用基本結(jié)論法7） 泰勒展開求導法8） 遞推與回歸法題型4 函數(shù)求導與微分題法【例20】 求。解：

22、易知： 【例21】 求 。解：【例22】 處處可導，求。解： 是連續(xù)的，則 當時，原函數(shù)可改寫成 于是 【例23】 解：【例24】 求 解：設 【例25】 設階可導，且 求.解： 【例26】 求 解： 【例27】，求。解：【例28】 設，求.解 法 一：利用泰勒級數(shù)展開 積分得： 又 解 法 二：虛數(shù)法 【例29】 設，其中在點的某鄰域內(nèi)具有階導數(shù)，求解： 【例30】 若解： 【例31】利用遞推法求高階導數(shù)，設 求解：七、微分中值8定理與積分3定理及函數(shù)的9性質(zhì)的綜合證明技巧一) 中值八定理以下的連續(xù)函數(shù)在閉區(qū)間的基本定理（只與函數(shù)有關）共同條件：閉連續(xù) 有界定理或最大值與最小值定理。注意是閉

23、區(qū)間。 介值定理 是介于與任一值，則必。注意是開區(qū)間。 其推論是：當，則必。注意是閉區(qū)間。 根值（零值）定理 ，則 。注意是開區(qū)間。以下的閉區(qū)間連續(xù)函數(shù)有關導數(shù)定理共同條件：閉連續(xù)開可導。共同結(jié)論：存在的量屬于開區(qū)間。 費馬定理 ,如果存在，則 =0。 洛爾定理 則 拉格朗日中值定理 柯西中值定理 泰勒中值定理當時，上述的拉氏余項和佩亞若余項形式的泰勒展開稱為麥克勞林展開：它們的“短消息”形式為評 注：上述展開的形式可以只含有一個導數(shù)項也可以含多個導數(shù)項，需根據(jù)具體的使用要求而定，我們必需注意什么情況下可以取到區(qū)間的端點，這一點十分重要。對二元函數(shù)具有類似的結(jié)論：幾種常見函數(shù)的麥克勞林形式的泰

24、勒展開： 二) 積分三定理 保序定理 在上連續(xù)，但不恒為零，則。 估值定理 中值定理 三) 函數(shù)九大性質(zhì)（單，極，最，漸，周，偶，凹，凸，拐。）詳情見后。 評 注：上述定理或性質(zhì)共20個是解決中值定理證明題的系統(tǒng)工程設施，知識繁復，縱橫交錯。其中心問題是“玩點”，要細心辨析那些區(qū)間的端點或分界點在什么條件下可以取值，哪些不可以，讀者不能含糊，需要不遺余力反復歷練，這也正是這部分題難度大的主要原因。四) 等式的證明：（陳氏三大原創(chuàng)技巧） 1第一技巧：尋找原模型 首先要從結(jié)論入手（一般學子習慣從條件入手，其實是誤區(qū)）分析所要證明的結(jié)論符合微分中值8大定理的哪個原始模型（尋找原模型），當然必須盡可能

25、變換結(jié)論的等價形式才能靠上某一定理，其中最常用的技巧是：構(gòu)造輔助函數(shù)。一旦能確定原模型，對比該定理的條件，從已知條件中驗證即可。讀者先不要急，具體例題我們會闡述具體做法，但以下三個原則需要注意。 如只涉及非導數(shù)形式，應從閉區(qū)間連續(xù)函數(shù)的三大定理入手，優(yōu)先考慮根值定理。 如只涉及導數(shù)形式，應從閉區(qū)間連續(xù)函數(shù)中與導數(shù)有關的五個定理入手，優(yōu)先考慮洛爾定理。證明過程中，往往對兩類定理同時考慮。 兩類定理的紐帶是變限積分。去掉變限積分眾所周知采用求導法，去掉定積分常用三個方法是：積分中值，積分估值和泰勒中值。2第二技巧：構(gòu)造輔助函數(shù) 構(gòu)造輔助函數(shù)，然后再使用洛爾定理，是使用中值定理證明等式的主要技巧。如

26、被證明的等式含有復雜常數(shù)，并且變量與常數(shù)可以分離，則可令常數(shù)總體為，以方便運算。一般采用以下三種方法：21直接積分法： 第一步：代換，如存在導數(shù)，則兩邊同時積分，取積分常數(shù)； 第二步：移項使等式右邊為0，令左邊等于輔助函數(shù)； 第三步：如需證明的等式中不含導數(shù)，則計算 如果（注意：等號不成立），則可直接應用根值定理，否則，必須分割原區(qū)域稱為輔助子區(qū)間，再驗證子區(qū)間端點的函數(shù)值之積是否小于零，取條件點，使之滿足根值定理；第四步：如需證明的等式中含有二階導數(shù)，則必須分割原區(qū)間兩個輔助子區(qū)間， 在不同的輔助區(qū)間上分別使用洛爾定理，如，再在使用洛爾定理得，對于二階以上類推。也可以構(gòu)造變限積分形式的輔助函

27、數(shù)，由的二階可導推得三階可導，即存在。常用積分法尋找原函數(shù)范例：22配全微分法第一步：移項或代換化簡，觀察得出全微分形式；第二步：區(qū)域端點替換；第三步：如需證明等式，則利用洛爾定理；必要時再分割原區(qū)域，取條件點，使之滿足洛爾定理；如需證明不等式，則利用函數(shù)單調(diào)性。常用配全微分法范例： 23雙元拉柯法（一般適應于被證明的等式中含有兩個變量，如 等）： 第一步：觀察設置一個或兩個具體輔助函數(shù)；第二步：利用“雙元拉柯法”，即：兩次拉氏中值定理或兩次柯西中值定理或一次拉氏中值定理和一次柯西中值定理。如遇到閉區(qū)間上可導的條件或二階以上導數(shù)存在或遇到求極限問題，采用泰勒中值定理。3第三技巧：泰勒中值法 主

28、要適用于閉區(qū)間上存在高階連續(xù)導數(shù)（一般的中值定理條件只是開區(qū)間上可導，注意這一特征）或已知的情形，另外，在去掉定積分符號方面也經(jīng)常應用。題型5 微分中值定理等式證明題法【例32】在上連續(xù)，且，證明：在上至少存在一點證明：變換結(jié)論 原模型就是零值定理的結(jié)論。構(gòu)造輔助函數(shù)：在上連續(xù)，則在上連續(xù)且當時，0或均可取作（因為零值定理條件中沒有等號。）如，有由零值定理，使 故原命題成立。【例33】設在上連續(xù)，在上可導， 試證；。證明：原模型是洛爾定理或費馬定理，但由于，而有效子區(qū)間不易求出，故洛爾定理不適用，可考慮費馬定理。 由積分中值定理，而，可見，不是在上的最大值。即：即為的最大值，也是極大值之一，又

29、由于，由費馬定理得：。【例34】 若在上有三階導數(shù)，且設，試證 在（0，1）內(nèi)至少一個，使證明：變換結(jié)論或，原模型是洛爾定理。 在 （洛爾定理）又 （洛爾定理）又 （洛爾定理）【例35】 設在區(qū)間上具有二階連續(xù)導數(shù)，證明： 證明：題中有閉區(qū)間上二階可導的特征，需使用拉格朗日余項的泰勒中值定理展開到二階。 而最值定理有：就相當于某一個值故由介值定理及其推論， 【例36】設在0, 1上連續(xù)，在（0，1）內(nèi)可導，且 試證：。解：分析 故可令 又 由零值定理 又 由洛爾定理 【例37】 設在上連續(xù)，在上可導，且. 證明：至少一個 證明：積分法構(gòu)造輔助函數(shù) 分析： 故可令 【例38】 設在0，1上可導，

30、且滿足關系式 證明：在（0，1）內(nèi)至少一個，使證明： 積分法構(gòu)造輔助函數(shù)。故可令 【例39】 設在區(qū)間上連續(xù)，在可導，證明在內(nèi)至少一個，使 。解：由于結(jié)論左邊存在一大堆常數(shù)，為方便計算，可定其為。再使用積分法構(gòu)造輔助函數(shù)。故可令 由洛爾定理一個命題約證【例40】若在上可導，且；證明：在內(nèi)必存在 證明：被證明的結(jié)果有兩個變量，原模型為雙元拉柯型。 分析：設 問題是能不能找到這樣的，自然想到原模型為零值定理： 只要設：，則于是，原命題得證?！纠?1】 證明積分中值定理：若函數(shù)在閉區(qū)間上連續(xù)，則至少存在一點，使得。 若函數(shù)具有二階導數(shù)，且滿足，則至少存在一點，使得。證明： 在上連續(xù)，于是其存在最大值

31、與最小值. 由介值定理及其推論得：則至少存在一點，使得 由于結(jié)論存在二階導數(shù)，必須分割原區(qū)間為兩個輔助區(qū)間，又由于是不等式，而已知條件又沒有給出函數(shù)的具體形式，無法利用單調(diào)性，故原模型應是拉格朗日中值定理。 分別在上應用拉格朗日中值定理 【例42】設在上連續(xù)，在上二階可導，且，試證：存在一點 分析：顯然：只要設，利用拉格朗日中值定理便可找到這樣的。證明：設 【例43】設在連續(xù)，在內(nèi)可導，且，試證： 對任意的，必存在 證明：積分法構(gòu)造輔助函數(shù)。故可令 【例44】在連續(xù),在可導, ,證明。 證明：結(jié)論中含有兩個變量，使用雙元拉柯法，右邊可寫成形式，故可構(gòu)造輔助函數(shù) 則 【例45】在連續(xù),在可導,

32、, 證明 。證明：改寫結(jié)論為： 而故可構(gòu)造輔助函數(shù)：，由拉格朗日中值定理得故： 【例46】在連續(xù),在可導, , 證明 。證明：改寫結(jié)論為： 故可構(gòu)造輔助函數(shù)： ，同時與在上應用柯西中值定理得： 再令 ，同時與在上再應用柯西中值定理得： 故：【例47】 在試證對任意給定的正數(shù)，不同的，使證明：，由介值定理知： 再考慮在和上分別應用拉格朗日中值定理 可見，要使上述等式右邊為1，只要取，即可。故： 不同的，使【例48】已知，求證： 使得：證明：故可令交換上述【例49】 已知 ，求和解：顯然 【例50】設在內(nèi)具有連續(xù)的二階導數(shù)，且，試證：（1）對于內(nèi)任意一，存在唯一的使成立；（2） 。 解：（1）利用

33、拉氏中值定理： 存在 以下證明是唯一的： ，表示在內(nèi)無拐點，也就是在內(nèi)不變號，由此推斷出，嚴格單調(diào)，所以是唯一的。（2）利用泰勒中值定理：存在【例51】試確定常數(shù)和，使當時，為的盡可能高階無窮小，并求此階數(shù)和極限。 解： 由于分子中最高階無窮小項是，為9階，如，由于，那么不存在，故n最大只能取7當時，要使原極限存在，必須否則不能滿足為x的盡可能高階無窮小而 【例52】在上具有三階連續(xù)導數(shù)，且，試證明：至少存在一點 證明：由介值定理知：介于之間，從而至少存在一點使所以：【例53】設在上連續(xù)，試證明：。證明: 令，在上連續(xù)，則在有三階導數(shù)。且由泰勒公式得 而介于之間由介值定理得：故：【例54】設在

34、上一階可導，在上二階可導， ，證明：; ; 證明：（1）不妨設 （2）由（1）得， 令 （3） 令，由（1）知，在至少存在三個零點， 在必存在兩個零點在必存在兩個零點。再令 ，在必存在兩個零點。由洛爾定理知： 【例55】設階可導，且，試證明：。證 明： 令 由拉格朗日中值定理得由于階可導，所以可導，當然也連續(xù)，從而在上達到最大值由于 故，由此知為在上的極大值點，根據(jù)費馬定理但，否則，矛盾。故 三) 不等式的證明 一般思路：在證明等式的思想上，再利用函數(shù)的單調(diào)性與最值特性。題型6 微分中值定理不等式證明題法【例56】 設，求證：解法一（函數(shù)單調(diào)法）：令 又 為增函數(shù)，故 原命題成立解法二（柯西中

35、值法）：令 對有 【例57】 求證： 試證明：證明：（函數(shù)單調(diào)法）令 故為增函數(shù)， ，故 故原命題成立【例58】證明：當時，證明：（函數(shù)最值法，本質(zhì)上與函數(shù)單調(diào)法一致） 但無法知道的正負，但易知 為駐點所以：由于上述的單調(diào)特點知，是該函數(shù)定義域內(nèi)唯一一個極大值，故也是最大值，因此：，原命題得證?！纠?9】設，證明： 證明：分析 可設，再在區(qū)間上利用拉氏中值定理得 所以只要證明即可， 由于： 又：，故 ，取，原命題成立。【例60】在內(nèi)二階可導，證明: 恒有，且當 時等號成立。 證明：由極限脫帽法和函數(shù)連續(xù)性質(zhì)得： 由泰勒中值定理得 顯然，當 時等號成立。【例61】在連續(xù)，在上二階可導，證明：證明

36、：原命題得證?！纠?2】函數(shù)在一階導數(shù)連續(xù)，證明：。證明：由于函數(shù)在閉區(qū)間上可導，故使用拉格朗日余項的泰勒展開。 【例63】上二階可導，且滿足，其中為非負數(shù)，試證明：對于任意證明：由泰勒中值公式有： 由的任意性知：【例64】設在連續(xù)，在可導，試證明： 證明： 介于與之間； 假設為最大值點，則有 故原命題得證。 【例65】設在內(nèi)二階可導，若試證明：對于。證明：對于高階導數(shù)存在的情形，應首先想到利用拉氏余項的泰勒中值公式： 再根據(jù)需證明結(jié)論的特點，自然想到取，問題是：題中未直接或間接給出，所以關鍵是如何消除，一般有兩種辦法，一是取為駐點，第二種辦法是通過加減消元，在大多數(shù)利用拉氏余項的泰勒中值公式

37、的題型中，第二種方法是十分常用的。 上述兩式相加即得結(jié)論。（此題正是后面我們就講的函數(shù)拐點定理！）【例66】設，證明等式：。 證明：取一個參數(shù)為變量（設），采用初值加增減分析法。 令：令輔助函數(shù) （初值），五、利用導數(shù)與微分研究函數(shù)的性態(tài) 函數(shù)具有單調(diào)、極值、最值、漸近線、周期、奇偶、凹、凸、拐點九大性質(zhì)。1、函數(shù)的單調(diào)增減性在連續(xù)，在可導， 單調(diào)增函數(shù) ； 單調(diào)減函數(shù) ；在連續(xù)，在可導， 單調(diào)不減函數(shù) ； 單調(diào)不增函數(shù)。評 注：由于函數(shù)的單調(diào)增減性定義與導數(shù)無關，所以，即便不存在，也可能存在單調(diào)性。2函數(shù)的極值與最值 定義：在的鄰域內(nèi)有定義，對于去心鄰域，即：（注意無等號）。 可導函數(shù)取得極

38、值的必要條件（實質(zhì)上是費馬中值定理）： 函數(shù)在處可導，且在處取得極值，那么，稱為的駐點。 評 注函數(shù)的極值定義與導數(shù)無關，所以，即便不存在，也可能存在極值。 可導函數(shù)的極值點必定是它的駐點，函數(shù)的駐點卻未必是極值點，例如： 區(qū)間的端點不能討論極值點，因為只存在半鄰域，故只可能作為最值點。 可導函數(shù)極值存在的第一充分條件： 在點連續(xù)，但在的去心鄰域存在，不一定要求，則：過時, 由為極大值；過時, 由為極小值；過時, 不變號不是極值。 可導情況下，極值存在的第二充分條件：簡單情形下，如，則極值存在的第二充分條件是：為極大值 為極小值 一般情形下，極值存在的第二充分條件：設在處階可導，且；當，為的極

39、值點，且時，為 極小值點， 而為極大值點； 因為：，為考察在兩側(cè)是否取得極值，我們考慮下列極限當，由極限的保序性，則，因此取得極小當 ，由極限的保序性，則，因此取得極大值。 當，為的拐點， 由于：，則，只受控制，因此在兩側(cè)不變號，因此不能取得極值，但我們可以證明在處取得拐點。實際上，為考察在兩側(cè)的凸性，我們考慮下列極限不妨假設，由極限的保序性，而在兩側(cè)一定變號，故在兩側(cè)一定變號，說明凹凸性改變，因此在取得拐點。函數(shù)極值定理的形象記憶法：由左向右，大小相間。如：過時, 在的左鄰域大于零，右領域小于零，則為極大值。 最值的求法：1）比較各極值和導數(shù)不存在點的函數(shù)值及上的即可得極大值或極小值，注意開

40、區(qū)間內(nèi)無最大與最小值存在。.2）如果函數(shù)在某一區(qū)間只有一個極值點，并且函數(shù)嚴格單調(diào)，則這該極值點也就是最值點，反之亦然。3凹凸性定義：連續(xù)函數(shù) 凸（稱為上凸），反之凹（稱為下凸）。（凹凸形狀以由上往下看為基準），注意定義與是否可導無關。性質(zhì)： 凸，反之凹。閉曲線無凹凸性，如對橢圓，必須分為上下兩部分才能有凹凸性。函數(shù)凹凸性的形象記憶法：凹字向逆時針旋轉(zhuǎn)90度就像大于號，凸字向逆時針旋轉(zhuǎn)90度就像小于號。4拐 點： 函數(shù)曲線凹凸分界點稱為拐點。性質(zhì)1： 在連續(xù)，（或不存在），過時變號拐點，在鄰域兩側(cè)保號不是拐點；性質(zhì)2：在鄰域內(nèi)有三階導數(shù)，但必是拐點評 注：不存在的點可能為拐點，但不連續(xù)的點就不

41、是拐點。5漸近線 或 稱為水平漸近線； 或 稱為鉛直漸近線； 稱為斜漸近線。函數(shù)漸近線的形象記憶法：千（鉛）數(shù)無窮。如：在漸近線的三種定義中，要么趨于無窮，極限為一常數(shù)，要么趨于某一個數(shù)，極限為無窮，而只有鉛直漸近線是趨于某一個數(shù)，極限為無窮。6. 利用導數(shù)討論方程的根的存在性與個數(shù) （1）根的存在性解題思路使用上的零值定理；構(gòu)造輔助函數(shù), 使用洛爾定理。 （2）求根的個數(shù)解題思路求的駐點和不存在的點；求各單調(diào)區(qū)間的極值或最值，如果比較復雜則列出表格明示；利用單調(diào)性分析上述值與的相對位置。 （3）根的唯一性解題思路使用上的零值定理證明至少存在一個根；利用函數(shù)單調(diào)性或采用反證法證明最多存在一個根

42、。7函數(shù)作圖7步法 求定義域；求的所有點；用步求得的所有的值劃分定義域為子區(qū)間，利用數(shù)軸由小到大排列成表格；利用表格列出各與各子區(qū)間的的正負與存在性；求漸近線；利用表格列出單調(diào)性，凹凸性，拐點，極值與最值與漸近線；畫圖：先畫三類漸近線（水平、鉛直和斜），再畫三類特殊點（極值點、拐點和函數(shù)零點），必要時添加輔助點，利用奇偶性，周期性；再完成整個曲線圖形。題型7 利用導數(shù)研究函數(shù)9大性質(zhì)的題法【例67】設在在某鄰域內(nèi)有二階連續(xù)導數(shù)，且，則解：由極限的保序性知，在的某去心鄰域內(nèi)，必有，所以在兩側(cè)變號，于是斷定，故選?！纠?8】設三階可導，且滿足，則 解：若，由知，1）當時，因此2）當時，因此不能判定

43、。故只有正確。【例69】 設， 試證 證明：（拉中定理） 【例70】 已知 （1）證明在 取極小值；（2）是極大還是極小值。 解：（1） 將代入 極小值（2） 極小值【例71】 設三次曲線在處取極大值，點（0，3）是拐點，求 解：【例72】設在連續(xù)，證明方程：；又如果在，證明方程在內(nèi)的根唯一。證明：設 故可設輔助函數(shù)：用反證法證明實根的唯一性： 若存在：，使等式矛盾。故成立，根是唯一的?！纠?3】求在區(qū)間上的極值與最值。 解：，但是區(qū)間的端點，不能討論它的極值，利用極值的第二充分條件： 為極小值，無導數(shù)不存在的點，又，故為最小值，為最大值，無極大值?！纠?4】設是由方程確定的，求的極值。 解：

44、由求得： 與原方程聯(lián)立求得：，但由于表達式中含有，無法利用第一充分條件討論，故只能采用第二充分條件 所以，為極小值?！纠?5】求的漸近線解：為水平漸近線為鉛直漸近線 無斜漸近線【例76】求曲線的漸近線。 解：或，我們不妨先討論的漸近線，而對的討論完全與之相同。，無水平漸近線；故 是一條水平漸近線；很顯然，不存在鉛直漸近線； 而 ，斜漸近線為 ，無斜漸近線。對于，同樣討論有：所以，原曲線共有兩條漸近線。【例77】求的拐點。解：所以為拐點，而的鄰域兩側(cè)凹凸性也改變，但不連續(xù)，故不是拐點?！纠?8】設，求的極值、單調(diào)區(qū)間及凹凸區(qū)間。解：當時 【例79】設函數(shù), 又設分別是的反函數(shù)的不可導點的最大值與最小值。（1） 求（2） 設求 解：（1）的反函數(shù) 可知：是的不可導點，而 也是的不可導點，除此之外，無其他不可導點，所以 （2）記 ，對于有所以，當，單調(diào)有下界或上界，故存在，設題型8曲線交點的題法【例80】討論曲線與的交點個數(shù)。 解：等價于討論 的零點個數(shù)。 所