北京理工大學(xué)數(shù)學(xué)專業(yè)數(shù)理統(tǒng)計(jì)期末試題07000233

1、課程編號(hào)：07000233 北京理工大學(xué)2011-2012學(xué)年第二學(xué)期2010級(jí)數(shù)理統(tǒng)計(jì)期末試題 A卷一、設(shè)總體X N（0,a2 ）, Xi,X2,Xm書是抽自總體X的簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本，求常數(shù) c使X2 Xo Xl得隨機(jī)變量Y=c ,一一年服從F分布，指出分布的自由度并證明。Xml Xm2 - Xm.n二、設(shè)總體X N（R,。2 ）,其中仃2 =仃；為已知常數(shù)，Rw R為未知參數(shù)。X1,X2,Xn是抽自總體X的簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本，x1,x2,xn為相應(yīng)的樣本觀測(cè)值。1 .求參數(shù)N的矩估計(jì)；22 .求參數(shù)N和EX的極大似然估計(jì)；_ nn_1 n3 .證明X r = Z aiXi ,其中 ai =1和X =

2、-Z Xi都是N的無偏估計(jì)； i 4idn y4上匕較兩個(gè)無偏估計(jì) X 和X的有效性并解釋結(jié)果。、設(shè)總體X服從泊松分布P（，u）, X1,X2,X3是抽自總體X的簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本，設(shè)假設(shè)檢D =(X1,X2,X3)X M0.5。1 .驗(yàn)問題H0 :九=3; H1 :九=的否定域?yàn)?1.求該檢驗(yàn)問題犯第一類錯(cuò)誤的概率；2.求該檢驗(yàn)問題犯第二類錯(cuò)誤的概率和在也下的功效函數(shù)。四、設(shè)總體 X的概率密度函數(shù)為f (x國 )= 2Z3 2 r一 x2er,x0 ,其中0 A 0為未知參數(shù),0,x4（0.05），因此接受H。，即認(rèn)為這顆骰子是均勻的。，其中o 0為未知參數(shù)。0, x 2X-2nX：， 21 .驗(yàn)

3、證26ln1Z2，進(jìn)而驗(yàn)證20Z ln L12n ； 2i422 .考慮假設(shè)檢驗(yàn)問題Ho ：e =仇；Hi :日,給出該檢驗(yàn)問題的檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量以及水平為（0 1 ）的檢驗(yàn)的否定域（拒絕域）；3 .求參數(shù)e的一個(gè)置信系數(shù)為1 口（0 口 0的否定域?yàn)椋篋 =(X1,X2，川,X9 1X cL1 .確定常數(shù)c,使得該檢驗(yàn)犯第一類錯(cuò)誤的概率為0.05;2求該檢驗(yàn)的功效函數(shù)和犯第二類錯(cuò)誤的概率，結(jié)果用標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布函數(shù)*(L)表示。五、設(shè)X1,X2,Xn是從總體X中抽取的簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本，X的密度函數(shù)為2 e2f (x,e )=- xe 6 I 其中0 0為未知參數(shù)。2 .考慮假設(shè)檢驗(yàn)問題Ho：e=1i Hi

4、 ：0 1 ,給出該檢驗(yàn)問題的檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量以及水平為口（0 口 1 ）的檢驗(yàn)的否定域（拒絕域）；3 .求參數(shù)日的一個(gè)置信系數(shù)為1 一口（0 ct 1 ）的置信區(qū)間。附表:巾（1.645 ） = 0.95仲（1.96 ）= 0.975。課程編號(hào)：07000233 （MTH17172）北京理工大學(xué)2014-2015學(xué)年第二學(xué)期2013級(jí)數(shù)理統(tǒng)計(jì)期末試題 A卷一、（15分）設(shè)總體X|_l N（此仃2 ）,其中NWR,。2。，X1,X2,.Xn是抽自總體X的. nn2簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本，求：（1） EX,DX ,ES2,DS2,其中 X =-Z Xi,S2 = z （Xi -X ）;n i 4n -1 i一1

5、 XX. Xc 22 X3 X3（2）若N=0,n =3,求Y =1勺+能 服從的分布，并指出其自由度；（3）在（2）的條件下求 P（Y 0均未知，X1,X2, 1Xn是抽自總體X的簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本，求參數(shù) 0t,K的矩 估計(jì)；2.設(shè)總體X的密度函數(shù)為：f （x* ）=3ef） x沏，其中日w R未知，X1，X2,Xn是 抽自總體X的簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本，求 日和EX2的極大似然估計(jì)（MLE）。2 -、（10 分）設(shè) X1,X2, 1Xni.LdL U（e,20 ）, 0 0未知，證明：= X 是e 的無偏估3計(jì)和相合估計(jì)。四、（10分）設(shè)總體XL N（N,9）, Xi,X2, Xn是抽自總體X的簡(jiǎn)單隨機(jī)

6、樣本，為使 R的置信水平為95%的置信區(qū)間的長(zhǎng)度不超過 1.96,樣本容量n至少為多少？五、（15分）總體X服從兩點(diǎn)分布B（1,p）, X1,X2,X3是從總體X中抽取的簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本，設(shè)假設(shè)檢驗(yàn)問題 H0: p =0.5H1 : p = 0.2的一個(gè)檢驗(yàn)的否定域?yàn)椋篋 =1 X1,X2,X3 X1 X2 X3 二 1）。求：1.該檢驗(yàn)犯第一類錯(cuò)誤的概率；2該檢驗(yàn)犯第二類錯(cuò)誤的概率；3.在H1下的功效函數(shù)。六、（30分）設(shè)Xi,X2, Xn是從總體 X中抽取的簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本，且 X的密度函數(shù)為f （x,8 ）=呢%毋）x） 卜 其中c A 0已知，日A 0未知。1 .驗(yàn)證樣本分布族是指數(shù)族，并寫出

7、其自然形式（標(biāo)準(zhǔn)形式）n2 .證明T（X ）= ln Xi是充分完全（完備）統(tǒng)計(jì)量； i 1X-2nX:,23 .驗(yàn)證26ln|_l Z2 ,進(jìn)而驗(yàn)證2日 ln L12n ；Ci4c .1 n Xi 0 1 ,4 .利用充分完全統(tǒng)計(jì)量法和C-R不等式法證明 _ lnL是的一致最小萬差無偏估計(jì);n i4 c v5 .考慮假設(shè)檢驗(yàn)問題 Ho：8=2Hi：82,給出該檢驗(yàn)問題的檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量以及水平為口（0 口M1 ）的檢驗(yàn)的否定域（拒絕域）；6 .求參數(shù)9的一個(gè)置信水平為1 口（0 口 1 ）的置信區(qū)間。附表：4（1.96 ）=0.975#（1.645）=0.95。課程編號(hào)：07000233 （MTH

8、17172）北京理工大學(xué)2015-2016學(xué)年第二學(xué)期2014級(jí)數(shù)理統(tǒng)計(jì)期末試題A卷一、設(shè)總體X|_N（0,1）, X1,X2, 1X6是抽自總體X的簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本，確定常數(shù)c使得X. XX隨機(jī)變量T =c . X1 X2 X3服從t分布。,X2 X52 X：二、設(shè)總體X的概率分布為：X123P2Ot2口（1 -a ）/2其中0co（ 1為未知參數(shù)，Xi,X2,X6是抽自總體 X的簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本，樣本值分別為 1,2,1,3,2,1,求參數(shù)口的矩估計(jì)值和極大似然估計(jì)值。三、設(shè)X1,X2, 1Xn是來自總體 X的簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本，且總體均值 EX = N，總體方差DX =仃2。nn1 .證明X和W= a

9、iXi （其中工叫=1）都是N的無偏估計(jì)；2.比較X和W的有效性。 i =1i =1四、設(shè)有參數(shù)分布族F由Bw。,其中。是參數(shù)空間，X1,X2,.Xn是從上述分布族中 抽取的樣本。敘述參數(shù) 6的置信區(qū)間的定義，并解決下面的問題：設(shè)總體 X LI N （巴32 ）, 從總體中抽取容量為 36的簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本，若以一區(qū)-0.98,X +0.98作為R的置信區(qū)間，求置信水平。五、（15分）設(shè)總體X服從正態(tài)分布N （出1）, X1JILX9是從總體X中抽取的簡(jiǎn)單隨機(jī)樣,1 .n本，X = Xi是樣本均值。考慮假設(shè)檢驗(yàn)問題H0:R=01 H1:R=1,拒絕域?yàn)椋簄 i 1Di =（Xi,III,X9 J3

10、X u0.025）或者 D2 Xi,III,X9）3X U0.051.求相應(yīng)于這兩個(gè)拒絕域的犯第一類錯(cuò)誤的概率a1,a2；2求相應(yīng)于這兩個(gè)拒絕域的犯第二類錯(cuò)誤的概率3,日2。f （x,9 ） = 2取6）x其中0 0未知。1 .驗(yàn)證樣本分布族是指數(shù)族，并寫出其自然形式（標(biāo)準(zhǔn)形式）；n2 .證明T（X ）= ln Xi是充分完全（完備）統(tǒng)計(jì)量，并求 ET（X ）;i 1n3.驗(yàn)證 49 ln Xi |_ 7-f ,進(jìn)而驗(yàn)證 49Z ln Xi 吟n ;i 1 ,是的一致取小方差無偏估計(jì);2口1 1、，口，行1，、，4 .利用充分完全統(tǒng)計(jì)量法和C-R不等式法證明一 lnXin i45 .求參數(shù)6的一個(gè)置信水平為1 口（0 口M1 ）的置信區(qū)間；6 .考慮假設(shè)檢驗(yàn)問題 Ho：100 H