考研數(shù)學(xué)超強題型總結(jié)

1、第一講 求極限的各種方法教學(xué)目的通過教學(xué)使學(xué)生掌握求極限的各種方法，重點掌握用等價無窮小量代換求極限；用羅必塔法則求極限；用對數(shù)恒等式求極限 ；利用Taylor公式求極限；數(shù)列極限轉(zhuǎn)化成函數(shù)極限求解重點難點1用等價無窮小量代換求極限2用羅必塔法則求極限3用對數(shù)恒等式求極限 4利用Taylor公式求極限 5數(shù)列極限轉(zhuǎn)化成函數(shù)極限求解教學(xué)提綱1約去零因子求極限2分子分母同除求極限3分子(母)有理化求極限4應(yīng)用兩個重要極限求極限5用等價無窮小量代換求極限6用羅必塔法則求極限7用對數(shù)恒等式求極限 8數(shù)列極限轉(zhuǎn)化成函數(shù)極限求解9n項和數(shù)列極限問題10單調(diào)有界數(shù)列的極限問題第一講求極限的各種方法求極限是歷

2、年考試的重點，過去數(shù)學(xué)一經(jīng)?？继羁疹}或選擇題，但近年兩次作為大題出現(xiàn)，說明極限作為微積分的基礎(chǔ)，地位有所加強。數(shù)學(xué)二、三一般以大題的形式出現(xiàn)。用等價無窮小量代換求極限，用對數(shù)恒等式求極限是重點，及時分離極限式中的非零因子是解題的重要技巧。1約去零因子求極限例1：求極限【說明】表明無限接近，但，所以這一零因子可以約去?！窘狻?分子分母同除求極限例2：求極限【說明】型且分子分母都以多項式給出的極限,可通過分子分母同除來求?！窘狻俊驹u注】(1) 一般分子分母同除的最高次方；(2) 3分子(母)有理化求極限例3：求極限【說明】分子或分母有理化求極限，是通過有理化化去無理式?！窘狻坷?：求極限【解】【注

3、】本題除了使用分子有理化方法外，及時分離極限式中的非零因子是解題的關(guān)鍵4應(yīng)用兩個重要極限求極限兩個重要極限是和，第一個重要極限過于簡單且可通過等價無窮小來實現(xiàn)。主要考第二個重要極限。例5：求極限【說明】第二個重要極限主要搞清楚湊的步驟：先湊出，再湊，最后湊指數(shù)部分?！窘狻坷?：(1)；(2)已知，求。5用等價無窮小量代換求極限【說明】(1)常見等價無窮小有：當(dāng) 時,；(2) 等價無窮小量代換,只能代換極限式中的因式；是不正確的(3)此方法在各種求極限的方法中應(yīng)作為首選。例7：求極限【解】 .例8：求極限【解】例9：求極限.【解】 6用羅必塔法則求極限例10：求極限【說明】或型的極限,可通過羅必

4、塔法則來求。【解】例11：求【說明】許多變動上顯的積分表示的極限，常用羅必塔法則求解【解】 7用對數(shù)恒等式求極限 例12：極限 【說明】（）該類問題一般用對數(shù)恒等式降低問題的難度 （）注意時，【解】 =例13：求極限.【解】 原式 【又如】8數(shù)列極限轉(zhuǎn)化成函數(shù)極限求解例14：極限【說明】這是形式的的數(shù)列極限，由于數(shù)列極限不能使用羅必塔法則，若直接求有一定難度，若轉(zhuǎn)化成函數(shù)極限，可通過7提供的方法結(jié)合羅必塔法則求解?！窘狻靠紤]輔助極限所以，9n項和數(shù)列極限問題n項和數(shù)列極限問題極限問題有兩種處理方法(1)用定積分的定義把極限轉(zhuǎn)化為定積分來計算；(2)利用兩邊夾法則求極限。例15：極限【說明】用定

5、積分的定義把極限轉(zhuǎn)化為定積分計算,是把看成0,1定積分?！窘狻吭嚼?6：極限【說明】(1)該題與上一題類似，但是不能湊成的形式，因而用兩邊夾法則求解； (2) 兩邊夾法則需要放大不等式，常用的方法是都換成最大的或最小的。【解】因為又所以例17：求【說明】該題需要把兩邊夾法則與定積分的定義相結(jié)合方可解決問題。【解】10單調(diào)有界數(shù)列的極限問題例18：已知，證明存在，并求該極限【分析】 一般利用單調(diào)增加有上界或單調(diào)減少有下界數(shù)列必有極限的準(zhǔn)則來證明數(shù)列極限的存在. 【解】該數(shù)列單調(diào)增加有上界，所以存在，設(shè)對于令，得即例19：設(shè)數(shù)列滿足（）證明存在，并求該極限；（）計算.【解】 （）因為，則.可推得

6、，則數(shù)列有界.于是，（因當(dāng)）， 則有，可見數(shù)列單調(diào)減少，故由單調(diào)減少有下界數(shù)列必有極限知極限存在.設(shè)，在兩邊令，得，解得，即.（）因，由（）知該極限為型， (使用了羅必塔法則)故.第二講 無窮小與函數(shù)的連續(xù)性教學(xué)目的通過教學(xué)使學(xué)生掌握無窮小量及無窮小量，無窮大量的概念。無窮小量與無窮大量之間的關(guān)系，函數(shù)的連續(xù)性的判定及函數(shù)的間斷點的求法。重點難點1用等價無窮小量代換求極限2函數(shù)的連續(xù)性的判3. 間斷點的求法教學(xué)提綱. 無窮小如果,就說在這個極限過過程中是無窮小量。.無窮大 ，就說在這個極限過過程中是無窮大量。無界量4.函數(shù)的連續(xù)性定義1 函數(shù)在點的某一領(lǐng)域內(nèi)有定義，如果(1)極限存在；(2)

7、。那么就稱在點連續(xù)。、函數(shù)的間斷點 第一類間斷點 左右極限相等（可去間斷點）間斷點 （左右極限都存在） 左右極限不相等（跳躍間斷點） 第二類間斷點（左右極限至少有一個不存在第二講無窮小與函數(shù)的連續(xù)性無窮小量、函數(shù)的連續(xù)性、間斷點的判定等問題的實質(zhì)是極限問題，理解這些問題的概念，熟練運用求極限的方法是解決這類問題的關(guān)鍵。. 無窮小如果,就說在這個極限過過程中是無窮小量?！菊f明】（1）說一個函數(shù)（數(shù)列）是無窮小量，必需指明在哪個極限過程中。在這個極限過程中是無窮小量，在另一個極限過程中不一定是無窮小量。時，是無窮小量，但時，不是無窮小量；（2）0是唯一可作為無窮小的常數(shù)；（3）作為無窮小量（），主

8、要看低次方項；作為無窮大量（），主要看高次方項；在同一變化過程中如果,就說是比高階的無窮小,記作;如果,就說是比低階的無窮小.如果,就說與是同階無窮小;如果,就說是關(guān)于的k階無窮小，.如果,就說與是等價無窮小,記作.例1：當(dāng)時，與是等價無窮小，則求k.【解】 由題設(shè)， =，得例2：時無窮小量，排列起來，使排在后面的是排在前面的一個的高階無窮小量。排列順序是（ ） a) b) c) d) 【說明】（1）無窮小量的階主要看它和哪個同階，然后再階排定順序； （2）無窮小量求導(dǎo)數(shù)后階數(shù)降低一階?！窘狻?，應(yīng)選。例3：設(shè)函數(shù)在的某鄰域具有二階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，且證明：存在惟一的一組實數(shù)，使得當(dāng)時， 【分析】條件告

9、訴我們因而同上，。【證】略.無窮大 ，就說在這個極限過過程中是無窮大量。定理：當(dāng)自變量在同一變化過程中時，（）若為無窮大量，則為無窮小量。（）若為無窮小量，且，則為無窮大量?！菊f明】常見無窮大量的階無界量如不存在使，對，都有，則稱在上無界，則上無界，則上無界例4：時，變量 是( C ) a)無窮小 b) 無窮大；c)無界，但不是無窮大； d)有界，但不是無窮小4.函數(shù)的連續(xù)性 函數(shù)在點的某一領(lǐng)域內(nèi)有定義，如果(1)極限存在；(2) 。那么就稱在點連續(xù)。如果函數(shù)在開區(qū)間內(nèi)每一點都連續(xù),則稱在開區(qū)間內(nèi)連續(xù);如果函數(shù)在開區(qū)間內(nèi)連續(xù),在點右連續(xù),在點左連續(xù),則稱函數(shù)在閉區(qū)間上連續(xù)。如果,就說函數(shù)在點左

10、連續(xù)。如果,就說函數(shù)在點右連續(xù)。例：。【解】 ，、函數(shù)的間斷點設(shè)函數(shù)在點的某去心領(lǐng)域內(nèi)有定義.在此前提下,如果函數(shù)有下列三種情形之一:在沒有定義;雖在有定義,但不存在;雖在有定義,且存在,但;則函數(shù)在點為不連續(xù),而點稱為函數(shù)的不連續(xù)點或間斷點.間斷點的分類:第一類間斷點:左極限及右極限都存在，可去間斷點: ，(補充定義使之連續(xù))跳躍間斷點:，第二類間斷點: 左極限及右極限至少有一個不存在，無窮間斷點: ， 第一類間斷點 左右極限相等（可去間斷點）間斷點 （左右極限都存在） 左右極限不相等（跳躍間斷點） 第二類間斷點（左右極限至少有一個不存在）例6：求的間斷點，并指出它的類型?！痉治觥坑捎诔醯群?/p>

11、數(shù)在定義域內(nèi)都是連續(xù)的，所以間斷點必定是無定義的或分段函數(shù)的分點。【解】，是第二類間斷點，是第一類間斷點，是第二類間斷點例7：，求的間斷點，并指出其類型【解】 可去間斷點，第二類間斷點，例8：,=？時,在x=0點連續(xù)，x=0是可去間斷點。【解】 = =令，有 ，得或.當(dāng)a=-1時，即f(x)在x=0處連續(xù).當(dāng)a=-2時，因而x=0是f(x)的可去間斷點.例5：確定的值，使得有第二類間斷點及可去間斷點?！窘狻砍?shù)， ，第三講 導(dǎo)數(shù)與微分法研究教學(xué)目的通過教學(xué)使學(xué)生掌握導(dǎo)數(shù)的定義，導(dǎo)數(shù)的幾何意義及微分的概念，熟練掌握導(dǎo)數(shù)的各種求導(dǎo)方法。重點難點1隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)求法2參數(shù)方程確定的函數(shù)的導(dǎo)數(shù)求法3形如

12、的函數(shù)的導(dǎo)數(shù)求法取對數(shù)求導(dǎo)法. 變動上線的積分表示的函數(shù)的導(dǎo)數(shù)教學(xué)提綱一、基本概念1導(dǎo)數(shù)及其變形2分段函數(shù)的導(dǎo)數(shù)通過左右導(dǎo)數(shù)來求.導(dǎo)數(shù)的幾何意義4.微分的定義二、求導(dǎo)方法.求導(dǎo)公式及其應(yīng)用.復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)求法4參數(shù)方程確定的函數(shù)的導(dǎo)數(shù)求法5極坐標(biāo)方程表示的的函數(shù)的導(dǎo)數(shù)求法形如的函數(shù)的導(dǎo)數(shù)求法取對數(shù)求導(dǎo)法分段函數(shù)的導(dǎo)數(shù)變動上線的積分表示的函數(shù)的導(dǎo)數(shù)第三講導(dǎo)數(shù)與微分法研究 一元函數(shù)的導(dǎo)數(shù)與微分是微積分的基礎(chǔ)，經(jīng)常出選擇題與填空題，可作為求極限、求駐點、求拐點、求多元函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)與全微分等問題的基礎(chǔ)。重點掌握分段函數(shù)的導(dǎo)數(shù)、隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)、參數(shù)（極坐標(biāo)）方程確定的函數(shù)的導(dǎo)數(shù)。變動上限的積分

13、表示的函數(shù)的導(dǎo)數(shù)每年都考。一、基本概念1導(dǎo)數(shù)及其變形例1：設(shè)在可導(dǎo)，求(1)， (2)(3)2分段函數(shù)的導(dǎo)數(shù)通過左右導(dǎo)數(shù)來求例2：設(shè)在連續(xù)，文在什么條件下在可導(dǎo)？【解】當(dāng)，即時，在可導(dǎo)。【討論】，分別有幾個不可導(dǎo)點。例3：已知函數(shù)處處可導(dǎo)，試確定的值。【解】(1)欲使在處可導(dǎo)，必先在處連續(xù)，故有，即 （2）又在處的左、右導(dǎo)數(shù)分別為，故，從而，所以，當(dāng)，時處處可導(dǎo)。.導(dǎo)數(shù)的幾何意義設(shè)函數(shù)在點的導(dǎo)數(shù)存在，為，則導(dǎo)數(shù)值為函數(shù)上一點（，）處的切線的斜率。此時，切線方程為：；法線方程為：。例4：求的切線方程，使此切線與直線的斜率相同?！窘狻吭O(shè)切點為（，），則有：，由已知，切線斜率與相同，則，可解得：，切

14、線方程為： 即。例5：函數(shù)由方程確定，求在處的切線方程?！窘狻柯?.微分的定義設(shè)函數(shù)在某區(qū)間內(nèi)有定義，及在這區(qū)間內(nèi)，如果因變量的增量可表示為，其中A是不依賴于的常數(shù)，而是時比高階的無窮小，那么稱函數(shù)在點是可微的。而叫做函數(shù)在點相應(yīng)于自變量增量的微分，記作。即。二、求導(dǎo)方法.求導(dǎo)公式及其應(yīng)用(略).復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法（略）隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)求法例6：求由方程所確定的隱函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù)【解】兩邊對求導(dǎo)得： （*）由此得 方法二：對（*）式再兩端求導(dǎo)得： 4參數(shù)方程確定的函數(shù)的導(dǎo)數(shù)求法（1）若參數(shù)方程確定與之間函數(shù)關(guān)系，則稱此函數(shù)為由參數(shù)方程所確定的函數(shù)。（2）計算導(dǎo)數(shù)的方法，例7:函數(shù)由參數(shù)方程確定，求，【解

15、】例8:函數(shù)由方程確定，求【解】略5極坐標(biāo)方程表示的的函數(shù)的導(dǎo)數(shù)求法設(shè)極坐標(biāo)方程為，化為直角坐標(biāo)，進(jìn)一步轉(zhuǎn)化為直角坐標(biāo)求解。例9: 函數(shù)的極坐標(biāo)方程為，求【解】形如的函數(shù)的導(dǎo)數(shù)求法取對數(shù)求導(dǎo)法例10:，求【解】方程兩邊關(guān)于求導(dǎo)7分段函數(shù)的導(dǎo)數(shù)分段函數(shù)的導(dǎo)數(shù)在分段點通過左右倒數(shù)來討論。例11:設(shè)，有二解連續(xù)的導(dǎo)數(shù)， 求【解】 當(dāng)時當(dāng)時8.變動上線的積分表示的函數(shù)的導(dǎo)數(shù)連續(xù)，若，則例12：求導(dǎo)數(shù)（1）（2）（3）（4）（5）所以，例13：設(shè)可導(dǎo)，并且求【解】代入得 兩邊兩次求導(dǎo)例14：設(shè)函數(shù)f(x)連續(xù)，且，求極限【解】 由于,于是 = =第四講 微積分中存在性問題的證明方法教學(xué)目的通過教學(xué)使學(xué)生

16、掌握微積分中存在性問題證明的一般方法，熟練掌握用介值定理或根的存在性定理證明存在性問題；用中值定理證明存在性問題；用泰勒公式證明存在性問題重點難點1用介值定理或根的存在性定理證明存在性問題2用中值定理證明存在性問題3用泰勒公式證明存在性問題教學(xué)提綱1基本結(jié)論(1)有界性；最值性；零點定理；介值性定理；羅爾定理；拉格朗日中值定理；柯西中值定理2證明思路 (1)設(shè)在a,b上連續(xù)，條件中不涉及到導(dǎo)數(shù)或可微，證明存在，使得，一般用介值定理或根的存在性定理。(2) 設(shè)在a,b上連續(xù)，在(a,b)上可導(dǎo)，證明存在，使得結(jié)論中包含和一階導(dǎo)數(shù)的等式成立，一般用中值定理。(3) 設(shè)在a,b上連續(xù)，在(a,b)上

17、二階可微，證明存在，使得結(jié)論中包含和二階導(dǎo)數(shù)的等式成立，一般三次使用中值定理或用泰勒公式。(4)設(shè)在a,b上連續(xù)，在(a,b)上三次（或以上）可導(dǎo)，證明存在，使得結(jié)論中包含和三階導(dǎo)數(shù)的等式成立，一般用泰勒公式。(5)條件中包含時，要首先使用積分中值定理處理，得到，作為其他證明的條件。3.存在性證明中輔助函數(shù)的構(gòu)造方法第四講微積分中存在性問題的證明方法微積分中存在性問題的證明問題涉及閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)、微分中值定理、積分中值定理和泰勒公式，是歷年考試的重點，一定熟練掌握。這一問題的突破點是選擇正確的解題思路并合理構(gòu)造輔助函數(shù)，有時輔助函數(shù)需要借助微分方程來尋找尋找。1基本結(jié)論(1)有界性：若

18、。(2)最值性：若，則在能取到最大值和最小值。(3)零點定理：若，且，則在內(nèi)至少存在一點，使。(4)介值性：若，分別是在上的最大值和最小值，則，在至少存在一點，使。(5)羅爾定理 如果函數(shù)滿足：（1）在閉區(qū)間上連續(xù), （2）在開區(qū)間內(nèi)可導(dǎo), （3）在區(qū)間端點處的函數(shù)值相等，即, 那么在內(nèi)至少在一點 , 使得函數(shù)在該點的導(dǎo)數(shù)等于零，即. (6)拉格朗日中值定理 如果函數(shù)滿足（1）在閉區(qū)間上連續(xù), （2）在開區(qū)間內(nèi)可導(dǎo), 那么在內(nèi)至少有一點, 使得等式(7)柯西中值定理 如果函數(shù)及在閉區(qū)間上連續(xù),在開區(qū)間內(nèi)可導(dǎo),且在內(nèi)每一點均不為零，那末在內(nèi)至少有一點,使等式成立2證明思路 (1)設(shè)在a,b上連續(xù)

19、，條件中不涉及到導(dǎo)數(shù)或可微，證明存在，使得，一般用介值定理或根的存在性定理。(2) 設(shè)在a,b上連續(xù)，在(a,b)上可導(dǎo)，證明存在，使得結(jié)論中包含和一階導(dǎo)數(shù)的等式成立，一般用中值定理。(3) 設(shè)在a,b上連續(xù)，在(a,b)上二階可微，證明存在，使得結(jié)論中包含和二階導(dǎo)數(shù)的等式成立，一般三次使用中值定理或用泰勒公式。(4)設(shè)在a,b上連續(xù)，在(a,b)上三次（或以上）可導(dǎo)，證明存在，使得結(jié)論中包含和三階導(dǎo)數(shù)的等式成立，一般用泰勒公式。(5)條件中包含時，要首先使用積分中值定理處理，得到，作為其他證明的條件。3.存在性證明中輔助函數(shù)的構(gòu)造方法存在性證明中成功構(gòu)造輔助函數(shù)是解題的關(guān)鍵。輔助函數(shù)大多來源

20、于結(jié)論，從對結(jié)論的分析中得出輔助函數(shù)。例1、設(shè)在0，2a上連續(xù)，證明在0,a上存在使得 .【分析】【證明】令，在0,a上連續(xù)，且當(dāng)時，取，即有；當(dāng)時，由根的存在性定理知存在使得，即例2設(shè)函數(shù)f(x)在0，3上連續(xù)，在（0，3）內(nèi)可導(dǎo)，且f(0)+f(1)+f(2)=3, f(3)=1.試證必存在，使【分析】 根據(jù)羅爾定理，只需再證明存在一點c，使得，然后在c,3上應(yīng)用羅爾定理即可. 條件f(0)+f(1)+f(2)=3等價于，問題轉(zhuǎn)化為1介于f(x)的最值之間，最終用介值定理可以達(dá)到目的.【證明】 因為f(x)在0，3上連續(xù)，所以f(x)在0，2上連續(xù)，且在0，2上必有最大值M和最小值m，于是

21、 ， ，.故由介值定理知，至少存在一點，使 因為f(c)=1=f(3), 且f(x)在c,3上連續(xù)，在(c,3)內(nèi)可導(dǎo)，所以由羅爾定理知，必存在，使例3、設(shè)函數(shù)在0,1上連續(xù)，在(0,1)上可導(dǎo)，證明：在(0,1)內(nèi)存在，使得【分析】本題的難點是構(gòu)造輔助函數(shù)，可如下分析：【證明】令，則在0,1上連續(xù)，在(0,1)上可導(dǎo)，且,由羅爾中值定理知，存在，使得即例4設(shè)函數(shù)在0，1上連續(xù)，（0，1）內(nèi)可導(dǎo)，且證明：（）【分析】本題的難點是構(gòu)造輔助函數(shù)， 令 【證明】略例5設(shè)函數(shù)在0，1上連續(xù)，（0，1）內(nèi)可導(dǎo)，且證明：(1)(2)對于任意實數(shù)，【分析】本題的難點是構(gòu)造輔助函數(shù)， 令例6、設(shè)函數(shù)在0，1上

22、連續(xù)，（0，1）內(nèi)可導(dǎo)，且證明：（為自然數(shù)）【分析】本題構(gòu)造輔助函數(shù)的難度大于上一題，需要積分（即解微分方程）方可得到：【證明】令，則在0,1上連續(xù)，在(0,1)上可導(dǎo)，且，即，又，約去，整理得證例7、設(shè)函數(shù)在0,1上連續(xù)，在(0,1)上可導(dǎo)，.證明：(1)在(0,1)內(nèi)存在，使得 (2) 在(0,1)內(nèi)存在兩個不同的點，【分析】 第一部分顯然用閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的介值定理；第二部分為雙介值問題，可考慮用拉格朗日中值定理，但應(yīng)注意利用第一部分已得結(jié)論.【證明】 （I） 令，則F(x)在0，1上連續(xù)，且F(0)=-10,于是由介值定理知，存在存在 使得，即.（II） 在和上對f(x)分別應(yīng)用拉格朗

23、日中值定理，知存在兩個不同的點，使得，于是 類似地還有例8、設(shè)函數(shù)在a,b上連續(xù)，在(a,b)上可導(dǎo)，證明：在(a,b)內(nèi)存在,使得例9：設(shè)函數(shù)在a,b上連續(xù)，在(a,b)上可導(dǎo)，證明：在(a,b)內(nèi)存在,使得 例10：設(shè)函數(shù)f(x), g(x)在a, b上連續(xù)，在(a, b)內(nèi)具有二階導(dǎo)數(shù)且存在相等的最大值，f(a)=g(a), f(b)=g(b), 證明：存在，使得【分析】需要證明的結(jié)論與導(dǎo)數(shù)有關(guān)，自然聯(lián)想到用微分中值定理，事實上，若令，則問題轉(zhuǎn)化為證明, 只需對用羅爾定理，關(guān)鍵是找到的端點函數(shù)值相等的區(qū)間(特別是兩個一階導(dǎo)數(shù)同時為零的點)，而利用F(a)=F(b)=0, 若能再找一點，使

24、得，則在區(qū)間上兩次利用羅爾定理有一階導(dǎo)函數(shù)相等的兩點，再對用羅爾定理即可。【證明】構(gòu)造輔助函數(shù)，由題設(shè)有F(a)=F(b)=0. 又f(x), g(x)在(a, b)內(nèi)具有相等的最大值, 不妨設(shè)存在, 使得，若，令, 則若，因，從而存在，使 在區(qū)間上分別利用羅爾定理知，存在，使得. 再對在區(qū)間上應(yīng)用羅爾定理，知存在，有， 即 第五講 微積分中不等式的證明方法討論教學(xué)目的通過教學(xué)使學(xué)生掌握利用函數(shù)的單調(diào)性證明不等式；利用拉格朗日中值定理證明不等式；利用函數(shù)的最值證明不等式；利用泰勒公式證明不等式；積分表示的不等式的證明重點難點1利用函數(shù)的單調(diào)性證明不等式2利用泰勒公式證明不等式3積分表示的不等式

25、的證明教學(xué)提綱1.利用函數(shù)的單調(diào)性證明不等式若在上總有，則在單調(diào)增加；若在上總有，則在單調(diào)減少。2.利用拉格朗日中值定理證明不等式對于不等式中含有拉格朗日中值定理先處理以下。3.利用函數(shù)的最值證明不等式令上連續(xù)，則存在最大值和最小值，那么：4.利用泰勒公式證明不等式如果要證明的不等式中，含有函數(shù)的二階或二階以上的導(dǎo)數(shù)，一般通過泰勒公式證明不等式。5.積分表示的不等式的證明 第五講微積分中不等式的證明方法討論不等式的證明題作為微分的應(yīng)用經(jīng)常出現(xiàn)在考研題中。利用函數(shù)的單調(diào)性證明不等式是不等式證明的基本方法，有時需要兩次甚至三次連續(xù)使用該方法。其他方法可作為該方法的補充，輔助函數(shù)的構(gòu)造仍是解決問題的

26、關(guān)鍵。1.利用函數(shù)的單調(diào)性證明不等式若在上總有，則在單調(diào)增加；若在上總有，則在單調(diào)減少?！驹u注】構(gòu)造恰當(dāng)?shù)妮o助函數(shù)是解決問題的基礎(chǔ)，有時需要兩次利用函數(shù)的單調(diào)性證明不等式，有時需要對進(jìn)行分割，分別在小區(qū)間上討論。例：證明：當(dāng)時，. 【分析】 利用“參數(shù)變易法”構(gòu)造輔助函數(shù)，再利用函數(shù)的單調(diào)性證明.【解】 令，則 ，且.又 ，（），故當(dāng)時，單調(diào)減少，即，則單調(diào)增加，于是，即.【評注】 證明數(shù)值不等式一般需構(gòu)造輔助函數(shù)，輔助函數(shù)一般通過移項，使不等式一端為“0”，另一端即為所作輔助函數(shù)，然后求導(dǎo)驗證的增減性，并求出區(qū)間端點的函數(shù)值（或極限值）。例2：設(shè), 證明.【分析】即證 【證明】設(shè)， 則 ，

27、,所以當(dāng)xe時， 故單調(diào)減少，從而當(dāng)時， ，即當(dāng)時，單調(diào)增加.因此當(dāng)時，即 ，故 .【評注】 本題也可設(shè)輔助函數(shù)為，請自己證明。例3：證明不等式：【分析】當(dāng)時，兩端都等于0，等號成立；應(yīng)分兩種情況討論。即證：（1） （2） （3）下面的證明就簡單了。例4：設(shè)，證明：【分析】該題的關(guān)鍵是設(shè)輔助函數(shù)，由多種設(shè)法 （1） （2） ，當(dāng)然，第二種設(shè)法更簡單例5：設(shè) ，證明【分析】輔助函數(shù)也有多種設(shè)法 （1）， （2） ， （3） ， 當(dāng)然，第三種設(shè)法更簡單?！揪毩?xí)】設(shè)，證明不等式2.利用拉格朗日中值定理證明不等式 對于不等式中含有拉格朗日中值定理先處理以下。例6：證明：當(dāng)0be時， 所以單調(diào)減少，從而

28、，即 ，故 .例8：設(shè)，則【提示】證明，可構(gòu)造3.利用函數(shù)的最值證明不等式令上連續(xù)，則存在最大值和最小值，那么：例9：設(shè), 證明證明：令， 由 得，球的惟一的駐點， ，和1是在0，1上的最小值和最大值。 所以：.利用函數(shù)的凹凸性證明不等式（1）在上，若，則的圖像是凹的，弦在圖像的上方；（）在上，若，則的圖像是凸的，弦在圖像的下方；例10: 設(shè), 證明解：所以的圖像是凹的，得證.利用泰勒公式證明不等式（見第七講）第六講 中值定理的其它應(yīng)用 教學(xué)目的（1） 正確理解函數(shù)在指定區(qū)間上單調(diào)性的判定法。（2） 會球函數(shù)的極值與最值。（3） 掌握用定義及二階導(dǎo)數(shù)判定函數(shù)圖形的凹凸性并求出拐點。會求曲線的水

29、平與垂直漸進(jìn)線重點難點重點：函數(shù)單調(diào)性的判定，曲線凹凸的判定及拐點的求法與判定難點：函數(shù)單調(diào)性的判定，曲線凹凸的判定及拐點的求法與判定教學(xué)提綱1.函數(shù)單調(diào)性的判定2.一元函數(shù)的極值（）極值是函數(shù)的局部概念（）極值點在駐點及不可導(dǎo)點取得（）極值點的判別法3.曲線的凹凸性與拐點曲線的凹凸性與其二階導(dǎo)數(shù)的符號之間的關(guān)系。設(shè)在上連續(xù)，在內(nèi)具有一階和二階導(dǎo)數(shù)，那么(1) 若在內(nèi)，則在上的圖形是凹的；(2) 若在內(nèi)，則在上的圖形是凸的;(3) （拐點）曲線的凹，凸的分界點稱為拐點。.函數(shù)的最值假定在上連續(xù)，在開區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)，且至多存在有限個點處的導(dǎo)數(shù)為零或不存在的情況下討論函數(shù)在上最大值和最小值的求法.函數(shù)

30、的漸近線第六講中值定理的其它應(yīng)用中值定理用于求函數(shù)的增減區(qū)間、判定函數(shù)的增減性、求函數(shù)的凹凸區(qū)間，求函數(shù)的拐點、求函數(shù)的極值與最值、求函數(shù)的漸近線等。1.函數(shù)單調(diào)性的判定函數(shù)在上連續(xù)，在內(nèi)可導(dǎo)。(1)如果內(nèi)0，那么函數(shù)在上單調(diào)增加；(2)如果內(nèi)0，那么函數(shù)在上單調(diào)減少。2.一元函數(shù)的極值（）極值是函數(shù)的局部概念（）極值點在駐點及不可導(dǎo)點取得（）極值點的判別法第一充分條件：設(shè)函數(shù)在處連續(xù)，若時，而時，則在處取得極大值；若時，而時，則處取得極小值；第二充分條件：設(shè)函數(shù)在處具有二階導(dǎo)數(shù)且當(dāng)時，函數(shù)在處取得極大值；當(dāng)時，函數(shù)在處取得極小值。求函數(shù)的極值的步驟（1）求出導(dǎo)數(shù)；（2）求出的全部駐點以及使得

31、導(dǎo)數(shù)不存在的點（3）用第一充分判別法考察這些點是否為極值點，如果是，再判斷類型。例1：.求函數(shù)的極值【解】 由得的駐點為在處取得極小值 在由第二充分判別法無法判定的符號的單調(diào)性由第一充分判別法在處都沒有極值。例：求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間與極值?！窘狻?0駐點為，是極大值點，是極小值點，極大值為，是極小值為單增區(qū)間；單減區(qū)間例：設(shè)函數(shù)f(x)在內(nèi)連續(xù)，其導(dǎo)函數(shù)的圖形如圖所示，判斷f(x)有的極值。 y O x【解】略3.曲線的凹凸性與拐點曲線的凹凸性與其二階導(dǎo)數(shù)的符號之間的關(guān)系。設(shè)在上連續(xù)，在內(nèi)具有一階和二階導(dǎo)數(shù)，那么（）若在內(nèi)，則在上的圖形是凹的；（）若在內(nèi)，則在上的圖形是凸的;（）（拐點）曲線的凹，

32、凸的分界點稱為拐點。拐點必定在二階導(dǎo)數(shù)等于0及不可導(dǎo)點取得。例3：求曲線的拐點及凹、凸的區(qū)間【解】函數(shù)的定義域為解這個方程的的符號+-+的凹凸性凹凸凹所以點是曲線的拐點。.函數(shù)的最值(1)最值必在駐點、不可導(dǎo)點和端點取得；(2)最值反映了函數(shù)的整體性質(zhì)；(3)最值的求法：設(shè)在內(nèi)的駐點及不可導(dǎo)點為，比較的大小，其中最小的是上的最小值，最大的是上的最大值。例.求函數(shù) （）的最值。【解】，由解得，比較，得到在上，的最小值為， 最大值為。.函數(shù)的漸近線例：求曲線的漸近線. 【分析】 先考慮是否有水平漸近線，若無水平漸近線應(yīng)進(jìn)一步考慮是否存在斜漸近線，而是否存在鉛直漸近線，應(yīng)看函數(shù)是否存在無定義點.【解

33、】 當(dāng)時，極限均不存在，故不存在水平漸近線； 又因為 ，所以有斜漸近線y=x.另外，在 x=0 處無定義，且，可見 x=0為鉛直漸近線.例：曲線，漸近線的條數(shù)為【分析】 先找出無定義點，確定其是否為對應(yīng)垂直漸近線；再考慮水平或斜漸近線。【解】 因為，所以為垂直漸近線；又 ，所以y=0為水平漸近線；進(jìn)一步，=， = =，于是有斜漸近線：y = x. 例 求曲線的漸近線.【解】 得.再由（3）式 得從而求得此曲線的斜漸近線方程為又由易見，垂直漸近線方程為：第七講 泰勒公式及其應(yīng)用教學(xué)目的通過教學(xué)使學(xué)生掌握帶有皮亞諾余項的泰勒公式,帶有Lagrange型余項的Taylor公式,函數(shù)的Maclauri

34、n公式, 會用一階泰勒公式解決問題。重點難點1泰勒公式的內(nèi)容2.利用Taylor公式求極限 3利用Taylor公式求證明題教學(xué)提綱一、一階泰勒公式1.帶有皮亞諾余項的泰勒公式2.帶有Lagrange型余項的Taylor公式3函數(shù)的Maclaurin公式二、應(yīng)用(1) 把函數(shù)展開成n階Maclaurin公式(2)求的n階導(dǎo)數(shù)(3)利用Taylor公式求極限 (4)利用Taylor公式求證明題第七講泰勒公式其應(yīng)用一、一階泰勒公式.帶有Lagrange型余項的Taylor公式定理1（泰勒） 若函數(shù)f在(a,b)上存在直到n階的連續(xù)導(dǎo)函數(shù),在(a,b)內(nèi)存在n1階導(dǎo)函數(shù),則對任意給定的,至少存在一點使

35、得： 在之間。2.帶有皮亞諾余項的泰勒公式定理2若函數(shù)f在(a,b)上存在直到n階的連續(xù)導(dǎo)函數(shù),則對任意給定的 （1）稱為泰勒公式的余項.3、 函數(shù)的Maclaurin公式二、應(yīng)用1.把函數(shù)展開成n階Maclaurin公式例： 把函數(shù)展開成含項的具Peano型余項的Maclaurin公式 .【解】 , .例： 把函數(shù)展開成含項的具Peano型余項的Maclaurin公式 .【解】 , .2.求的n階導(dǎo)數(shù)例： ，求.【解】又所以，3.利用Taylor公式求極限 例4 求極限(1) (2).【分析】用泰勒公式求極限把函數(shù)展開到多少次方呢？對于分子和分母有一個能確定次數(shù)的，把另一個展開到相同次數(shù)即可

36、，例如：但是對于分子和分母都不能確定次數(shù)的，要以具體情況而定。【解】(1) 【點評】本題先確定分母展開的次數(shù)，至少展開到二階，確定了分母的次數(shù)后，以次確定分子展開的次數(shù)。(2) .例：試確定的值，使得，其中是當(dāng)時比高階的無窮小.【分析】題設(shè)方程右邊為關(guān)于的多項式，要聯(lián)想到的泰勒級數(shù)展開式，比較的同次項系數(shù)，可得的值.【解】將的泰勒級數(shù)展開式代入題設(shè)等式得 整理得 比較兩邊同次冪系數(shù)得 ，解得 .4.利用Taylor公式求證明題例6 設(shè)存在，證明 【證明】 ,所以： 例7 設(shè)函數(shù)在0，1上有三階連續(xù)的導(dǎo)數(shù)，且證明：?！咀C明】 ，在上連續(xù)，設(shè)在上的最大值和最小值分別為則所以使【評論】(1)本題把泰

37、勒公式與介值定理結(jié)合使用，有一定難度。(2) 泰勒公式的展開點一般選在特別的中間點或端點。例8：在，上具有二階導(dǎo)數(shù)，且滿足，是（,）內(nèi)的任意一點證明：【證】 (1) (2)(2)-(1)得：，因為 例9 設(shè)在上二階可導(dǎo),且,則存在,使得.【證明】 ,將函數(shù)在點與點處展開,.令代入得：,上述二項相減,移項并取絕對值得,其中,取【分析】本題在點展開，則這一條件難以應(yīng)用。第八講 不定積分與定積分的各種計算方法教學(xué)目的通過教學(xué)使學(xué)生掌握不定積分與定積分的各種計算方法。重點難點1不定積分的概念2不定積分的計算3定積分的計算教學(xué)提綱1.不定積分1.1不定積分的概念原函數(shù)；原函數(shù)的個數(shù)；原函數(shù)的存在性；定積

38、分；一個重要的原函數(shù)。1.2不定積分的計算(1)裂項積分法；(2)第一換元積分法；(3)第二換元積分法(4)分部積分法2.定積分 (1)基本積分法； (2)分割區(qū)域處理分段函數(shù)、絕對值函數(shù)、取整函數(shù)、最大值最小值函數(shù) (3)利用函數(shù)的奇偶性化簡定積分 (4)一類定積分問題第八講不定積分與定積分的各種計算方法一、不定積分1不定積分的概念原函數(shù)：若在區(qū)間 上，則稱是的一個原函數(shù). 原函數(shù)的個數(shù): 若 是 在區(qū)間 上的一個原函數(shù), 則對 ， 都是在區(qū)間 上的原函數(shù)；若 也是在區(qū)間 上的原函數(shù)，則必有 .可見，若，則的全體原函數(shù)所成集合為.原函數(shù)的存在性: 連續(xù)函數(shù)必有原函數(shù). 不定積分：的帶有任意常

39、數(shù)項的原函數(shù)稱為的不定積分。記作一個重要的原函數(shù)：若在區(qū)間上連續(xù)，則是的一個原函數(shù)。2不定積分的計算(1)裂項積分法例1：。例2：例3：(2)第一換元積分法有一些不定積分，將積分變量進(jìn)行適當(dāng)?shù)淖儞Q后，就可利用基本積分表求出積分。例如，求不定積分，如果湊上一個常數(shù)因子2，使成為例4：例5：例6： .(3)第二換元積分法第二換元積分法用于解決被積函數(shù)帶根式的不定積分，代換方法如下：被積函數(shù)包含,處理方法是令;被積函數(shù)包含,處理方法是令;被積函數(shù)包含,處理方法是令;被積函數(shù)包含,處理方法是令;例7：計算【解】令，且從而= =由圖2.1知 所以=例8: .(4)分部積分法當(dāng)積分不好計算,但容易計算時,

40、使用分部積分公式: .常見能使用分部積分法的類型:(1),等,方法是把移到d后面,分部積分的目的是降低x的次數(shù)(2),等,方法是把移到d后面,分部幾分的目的是化去. 例9:例10:例11: 例12: = ，解得 . 例13: = =,解得 .【點評】以上兩例所示的通過分部積分與解方程的方法求解不定積分是一種技巧例14 設(shè)函數(shù)的一個原函數(shù)是求。【解】 【點評】本題主要考察原函數(shù)和不定積分的概念以及分部積分法.例15 計算【說明】涉及到的積分一般有兩種處理方法.(1)用分部積分法; (2)作變量替換令【解法一】 【點評】:分部積分后,后面的積分計算更加困難.為此我們考慮變量替換法.【解法二】令【點

41、評】變量替換后幾分的難度大大降低,是每種教材上都有的積分.2.定積分 定積分的計算主要用牛頓萊布尼茲公式通過不定積分計算.(1)基本積分法例16： 計算【解】 令，則(2)分割區(qū)域處理分段函數(shù)、絕對值函數(shù)、取整函數(shù)、最大值最小值函數(shù)例17： 計算【解】例18 計算【解】=(3)利用函數(shù)的奇偶性化簡定積分例19 計算【解】=2+0=2例20 計算【解】=例21 計算【分析】被積函數(shù)即不是奇函數(shù)，又不是偶函數(shù)，無法利用函數(shù)的奇偶性化簡。但是積分區(qū)間是關(guān)于原點對稱的，可考慮使用化簡公式的推導(dǎo)方法?！窘狻苛?， 所以(4)一類定積分問題例22： 已知是連續(xù)函數(shù)，求【分析】本題的解題關(guān)鍵是理解定積分是一個

42、固定的常數(shù)?！窘狻苛?， 第九講 定積分的證明題與應(yīng)用教學(xué)目的通過教學(xué)使學(xué)生掌握有關(guān)定積分的存在性問題與不等式的證明方法，掌握微元法、面積、體積及弧長的計算。重點難點1不定積分有關(guān)的的存在性問題的證明；2不定積分有關(guān)的的不等式的證明；3面積、體積、弧長的計算。教學(xué)提綱一、定積分的性質(zhì)二、定積分證明題（）存在性證明（）積分表示的不等式的證明三、定積分應(yīng)用1微元法2面積（1）直角坐標(biāo)情形（2）極坐標(biāo)情形3體積4弧長1）y=f(x)在區(qū)間a,b上可導(dǎo)，且連續(xù)，則在a,b上的曲線可求長，且弧長，是弧長公式。 2）參數(shù)方程 （）在上連續(xù)，則 第九講定積分的證明題與應(yīng)用一、定積分的性質(zhì)（）當(dāng)時，.（）線性性

43、：（）區(qū)間可加性：（）不等性：上，則 .（）積分中值定理：如果函數(shù)，在閉區(qū)間上連續(xù)，在上不變號，則在積分區(qū)間上至少存在一個點 ，使. 當(dāng)時二、定積分證明題1.存在性證明例1: 在上連續(xù)，在上可導(dǎo)，又，證明存在，使得?！痉治觥糠彩俏⒎种兄刀ɡ碇杏稚婕胺e分中值定理的，應(yīng)首先應(yīng)用積分中值定理獲取一些特定點的函數(shù)值信息，再用微分中值定理證明?！咀C明】在上連續(xù)，在上使用積分中值定理得，存在，即 ，在上使用羅爾中值定理知存在，使得。例: 在上連續(xù)，在上二階可導(dǎo)，又，證明存在，使得?！痉治觥肯扔梅e分中值定理知存在，三次使用羅爾定理得證?！咀C明】略例: 在上連續(xù)，在上二階可導(dǎo)，證明存在，使得。例: 在上連續(xù)，

44、在，證明存在不同的點，使得?！咀C】令，存在使得，,兩次使用中值定理得證。2. 積分表示的不等式的證明例:比較大小【證明】在上， 例: 設(shè)f(x),g(x)在0，1上的導(dǎo)數(shù)連續(xù)，且f(0)=0,.證明：對任何a,有證：，則F(x)在0，1上的導(dǎo)數(shù)連續(xù)，并且，由于時，因此，即F(x)在0，1上單調(diào)遞減.注意到，而 =，故F(1)=0.因此時，由此可得對任何，有例7:設(shè)f (x) , g(x)在a , b上連續(xù)，且滿足，x a , b)，.證明：.【證明】令F(x) = f (x) - g(x)，由題設(shè)G(x) 0，x a , b，G(a) = G(b) = 0，.從而 ，由于 G(x) 0，x a , b，故有，即 .因此 .例:設(shè)f (x) 在上連續(xù)，且單調(diào)減小，證明，當(dāng)時，【證明】令.三、定積分應(yīng)用1微元法許多可以化為求在區(qū)間a , b上的定積分的實際問題，都可以用這種方法處理，這個方法稱為：元素法。其步驟如下：2面積（1）直角坐標(biāo)情形設(shè)圖形由，（ab）圍成，且， 則所圍成的面積A： 例：計算由曲線?！窘狻?所