線性系統(tǒng)的頻域分析法

1、第5章 線性系統(tǒng)的頻域分析法Frequency-response analysis 5.1頻率特性及其表示法 幅相曲線 對數(shù)頻率特性曲線 5.2典型環(huán)節(jié)對數(shù)頻率特性曲線的繪制5.3典型環(huán)節(jié)的幅相曲線的繪制 5.4穩(wěn)定裕度和判據(jù) 5.2典型環(huán)節(jié)對數(shù)頻率特性曲線的繪制5.2.5最小相位系統(tǒng)與非最小相位系統(tǒng)Minimum phase systems and non-minimum phase systems在右半s平面內(nèi)既無極點也無零點的傳遞函數(shù)，稱為最小相位傳遞函數(shù)；反之，在右半s平面內(nèi)有極點和（或）零點的傳遞函數(shù)，稱為非最小相位傳遞函數(shù)。具有最小相位傳遞函數(shù)的系統(tǒng)稱為最小相位系統(tǒng)，反之，具有非最

2、小相位傳遞函數(shù)的系統(tǒng)，稱為非最小相位系統(tǒng)。在具有相同幅值特性的系統(tǒng)中，最小相位傳遞函數(shù)（系統(tǒng)）的相角范圍，在所有這類系統(tǒng)中是最小的。任何非最小相位傳遞函數(shù)的相角范圍，都大于最小相位傳遞函數(shù)的相角范圍。對于最小相位系統(tǒng)，其傳遞函數(shù)由單一的幅值曲線唯一確定。對于非最小相位系統(tǒng)則不是這種情況。作為例子，考慮下列兩個系統(tǒng)，它們的特性頻率分別為：， 圖5-18最小相位系統(tǒng)和非最小相位系統(tǒng)的零-極點分布圖如前所述，對于最小相位系統(tǒng)，幅值特性和相角特性之間具有唯一的對應(yīng)關(guān)系。這意味著，如果系統(tǒng)的幅值曲線在從零到無窮大的全部頻率范圍上給定，則相角曲線被唯一確定，反之亦然。這個結(jié)論對于非最小相位系統(tǒng)不成立。圖5

3、-19的相角特性圖5-19的相角特性對于最小相位系統(tǒng)，相角在時變?yōu)?，n為極點數(shù)，m為零點數(shù)。兩個系統(tǒng)的對數(shù)幅值曲線在時的斜率都等于。因此，為了確定系統(tǒng)是不是最小相位的既需要檢查對數(shù)幅值曲線高頻漸近線的斜率，又需檢查在時相角。如果當(dāng)時對數(shù)幅值曲線的斜率為，并且相角等于，那么該系統(tǒng)就是最小相位系統(tǒng)。5.2.6傳遞延遲(Transport lag)See p190傳遞延時是一種非最小相位特性。如果不采取對消措施，高頻時將造成嚴(yán)重的相位滯后。這類傳遞延遲通常存在于熱力、液壓和氣動系統(tǒng)中。延遲環(huán)節(jié)的輸入和輸出的時域表達(dá)式為其幅值總是等于1。這是因為因此，傳遞延遲的對數(shù)幅值等于0分貝。傳遞延遲的相角為圖5

4、-20傳遞延遲的相角特性曲線5.2.7系統(tǒng)類型與對數(shù)幅值之間的關(guān)系考慮單位反饋控制系統(tǒng)。靜態(tài)位置、速度和加速度誤差常數(shù)分別描述了0型、1型和2型系統(tǒng)的低頻特性。對于給定的系統(tǒng)，只有靜態(tài)誤差常數(shù)是有限值，才有意義。當(dāng)趨近于零時，回路增益越高，有限的靜態(tài)誤差常值就越大。系統(tǒng)的類型確定了低頻時對數(shù)幅值曲線的斜率。因此，對于給定的輸入信號，控制系統(tǒng)是否存在穩(wěn)態(tài)誤差，以及穩(wěn)態(tài)誤差的大小，都可以從觀察對數(shù)幅值曲線的低頻區(qū)特性予以確定。j靜態(tài)位置誤差常數(shù)的確定圖5-21單位反饋控制系統(tǒng)考慮圖5-21所示的單位反饋控制系統(tǒng)。假設(shè)系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為圖5-22為一個0型系統(tǒng)對數(shù)幅值曲線的例子。在這個系統(tǒng)中，在低

5、頻段等于，即由此得知，低頻漸近線是一條幅值為分貝的水平線。cf2_dB = 9.54242509439325cf3_dB = -30.45757490560675圖5-22 某一0型系統(tǒng)對數(shù)幅值曲線k靜態(tài)速度誤差常數(shù)的確定考慮圖5-21所示的單位反饋控制系統(tǒng)。圖5-23為一個1型系統(tǒng)對數(shù)幅值曲線的例子。斜率為的起始線段/或其延長線，與的直線的交點具有的幅值為。這可證明如下：在1型系統(tǒng)中因此 斜率為的起始線段/或其延長線與0分貝線的交點的頻率在數(shù)值上等于。假設(shè)交點上的頻率為，于是即作為一個例子，考慮具有單位反饋的1型系統(tǒng)，其開環(huán)傳遞函數(shù)為：如果定義轉(zhuǎn)角頻率為，假設(shè)斜率為的直線與/或其延長線與0分

6、貝線的交點為， ， ，由此得到即 在伯德圖上，因此，點恰好是點與點之間的中點。圖5-23 某個1型系統(tǒng)對數(shù)幅值曲線cf2_dB = 6.02059991327962cf1_dB = 26.02059991327962cf3_dB = -33.97940008672038l靜態(tài)加速度誤差常數(shù)的確定考慮圖5-21所示的單位反饋控制系統(tǒng)。圖5-24為一個2型系統(tǒng)對數(shù)幅值曲線的例子。斜率為的起始線段/或其延長線，與的直線的交點具有的幅值為。由于低頻時所以 斜率為的起始線段/或其延長線與0分貝線的交點的頻率為在數(shù)值上等于的平方根。證明如下： 于是圖5-24 2型系統(tǒng)對數(shù)幅值曲線5.3極坐標(biāo)圖(Polar

7、 plot)，幅相頻率特性曲線，奈奎斯特曲線頻率特性是復(fù)數(shù)?？捎梅岛拖嘟堑南蛄勘硎尽．?dāng)輸入信號的頻率由零變化到無窮大時，向量的幅值和相位也隨之作相應(yīng)的變化，其端點在復(fù)平面上移動的軌跡稱為極坐標(biāo)圖。在極坐標(biāo)圖上，正/負(fù)相角是從正實軸開始，以逆時針/順時針旋轉(zhuǎn)來定義的。圖5-25是這類極坐標(biāo)圖的一個例子。圖5-25 極坐標(biāo)圖的極坐標(biāo)圖上的每一點，都代表一個特定值上的向量端點。在實軸和虛軸上的投影，就是的實部和虛部。采用極坐標(biāo)圖的優(yōu)點是它能在一幅圖上表示出系統(tǒng)在整個頻率范圍內(nèi)的頻率響應(yīng)特性。但它不能清楚地表明開環(huán)傳遞函數(shù)中每個因子對系統(tǒng)的具體影響。5.3.1積分與微分因子所以的極坐標(biāo)圖是負(fù)虛軸。的

8、極坐標(biāo)圖是正虛軸。圖5-26 積分因子極坐標(biāo)圖圖5-27 微分因子極坐標(biāo)圖5.3.2一階因子 圖5-27 微分因子極坐標(biāo)圖圖5-28 一階因子極坐標(biāo)圖圖5-29 一階因子極坐標(biāo)圖5.3.3二階因子 的高頻部分與負(fù)實軸相切。極坐標(biāo)圖的精確形狀與阻尼比有關(guān)，但對于欠阻尼和過阻尼的情況，極坐標(biāo)圖的形狀大致相同。對于欠阻尼情況，當(dāng)時，我們得到，相角為。因此可以看出，的軌跡與虛軸交點處的頻率，就是無阻尼自然頻率。在極坐標(biāo)圖上，距原點最遠(yuǎn)的頻率點，相應(yīng)于諧振頻率。這時的峰值，可以用諧振頻率處的向量幅值，與處向量幅值之比來確定。對于過阻尼情況，當(dāng)增加到遠(yuǎn)大于1時，的軌跡趣近于半圓。這是因為對于強阻尼系統(tǒng)，特

9、征方程的根為實根，并且其中一個根遠(yuǎn)小于另一個根。因為對于足夠大的值，比較大的一個根對系統(tǒng)影響很小，因此系統(tǒng)的特征與一階系統(tǒng)相似。圖5-30 二階因子極坐標(biāo)圖對于 極坐標(biāo)圖的低頻部分為： 極坐標(biāo)圖的高頻部分為：圖5-31 二階因子極坐標(biāo)圖例5-2 考慮下列二階傳遞函數(shù)：試畫出這個傳遞函數(shù)的極坐標(biāo)圖。解：極坐標(biāo)圖的低頻部分為： 極坐標(biāo)圖的高頻部分為： 圖5-32 極坐標(biāo)圖5.3.4傳遞延遲極坐標(biāo)圖極坐標(biāo)圖欠阻尼極坐標(biāo)圖極坐標(biāo)圖極坐標(biāo)圖的一般形狀圖5-335.4對數(shù)幅-相圖(Nichols Chart)尼柯爾斯圖圖5-34 二階因子對數(shù)幅-相圖5.5奈奎斯特穩(wěn)定判據(jù)(Nyquist Stabilit

10、y Criterion)圖3-35 閉環(huán)系統(tǒng)考慮圖5-35所示的閉環(huán)系統(tǒng)，其閉環(huán)傳遞函數(shù)為為了保證系統(tǒng)穩(wěn)定，特征方程的全部根，都必須位于左半s平面。雖然開環(huán)傳遞函數(shù)的極點和零點可能位于右半s平面，但如果閉環(huán)傳遞函數(shù)的所有極點均位于左半s平面，則系統(tǒng)是穩(wěn)定的。奈奎斯特穩(wěn)定判據(jù)正是將開環(huán)頻率響應(yīng)與在右半s平面內(nèi)的零點數(shù)和極點數(shù)聯(lián)系起來的判據(jù)。這種方法無須求出閉環(huán)極點，得到廣泛應(yīng)用。由解析的方法和實驗的方法得到的開環(huán)頻率特性曲線，均可用來進(jìn)行穩(wěn)定性分析。奈奎斯特穩(wěn)定判據(jù)是建立在復(fù)變函數(shù)理論中的圖形影射基礎(chǔ)上的。假設(shè)開環(huán)傳遞函數(shù)可以表示成s的多項式之比。對于物理上可實現(xiàn)的系統(tǒng)，閉環(huán)傳遞函數(shù)的分母多項式

11、的階數(shù)必須大于或等于分子多項式的階數(shù)，這表明，當(dāng)s趨于無窮大時，任何物理上可實現(xiàn)系統(tǒng)的的極限，或趨于零，或趨于常數(shù)。預(yù)備知識可以證明，對于S平面上給定的一條不通過任何奇點的連續(xù)封閉曲線，在平面上必存在一條封閉曲線與之對應(yīng)。平面上的原點被封閉曲線包圍的次數(shù)和方向，在下面的討論中具有特別重要的意義。我們將包圍的次數(shù)和方向與系統(tǒng)的穩(wěn)定性聯(lián)系起來。例如考慮下列開環(huán)傳遞函數(shù)：其特征方程為：函數(shù)在s平面內(nèi)除了奇點外處處解析。對于s平面上的每一個解析點，平面上必有一點與之對應(yīng)。例如，則為：這樣，對于s平面上給定的連續(xù)封閉軌跡，只要它不通過任何奇點，在平面上就必有一個封閉曲線與之對應(yīng)。S平面 平面（a）(b)

12、(d)圖5-36 s平面上的圖形在平面上的保角變換圖5-36（a）所示為上半s平面內(nèi)的直線和在平面上的保角變換。例如，上半s平面內(nèi)的直線映射到平面上，就變成了平面上的的曲線。對于s平面上順時針轉(zhuǎn)出的軌跡ABCD，其在平面上對應(yīng)曲線是A1B1C1D1。曲線的箭頭表示運動方向。根據(jù)保角變換的性質(zhì)，s平面相上和平面上對應(yīng)的角度是相等的，并且具有相同的意義（例如，因為s平面內(nèi)的直線AB與CD相互垂直，所以在 平面上A1B1與C1D1在B1點也構(gòu)成直角）。由圖5-36(b)可以看出，當(dāng)s平面上的圖形包圍兩個的極點時，的軌跡將反時針方向包圍平面上原點兩次。在的平面上，圖形包圍原點的次數(shù)，取決于s平面上的封

13、閉曲線。例如，這個曲線當(dāng)s平面上的圖形包圍的兩個極點和兩個零點，相應(yīng)的的軌跡將不包圍原點。如圖5-36（c）所示。如果這個曲線只包圍一個零點，相應(yīng)的的軌跡將順時針包圍原點一次，如圖5-36（d）所示。如果s平面上的封閉曲線既不包圍原點又不包圍極點，的軌跡將永遠(yuǎn)不會包圍平面上的原點，如圖5-36（d）所示。對于s平面上的每一點，除了奇點外，在平面上只有一個相應(yīng)的點與之對應(yīng)，即從s平面到平面的影射是一一對應(yīng)的。但是，從平面到s平面的影射不是一一對應(yīng)的，因為對于平面上的某一給定點，在s平面上可能有一個以上的點與之對應(yīng)。例如如圖5-36（c）中，對于平面上的B1點，在s平面上與之對應(yīng)的有(-3,3)和

14、(0,-3)兩個點。如果在s平面上曲線包圍k個零點和k個極點(k=0,1,2)，即包圍的零點數(shù)與極點數(shù)相同，則在平面上，相應(yīng)的封閉曲線不包圍平面上的原點。上述討論是影射定理的圖解說明。奈奎斯特穩(wěn)定判據(jù)正是建立在影射定理的基礎(chǔ)上。影射定理設(shè)為兩個s的多項式之比，并設(shè)P為的極點數(shù)，Z為的零點數(shù)，它們位于s平面上的某一封閉曲線內(nèi)，且有多重極點和多重零點的情況。又設(shè)上述封閉曲線不通過的任何極點和零點。于是，s平面上的這一封閉曲線影射到平面上，也是一條封閉曲線。當(dāng)變量s順時針通過封閉曲線時，在平面上，相應(yīng)的軌跡順時針包圍原點的總次數(shù)R等于Z-P。若R為正數(shù)，表示的零點數(shù)超過了極點數(shù)；若R為負(fù)數(shù)，表示的極

15、點數(shù)超過了零點數(shù)。在控制系統(tǒng)應(yīng)用中，由很容易確定的P數(shù)。因此，如果，的軌跡圖中確定了R，則s平面上封閉曲線內(nèi)的零點數(shù)很容易確定。影射定理在閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定性分析中的應(yīng)用為了分析線性控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性，令s平面上的封閉曲線包圍整個右半s平面。這時的封閉曲線由整個軸(從到)和右半s平面上半徑為無窮大的半圓軌跡構(gòu)成。該封閉曲線為奈奎斯特軌跡(軌跡的方向為順時針方向)，如圖5-37所示。因為奈奎斯特軌跡包圍了整個右半s平面，所以它包圍了的所有正實部的極點和零點。如果在右半s平面不存在零點，則不存在閉環(huán)極點，因而系統(tǒng)是穩(wěn)定的。封閉曲線，即奈奎斯特曲線不通過的任何極點和零點。如果將影射定理應(yīng)用到的特殊情況，可以

16、陳述如下：如果s平面上的封閉曲線包圍整個右半s平面，則函數(shù)在右半s平面內(nèi)的零點數(shù)等于函數(shù)右半s平面內(nèi)的極點數(shù)，加上在平面內(nèi)的對應(yīng)封閉曲線對平面上原點的順時針方向包圍次數(shù)。圖5-37 s平面內(nèi)的封閉曲線根據(jù)前面的假設(shè)條件，有閉環(huán)即當(dāng)s沿半徑為無窮大的半圓運動時，函數(shù)保持常數(shù)。因此，的軌跡是否包圍了平面上的原點，可以考慮s平面上的封閉曲線的一部分，即只考慮軸來確定。傳函數(shù)奈奎斯特閉環(huán)系統(tǒng)奈奎斯特穩(wěn)定判據(jù) 利用的軌跡，對-1+j0點的包圍情況以及分析系統(tǒng)的方法概括為下列奈奎斯特穩(wěn)定判據(jù)（對于在軸上既無極點也無零點的特殊情況）：如果開環(huán)傳遞函在s右半平面內(nèi)有k個極點，并且，則為了使閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定，當(dāng)從變

17、到時，的軌跡必須反時針包圍-1+j0點k次。 關(guān)于奈奎斯特穩(wěn)定判據(jù)的幾點說明這一判據(jù)可表示為：式中函數(shù)在右半s平面內(nèi)的零點數(shù)對-1+j0點順時針包圍的次數(shù)函數(shù)在右半s平面內(nèi)的極點數(shù)如果P不等于零，對于穩(wěn)定的控制系統(tǒng)，必須或，這意味著必須反時針方向包圍-1+j0點P次。如果函數(shù)在右半s平面內(nèi)無任何極點，則。因此，為了保證系統(tǒng)穩(wěn)定，的軌跡必須不包圍-1+j0點。含有位于上極點和/或零點的特殊情況 圖5-39 s平面上的封閉曲線和GH平面上的軌跡，其中 因為奈奎斯特軌跡不能通過的極點/和或零點。S平面上的封閉曲線的形狀必須加以改進(jìn)。在原點附近采用半徑為無窮小的半圓，如圖5-39所示。變量沿著軸從運動

18、到，從到，變量沿著半徑為（）的半圓運動，再沿著正軸從運動到。從開始，軌跡為半徑為無窮大的半圓，變量沿著此軌跡返回到起始點。圖5-40 s平面上的封閉曲線和GH平面上的軌跡，其中對于包含因子的開環(huán)傳遞函數(shù)，當(dāng)變量s沿半徑為()的半圓運動時，的圖形中將有個半徑為無窮大的順時針方向的半圓環(huán)繞原點。例如，考慮開環(huán)傳遞函數(shù)：設(shè) 則當(dāng)s平面上的時，的相角。如圖5-40所示。在右半s平面內(nèi)沒有極點，并且對所有的正K值，軌跡包圍點兩次。所以函數(shù)在右半s平面內(nèi)存在兩個零點。因此，系統(tǒng)是不穩(wěn)定的。 如果含有位于軸上的極點和/或零點，則可以采用類似的方法進(jìn)行分析。 奈奎斯特穩(wěn)定判據(jù)（對于含有位于軸上的極點和/或零點

19、的一般情況）：如果開環(huán)傳遞函數(shù)在右半s平面內(nèi)有k個極點，則為了使系統(tǒng)穩(wěn)定，當(dāng)變量s順時針通過變化后的奈奎斯特軌跡時，軌跡必須反時針方向包圍點k次。5.6穩(wěn)定性分析如果在s平面內(nèi)，奈奎斯特軌跡包含的Z個零點和P個極點，并且當(dāng)s變量順時針沿奈奎斯特軌跡運動時，不通過的任何極點或零點，則在平面上相對應(yīng)的曲線將沿順時針方向包圍點次（負(fù)R值表示反時針包圍點）。a)不包圍-1+j0。如果這時在右半s平面內(nèi)沒有極點，說明系統(tǒng)是穩(wěn)定的；否則，系統(tǒng)是不穩(wěn)定的。b)反時針包圍點。如果反時針方向包圍的次數(shù)，等于在右半s平面內(nèi)沒有極點數(shù)，則系統(tǒng)是穩(wěn)定的；否則系統(tǒng)是不穩(wěn)定的。c)順時針包圍點。系統(tǒng)是不穩(wěn)定的。例5-3

20、設(shè)閉環(huán)系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為：的軌跡如圖5-41所示。在右半s平面內(nèi)沒有任何極點，并且的軌跡不包圍，所以對于任何的值，該系統(tǒng)都是穩(wěn)定的。圖5-41 例5-3中的極坐標(biāo)圖例5-4 設(shè)系統(tǒng)具有下列開環(huán)傳遞函數(shù)：試確定以下兩種情況下，系統(tǒng)的穩(wěn)定性：j增益K較小k增益K較大。小K值大K值圖5-42 例5-4中的極坐標(biāo)圖在右半s平面內(nèi)的極點數(shù)等于零。為了使系統(tǒng)穩(wěn)定必須保證，或者說的軌跡不包圍點。對于小K，的軌跡不包圍點，因此系統(tǒng)在小K值時是穩(wěn)定的。對于大K，的軌跡順時針包圍點兩次，說明有兩個閉環(huán)極點為位于右半s平面，因此系統(tǒng)在大K值時是穩(wěn)定的。例5-5 設(shè)開環(huán)傳遞函數(shù)為：該系統(tǒng)的閉環(huán)穩(wěn)定性取決于和相對大小

21、。試畫出該系統(tǒng)的奈奎斯特圖，并確定系統(tǒng)的穩(wěn)定性。穩(wěn)定不穩(wěn)定圖5-43 例5-5中的極坐標(biāo)圖 時，的軌跡不包圍，因此，系統(tǒng)是穩(wěn)定的。當(dāng)時，的軌跡通過點，這表明閉環(huán)極點位于軸上。當(dāng) 時，的軌跡順時針方向包圍點兩次，因此系統(tǒng)有兩個閉環(huán)極點位于右半s平面，系統(tǒng)是不穩(wěn)定的。例5-6 設(shè)一個閉環(huán)系統(tǒng)具有下列開環(huán)傳遞函數(shù)：試確定該閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性。圖5-44 例5-6中的極坐標(biāo)圖在右半s平面內(nèi)有一個極點()，因此。圖5-44中的奈奎斯特圖表明，軌跡順時針方向包圍點一次，因此，。因為。這表明閉環(huán)系統(tǒng)有兩個極點在右半s平面，因此系統(tǒng)是不穩(wěn)定的。例5-7 設(shè)一個閉環(huán)系統(tǒng)具有下列開環(huán)傳遞函數(shù)：試確定該閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定

22、性。在右半s平面內(nèi)有一個極點()，因此。開環(huán)系統(tǒng)是不穩(wěn)定的。圖5-45表明軌跡逆時針方向包圍點一次，因此，因為，這說明沒有零點位于右半s平面內(nèi)，閉環(huán)系統(tǒng)是穩(wěn)定的。這是一個開環(huán)系統(tǒng)不穩(wěn)定，但是回路閉合后，變成穩(wěn)定系統(tǒng)的例子。圖5-45 例5-7中的極坐標(biāo)圖例5-8 一單位反饋控制系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為式中均為正值。為使系統(tǒng)穩(wěn)定，開環(huán)增益與時間常數(shù)之間滿足什么關(guān)系？解 ：此式太復(fù)雜利用上式直接令虛部為零即可。虛部為零與負(fù)實軸相交于畫出一半利用對稱性畫出另一半。 圖5-45b 例5-8 題的極坐標(biāo)圖圖5-46 的極坐標(biāo)圖圖-46所示為3種具有不同開環(huán)增益值的極坐標(biāo)圖。對于大的K值，系統(tǒng)是不穩(wěn)定的。當(dāng)增

23、益減小到一定值時，的軌跡通過點。對于小的K值，系統(tǒng)是穩(wěn)定的。一般來說，的軌跡越接近與包圍-1+j0點，系統(tǒng)響應(yīng)的震蕩性越大。因此，的軌跡對點的靠近程度，可以用來度量穩(wěn)定裕量(對條件穩(wěn)定系統(tǒng)不適用)。在實際系統(tǒng)中常用相位裕量和增益裕量表示。Positive Gain MarginPositive Phase Margin-11Negative Gain MarginNegative Phase Margin-11Stable SystemUnstable System圖5-47 穩(wěn)定系統(tǒng)和不穩(wěn)定系統(tǒng)的相位裕度和幅值裕度j相位裕度、相角裕度(Phase Margin)設(shè)系統(tǒng)的截止頻率(Gain c

24、ross-over frequency)為定義相角裕度為相角裕度的含義是，對于閉環(huán)穩(wěn)定系統(tǒng)，如果開環(huán)相頻特性再滯后度，則系統(tǒng)將變?yōu)榕R界穩(wěn)定。當(dāng) 時，相位裕量相位裕度為正值；當(dāng)時，相位裕度為負(fù)值。為了使最小相位系統(tǒng)穩(wěn)定，相位裕度必須為正。在極坐標(biāo)圖上的臨界點為0分貝和-180度。k增益裕度、幅值裕度(Gain Margin)設(shè)系統(tǒng)的穿越頻率(Phase cross-over frequency)，定義幅值裕度為幅值裕度的含義是，對于閉環(huán)穩(wěn)定系統(tǒng)，如果系統(tǒng)開環(huán)幅頻特性再增大倍，則系統(tǒng)將變?yōu)榕R界穩(wěn)定狀態(tài)。若以分貝表示，則有當(dāng)增益裕度以分貝表示時，如果，則增益裕度為正值；如果，則增益裕度為負(fù)值。正增益

25、裕度(以分貝表示)表示系統(tǒng)是穩(wěn)定的；負(fù)增益裕度(以分貝表示)表示系統(tǒng)是不穩(wěn)定的。對于穩(wěn)定的最小相位系統(tǒng)，增益裕度指出了系統(tǒng)在不穩(wěn)定之前，增益能夠增大多少。對于不穩(wěn)定系統(tǒng)，增益裕度指出了為使系統(tǒng)穩(wěn)定，增益應(yīng)當(dāng)較少多少。一階或二階系統(tǒng)的增益裕度為無窮大，因為這類系統(tǒng)的極坐標(biāo)圖與負(fù)實軸不相交。因此，理論上一階或二階系統(tǒng)不可能是不穩(wěn)定的。當(dāng)然，一階或二階系統(tǒng)在一定意義上說只能是近似的，因為在推導(dǎo)系統(tǒng)方程時，忽略了一些小的時間滯后，因此它們不是真正的一階或二階系統(tǒng)。如果計及這些小的滯后，則所謂的一階或二階系統(tǒng)可能是不穩(wěn)定的。關(guān)于相位裕度和增益裕度的幾點說明 控制系統(tǒng)的相位裕度和增益裕度是系統(tǒng)的極坐標(biāo)圖對

26、-1+j0點靠近程度的度量。因此，這兩個裕度可以用來作為涉及準(zhǔn)則。 只用增益裕度和相位裕度，都不足以說明系統(tǒng)的的相對穩(wěn)定性。為了確定系統(tǒng)的相對穩(wěn)定性，必須同時給出這兩個量。 對于最小相位系統(tǒng)，只有當(dāng)相位裕度和增益裕度都是正值時，系統(tǒng)才是穩(wěn)定的。負(fù)的裕度表示系統(tǒng)不穩(wěn)定。適當(dāng)?shù)南辔辉６群驮鲆嬖６瓤梢苑乐瓜到y(tǒng)中元件變化造成的影響，并且指明了頻率值。為了得到滿意的性能，相位裕度應(yīng)當(dāng)在之間，增益裕度應(yīng)當(dāng)大于6分貝。例5-9 已知一單位反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為。試求：K=1時系統(tǒng)的相位裕度和增益裕度。要求通過增益K的調(diào)整，使系統(tǒng)的增益裕度20logh=20dB，相位裕度。解： 即 在處的開環(huán)對數(shù)幅值為根據(jù)

27、K=1時的開環(huán)傳遞函數(shù)，可以求出截止頻率(Gain cross-over frequency)為 由題意知 驗證是否滿足相位裕度的要求。根據(jù)的要求，則得： 不難看出，就能同時滿足相位裕度和增益裕度的要求。圖5-48 例5-9的幅值裕度和相位裕度示意圖例5-10 已知一單位反饋系統(tǒng)的開環(huán)對數(shù)幅頻特性如圖5-49所示（最小相位系統(tǒng)）。試求：j所示所示單位反饋系統(tǒng)已知已知已知已知例5-11 設(shè)一單位反饋系統(tǒng)對數(shù)幅頻特性如圖5-50所示(最小相位系統(tǒng))。j寫出系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)k判別系統(tǒng)的穩(wěn)定性l如果系統(tǒng)是穩(wěn)定的，則求時的穩(wěn)態(tài)誤差。圖5-50 最小相位系統(tǒng)的開環(huán)對數(shù)幅頻特性解：j由圖得k由于是最小相位

28、系統(tǒng)，因而可通過計算相位裕度是否大于零來判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性。由圖可知。在處則得0 系統(tǒng)穩(wěn)定l單位斜坡輸入時，系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差為諧振峰值幅值和諧振峰值頻率 (5-22)令 (5-23) (5-24)或 (5-25)，時有最小值有最大值，這個最大值稱為諧振峰值，用表示。 (5-26)諧振頻率標(biāo)準(zhǔn)二階系統(tǒng)中階躍瞬態(tài)響應(yīng)與頻率響應(yīng)之間的關(guān)系書上例5-13p203在圖3-8所示的標(biāo)準(zhǔn)二階系統(tǒng)中，單位階躍響應(yīng)中的最大超調(diào)量可以精確地與頻率響應(yīng)中的諧振峰值聯(lián)系在一起。因此，從本質(zhì)上看，在頻率響應(yīng)中包含的系統(tǒng)動態(tài)特性信息與在瞬態(tài)響應(yīng)中包含的系統(tǒng)的動態(tài)特性信息是相同的。設(shè)為截止頻率，則有 根據(jù)相位裕度的定義 上式說明相位裕度僅僅與阻尼比有關(guān)。圖5-51標(biāo)準(zhǔn)二階系統(tǒng)的相位裕度與阻尼比