線性代數(shù)必考的知識點

1、2008年線性代數(shù)必考的知識點1、行列式1. n行列式共有n2個元素，展開后有 n!項，可分解為2n行列式；2. 代數(shù)余子式的性質(zhì)：、Aj和aj的大小無關(guān)；、某行（列）的元素乘以其它行（列）元素的代數(shù)余子式為0;、某行（列）的元素乘以該行（列）元素的代數(shù)余子式為A| ;3. 代數(shù)余子式和余子式的關(guān)系：M ij =（1）*AijAij =（1）由M ij4. 設(shè)n行列式D：n（ n）將D上、下翻轉(zhuǎn)或左右翻轉(zhuǎn)，所得行列式為D1 ,則D1 =（-1f D ;n（ n）將D順時針或逆時針旋轉(zhuǎn) 90：,所得行列式為 D2,則D2 =（1） D ;將D主對角線翻轉(zhuǎn)后（轉(zhuǎn)置），所得行列式為D3 ,則D3 =

2、D ;將D主副角線翻轉(zhuǎn)后，所得行列式為D4 ,則D4 = D ;5. 行列式的重要公式：、主對角行列式：主對角元素的乘積；n （n 1）、副對角行列式：副對角元素的乘積父（有尸、上、下三角行列式（|、| = | ）：主對角元素的乘積;n（ n A）、| 和副對角元素的乘積 M（_1）;、拉普拉斯展開式:A O AC B -0A=0= (-1)mLn AIb、范德蒙行列式：大指標減小指標的連乘積;、特征值；n6. 對于n階行列式|A ,恒有：|ZE -A+ （1）kSk九n*，其中Sk為k階主子式;k a7. 證明A =0的方法：、A = A ;、反證法；、構(gòu)造齊次方程組 Ax =0,證明其有非

3、零解；、禾1J用秩，證明r（A） n ;、證明0是其特征值；2、矩陣1. A是n階可逆矩陣：二|a #0 （是非奇異矩陣）；=r（A） =n （是滿秩矩陣）U A的行（列）向量組線性無關(guān)；口齊次方程組Ax =0有非零解；U 忱w Rn , Ax =b總有唯一解；U A與E等價；u A可表示成若干個初等矩陣的乘積；U A的特征值全不為0；U AT A是正定矩陣；u A的行（列）向量組是 Rn的一組基;a A是Rn中某兩組基的過渡矩陣；2. 對于n階矩陣A ： AA =A A = A E無條件恒成立；1 *11 TT 1* TT *3. (A -) =( A)1(A -) =( A )-(A )

4、=( A )111(AB )T =BtAt(AB) =B A(AB 廣=B - A -4. 矩陣是表格，推導符號為波浪號或箭頭；行列式是數(shù)值，可求代數(shù)和;5. 關(guān)于分塊矩陣的重要結(jié)論，其中均 A、B可逆：A）若 A=A2 .,則：1h1、 A =A III As ;A-A21As-A I 0OBA I 0A I C0fjA 工;（主對角分塊）；（副對角分塊）0 )-A 七BB工J；（拉普拉斯）；（拉普拉斯）3、矩陣的初等變換與線性方程組*, , ，Er 01 . 一個mxn矩陣A ,總可經(jīng)過初等變換化為標準形，其標準形是唯一確定的：F= r ；00 mn等價類：所有與 A等價的矩陣組成的一個集

5、合，稱為一個等價類；標準形為其形狀最簡單的矩陣；對于同型矩陣A、B ,若r（A） =r（B） u A B ;2 .行最簡形矩陣：、只能通過初等行變換獲得；、每行首個非0元素必須為1;、每行首個非0元素所在列的其他元素必須為0;3 .初等行變換的應(yīng)用：（初等列變換類似，或轉(zhuǎn)置后采用初等行變換）r、若（A , E） （ E , X）,則A可逆，且X =A工； c、對矩陣（A, B）做初等行變化，當 A變?yōu)镋時，B就變成A工B,即：（A B）-（E, A,B）;r、求解線形方程組：對于 n個未知數(shù)n個方程Ax=b,如果（A, b （E, x）,則A可逆，且x=A , b;4 .初等矩陣和對角矩陣的概

6、念：2、初等矩陣是行變換還是列變換，由其位置決定：左乘為初等行矩陣、右乘為初等列矩陣；，左乘矩陣A, 乘A的各行元素；右乘，、乘A的各列元素;,n、對調(diào)兩行或兩列，符號、倍乘某行或某列，符號、倍加某行或某列，符號1E(i, j)，且 E(i, j)- =E(i, j),例如：1_ 一L,1.1E (i (k),且 E (i (k)- = E (i(-),例如： kI1E (ij (k)，且 E (ij (k)- = E (ij (-k),如：1r1.L1 k1;、(k =0)b_k1(k 00);1,5 .矩陣秩的基本性質(zhì)：、0 r(Am n) min( m,n);、r(AT ) =r(A);

7、、若 A|_| B ,則 r(A) =r(B);、若P、Q可逆，則r (A) =r( PA) =r( AQ) =r( PAQ);(可逆矩陣不影響矩陣的秩 )、max(r(A), r(B) r(A, B) r(A) +r(B); ( X)、r(A+B) r(A) +r(B); O、r(AB) min(r(A),r(B);()、如果A是mxn矩陣，B是nMs矩陣，且 AB =0 ,則：()I、B的列向量全部是齊次方程組 AX =0解(轉(zhuǎn)置運算后的結(jié)論)； n、 r (A) r (B) r (A) +r( B) n ;6 .三種特殊矩陣的方哥：、秩為1的矩陣：一定可以分解為 列矩陣(向量)父行矩陣(

8、向量) 的形式，再采用結(jié)合律；17 a c、型如0 1 b的矩陣：利用二項展開式；9 0 bn二項展開式：(a+b)n =C：an +C；an,b1 +川+H/ +HI+C：、1bn，+C：bn = Cnmambn ;m =0注：I、(a +b)n展開后有n +1項;7.口Cm n(n -1)l|l|H(n -m 1)、1 心ILm出、組合的性質(zhì)：cnm =c：q、利用特征值和相似對角化：伴隨矩陣： n、伴隨矩陣的秩：r(A*) = 10、伴隨矩陣的特征值：(AX九、A = AA，A | A。0 =Cn =1m!(n -m)!nm. m . m 1V c r . nCn 1 - 0n Cn 0

9、n - 2r -0r (A) =nr (A) =n -1 ；r (A)：二 n -1=KX,A* = A A = AX = X); krCn =nc：j8 .關(guān)于A矩陣秩的描述：、r(A) =n , A中有n階子式不為0, n +1階子式全部為0;(兩句話)、r(A) n , A中有n階子式不為0;9 .線性方程組：Ax=b,其中A為mxn矩陣，則：、m與方程的個數(shù)相同，即方程組 Ax=b有m個方程；、n與方程組得未知數(shù)個數(shù)相同，方程組Ax=b為n元方程;i0.ii.線性方程組Ax =b的求解：、對增廣矩陣B進行初等行變換（、齊次解為對應(yīng)齊次方程組的解；、特解：自由變量賦初值后求得； 由n個未

10、知數(shù)m個方程的方程組構(gòu)成8ii Xi 即 X 2 HI 8i nXn =b只能使用初等行變換）；n元線性方程:Xi a22 x2 III 82nXn =b2IlhlHIIIIIHHIIIIhlllllllhllaIIIainXi bia22111a2 nX2_ b2A” _h （向量方程,:.二：=ax 印I ,am2 III amnm J m JGi）A為mxn矩陣，m個方程，n個未知數(shù)）、（ai a2川端六=P （全部按列分塊，其中p= 12）；/n .n /、ai Xi +a2 X2 +|）|+anXn =P （線性表出）、有解的充要條件：r（A） =r（ A P） n （ n為未知數(shù)的

11、個數(shù)或維數(shù)）4、向量組的線性相關(guān)性1 . m個n維列向量所組成的向量組A： 5，立2，川。m構(gòu)成nx：m矩陣A =（許久211，% ）；電BTm個n維行向量所組成的向量組B： RT,P； ,|,用構(gòu)成mwn矩陣B=匚2；含有有限個向量的有序向量組與矩陣一一對應(yīng)；2 .、向量組的線性相關(guān)、無關(guān) u Ax =0有、無非零解；（齊次線性方程組）、向量的線性表出u Ax =b是否有解；（線性方程組）、向量組的相互線性表示 匕AX =B是否有解；（矩陣方程）3 .矩陣Am湎與B前行向量組等價的充分必要條件是：齊次方程組Ax =0和Bx = 0同解；（Pi0i例i4）4 . r （AT A） =r（ A）

12、 ; （ P）0i 例 i5）5 . n維向量線性相關(guān)的幾何意義：、ot線性相關(guān)y ot=0;、a, P線性相關(guān)a,P坐標成比例或共線（平行）；、a, P,線性相關(guān)u a,P,Y共面；6 .線性相關(guān)與無關(guān)的兩套定理：若%”,線性相關(guān),則 4”,III,%里+必線性相關(guān);若5,5,|,1線性無關(guān)，則 5,0（2,1比%。必線性無關(guān)；（向量的個數(shù)加加減減，二者為對偶）若r維向量組A的每個向量上添上 n-r個分量，構(gòu)成n維向量組B :若A線性無關(guān)，則B也線性無關(guān)；反之若 B線性相關(guān)，則A也線性相關(guān)；（向量組的維數(shù)加加減減）簡言之：無關(guān)組延長后仍無關(guān)，反之，不確定；7 .向量組A （個數(shù)為r）能由向量

13、組B （個數(shù)為s）線性表示，且 A線性無關(guān)，則rs； 向量組A能由向量組B線性表示，則r（A） r（B）;向量組A能由向量組B線性表示U AX =B有解；:= r（A） =r（A, B）向量組A能由向量組 B等價ur( A) =r( B) =r( A, B)8 .方陣A可逆u存在有限個初等矩陣 P, P2,|H，Pl ,使A=P P2山R ;r、矩陣行等價：A ByPA=B (左乘，P可逆)u Ax =0與Bx =0同解c、矩陣列等價：A By AQ = B (右乘，Q可逆)；、矩陣等價： A By PAQ=B (P、Q可逆)；9 .對于矢I陣人刈與Bx：、若A與B行等價，則A與B的行秩相等；

14、、若A與B行等價，則 Ax =0與Bx =0同解，且A與B的任何對應(yīng)的列向量組具有相同的線性相關(guān)性；、矩陣的初等變換不改變矩陣的秩；、矩陣A的行秩等于列秩；10 .若An域Bs刈=以刈，則：、C的列向量組能由 A的列向量組線性表示，B為系數(shù)矩陣；、C的行向量組能由B的行向量組線性表示，AT為系數(shù)矩陣；(轉(zhuǎn)置)11 .齊次方程組Bx =0的解一定是 ABx =0的解，考試中可以直接作為定理使用，而無需證明；、ABx =0只有零解二 Bx =0只有零解；、Bx =0 有非零解 = ABx =0一定存在非零解；12 .設(shè)向量組B” : B,b2,W, br可由向量組 An於:a, a 2,出自線性表示為：(b,b2,|,b)=(a/a2,111,as)K ( B=AK )其中K為s中,且A線性無關(guān)，則B組線性無關(guān) =r(K) = r ; ( B與K的列向量組具有相同線性相關(guān)性)(必要性：；r=r(B) =r(AK)r(K),r(K)r,r(K)=r;充分性：反證法)注：當r=s時，K為方陣，可當