[高三數(shù)學(xué)]創(chuàng)新型解答題匯編

1、.2012年各地模擬題創(chuàng)新型解答題匯編(精校版)1. 已知點(diǎn)、,()是曲線C上的兩點(diǎn)，點(diǎn)、關(guān)于軸對(duì)稱，直線、分別交軸于點(diǎn)和點(diǎn)，（）用、分別表示和; （）某同學(xué)發(fā)現(xiàn)，當(dāng)曲線C的方程為：時(shí)，是一個(gè)定值與點(diǎn)、的位置無關(guān)；請(qǐng)你試探究當(dāng)曲線C的方程為：時(shí)， 的值是否也與點(diǎn)M、N、P的位置無關(guān)；（）類比（）的探究過程，當(dāng)曲線C的方程為時(shí)，探究與經(jīng)加、減、乘、除的某一種運(yùn)算后為定值的一個(gè)正確結(jié)論.(只要求寫出你的探究結(jié)論，無須證明).解：（）依題意N(k,l)，且klmn0及MP、NP與軸有交點(diǎn)知： 2分M、P、N為不同點(diǎn)，直線PM的方程為， 3分則，同理可得 6分（）M,P在橢圓C：上,(定值).的值是與

2、點(diǎn)M、N、P位置無關(guān) . 11分（）一個(gè)探究結(jié)論是： 14分提示：依題意, ,.M,P在拋物線C：y2=2px(p>0)上,n2=2pm,l2=2pk.為定值.2. 已知為坐標(biāo)平面上的動(dòng)點(diǎn)，且直線與直線的斜率之積為常數(shù)(1)求P點(diǎn)的軌跡方程并討論軌跡是什么曲線？(2)若, P點(diǎn)的軌跡為曲線C,過點(diǎn)Q(2,0)斜率為的直線與曲線C交于不同的兩點(diǎn)AB,AB中點(diǎn)為R,直線OR(O為坐標(biāo)原點(diǎn))的斜率為，求證為定值；（3）在（2）的條件下，設(shè)，且，求在y軸上的截距的變化范圍.解：（1）由得，若m= -1，則方程為，軌跡為圓（除A B點(diǎn)）若，方程為，軌跡為橢圓（除A B點(diǎn)）；若，方程為，軌跡為雙曲線

3、（除A B點(diǎn)）。 2分（2）時(shí)，曲線C方程為，設(shè)的方程為：與曲線C方程聯(lián)立得：， 6分設(shè)，則， 6分可得，。 7分（3）由得代入得：， 8分式平方除以式得：， 10分而在上單調(diào)遞增，在y軸上的截距為b，=， 11分。 12分3. 設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，已知(nN*).（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)，數(shù)列的前項(xiàng)和為，若存在整數(shù)，使對(duì)任意nN*且n 2，都有成立，求的最大值；解：（1）由，得(n2). 兩式相減，得，即(n2). 于是，所以數(shù)列是公差為1的等差數(shù)列. 又，所以. 所以，故. 7分（2）因?yàn)?，則. 令，則 . 所以 .即，所以數(shù)列為遞增數(shù)列. 所以當(dāng)n 2時(shí)，的最小值為. 據(jù)題意，即.

4、又為整數(shù)，故的最大值為18. 14分4. 已知橢圓長(zhǎng)軸上有一頂點(diǎn)到兩個(gè)焦點(diǎn)之間的距離分別為：32，32。（1）求橢圓的方程；（2）如果直線 與橢圓相交于A,B，若C（3,0），D(3,0），證明：直線CA與直線BD的交點(diǎn)K必在一條確定的雙曲線上；（3）過點(diǎn)Q(1,0 )作直線l (與x軸不垂直）與橢圓交于M,N兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)R，若，求證：為定值.解：（1）由已知，得，所以橢圓方程為 4分（2）依題意可設(shè)，且有，又，將代入即得所以直線CA與直線BD的交點(diǎn)K必在雙曲線上. 9分（3）依題意，直線的斜率存在，則設(shè)直線的方程為，設(shè)，則兩點(diǎn)坐標(biāo)滿足方程組，消去整理得，所以， 因?yàn)椋?，即，因?yàn)閘與

5、x軸不垂直，所以，則，又，同理可得，所以由式代人上式得 15分5. 如圖，在各棱長(zhǎng)均為2的三棱柱ABC-ABC中，側(cè)面AACC底面ABC，AAC=60°.()求側(cè)棱AA與平面ABC所成角的正弦值的大?。?)已知點(diǎn)D滿足，在直線AA上是否存在點(diǎn)P，使DP平面ABC？若存在，請(qǐng)確定點(diǎn)P的位置；若不存在，請(qǐng)說明理由.解：()側(cè)面A1ACC1底面ABC，作A1OAC于點(diǎn)O，A1O平面ABC.又ABC=A1AC=60°，且各棱長(zhǎng)都相等，AO=1，OA1=OB=，BOAC.故以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系O-xyz,則A(0，-1，0)，B(，0，0)，A1(0，0，)，

6、C(0，1，0)，；.設(shè)平面AB1C的法向量為n=(x,y,1)則 解得n=(-1,0,1).由cos<>=而側(cè)棱AA1與平面AB1C所成角，即是向量與平面AB1C的法向量所成銳角的余角，側(cè)棱AA1與平面AB1C所成角的正弦值的大小為()而 又B(，0，0)，點(diǎn)D的坐標(biāo)為D(-，0，0).假設(shè)存在點(diǎn)P符合題意，則點(diǎn)P的坐標(biāo)可設(shè)為P(0，y，z). DP平面AB1C，n=(-1，0，1)為平面AB1C的法向量，由，得又DP平面AB1C，故存在點(diǎn)P，使DP平面AB1C，其從標(biāo)為(0，0，)，即恰好為A1點(diǎn)6. 如圖，已知拋物線的準(zhǔn)線為,焦點(diǎn)為.M的圓心在軸的正半軸上,且與軸相切過原點(diǎn)作

7、傾斜角為的直線,交于點(diǎn), 交M于另一點(diǎn),且.OlxyABF·M（1）求M和拋物線的方程；（2）若為拋物線上的動(dòng)點(diǎn),求的最小值；（3）過上的動(dòng)點(diǎn)向M作切線,切點(diǎn)為,求證：直線恒過一個(gè)定點(diǎn),并求該定點(diǎn)的坐標(biāo).解：（）因?yàn)?即,所以拋物線C的方程為. 設(shè)M的半徑為,則,所以的方程為（）設(shè),則= 所以當(dāng)時(shí), 有最小值為2 （）以點(diǎn)Q這圓心,QS為半徑作Q,則線段ST即為Q與M的公共弦設(shè)點(diǎn),則,所以Q的方程為從而直線QS的方程為(*) 因?yàn)橐欢ㄊ欠匠?*)的解,所以直線QS恒過一個(gè)定點(diǎn),且該定點(diǎn)坐標(biāo)為7. 設(shè)為數(shù)列的前項(xiàng)和，對(duì)任意的，都有（為常數(shù)，且）（1）求證：數(shù)列是等比數(shù)列；（2）設(shè)數(shù)列的

8、公比，數(shù)列滿足 ，N，求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（3）在滿足（2）的條件下，求證：數(shù)列的前項(xiàng)和解：（1）證明：當(dāng)時(shí)， 解得 1分當(dāng)時(shí)，即 2分為常數(shù)，且， 3分?jǐn)?shù)列是首項(xiàng)為1，公比為的等比數(shù)列 4分（2）解：由（1）得， 5分 6分，即 7分是首項(xiàng)為，公差為1的等差數(shù)列 8分，即（N）（3）證明：由（2）知，則 ， 當(dāng)時(shí)， 12分8. 已知曲線C：xy=1，過C上一點(diǎn)An(xn,yn)作一斜率為的直線交曲線C于另一點(diǎn)An+1(xn+1,yn+1)，點(diǎn)列An的橫坐標(biāo)構(gòu)成數(shù)列 xn ，其中x1=.(I)求xn與xn+1的關(guān)系式； ()令，求證：數(shù)列是等比數(shù)列；(III)若( 為非零整數(shù)，)，試確定的值，使

9、得對(duì)任意， 都有成立.9. 已知數(shù)列滿足，且當(dāng)時(shí)，令（）寫出的所有可能的值；（）求的最大值；（）是否存在數(shù)列，使得？若存在，求出數(shù)列；若不存在， 說明理由解:（）由題設(shè)，滿足條件的數(shù)列的所有可能情況有：（1）此時(shí)；（2）此時(shí)；（3）此時(shí)；（4）此時(shí)；（5）此時(shí)；（6）此時(shí)； 所以，的所有可能的值為：， 4分（）由， 可設(shè)，則或（，），因?yàn)?，所?因?yàn)?，所以，且為奇?shù)，是由 個(gè)1和個(gè)構(gòu)成的數(shù)列 所以 則當(dāng)?shù)那绊?xiàng)取，后項(xiàng)取時(shí)最大，此時(shí)證明如下：假設(shè)的前項(xiàng)中恰有項(xiàng)取，則的后項(xiàng)中恰有項(xiàng)取，其中， ，所以 所以的最大值為 9分（）由（）可知，如果的前項(xiàng)中恰有項(xiàng)取，的后項(xiàng)中恰有項(xiàng)取，則，若，則，因?yàn)槭瞧鏀?shù)

10、，所以是奇數(shù)，而是偶數(shù)，因此不存在數(shù)列，使得 13分10. 已知函數(shù)（）（）試討論在區(qū)間上的單調(diào)性；（）當(dāng)時(shí)，曲線上總存在相異兩點(diǎn)，使得曲線在點(diǎn)，處的切線互相平行，求證：. （）解：由已知，. 2分 由，得，. 4分因?yàn)?，所?且所以在區(qū)間上，；在區(qū)間上，.故在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增 6分（）證明：由題意可得，當(dāng)時(shí)，（，且）.即 ，所以，. 8分因?yàn)?，且，所以恒成立，所以，又，所以，整理? 11分令，因?yàn)椋栽谏蠁握{(diào)遞減，所以在上的最大值為， 所以. 13分11. 對(duì)于數(shù)列，令為，中的最大值，稱數(shù)列為的“創(chuàng)新數(shù)列”.例如數(shù)列，的創(chuàng)新數(shù)列為，.定義數(shù)列：是自然數(shù)，的一個(gè)排列.（）當(dāng)時(shí)，寫出

11、創(chuàng)新數(shù)列為， ，的所有數(shù)列；（）是否存在數(shù)列，使它的創(chuàng)新數(shù)列為等差數(shù)列？若存在，求出所有的數(shù)列，若不存在，請(qǐng)說明理由.解：（）由題意，創(chuàng)新數(shù)列為， ，的所有數(shù)列有兩個(gè)，即數(shù)列，；數(shù)列，. 4分（）存在數(shù)列，使它的創(chuàng)新數(shù)列為等差數(shù)列. 數(shù)列的創(chuàng)新數(shù)列為，因?yàn)槭侵械淖畲笾担?由題意知，為中最大值，為中的最大值，所以，且.若為等差數(shù)列，設(shè)其公差為,則且，當(dāng)時(shí)，為常數(shù)列，又，所以數(shù)列為，.此時(shí)數(shù)列是首項(xiàng)為的任意一個(gè)符合條件的數(shù)列； 8分當(dāng)時(shí)，因?yàn)?，所以?shù)列為，.此時(shí)數(shù)列為，； 10分當(dāng)時(shí)，因?yàn)?，又， ，所以，這與矛盾，所以此時(shí)不存在，即不存在使得它的創(chuàng)新數(shù)列為公差的等差數(shù)列. 13分綜上，當(dāng)數(shù)列

12、為以為首項(xiàng)的任意一個(gè)符合條件的數(shù)列或?yàn)閿?shù)列，時(shí)，它的創(chuàng)新數(shù)列為等差數(shù)列. 14分12. 已知拋物線：，為直線上任意一點(diǎn)，過點(diǎn)作拋物線的兩條切線，切點(diǎn)分別為,.（）當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)為時(shí)，求過三點(diǎn)的圓的方程； （）證明：以為直徑的圓恒過點(diǎn).（）解：當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)為時(shí)，設(shè)過點(diǎn)的切線方程為，由消得. (1)令，解得.代入方程(1)，解得. 3分設(shè)圓心的坐標(biāo)為，由，得，解得.故過三點(diǎn)的圓的方程為 5分（）證明：設(shè)，由已知得，設(shè)切點(diǎn)分別為，所以，切線 的方程為即，切線的方程為即 7分又因?yàn)榍芯€過點(diǎn)，所以得. 又因?yàn)榍芯€也過點(diǎn)，所以得. 所以，是方程的兩實(shí)根，由韋達(dá)定理得 9分因?yàn)椋?將代入，得. 13分 所以以為直

13、徑的圓恒過點(diǎn) 14分13. 已知拋物線及定點(diǎn)P（0，8），A、B是拋物線上的兩動(dòng)點(diǎn)，且。過A、B兩點(diǎn)分別作拋物線的切線，設(shè)其交點(diǎn)為M（）證明：點(diǎn)M的縱坐標(biāo)為定值； （點(diǎn)M的縱坐標(biāo)為定值）（）是否存在定點(diǎn)Q，使得無論AB怎樣運(yùn)動(dòng)，都有？證明你的結(jié)論 解：（1）方法1：設(shè)，拋物線方程為，求導(dǎo)得，所以，過拋物線上A、B兩點(diǎn)的切線方程分別為：，即，解得。又，得，即將式（1）兩邊平方并代入得，再代入（2）得，解得且有，所以，點(diǎn)M的縱坐標(biāo)為-8。方法2：（II） ， ，拋物線方程為所以過拋物線上A、B兩點(diǎn)的切線斜率分別是， ，解得：即點(diǎn)M的縱坐標(biāo)為定值（2）考慮到AB/x軸時(shí)，顯然要使，則點(diǎn)Q必定在y軸上

14、，設(shè)點(diǎn)，此時(shí)，結(jié)合（1）中故對(duì)一切k恒成立即：故當(dāng)，即時(shí)，使得無論AB怎樣運(yùn)動(dòng)，都有 (1)法一：由已知 設(shè)，則， ， 由得，解得2分法二：記A點(diǎn)到準(zhǔn)線距離為，直線的傾斜角為，由拋物線的定義知 ， （2）設(shè)，由得 首先由得且，同理 由得，即：， ，得且，由且得，的取值范圍為14. 設(shè)橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為是橢圓上的一點(diǎn)，原點(diǎn)到直線的距離為 （）證明；（）求使得下述命題成立：設(shè)圓上任意點(diǎn)處的切線交橢圓于，兩點(diǎn)，則（）證法一：由題設(shè)及，不妨設(shè)點(diǎn)，其中，由于點(diǎn)在橢圓上，有，解得，從而得到，直線的方程為，整理得由題設(shè)，原點(diǎn)到直線的距離為，即，將代入原式并化簡(jiǎn)得，即證法二：同證法一，得到點(diǎn)的坐標(biāo)為，過點(diǎn)

15、作，垂足為，易知，故由橢圓定義得，又，所以，解得，而，得，即（）解法一：圓上的任意點(diǎn)處的切線方程為當(dāng)時(shí)，圓上的任意點(diǎn)都在橢圓內(nèi)，故此圓在點(diǎn)處的切線必交橢圓于兩個(gè)不同的點(diǎn)和，因此點(diǎn)，的坐標(biāo)是方程組的解當(dāng)時(shí)，由式得代入式，得，即，于是，若，則所以，由，得在區(qū)間內(nèi)此方程的解為當(dāng)時(shí)，必有，同理求得在區(qū)間內(nèi)的解為另一方面，當(dāng)時(shí)，可推出，從而綜上所述，使得所述命題成立15. 設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，且滿足.（）求證：數(shù)列為等比數(shù)列； （）求通項(xiàng)公式；（ ）（）設(shè),求證：. 證明：（）, . 又 是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列且. （）時(shí)，, 時(shí)， . 故. （） .16、無窮數(shù)列滿足：（為常數(shù)）.（1）若且數(shù)列為等

16、比數(shù)列，求； （ ）（2）已知，若，求；（ ）（3）若存在正整數(shù)，使得當(dāng)時(shí)，有，求證：存在正整數(shù)，使得當(dāng)時(shí)，有解：（）由為等比數(shù)列，知與無關(guān)，故.當(dāng)時(shí)，數(shù)列是以為首項(xiàng)，以為公比的等比數(shù)列.（）當(dāng)時(shí)，.取為，累乘得:（）.當(dāng)時(shí)，.而，（）當(dāng)時(shí)，說明異號(hào)，此時(shí)不存在正整數(shù)，使得當(dāng)時(shí)，有.當(dāng)時(shí)，必存在正整數(shù)（取大于的正整數(shù)即可），使得當(dāng)時(shí)，有，即存在正整數(shù)，使得當(dāng)時(shí)，有；因?yàn)榇嬖谡麛?shù)，使得當(dāng)時(shí)，恒有成立，取為與的較大者，則必存在正整數(shù)，使得當(dāng)時(shí)，.存在正整數(shù)，使得當(dāng)時(shí)，有17.現(xiàn)有一組互不相同且從小到大排列的數(shù)據(jù)：，其中為提取反映數(shù)據(jù)間差異程度的某種指標(biāo)，今對(duì)其進(jìn)行如下加工：記，作函數(shù)，使其圖象為

17、逐點(diǎn)依次連接點(diǎn)的折線（）求和的值；（）設(shè)的斜率為，判斷的大小關(guān)系；（）證明：當(dāng)時(shí)，；（）解： （）解：因?yàn)閍1<a2<a3<a4<a5,所以k1<k2<k3<k4<k5. （）證明：由于f (x)的圖象是連接各點(diǎn)的折線，要證明下面證明 證法一：對(duì)任何n (n=1,2,3,4),證法二： 對(duì)任何n （n=1,2,3,4）18. 給定平面上的點(diǎn)集.點(diǎn)集中任意三點(diǎn)不共線，將中所有的點(diǎn)任意分成組，使得每組至少三個(gè)點(diǎn)，且每個(gè)點(diǎn)恰屬于一組.然后將同一組的任意兩點(diǎn)都用線段相連,不同組的點(diǎn)間不用線段連接.這樣得到一個(gè)圖案,不同的方式得到不同的圖案,將圖案中所含的

18、以點(diǎn)集中的點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形的個(gè)數(shù)記為.()當(dāng)時(shí)，求的值；() 當(dāng)時(shí)，求的最小值；() 當(dāng)時(shí)，求的最小值；20、解：（I）當(dāng)n=7，k=2時(shí)，分組方法只能是其中一組3個(gè)點(diǎn)，另一組4個(gè)點(diǎn)， 于是m(G)= （）當(dāng)n=13，k=3時(shí)，由于13=3+3+7=3+4+6=3+5+5=4+4+5 于是m(G)= 或m(G)= 或m(G)= 或m(G)= 由上可知：所求m(G)的最小值為18 （III）由（）可受到啟發(fā)：分組越均勻，m(G)的值越小 設(shè)m(G)的最小值為，G由分組得到，其中為第i組的點(diǎn)構(gòu)成的集合設(shè) 則，且 下面證明：當(dāng)時(shí)，有（即m(G)取最小時(shí)，任意兩組的點(diǎn)的個(gè)數(shù)之差不超過1） 事實(shí)上，若存

19、在，使得，不妨設(shè) 則作點(diǎn)集P的另一種分組，其中為第i組的點(diǎn)構(gòu)成的集合使得 于是，對(duì)于由分組得到的圖案，有 從而 ，這與的最小性矛盾 故：對(duì)任何，都有 又2010=100´20+10=90´20+10´21， m(G)的最小值 21ABMCDEF如圖，已知正方形ABCD的邊長(zhǎng)為1，F(xiàn)D平面ABCD，EB平面ABCD，F(xiàn)D=BE=1，M為BC邊上的動(dòng)點(diǎn).（）證明：ME平面FAD；（）試探究點(diǎn)M的位置，使平面AME平面AEF.解：（） FD平面ABCD，EB平面ABCD FDEB又ADBC且ADFD=D，BCBE=B平面FAD平面EBC，ME 平面EBCME平面FAD

20、4分（）以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以DA、DC、DF所在直線為x、y、z軸，建立空間直角坐標(biāo)D-xyz，依題意，得D(0，0，0)，A(1，0，0)，F(xiàn)(0，0，1)，C(0，1，0)，B(1，1，0)，E(1，1，1)，設(shè)M(，1，0)，平面AEF的法向量為=(x1，y1，z1)，平面AME的法向量為=(x2，y2，z2) =(0，1，1)，=(-1，0，1)， 取z1=1，得x1=1，y1=-1 =(1，-1，0) 又=(-1，1，0) ，=(0，1，1)， 取x2=1得y2=1-，z2=-1 =(1，1-，-1)若平面AME平面AEF，則 =0，1-(1-)+(-1)=0，解得=，此時(shí)M為BC

21、的中點(diǎn).所以當(dāng)M在BC的中點(diǎn)時(shí)， 平面AME平面AEF. 22.已知四棱錐的三視圖如圖所示，為正三角形（）在平面中作一條與底面平行的直線,并說明理由；（）求證：平面；（）求三棱錐的高解：（）分別取中點(diǎn)，連結(jié)，則即為所求，下證之：1分分別為中點(diǎn)，2分平面，平面,3分平面4分（作法不唯一）（）由三視圖可知，平面，四邊形為直角梯形過點(diǎn)作于，則,，故6分平面,平面,.7分，平面8分（）為正三角形，在中，10分（其中為三棱錐的高）11分，12分23.如圖，圓與軸相切于點(diǎn)，與軸正半軸相交于兩點(diǎn)（點(diǎn)在點(diǎn)的左側(cè)），且（）求圓的方程；（）過點(diǎn)任作一條直線與橢圓相交于兩點(diǎn)，連接，求證：解：（）設(shè)圓的半徑為（），依

22、題意，圓心坐標(biāo)為1分，解得3分圓的方程為4分（）把代入方程，解得，或，即點(diǎn)，5分當(dāng)軸時(shí)，由橢圓對(duì)稱性可知6分當(dāng)與軸不垂直時(shí)，可設(shè)直線的方程為聯(lián)立方程，消去得，7分設(shè)直線交橢圓于兩點(diǎn)，則，8分，10分，11分綜上所述，12分24. 已知函數(shù)與（1）設(shè)直線分別相交于點(diǎn)，且曲線和在點(diǎn)處的切線平行，求實(shí)數(shù)的值；（2）為的導(dǎo)函數(shù),若對(duì)于任意的，恒成立，求實(shí)數(shù)的最大值；（3）在（2）的條件下且當(dāng)取最大值的倍時(shí)，當(dāng)時(shí)，若函數(shù)的最小值恰為的最小值，求實(shí)數(shù)的值解：（1）由已知，曲線和在點(diǎn)處的切線平行，故可得：且解得：-3分 （2）恒成立，即，即，-4分 記，-5分 當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減 當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增 -7分

23、 ，故的最大值為 -8分 （3）由（2）可知，故在時(shí)， 在的最小值為3， 令，解得： -10分 （）當(dāng)即時(shí)，此時(shí)在上單調(diào)遞增 ，解得：（不合前提） -11分 （）當(dāng)即時(shí)，此時(shí)在上單調(diào)遞減 ，解得：（不合前提）-12分 （）當(dāng)即時(shí)， 當(dāng)時(shí)，在單調(diào)遞減 當(dāng)時(shí)，在單調(diào)遞增 此時(shí)，解得：滿足前提 綜上可得： -14分25. 如圖，已知ABCD是圓柱的一個(gè)軸截面，且圓柱底面半徑為1，高為.動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)B繞著圓柱的側(cè)面到達(dá)點(diǎn)D的距離最短時(shí)在側(cè)面留下的曲線如圖.軸截面ABCD繞著軸逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)時(shí)與曲線相交于點(diǎn)P.（）求曲線長(zhǎng)度；(要有必要的文字，圖形，計(jì)算過程)（）當(dāng)時(shí)，求證：/平面APB；（）是否存在點(diǎn)P，使

24、得AP與平面的所成角為，若存在，請(qǐng)說明理由，并求相應(yīng)的線段BP長(zhǎng)度，若不存在說明理由.（）解：將圓柱一半展開后底面的半個(gè)圓周變成長(zhǎng)方形的邊BA，曲線就是對(duì)角線BD得：， ,所以這實(shí)際上是一個(gè)正方形.所以曲線長(zhǎng)度=-3分（）當(dāng)時(shí)，點(diǎn)恰好為AB的中點(diǎn)，所以P為中點(diǎn)在矩形中，PO,又，所以/平面APB.-7分（）如圖，以O(shè)為原點(diǎn)，OB所在直線為x軸，過O與OB垂直的直線為y軸，建立空間直角坐標(biāo)系。則，當(dāng)時(shí)，設(shè),，所以，-9分， 平面的法向量之一為所以， 所以，設(shè)，所以在上必存在使得-12分-14分26. 已知橢圓的離心率為，過右焦點(diǎn)F的直線與相交于、兩點(diǎn)，當(dāng)?shù)男甭蕿?時(shí)，坐標(biāo)原點(diǎn)到的距離為 （I）求

25、，的值；（II）橢圓上是否存在點(diǎn)P，使得當(dāng)繞F轉(zhuǎn)到某一位置時(shí)，有成立？若存在，求出所有的P的坐標(biāo)與的方程；若不存在，說明理由。解:(I）設(shè)，直線，由坐標(biāo)原點(diǎn)到的距離為 則，-2分解得 .又.-4分（II）由(I）知橢圓的方程為.設(shè)、由題意知的斜率為一定不為0，故不妨設(shè) -5分代入橢圓的方程中整理得，顯然。由韋達(dá)定理有：-6分.假設(shè)存在點(diǎn)P，使成立，則其充要條件為：點(diǎn)，點(diǎn)P在橢圓上，即。整理得。 又在橢圓上，即.故-8分將及代入解得-10分,=,即.當(dāng);當(dāng).13分27. 在直四棱柱ABCDA1B1C1D1 中，AB=AD=AA1=2BC=4，ABAD，M為AD中點(diǎn).() 求證：B1M平面CDD1

26、C1；() 若P為四邊形CDD1C1內(nèi)（含邊界）的動(dòng)點(diǎn)，且APB1D，問P點(diǎn)是否總在一條線段上？說明你的理由。解：()證明：連接C1D，由題意可知B1C1BCAM， AMB1C1為平行四邊形，B1MC1D，3分CA1C1B1BD1DPMNAxyz又B1MË平面CDD1C1，C1DÌ平面CDD1C1， B1M平面CDD1C1. 6分()依題意可知，AB1，AD，AA1兩兩互相垂直，以A為原點(diǎn)，AB1，AD，AA1所在的直線依次為x、y、z軸，建立空間直角坐標(biāo)系（如圖）， 7分，P在平面CDD1C1內(nèi)，故可設(shè)，則，令，得，于是，10分在CD上取點(diǎn)N，使，則，則， , P總在線段

27、上. 1328如圖，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，底面ABC為等腰直角三角形，B = 900，D為棱BB1上一點(diǎn)，且面DA1 C面AA1C1C.。A1C1B1ACBA1D(1)求證：D為棱BB1中點(diǎn)； （2）為何值時(shí)，二面角A A1D C的平面角為600。解：（1）過點(diǎn)D作DE A1 C 于E點(diǎn)，取AC的中點(diǎn)F，連BF EF。面DA1 C面AA1C1C且相交于A1 C，面DA1 C內(nèi)的直線DE A1 C直線DE面AA1C1C 3分又面BA C面AA1C1C且相交于AC，易知BFAC，BF面AA1C1C由此知：DEBF ，從而有D，E，F(xiàn)，B共面，又易知BB1面AA1C1C，故有DBEF ，

28、從而有EFAA1，又點(diǎn)F是AC的中點(diǎn)，所以DB EF AA1 BB1，所以D點(diǎn)為棱BB1的中點(diǎn)； 6分A1C1B1ACBA1DHEFG（2）解法1：延長(zhǎng)A1 D與直線AB相交于G，易知CB面AA1B1B，過B作BHA1 G于點(diǎn)H，連CH，由三垂線定理知：A1 GCH，由此知CHB為二面角A A1D C的平面角； 9分設(shè)AA1 2b ，ABBC ；在直角三角形A1A G中，易知 AB BG。在DBG中，BH ，在CHB中，tanCHB ，據(jù)題意有： tan600 ，解得：，所以 。 13分 (2)解法2：建立如圖所示的直角坐標(biāo)系，設(shè)AA1 2b ，ABBC ，A1C1B1ACBA1DyOxZ則D

29、（0,0,b）, A1 (a,0,2b), C (0,a,0) 所以， 8分設(shè)面DA1C的法向量為則 可取又可取平面AA1DB的法向量cos 10分 據(jù)題意有：，12分 解得： 13分30. 如圖，三角形PAB是半圓錐PO的一個(gè)軸截面，PO=1，AB=2，四棱錐的底面為正方形，且與圓錐PO的底面共面.()若H為圓錐PO的底面半圓周上的一點(diǎn)，且，連AH，證明：;（）在圓錐PO的底面半圓周上確定點(diǎn)G的位置，使母線PG與平面PCD所成角的正弦值為.解：() H為圓錐PO的底面圓周上的一點(diǎn)，1分又2分平面ABCD，平面ABCD平面PCO，4分平面PCO，5分（）以O(shè)為原點(diǎn)，OA方向?yàn)檩S，OP方向?yàn)檩S建

30、立空間直角坐標(biāo)系，6分則，7分設(shè)平面PCD的一個(gè)法向量為，則由得，取得平面PCD的一個(gè)法向量為；9分G為圓錐PO的底面圓周上的一點(diǎn)，可設(shè)，依題意得，10分解得，12分點(diǎn)G的坐標(biāo)為13分31. +33. 已知過點(diǎn)A(0，4)的直線l與拋物線C：x2=py相切于點(diǎn)T(-4，yo)，F(xiàn)是C的焦點(diǎn)；中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，一個(gè)焦點(diǎn)為F的橢圓與直線l有公共點(diǎn)(1)求直線l的方程和焦點(diǎn)F的坐標(biāo)；(2)求當(dāng)橢圓的離心率最大時(shí)橢圓的方程；(3)設(shè)點(diǎn)M(x1，yl)是拋物線C上任意一點(diǎn)，D(0，-2)為定點(diǎn)，是否存在垂直于y軸的直線l¢被以MD為直徑的圓截得的弦長(zhǎng)為定值?請(qǐng)說明理由解：(1)，l：，直線l過點(diǎn)

31、A(0，4)， p=-4l： 2x-y+4=0， F為(0，-1) 4分(2)設(shè)橢圓為=1(a>1)， F1(0，1)，F(xiàn)2(0，-1)當(dāng)e最大時(shí)，a取得最小則在直線l上找一點(diǎn)P，使得最小F2(0，-1)關(guān)于2x-y+4=0對(duì)稱道點(diǎn)為F2（x0，y0） 6分解得，7分所求橢圓方程為 8分(3)假設(shè)l¢存在為y=b，以MD為直徑的圓N的圓心為N半徑為r=ND= 9分N到直線l¢的距離為d 弦長(zhǎng)= 11分當(dāng)b=-1時(shí)，弦長(zhǎng)為定值2 12分即l¢為y=-1時(shí)，垂直于y軸的直線l¢被以MD為直徑的圓截得的弦長(zhǎng)為定值213分(備注：可以把D(0，-2)推廣到

32、更一般的點(diǎn)D(0，-m)(m>0)，則結(jié)論仍然成立，只不過直線l¢含有m，也就是直線l¢取決于D(0，-m)(m>0)34. 如圖(1)已知矩形中，、分別是、的中點(diǎn)，點(diǎn)在上，且，把沿著翻折，使點(diǎn)在平面上的射影恰為點(diǎn)（如圖（2）.圖(2)BFCADEO（1）求證：平面平面；（2）求二面角的大小.ACBDEFO·圖(1)y圖(2)BFCADEOxz(1) 證明：由已知AO平面，AOBC，又依題意可知，EFBC，AO EF=O， BC平面AEF， 3分 BCÌ平面ABF，平面ABF平面AEF. 5分 (2) 設(shè)，則， AO平面，AOOB，AOOE，

33、 ， 即，求得， ，7分如圖建立空間直角坐標(biāo)系，則，,，設(shè)是平面的法向量，則，9分同理可求得平面的一個(gè)法向量， 11分， 12分二面角的大小為90°. 13分35. 已知函數(shù)定義域?yàn)?()，設(shè)，(1) 試確定的取值范圍,使得函數(shù)在上為單調(diào)函數(shù)；(2) 求證：； (3) 求證：對(duì)于任意的，總存在，滿足，并確定這樣的的個(gè)數(shù) 解：（1） 因?yàn)橛桑挥?所以在上遞增，在上遞減，欲在上為單調(diào)函數(shù)，則， 3分（2）因?yàn)樵谏线f增，在上遞減，所以在處取得極小值， 又，所以在上的最小值為，從而當(dāng)時(shí)，即， 6分（3）因?yàn)?，所以即? 令，從而問題轉(zhuǎn)化為證明方程 =0在上有解，并討論解的個(gè)數(shù). 7分 因?yàn)椋?/p>

34、 8分所以 當(dāng)時(shí)，所以在上有解，且只有一解 當(dāng)時(shí)，但由于，所以在上有解，且有兩解 ；9分 當(dāng)時(shí)，所以在上有且只有一解； 當(dāng)時(shí)，在上也有且只有一解.11分綜上所述，對(duì)于任意的，總存在，滿足，且當(dāng)時(shí)，有唯一的適合題意； 當(dāng)時(shí)，有兩個(gè)適合題 13分36. 設(shè)點(diǎn)為圓上的動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)作軸的垂線，垂足為動(dòng)點(diǎn)滿足（其中，不重合）（）求點(diǎn)的軌跡的方程；（）過直線上的動(dòng)點(diǎn)作圓的兩條切線，設(shè)切點(diǎn)分別為若直線與（）中的曲線交于兩點(diǎn)，求的取值范圍解：()設(shè)點(diǎn)，由，得，由于點(diǎn)P在上，所以，即M的軌跡方程為. 4分（）設(shè)點(diǎn)，則AT，BT的方程為：，又點(diǎn) 在AT、BT上，則有：，由、知AB的方程為：. 7分設(shè)點(diǎn)，則圓心O到A

35、B的距離，；又由，得，于是，于是， 10分設(shè)，則，于是，設(shè)，于是，設(shè)，令，得.得在上單調(diào)遞增，故.即的范圍為 14分37. 已知橢圓的離心率為，直線經(jīng)過橢圓的上頂點(diǎn)和右頂點(diǎn)，并且和圓相切. （1）求橢圓的方程； （2）設(shè)直線 與橢圓相交于，兩點(diǎn)，以線段, 為鄰邊作平行四邊行,其中頂點(diǎn)在橢圓上，為坐標(biāo)原點(diǎn)，求的取值范圍.解答：（1）由得，所以1分 所以，有，解得.5分 所以，所以橢圓方程為 .6分38. 已知函數(shù) （是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，）.（1）當(dāng)時(shí)，求的單調(diào)區(qū)間； （2）若在區(qū)間上是增函數(shù)，求實(shí)數(shù)的取值范圍；（3）證明對(duì)一切恒成立.39. 已知圓O：交x軸于A，B兩點(diǎn)，曲線C是以AB為長(zhǎng)軸，離心

36、率為的橢圓，其左焦點(diǎn)為F若P是圓O上一點(diǎn)，連結(jié)PF，過原點(diǎn)O作直線PF的垂線交直線于點(diǎn)Q （1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程； （2）若點(diǎn)P的坐標(biāo)為（1，1），求證：直線PQ圓O相切； （3）試探究：當(dāng)點(diǎn)P在圓O上運(yùn)動(dòng)時(shí)（不與A、B重合），直線PQ與圓O是否保持相切的位置關(guān)系？若是，請(qǐng)證明；若不是，請(qǐng)說明理由（1）解：因?yàn)?則b=1，即橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為 3分（2）解：因?yàn)镻（1，1），所以所以，所以直線OQ的方程為y= 2x. 4分又Q在直線上，所以點(diǎn)Q（2，4） 即PQOQ，故直線PQ與圓O相切， 7分（3）當(dāng)點(diǎn)P在圓O上運(yùn)動(dòng)時(shí)，直線PQ與圓P保持相切的位置關(guān)系. 設(shè)，則所以直線OQ的方程為 8分所

37、以點(diǎn)Q 所以 9分 10分所以，即OPPQ（P不與A、B重合），故直線PQ始終與圓O相切. 12分40. 空氣質(zhì)量指數(shù)（單位:）表示每立方米空氣中可入肺顆粒物的含量,這個(gè)值越高,就代表空氣污染越嚴(yán)重:日均濃度空氣質(zhì)量級(jí)別一級(jí)二級(jí)三級(jí)四級(jí)五級(jí)六級(jí)空氣質(zhì)量類別優(yōu)良輕度污染中度污染重度污染嚴(yán)重污染級(jí)別O5168天數(shù)421015某市年月日月日（天）對(duì)空氣質(zhì)量指數(shù)進(jìn)行監(jiān)測(cè),獲得數(shù)據(jù)后得到如下條形圖:（）估計(jì)該城市一個(gè)月內(nèi)空氣質(zhì)量類別為良的概率； （）在上述個(gè)監(jiān)測(cè)數(shù)據(jù)中任取個(gè),設(shè)為空氣質(zhì)量類別為優(yōu)的天數(shù),求的分布列【解析】（）由條形統(tǒng)計(jì)圖可知,空氣質(zhì)量類別為良的天數(shù)為天,所以此次監(jiān)測(cè)結(jié)果中空氣質(zhì)量類別為良

38、的概率為 4分 （）隨機(jī)變量的可能取值為,則 , 所以的分布列為: 12分.xyTGPMON41. 已知橢圓:的一個(gè)交點(diǎn)為,而且過點(diǎn)（）求橢圓的方程； （）設(shè)橢圓的上下頂點(diǎn)分別為,是橢圓上異于的任一點(diǎn),直線分別交軸于點(diǎn),若直線與過點(diǎn)的圓相切,切點(diǎn)為證明：線段的長(zhǎng)為定值,并求出該定值【解析】（）解法一:由題意得,解得, 所以橢圓的方程為4分 解法二:橢圓的兩個(gè)交點(diǎn)分別為, 由橢圓的定義可得,所以, 所以橢圓的方程為4分 （）解法一:由（）可知,設(shè), 直線:,令,得;直線:,令,得; 設(shè)圓的圓心為,則,而,所以,所以,所以,即線段的長(zhǎng)度為定值14分解法二:由（）可知,設(shè), 直線:,令,得;直線:,

39、令,得;則,而,所以,所以,由切割線定理得所以,即線段的長(zhǎng)度為定值14分42. 記函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為,函數(shù)（）討論函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和極值； （）若實(shí)數(shù)和正數(shù)滿足：，求證：【解析】（）由已知得,所以2分 當(dāng)且為偶數(shù)時(shí),是奇數(shù),由得;由得 所以的遞減區(qū)間為,遞增區(qū)間為,極小值為5分 當(dāng)且為奇數(shù)時(shí),是偶數(shù),由得或;由得 所以的遞減區(qū)間為,遞增區(qū)間為和,此時(shí)的極大值為,極小值為8分 （）由得,所以,10分顯然分母,設(shè)分子為則所以是上的增函數(shù),所以,故12分又,由（）知, 是上的增函數(shù),故當(dāng)時(shí),即,所以所以,從而 綜上,可知14分43. 設(shè)曲線：上的點(diǎn)到點(diǎn)的距離的最小值為,若,（）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（）求證:；（）是否存在常數(shù),使得對(duì),都有不等式:成立?請(qǐng)說明理由【解析】（）設(shè)點(diǎn)