立體幾何中的探索性問題那洪源一問題的提出立體幾何中的探索

1、立體幾何中的探索性問題那洪源一問題的提出（ 1）立體幾何中的探索性問題，在 98， 99， 00， 02 年全國高考題以及上海高考題中作為創(chuàng)新題型出現。（ 2）這種試題較好地體現考查學生的思維能力和創(chuàng)新能力。在高考數學測量研究與實踐一書中有這樣一段論述，“這種試題的解答過程，體現了研究性學習的發(fā)展性和生成性的特點，考查了創(chuàng)新能力和應用意識，02 年這道題起到了很好的示范作用，是今后應用問題考查的改革方向”。（ 3）我個人觀點：在日常學習中，解決這類問題能夠培養(yǎng)我們良好的思維品質與思維能力，使我們學會學習，學會研究。凡新問題的解決（不限于數學問題）都有一個探索的過程，這正是解決問題的關鍵。那么如

2、何探索呢？本講就從幾個立體幾何問題著眼，作一點嘗試，供叁考。AD1那么，什么是立體幾何探索性問題呢？先看一個例題。1C1引例：在直四棱柱 A 1B1C1D 1ABCD 中，B1當底面四邊形ABCD 滿足條件 _時，AD有 A 1CB1D1（只填上一個正確條件即可） （ 98 年高考題）AC BD 或 ABCD 是菱形BC尋求結論成立的充分條件就是探索性問題。還有條件已知，結論未知，或結論不唯一以及結論不知是否存在，還有部分條件、結論未知，都被稱為探索性問題。在這里不給出嚴格定義。下面研究兩類問題。二投影問題1、 在正方體 A 1C 中， E、 F 分別為面 ADD 1A 1 面 BCC 1B

3、1 中心，則四邊形 BFD 1E 在該正方體面上的射影可能是_（ 2000 年高考題）D1C1A1B1 FECDAB1234是在上、下底面及前、后側面是在左、右側面的投影故選12、正四面體ABCD 中， S 為 AD 的中點， Q 為 BC 上異于中點和端點的任意一點，則 SQD 在四個面上的射影不可能是_ASBDABCDQCB 是在 BCD 面上的投影 C 是在 ABC 面上的投影 D 是在 ACD 面上的投影 故選 A 3、一個不透明的正四面體，被一束垂直于桌面的平行光線照射時，此正四面體在桌面上的射影可能是（把可能的序號都填上）_ABD1234C是 BCD 面與桌面平行時的投影可構造正方

4、體將正四面體 ABCD 沿棱 BC 轉動在桌面上的投影就出現，當 B 在桌面上， A ， C， D 三點都不在桌面上 使 AD ， BC 在桌面上的射影平行，而 AB ，CD 在桌面上的射影不平行，就出現故填三構造幾何體4、若一個三棱錐的三個側面中有兩個等腰直角三角形，DABC另一個是邊長為1 的正三角形，試求滿足上述條件的三棱錐的體積。（2 ，2 ，3 ）S241212第一種情況第二種情況第三種情況DSSAABCBCBCASBAB, SCACSA平面 ABCSA平面 ABCSBSCBC1SA ABBC AC1SBABSC ACBC 1V2V3V2241212仔細觀察第一，第三種情況會發(fā)現一個

5、重要的結論：即兩個四面體滿足一定條件可以疊放成一個四面體。25、圖 1 是棱長為 a 的正四面體，圖2 是棱長均為b 的正四棱錐，問a、b 滿足什么條件時，可將兩個幾何體適當疊放構成新的幾何體，使面數最少？是多少？為什么？并求出這個幾何體的體積。E (A)(C)AEDKHK(D)BCFGH圖2圖1F(B)由上一題啟發(fā)，需要考慮相鄰兩個側面所成的二面角G正四面體相鄰兩個面所成的二面角為，則 cos1 ，棱長相等的正四棱錐相鄰3兩個側面所成的二面角為，則 cos1 ，所以3故當 ab 時，疊放成一個新的幾何體（三棱柱）面數不增加。（五面體）6、如果一個 F 面體共有 M 個面是直角三角形，則稱這個

6、MF 面體的直度為F（ 1）、請構造一個直度為3 的四面體。4（ 2）、是否存在直度為 1 的四面體？（ 3）、若一個 F 面體的直度為 1，棱數為 E，將 E 表示為 F 的函數。（ 4）、是否存在直度為1 的五面體？A分析（ 1）四個面有三個是直角三角形另一個面不是直角三角形，如圖ADBD,ADDC,BDDCDBCA（ 2）存在，四個面都是直角三角形，如圖ADBD,ADDC,BDBCDBC（ 3）由一個 F 面體的直度為1，則共有 F 個直角三角形的面（沒有其它多邊形作為面）又每一條棱均在兩個面上，每一個面都有3 條棱，所以 F2E即 E3F32（ 4）假設存在直度為1 的五面體，由（3）

7、可知棱數E35 矛盾，故不存在。237、給出兩塊相同的正三角形紙片（如圖 1，2），要求用其中一塊剪拼成一個正三棱錐模型，另一塊拼成一個正三棱柱模型，使它們的全面積都與原三角形面積相等。圖1圖2圖3（ 1）請設計一種剪拼方法，并做簡要說明。（ 2）比較你設計的正三棱錐和正三棱柱的體積大小。（ 3）如果給出一個任意三角形紙片，(如圖 3)能否剪拼一個直三棱柱，使其全面積與原三角形面積相等。作簡要說明。（2002 年高考題）A分析：（ 1）對圖（ 1） D， E， F 分別為 BC ，AB ， AC 的中點，A沿虛線剪拼可作正三棱錐。EEF 對圖（ 2）O 為 ABC 內心， D 為 OB 的中點

8、DOFCBCE為AO 中點，F為OC的中點BD沿虛線剪拼可作正三棱柱剪掉的三個四邊形恰好構成上底（ 2）設正三角形邊長為2，正三棱錐和正三棱柱的底面都是邊長為1 的正三角形，面積為3，棱錐的高為6 棱柱的高為3V錐 V柱22 30 V錐V柱43624（ 3）O 為 ABC 內心， D 為 OB 的中點 E 為 AO 中點， F 為 OC 的中點，沿虛線剪拼可作正三棱柱，剪掉的三個四邊形恰好構成上底。AFDOEBC關于用三角形剪拼成直三棱柱還有很多方法。列如A對圖（ 2）有對圖（ 3）有EDD , E, F 分別為中點GO , G 分別為內心OCBFDGE , OBF 可拼成平行四邊形， 進而拼成矩形作成側面，其余同理。三個平行四邊形的高顯然相等。48、若四面體各棱長是1 或 2，且該四面體不是正四面體，則其體積的值是_（只需寫出一個可能值。）（ 1999 年上海高考題）分析：只有三條棱長為2 或四條棱長為2 或五條棱長為2 三種情況AA222122B1DB2D1112CCv11v141212A2122DB22C11v69、四面體的三對相對棱長相等，分別是34 、41 、5。求這個四面體的體積，并作以推廣。分析：構造長方體使其三側面對角線長分別為34 ， 41 ，5，其體積為V1(5 4 3) 203推 廣 為 ： 設 四 面 體 的 三 對