立體幾何中的探索性問題那洪源一問題的提出立體幾何中的探索

1、立體幾何中的探索性問題那洪源一問題的提出（ 1）立體幾何中的探索性問題，在 98， 99， 00， 02 年全國高考題以及上海高考題中作為創(chuàng)新題型出現(xiàn)。（ 2）這種試題較好地體現(xiàn)考查學(xué)生的思維能力和創(chuàng)新能力。在高考數(shù)學(xué)測量研究與實(shí)踐一書中有這樣一段論述，“這種試題的解答過程，體現(xiàn)了研究性學(xué)習(xí)的發(fā)展性和生成性的特點(diǎn)，考查了創(chuàng)新能力和應(yīng)用意識，02 年這道題起到了很好的示范作用，是今后應(yīng)用問題考查的改革方向”。（ 3）我個(gè)人觀點(diǎn)：在日常學(xué)習(xí)中，解決這類問題能夠培養(yǎng)我們良好的思維品質(zhì)與思維能力，使我們學(xué)會(huì)學(xué)習(xí)，學(xué)會(huì)研究。凡新問題的解決（不限于數(shù)學(xué)問題）都有一個(gè)探索的過程，這正是解決問題的關(guān)鍵。那么如

2、何探索呢？本講就從幾個(gè)立體幾何問題著眼，作一點(diǎn)嘗試，供叁考。AD1那么，什么是立體幾何探索性問題呢？先看一個(gè)例題。1C1引例：在直四棱柱 A 1B1C1D 1ABCD 中，B1當(dāng)?shù)酌嫠倪呅蜛BCD 滿足條件 _時(shí)，AD有 A 1CB1D1（只填上一個(gè)正確條件即可） （ 98 年高考題）AC BD 或 ABCD 是菱形BC尋求結(jié)論成立的充分條件就是探索性問題。還有條件已知，結(jié)論未知，或結(jié)論不唯一以及結(jié)論不知是否存在，還有部分條件、結(jié)論未知，都被稱為探索性問題。在這里不給出嚴(yán)格定義。下面研究兩類問題。二投影問題1、 在正方體 A 1C 中， E、 F 分別為面 ADD 1A 1 面 BCC 1B

3、1 中心，則四邊形 BFD 1E 在該正方體面上的射影可能是_（ 2000 年高考題）D1C1A1B1 FECDAB1234是在上、下底面及前、后側(cè)面是在左、右側(cè)面的投影故選12、正四面體ABCD 中， S 為 AD 的中點(diǎn)， Q 為 BC 上異于中點(diǎn)和端點(diǎn)的任意一點(diǎn)，則 SQD 在四個(gè)面上的射影不可能是_ASBDABCDQCB 是在 BCD 面上的投影 C 是在 ABC 面上的投影 D 是在 ACD 面上的投影 故選 A 3、一個(gè)不透明的正四面體，被一束垂直于桌面的平行光線照射時(shí)，此正四面體在桌面上的射影可能是（把可能的序號都填上）_ABD1234C是 BCD 面與桌面平行時(shí)的投影可構(gòu)造正方

4、體將正四面體 ABCD 沿棱 BC 轉(zhuǎn)動(dòng)在桌面上的投影就出現(xiàn)，當(dāng) B 在桌面上， A ， C， D 三點(diǎn)都不在桌面上 使 AD ， BC 在桌面上的射影平行，而 AB ，CD 在桌面上的射影不平行，就出現(xiàn)故填三構(gòu)造幾何體4、若一個(gè)三棱錐的三個(gè)側(cè)面中有兩個(gè)等腰直角三角形，DABC另一個(gè)是邊長為1 的正三角形，試求滿足上述條件的三棱錐的體積。（2 ，2 ，3 ）S241212第一種情況第二種情況第三種情況DSSAABCBCBCASBAB, SCACSA平面 ABCSA平面 ABCSBSCBC1SA ABBC AC1SBABSC ACBC 1V2V3V2241212仔細(xì)觀察第一，第三種情況會(huì)發(fā)現(xiàn)一個(gè)

5、重要的結(jié)論：即兩個(gè)四面體滿足一定條件可以疊放成一個(gè)四面體。25、圖 1 是棱長為 a 的正四面體，圖2 是棱長均為b 的正四棱錐，問a、b 滿足什么條件時(shí)，可將兩個(gè)幾何體適當(dāng)疊放構(gòu)成新的幾何體，使面數(shù)最少？是多少？為什么？并求出這個(gè)幾何體的體積。E (A)(C)AEDKHK(D)BCFGH圖2圖1F(B)由上一題啟發(fā)，需要考慮相鄰兩個(gè)側(cè)面所成的二面角G正四面體相鄰兩個(gè)面所成的二面角為，則 cos1 ，棱長相等的正四棱錐相鄰3兩個(gè)側(cè)面所成的二面角為，則 cos1 ，所以3故當(dāng) ab 時(shí)，疊放成一個(gè)新的幾何體（三棱柱）面數(shù)不增加。（五面體）6、如果一個(gè) F 面體共有 M 個(gè)面是直角三角形，則稱這個(gè)

6、MF 面體的直度為F（ 1）、請構(gòu)造一個(gè)直度為3 的四面體。4（ 2）、是否存在直度為 1 的四面體？（ 3）、若一個(gè) F 面體的直度為 1，棱數(shù)為 E，將 E 表示為 F 的函數(shù)。（ 4）、是否存在直度為1 的五面體？A分析（ 1）四個(gè)面有三個(gè)是直角三角形另一個(gè)面不是直角三角形，如圖ADBD,ADDC,BDDCDBCA（ 2）存在，四個(gè)面都是直角三角形，如圖ADBD,ADDC,BDBCDBC（ 3）由一個(gè) F 面體的直度為1，則共有 F 個(gè)直角三角形的面（沒有其它多邊形作為面）又每一條棱均在兩個(gè)面上，每一個(gè)面都有3 條棱，所以 F2E即 E3F32（ 4）假設(shè)存在直度為1 的五面體，由（3）

7、可知棱數(shù)E35 矛盾，故不存在。237、給出兩塊相同的正三角形紙片（如圖 1，2），要求用其中一塊剪拼成一個(gè)正三棱錐模型，另一塊拼成一個(gè)正三棱柱模型，使它們的全面積都與原三角形面積相等。圖1圖2圖3（ 1）請?jiān)O(shè)計(jì)一種剪拼方法，并做簡要說明。（ 2）比較你設(shè)計(jì)的正三棱錐和正三棱柱的體積大小。（ 3）如果給出一個(gè)任意三角形紙片，(如圖 3)能否剪拼一個(gè)直三棱柱，使其全面積與原三角形面積相等。作簡要說明。（2002 年高考題）A分析：（ 1）對圖（ 1） D， E， F 分別為 BC ，AB ， AC 的中點(diǎn)，A沿虛線剪拼可作正三棱錐。EEF 對圖（ 2）O 為 ABC 內(nèi)心， D 為 OB 的中點(diǎn)

8、DOFCBCE為AO 中點(diǎn)，F(xiàn)為OC的中點(diǎn)BD沿虛線剪拼可作正三棱柱剪掉的三個(gè)四邊形恰好構(gòu)成上底（ 2）設(shè)正三角形邊長為2，正三棱錐和正三棱柱的底面都是邊長為1 的正三角形，面積為3，棱錐的高為6 棱柱的高為3V錐 V柱22 30 V錐V柱43624（ 3）O 為 ABC 內(nèi)心， D 為 OB 的中點(diǎn) E 為 AO 中點(diǎn)， F 為 OC 的中點(diǎn)，沿虛線剪拼可作正三棱柱，剪掉的三個(gè)四邊形恰好構(gòu)成上底。AFDOEBC關(guān)于用三角形剪拼成直三棱柱還有很多方法。列如A對圖（ 2）有對圖（ 3）有EDD , E, F 分別為中點(diǎn)GO , G 分別為內(nèi)心OCBFDGE , OBF 可拼成平行四邊形， 進(jìn)而拼成矩形作成側(cè)面，其余同理。三個(gè)平行四邊形的高顯然相等。48、若四面體各棱長是1 或 2，且該四面體不是正四面體，則其體積的值是_（只需寫出一個(gè)可能值。）（ 1999 年上海高考題）分析：只有三條棱長為2 或四條棱長為2 或五條棱長為2 三種情況AA222122B1DB2D1112CCv11v141212A2122DB22C11v69、四面體的三對相對棱長相等，分別是34 、41 、5。求這個(gè)四面體的體積，并作以推廣。分析：構(gòu)造長方體使其三側(cè)面對角線長分別為34 ， 41 ，5，其體積為V1(5 4 3) 203推 廣 為 ： 設(shè) 四 面 體 的 三 對