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文檔簡介
1、立體幾何中的探索性問題那洪源一問題的提出( 1)立體幾何中的探索性問題,在 98, 99, 00, 02 年全國高考題以及上海高考題中作為創(chuàng)新題型出現(xiàn)。( 2)這種試題較好地體現(xiàn)考查學(xué)生的思維能力和創(chuàng)新能力。在高考數(shù)學(xué)測量研究與實(shí)踐一書中有這樣一段論述,“這種試題的解答過程,體現(xiàn)了研究性學(xué)習(xí)的發(fā)展性和生成性的特點(diǎn),考查了創(chuàng)新能力和應(yīng)用意識,02 年這道題起到了很好的示范作用,是今后應(yīng)用問題考查的改革方向”。( 3)我個(gè)人觀點(diǎn):在日常學(xué)習(xí)中,解決這類問題能夠培養(yǎng)我們良好的思維品質(zhì)與思維能力,使我們學(xué)會(huì)學(xué)習(xí),學(xué)會(huì)研究。凡新問題的解決(不限于數(shù)學(xué)問題)都有一個(gè)探索的過程,這正是解決問題的關(guān)鍵。那么如
2、何探索呢?本講就從幾個(gè)立體幾何問題著眼,作一點(diǎn)嘗試,供叁考。AD1那么,什么是立體幾何探索性問題呢?先看一個(gè)例題。1C1引例:在直四棱柱 A 1B1C1D 1ABCD 中,B1當(dāng)?shù)酌嫠倪呅蜛BCD 滿足條件 _時(shí),AD有 A 1CB1D1(只填上一個(gè)正確條件即可) ( 98 年高考題)AC BD 或 ABCD 是菱形BC尋求結(jié)論成立的充分條件就是探索性問題。還有條件已知,結(jié)論未知,或結(jié)論不唯一以及結(jié)論不知是否存在,還有部分條件、結(jié)論未知,都被稱為探索性問題。在這里不給出嚴(yán)格定義。下面研究兩類問題。二投影問題1、 在正方體 A 1C 中, E、 F 分別為面 ADD 1A 1 面 BCC 1B
3、1 中心,則四邊形 BFD 1E 在該正方體面上的射影可能是_( 2000 年高考題)D1C1A1B1 FECDAB1234是在上、下底面及前、后側(cè)面是在左、右側(cè)面的投影故選12、正四面體ABCD 中, S 為 AD 的中點(diǎn), Q 為 BC 上異于中點(diǎn)和端點(diǎn)的任意一點(diǎn),則 SQD 在四個(gè)面上的射影不可能是_ASBDABCDQCB 是在 BCD 面上的投影 C 是在 ABC 面上的投影 D 是在 ACD 面上的投影 故選 A 3、一個(gè)不透明的正四面體,被一束垂直于桌面的平行光線照射時(shí),此正四面體在桌面上的射影可能是(把可能的序號都填上)_ABD1234C是 BCD 面與桌面平行時(shí)的投影可構(gòu)造正方
4、體將正四面體 ABCD 沿棱 BC 轉(zhuǎn)動(dòng)在桌面上的投影就出現(xiàn),當(dāng) B 在桌面上, A , C, D 三點(diǎn)都不在桌面上 使 AD , BC 在桌面上的射影平行,而 AB ,CD 在桌面上的射影不平行,就出現(xiàn)故填三構(gòu)造幾何體4、若一個(gè)三棱錐的三個(gè)側(cè)面中有兩個(gè)等腰直角三角形,DABC另一個(gè)是邊長為1 的正三角形,試求滿足上述條件的三棱錐的體積。(2 ,2 ,3 )S241212第一種情況第二種情況第三種情況DSSAABCBCBCASBAB, SCACSA平面 ABCSA平面 ABCSBSCBC1SA ABBC AC1SBABSC ACBC 1V2V3V2241212仔細(xì)觀察第一,第三種情況會(huì)發(fā)現(xiàn)一個(gè)
5、重要的結(jié)論:即兩個(gè)四面體滿足一定條件可以疊放成一個(gè)四面體。25、圖 1 是棱長為 a 的正四面體,圖2 是棱長均為b 的正四棱錐,問a、b 滿足什么條件時(shí),可將兩個(gè)幾何體適當(dāng)疊放構(gòu)成新的幾何體,使面數(shù)最少?是多少?為什么?并求出這個(gè)幾何體的體積。E (A)(C)AEDKHK(D)BCFGH圖2圖1F(B)由上一題啟發(fā),需要考慮相鄰兩個(gè)側(cè)面所成的二面角G正四面體相鄰兩個(gè)面所成的二面角為,則 cos1 ,棱長相等的正四棱錐相鄰3兩個(gè)側(cè)面所成的二面角為,則 cos1 ,所以3故當(dāng) ab 時(shí),疊放成一個(gè)新的幾何體(三棱柱)面數(shù)不增加。(五面體)6、如果一個(gè) F 面體共有 M 個(gè)面是直角三角形,則稱這個(gè)
6、MF 面體的直度為F( 1)、請構(gòu)造一個(gè)直度為3 的四面體。4( 2)、是否存在直度為 1 的四面體?( 3)、若一個(gè) F 面體的直度為 1,棱數(shù)為 E,將 E 表示為 F 的函數(shù)。( 4)、是否存在直度為1 的五面體?A分析( 1)四個(gè)面有三個(gè)是直角三角形另一個(gè)面不是直角三角形,如圖ADBD,ADDC,BDDCDBCA( 2)存在,四個(gè)面都是直角三角形,如圖ADBD,ADDC,BDBCDBC( 3)由一個(gè) F 面體的直度為1,則共有 F 個(gè)直角三角形的面(沒有其它多邊形作為面)又每一條棱均在兩個(gè)面上,每一個(gè)面都有3 條棱,所以 F2E即 E3F32( 4)假設(shè)存在直度為1 的五面體,由(3)
7、可知棱數(shù)E35 矛盾,故不存在。237、給出兩塊相同的正三角形紙片(如圖 1,2),要求用其中一塊剪拼成一個(gè)正三棱錐模型,另一塊拼成一個(gè)正三棱柱模型,使它們的全面積都與原三角形面積相等。圖1圖2圖3( 1)請?jiān)O(shè)計(jì)一種剪拼方法,并做簡要說明。( 2)比較你設(shè)計(jì)的正三棱錐和正三棱柱的體積大小。( 3)如果給出一個(gè)任意三角形紙片,(如圖 3)能否剪拼一個(gè)直三棱柱,使其全面積與原三角形面積相等。作簡要說明。(2002 年高考題)A分析:( 1)對圖( 1) D, E, F 分別為 BC ,AB , AC 的中點(diǎn),A沿虛線剪拼可作正三棱錐。EEF 對圖( 2)O 為 ABC 內(nèi)心, D 為 OB 的中點(diǎn)
8、DOFCBCE為AO 中點(diǎn),F(xiàn)為OC的中點(diǎn)BD沿虛線剪拼可作正三棱柱剪掉的三個(gè)四邊形恰好構(gòu)成上底( 2)設(shè)正三角形邊長為2,正三棱錐和正三棱柱的底面都是邊長為1 的正三角形,面積為3,棱錐的高為6 棱柱的高為3V錐 V柱22 30 V錐V柱43624( 3)O 為 ABC 內(nèi)心, D 為 OB 的中點(diǎn) E 為 AO 中點(diǎn), F 為 OC 的中點(diǎn),沿虛線剪拼可作正三棱柱,剪掉的三個(gè)四邊形恰好構(gòu)成上底。AFDOEBC關(guān)于用三角形剪拼成直三棱柱還有很多方法。列如A對圖( 2)有對圖( 3)有EDD , E, F 分別為中點(diǎn)GO , G 分別為內(nèi)心OCBFDGE , OBF 可拼成平行四邊形, 進(jìn)而拼成矩形作成側(cè)面,其余同理。三個(gè)平行四邊形的高顯然相等。48、若四面體各棱長是1 或 2,且該四面體不是正四面體,則其體積的值是_(只需寫出一個(gè)可能值。)( 1999 年上海高考題)分析:只有三條棱長為2 或四條棱長為2 或五條棱長為2 三種情況AA222122B1DB2D1112CCv11v141212A2122DB22C11v69、四面體的三對相對棱長相等,分別是34 、41 、5。求這個(gè)四面體的體積,并作以推廣。分析:構(gòu)造長方體使其三側(cè)面對角線長分別為34 , 41 ,5,其體積為V1(5 4 3) 203推 廣 為 : 設(shè) 四 面 體 的 三 對
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