高一秋季三角函數(shù)公式強(qiáng)化初稿目標(biāo)班

1、第8講 三角函數(shù) 公式強(qiáng)化三角函數(shù)6級(jí)正弦型函數(shù)的圖象與性質(zhì)滿分晉級(jí) 三角函數(shù)4級(jí)正弦定理與余弦定理三角函數(shù)5級(jí)三角函數(shù)公式強(qiáng)化 我們?cè)谑罴兕A(yù)習(xí)時(shí)只預(yù)習(xí)了必修1的內(nèi)容，沒(méi)有預(yù)習(xí)必修4，但必修4我們有四講預(yù)習(xí)：角的擴(kuò)充與三角函數(shù)的定義、基本關(guān)系與誘導(dǎo)公式、三角函數(shù)的圖象性質(zhì)及簡(jiǎn)單運(yùn)用、向量基本概念與運(yùn)算如果學(xué)生普遍進(jìn)度偏慢，我們會(huì)給老師發(fā)放預(yù)習(xí)講義的隨材這里，我們會(huì)在知識(shí)點(diǎn)睛中配上少量的題，供老師復(fù)習(xí)知識(shí)點(diǎn)8.1三角函數(shù)的定義考點(diǎn)1 任意角與弧度制知識(shí)點(diǎn)睛1角的概念的推廣 角：一條射線繞著端點(diǎn)（頂點(diǎn)）從一個(gè)位置（始邊）旋轉(zhuǎn)到另一個(gè)位置（終邊）所成的圖形 角按其旋轉(zhuǎn)方向可分為：正角（逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)），

2、零角（沒(méi)有旋轉(zhuǎn)），負(fù)角（順時(shí)針旋轉(zhuǎn)） 在直角坐標(biāo)系中討論角：角的頂點(diǎn)在原點(diǎn)，始邊在軸的非負(fù)半軸上， 角的終邊在第幾象限，就說(shuō)這個(gè)角是第幾象限角； 若角的終邊在坐標(biāo)軸上，就說(shuō)這個(gè)角不屬于任何象限 終邊相同的角的集合所有與終邊相同的角構(gòu)成的集合練習(xí)1：1判斷下列角的終邊所在的象限或位置：；2與的角終邊相同，絕對(duì)值最小的角的大小是_3終邊在軸的正半軸上的角的集合為_(kāi)終邊在上的角的集合為_(kāi)【解析】 1第三象限；第二象限；第二象限；軸負(fù)半軸；2； 3；2弧度制和弧度制與角度制的換算 角度制：把圓周等分，其中份所對(duì)的圓心角是度，用度作單位來(lái)度量角的制度叫做角度制 弧度的角：長(zhǎng)度等于半徑長(zhǎng)的圓弧所對(duì)的圓心角

3、叫做弧度的角規(guī)定：正角的弧度數(shù)為正數(shù)，負(fù)角的弧度數(shù)為負(fù)數(shù)，零角的弧度數(shù)為零任一已知角的弧度數(shù)的絕對(duì)值，這種以“弧度”作為單位來(lái)度量角的制度叫做弧度制 弧度與角度的換算：， 在弧度制中，我們需要注意兩點(diǎn)：在同一問(wèn)題中，角度制與弧度制不能混用；例如：終邊與終邊相同的角的集合不能寫(xiě)成； 弧度制下角可以與實(shí)數(shù)可以建立一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系，所以弧度制表示的角的范圍可以用區(qū)間表示，如，但角度制表示的角的范圍一般不用區(qū)間表示，即不用表示，因?yàn)閰^(qū)間表示的是數(shù)集，但角度數(shù)不是實(shí)數(shù)練習(xí)2：1將下列角度與弧度互化：2判斷下列角對(duì)應(yīng)的象限：【解析】 1；2二、三、四、三、一、二、二、三、四、四備注：要確定角的終邊所在位置，

4、對(duì)于角度制學(xué)生比較熟悉，對(duì)于由弧度制給出的角，學(xué)生通常是選轉(zhuǎn)化成角度制，再進(jìn)行判斷的如：1，第一象限；，第二象限；，在第三象限；這時(shí)可以引導(dǎo)學(xué)生建立實(shí)數(shù)直接對(duì)應(yīng)角的概念，直接通過(guò)弧度去判斷角所在象限，如下圖，我們把坐標(biāo)軸對(duì)應(yīng)的角的弧度數(shù)直接標(biāo)明，再通過(guò)所給角與坐標(biāo)軸表示的角比大小即可確定 考慮到扇形中的計(jì)算公式難度不大，應(yīng)用面也不廣，我們?cè)谕綍r(shí)略去不再講解經(jīng)典精講 我們從初中的到的角擴(kuò)充到任意角，有些在初中正確的說(shuō)法在高中不再正確，例1考查任意角的相關(guān)概念，例1考查終邊相同的角的集合的寫(xiě)法終邊在同一射線上的角相差的整數(shù)倍，終邊在同一直線上的角相差的整數(shù)倍【例1】 下列命題正確的是 終邊相同的

5、角必相等；小于的角是銳角；銳角都是第一象限的角；三角形的內(nèi)角一定是第一象限或第二象限的角；終邊在同一直線上的角相差（目標(biāo)班專用）填空：角終邊經(jīng)過(guò)點(diǎn)， 終邊與終邊互為反向延長(zhǎng)線的角的集合是_； 終邊與的終邊在同一直線上的角的集合是_； 終邊與的終邊垂直的角的集合是_相差；還有負(fù)角與零角；直角位于軸正半軸 【拓展】終邊與終邊垂直的角的集合為終邊與終邊關(guān)于軸對(duì)稱的角的集合為終邊與終邊關(guān)于對(duì)稱的角的集合為 確定角的終邊所在的象限對(duì)于后面的誘導(dǎo)公式的符號(hào)的確定非常重要，例2可以從角的旋轉(zhuǎn)與終邊對(duì)稱的角度出發(fā)去思考兩個(gè)角的和為定值的，關(guān)于和的一半所對(duì)應(yīng)的角的終邊所在的直線對(duì)稱，如與關(guān)于的終邊所在的直線即軸

6、對(duì)稱，而與關(guān)于軸對(duì)稱另一方面可以理解成的終邊逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)個(gè)角度，如果是第象限的角，則是第象限的角（時(shí)對(duì)稱第一象限），同理在第象限（時(shí)對(duì)應(yīng)第四象限）【例2】 （目標(biāo)班專用）若是第二象限角，確定下列角的終邊所在的象限：若是銳角，那么是（ ）A第一象限角 B第二象限角C第一或第二象限角 D小于的正角若是第一象限角，則，是第幾象限角？【解析】 三、一、四、四、一、三、四、一、二 D因?yàn)?，所以注意學(xué)生容易錯(cuò)選C 是第一或第三象限角；是第一、第二或第三象限角是第一象限角，故，從而，當(dāng)時(shí)，是第一象限角；當(dāng)時(shí)，是第三象限角；同理有，當(dāng)時(shí)，在第一象限；當(dāng)時(shí)，在第二象限；當(dāng)時(shí)，在第三象限幾何法也可以解決此類問(wèn)題將單

7、位圓在第一象限的圓弧分成兩等份，（是的分母），再將第二、三、四象限的圓弧等分，逆時(shí)針依次標(biāo)上、，再循環(huán)一遍，直到填滿為止，則有標(biāo)號(hào)的（指的是所在的象限）就是所在的象限如圖所示：在第一、三象限其實(shí)，把一個(gè)角除以之后，原來(lái)在四個(gè)象限中的角就分別對(duì)應(yīng)到在的四塊區(qū)域中，因?yàn)樵瓉?lái)的角相差終邊相同，故對(duì)應(yīng)的區(qū)域有兩塊同理，將單位圓在第一象限的圓弧分成三等份，（是的分母）再將第二、三、四象限的圓弧等分，逆時(shí)針依次標(biāo)上、，再循環(huán)一遍，直到填滿為止，則有標(biāo)號(hào)的（指的是所在的象限）就是所在的象限如圖所示：在第一、二、三象限考點(diǎn)2：三角函數(shù)的定義知識(shí)點(diǎn)睛1三角函數(shù)定義在直角坐標(biāo)系中，設(shè)是一個(gè)任意角，終邊上任意一點(diǎn)（

8、除了原點(diǎn)）的坐標(biāo)為，它與原點(diǎn)的距離為，那么 比值叫做的正弦，記作，即； 比值叫做的余弦，記作，即； 比值叫做的正切，記作，即 除了這三個(gè)常用的三角函數(shù)外，還有另外三個(gè)三角函數(shù)：余切（）、正割（）、余割（），它們的定義分別為：，（），它們的符號(hào)分別與正切、余弦與正弦的符號(hào)相同2三角函數(shù)的符號(hào)由三角函數(shù)的定義，以及各象限內(nèi)點(diǎn)的坐標(biāo)的符號(hào)，我們可以得知（如下表）： 正弦值對(duì)于第一、二象限為正（），對(duì)于第三、四象限為負(fù)（）； 余弦值對(duì)于第一、四象限為正（），對(duì)于第二、三象限為負(fù)（）； 正切值對(duì)于第一、三象限為正（同號(hào)），對(duì)于第二、四象限為負(fù)（異號(hào)）三角函數(shù)的符號(hào)有很多記憶的口訣，可以介紹并用來(lái)活躍一下

9、課堂氣氛如： 一全正、二正弦、三兩切（或三正切）、四余弦；是從哪個(gè)象限的三角函數(shù)名為正出發(fā)的； 七言絕句的一句：塞（S）上靠（C）右探（T）對(duì)角（上面兩個(gè)象限為正，右邊兩個(gè)象限為正，對(duì)角兩個(gè)象限為正）； 還有人總結(jié)成一個(gè)字“才”，按筆畫(huà)順序分別對(duì)應(yīng)：一橫對(duì)應(yīng)正弦，一豎對(duì)應(yīng)余弦，一撇對(duì)應(yīng)正切三角函數(shù)的符號(hào)從定義非常容易得到，但需要通過(guò)練習(xí)熟悉掌握，本講很多內(nèi)容都屬于基本功范疇，如特殊角的弧度數(shù)與三角函數(shù)值，需要深入骨髓，非常非常熟練才行 三角函數(shù)的定義是在初中的銳角三角函數(shù)定義基礎(chǔ)上的推廣，與初中的定義是融洽的初中正弦的定義是對(duì)邊比斜邊，余弦的定義是鄰邊比斜邊，正切的定義是對(duì)邊對(duì)鄰邊，是在直角三

10、角形中解決的，而現(xiàn)在定義的三角函數(shù)值對(duì)于象限角來(lái)說(shuō)仍然可以借助于直角三角形，再加上符號(hào)但如果終邊落在坐標(biāo)軸上，那么就只能用定義求出三角函數(shù)值，對(duì)這類角的三角函數(shù)值學(xué)生會(huì)有個(gè)熟悉過(guò)程，可以通過(guò)下面的練習(xí)3讓學(xué)生練習(xí)一下練習(xí)3：求下列特殊角的三角函數(shù)值：經(jīng)典精講【鋪墊】 已知角的終邊經(jīng)過(guò)點(diǎn)，那么 ； ； 若，且角的終邊經(jīng)過(guò)點(diǎn)，則是第 象限角， ， ， 四， ，依題意有 ，解得所以，【例3】 已知角終邊上一點(diǎn)到軸的距離與到軸的距離比為，求的值已知角的終邊是射線，求與的值（目標(biāo)班專用）角的頂點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，終邊在直線上，且，若是終邊上的一點(diǎn)，且，求的值【解析】 由已知可得，設(shè)或或或，則，或或或 在終邊上

11、取一點(diǎn)，則， 角終邊在直線上，且【例4】 已知點(diǎn)在第三象限，則角在（）A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限若三角形兩內(nèi)角滿足，則此三角形為（ ）A銳角B鈍角 C直角 D不確定若，下列函數(shù)值中為負(fù)的是( )A B C D的值（ ）A小于 B大于 C等于 D不存在（目標(biāo)班專用）設(shè)是第二象限角，則點(diǎn)在（ ）A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限（目標(biāo)班專用）若，則的值（ ）A小于 B大于 C等于 D不確定，與有關(guān)【解析】 B 依題意，且是三角形的內(nèi)角，即，為鈍角. D為第二象限角，為第四象限角，為第一象限角，為第四象限角故只有選項(xiàng)D， B B是第二象限角，角在第四象限內(nèi)故，所以點(diǎn)在

12、第二象限 D；異號(hào)為第二或第四象限角若是第二象限角，則，又由正余弦函數(shù)的定義知故，將它看成一個(gè)弧度數(shù)，為第四象限角，從而；同理，為第一象限角，故所以，當(dāng)是第二象限角時(shí)，若是第四象限角，類似討論得考點(diǎn)（目標(biāo)班專用）：三角函數(shù)的定義的進(jìn)一步挖掘 從三角函數(shù)的定義中可以得到一些代數(shù)關(guān)系，包括三角函數(shù)的有界性、不同范圍的角的正弦值與余弦值的大小關(guān)系、包括后面的同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式這些內(nèi)容在講完三角函數(shù)的圖象時(shí)，會(huì)從圖象角度去理解，現(xiàn)在也可以從單純的三角函數(shù)定義的角度去思考此考點(diǎn)僅限目標(biāo)班，結(jié)合三角函數(shù)的定義與特殊角的三角函數(shù)值，提出與的有界性，即，緊接著是后面的目標(biāo)班的專用版塊單位圓的三角函數(shù)線，

13、利用三角函數(shù)線能更直觀的解決更多與三角函數(shù)相關(guān)的不等式問(wèn)題對(duì)于尖子班，這些內(nèi)容會(huì)等到下一講正弦函數(shù)與余弦函數(shù)的圖象時(shí)再提出【例5】 函數(shù)的定義域是（）A BC D若方程有實(shí)根，求角的所有可能的取值【解析】 B定義域需滿足且，再結(jié)合定義可得到的取值范圍 一元二次方程有實(shí)根，即，而，則，角 的終邊在軸上即所求角的集合為【拓展】已知為銳角，用三角函數(shù)的定義證明：【解析】 在角的終邊上任取一點(diǎn)（異于原點(diǎn)），則，為銳角，單位圓與三角函數(shù)線考點(diǎn)（目標(biāo)班專用）：三角函數(shù)線知識(shí)點(diǎn)睛1 單位圓：一般地，我們把半徑為的圓叫做單位圓 如下圖，角的終邊與單位圓交于點(diǎn)過(guò)作軸的垂線，垂足為過(guò)點(diǎn)作單位圓的切線，它與角的終邊

14、或其反向延長(zhǎng)線交于點(diǎn)根據(jù)三角函數(shù)的定義，我們有：；坐標(biāo)軸是規(guī)定了方向的直線，直角坐標(biāo)系內(nèi)的點(diǎn)的坐標(biāo)與坐標(biāo)軸的方向有關(guān)因此一個(gè)自然的想法就是以坐標(biāo)軸的方向來(lái)規(guī)定線段的方向，以使它們的取值與點(diǎn)的坐標(biāo)聯(lián)系起來(lái)當(dāng)角的終邊不在坐標(biāo)軸上時(shí)，以為始點(diǎn)，為終點(diǎn)，規(guī)定：當(dāng)線段與軸同向時(shí)，的方向?yàn)檎?，且有正值；?dāng)線段與軸反向時(shí)，的方向?yàn)樨?fù)，且有負(fù)值其中為點(diǎn)的橫坐標(biāo)所以無(wú)論哪一種情況都有同理，可以得到，無(wú)論哪一種情況都有；有向線段：像，這種被看作帶有方向的線段叫做有向線段規(guī)定：與坐標(biāo)軸方向一致時(shí)為正，與坐標(biāo)方向相反時(shí)為負(fù)2與單位圓有關(guān)的有向線段，分別叫做角的正弦線、余弦線、正切線統(tǒng)稱為三角函數(shù)線 三條有向線段的位置

15、：正弦線為的終邊與單位圓的交點(diǎn)到軸的垂直線段；余弦線在軸上；正切線在過(guò)單位圓與軸正方向的交點(diǎn)的切線上，三條有向線段中兩條在單位圓內(nèi)，一條在單位圓外 三條有向線段的方向：正弦線由垂足指向的終邊與單位圓的交點(diǎn)；余弦線由原點(diǎn)指向垂足；正切線由切點(diǎn)指向與的終邊的交點(diǎn) 三條有向線段的書(shū)寫(xiě)：有向線段的起點(diǎn)字母在前，終點(diǎn)字母在后利用三角函數(shù)線就可以解決一些與三角不等式相關(guān)的問(wèn)題：練習(xí)：在單位圓中，利用三角函數(shù)線求出滿足的角的范圍在單位圓中，利用三角函數(shù)線求出滿足的角的范圍【解析】 如圖所示，如圖所示，經(jīng)典精講【鋪墊】已知，試證明：【解析】 作出單位圓如圖，所以又，所以因此【例6】 已知為銳角，求證：若，求使

16、成立的的取值范圍【解析】 如圖，設(shè)角的終邊與單位圓相交于點(diǎn)，過(guò)作軸，軸，為垂足，連結(jié)，在中，而,即，故 由三角函數(shù)定義結(jié)合三角函數(shù)線，在內(nèi)，使成立的的取值范圍是 【點(diǎn)評(píng)】 可根據(jù)三角函數(shù)線快速寫(xiě)出正余弦大小關(guān)系所對(duì)應(yīng)的角的終邊范圍，從而寫(xiě)出角的范圍【拓展】以下命題正確的是（ ）A是第一象限角，若，則B是第二象限角，若，則C是第三象限角，若，則D是第四象限角，若，則【解析】 D如圖，設(shè)是角的終邊與單位圓的交點(diǎn)，過(guò)分別作軸的垂線則分別為二角的正弦線，分別為余弦線由于在第一象限，所以余弦線越長(zhǎng)角的余弦值越大，從而為的終邊，為的終邊，顯然，故A不正確同理可知，錯(cuò)，正確【拓展】均屬于區(qū)間，且滿足，則（

17、）A B C D【解析】 C對(duì)于任意，如圖，在單位圓中，的長(zhǎng)度為，而，即，結(jié)合三角函數(shù)圖象，可知，對(duì)任意，有，若，即，由于都屬于，則，則有，矛盾！從而即，即，若，即，則，所以，即，所以，從而有8.2同角三角函數(shù)基本關(guān)系與誘導(dǎo)公式考點(diǎn)3：同角三角函數(shù)基本關(guān)系知識(shí)點(diǎn)睛 同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式解決的是同角問(wèn)題，揭示的是同一個(gè)角的正弦、余弦與正切之間的關(guān)系，這三個(gè)關(guān)系式有以下幾個(gè)應(yīng)用： 基本應(yīng)用：知一求二，可以通過(guò)構(gòu)造直角三角形求值，同時(shí)注意三角函數(shù)值的符號(hào)；例：設(shè)是第二象限角，則_ ;_設(shè)是第四象限角，則_ ;_答案：、；可以構(gòu)造一個(gè)的直角三角形，再判斷符號(hào)；、；可以構(gòu)造一個(gè)的直角三角形，再判斷符

18、號(hào) 變形應(yīng)用一：由得：在符號(hào)確定的情況下，可以知一求二進(jìn)而求出的值例：已知，則 ; 答案：； 變形應(yīng)用二：在已知的情況下，可以直接處理關(guān)于與的齊次分式（所謂齊次分式是指分子與分母的所有單項(xiàng)式次數(shù)都相同）例：已知，則_；_ 分析：前者是一次齊次分式，分子分母同時(shí)除以；后者是二次齊次分式，分子分母同時(shí)除以，都可以轉(zhuǎn)化成只關(guān)于的式子也有人將的式子代入，將分子轉(zhuǎn)化成只含或的式子答案：，； 注意“”的變形使用：可用于配平方式與齊次式轉(zhuǎn)化 后面三角恒等變換中還會(huì)學(xué)習(xí)更多的關(guān)于的轉(zhuǎn)化例： ，則( )ABCD已知，則_答案：，故，A正確； 如果把另外三個(gè)三角函數(shù)，加進(jìn)來(lái)，還會(huì)有一些其它的公式：經(jīng)典精講【例7】

19、 _；若，則( )ABCD (目標(biāo)班專用)（ ）A B C D已知，求下列各式的值上式；，即，故A正確； B當(dāng)時(shí)，原式當(dāng)時(shí)，原式原式原式原式.【拓展】若，則的值為( )A. B C D【解析】 A由已知得： ，即,所以. 【拓展】 已知，則_ 若，則（ ）AB C D B因?yàn)椋?，即所以考點(diǎn)4：誘導(dǎo)公式知識(shí)點(diǎn)睛我們?nèi)绾螌⒁粋€(gè)非常大或者非常小的角轉(zhuǎn)化成一個(gè)我們熟悉的，最好是范圍內(nèi)的角，這是我們誘導(dǎo)公式要解決的問(wèn)題 整圈不變，即相差的整數(shù)倍三角函數(shù)值不變，即公式一，這樣一個(gè)角可以轉(zhuǎn)化到上； 對(duì)弦來(lái)說(shuō)半圈改變，即相差的奇數(shù)倍，弦的值變成相反數(shù)，正切不變，于是轉(zhuǎn)化到上； 然后我們想到上的角轉(zhuǎn)化到上，

20、終邊關(guān)于軸對(duì)稱的兩個(gè)角，正弦值相等，余弦與正切值都變?yōu)橄喾磾?shù)；其實(shí)通過(guò)所有的角都可以轉(zhuǎn)化成內(nèi)的角了為了讓有些轉(zhuǎn)化更直接，我們還可以考慮： 終邊考慮關(guān)于軸對(duì)稱的兩個(gè)角，余弦值相等，正弦與正切值變成相反數(shù)，這在后面會(huì)對(duì)應(yīng)函數(shù)的奇偶性； 當(dāng)兩個(gè)角的終邊關(guān)于對(duì)稱時(shí)，兩個(gè)角的正弦與余弦值互換，即公式五，由于不講余切，所以這個(gè)公式只針對(duì)正弦與余弦，否則對(duì)正切與余切也有同樣的關(guān)系課本的誘導(dǎo)公式還有一組的，這組公式很容易由上面的公式得到，所以不再作為一組公式 誘導(dǎo)公式的推導(dǎo)可以從點(diǎn)的對(duì)稱得到：如圖，若角的終邊與單位圓的交點(diǎn)為，則，根據(jù)圓的對(duì)稱性，有如下結(jié)論： 的終邊與角的終邊關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，與單位圓的交點(diǎn)為；的

21、終邊與角的終邊關(guān)于軸對(duì)稱，與單位圓的交點(diǎn)為； 的終邊與角的終邊關(guān)于軸對(duì)稱，與單位圓的交點(diǎn)為； 的終邊與角的終邊關(guān)于直線軸對(duì)稱，與單位圓的交點(diǎn)為 公式一：終邊相同的角的同一三角函數(shù)的值相等 公式二：角與的三角函數(shù)間的關(guān)系 公式三：角與的三角函數(shù)間的關(guān)系 公式四：角與的三角函數(shù)間的關(guān)系 公式五：角與的三角函數(shù)間的關(guān)系 誘導(dǎo)公式有統(tǒng)一的記憶方法：“奇變偶不變，符號(hào)看象限”奇變偶不變指的是對(duì)于任意三角函數(shù)，以為例，若為偶數(shù)，則函數(shù)名不改變?nèi)魹槠鏀?shù)，則函數(shù)名改變成余弦；符號(hào)看象限是指，假定為第一象限內(nèi)的角，根據(jù)的正負(fù)判斷變換后的三角函數(shù)的符號(hào)，所以主要是看所在的象限如：，偶不變，值與同，是第一象限角時(shí)，在第三象限，于是為