量子力學(xué)習(xí)題解答-第3章

1、第三章形式理論本章主要內(nèi)容概要：1. 力學(xué)量算符與其本征函數(shù) 量子力學(xué)中力學(xué)量（可觀測量）用厄米算符表示，厄米算符滿足 或者用狄拉克符號(hào)，其中為任意滿足平方可積條件的函數(shù)（在，為零）。厄米算符具有實(shí)本征值的本征函數(shù)（系），具有不同本征值的本征函數(shù)相互正交，若本征值為分離譜，本征函數(shù)可歸一化，是物理上可實(shí)現(xiàn)的態(tài)。若本征值為連續(xù)譜，本征函數(shù)可歸一化為函數(shù)，這種本征函數(shù)不是物理上可實(shí)現(xiàn)的態(tài)，但是它們的疊加可以是物理上可實(shí)現(xiàn)的態(tài)。一組相互對(duì)易的厄米算符有共同的本征函數(shù)系。而兩個(gè)不對(duì)易的厄米算符沒有共同的本征函數(shù)系，它們稱為不相容力學(xué)量。對(duì)任意態(tài)測量不相容力學(xué)量，不可能同時(shí)得到確定值，它們的標(biāo)準(zhǔn)差滿足不

2、確定原理 2. 廣義統(tǒng)計(jì)詮釋 設(shè)力學(xué)量具有分離譜的正交歸一本征函數(shù)系本征值為，即 或 這個(gè)本征函數(shù)系是完備的，即（恒等算符，封閉型），任意一個(gè)波函數(shù)可以用這個(gè)本征函數(shù)系展開 或展開系數(shù)為 若是歸一化的，也是歸一化的，。廣義統(tǒng)計(jì)詮釋指出，對(duì)態(tài)測量力學(xué)量，得到的可能結(jié)果必是本征值中的一個(gè)，得到幾率為。對(duì)系綜測量力學(xué)量（具有大量相同態(tài)系綜中的每一個(gè)進(jìn)行測量）所得的平均值（期待值）為 這與用計(jì)算方法等價(jià)。 如果力學(xué)量具有連續(xù)譜的本征函數(shù)系 任意一個(gè)波函數(shù)可以用這個(gè)本征函數(shù)系展開為 或由于連續(xù)變化的，展開系數(shù)是的函數(shù)可以表示為，其歸一化表示為。廣義統(tǒng)計(jì)詮釋指出，對(duì)態(tài)測量力學(xué)量，得到結(jié)果處于到之間的幾率為

3、，即是幾率密度。3.表象理論 對(duì)任意一個(gè)物理態(tài)可以用一個(gè)力學(xué)量的本征態(tài)展開，比如若用坐標(biāo)的本征態(tài)（連續(xù)譜） ， 則展開系數(shù)稱為坐標(biāo)表象的波函數(shù)。我們可在坐標(biāo)表象用波函數(shù)來研究這個(gè)態(tài)。若用動(dòng)量的本征態(tài)，則有 展開系數(shù)稱為動(dòng)量表象的波函數(shù)，我們可在動(dòng)量表象用波函數(shù)來研究這個(gè)態(tài)。的性質(zhì)都是唯一確定的，無論用什么表象研究都是一樣的。當(dāng)力學(xué)量的本征態(tài)為分立譜時(shí)， 在表象中，可以方便的用矩陣形式來表示各種量子力學(xué)的公式。這個(gè)表象的波函數(shù)（展開系數(shù)可表示為一列矩陣，算符表示為一個(gè)方矩陣 波函數(shù)的歸一化表示為的平均值表示為 的本征方程表示為 解久期方程 可以得到本征值，把某一個(gè)本征值代入本征方程可以的到對(duì)應(yīng)這

4、個(gè)本征值的本征函數(shù)。習(xí)題3.1：（a） 證明，全體平方可積函數(shù)構(gòu)成一個(gè)矢量空間（參考A.1節(jié)中的定義）。提示：要點(diǎn)是證明兩個(gè)平方可積函數(shù)之和也是平方可積的，利用3.7式。全體可歸一化的函數(shù)構(gòu)成一個(gè)矢量空間嗎？（b） 證明3.6式中的積分滿足內(nèi)積條件（A.2節(jié)）。證明：（a）我們需要證明兩個(gè)平方可積函數(shù)之和也是平方可積的。設(shè)為為區(qū)域上的任意兩個(gè)平方可積函數(shù)，即。設(shè) 則有，其中。由Schwarz不等式，若皆平方可積，則。因此，。即也是平方可積函數(shù)，因此特定區(qū)域上的全體平方可積函數(shù)構(gòu)成矢量空間。很容易證明全體可歸一化函數(shù)不構(gòu)成一個(gè)矢量空間：設(shè)為任一可歸一化函數(shù)，由于亦是可歸一化函數(shù)，但不可歸一化，另

5、外，但是，也不是歸一化的，因此全體可歸一化函數(shù)不構(gòu)成一個(gè)矢量空間。（b） 對(duì)于不同的條件有不同的矢量內(nèi)積定義，本題所指是通常意義下的線性空間兩矢量內(nèi)積，即內(nèi)積滿足如下條件：1. ；2. ；3. ；4. 是實(shí)數(shù)，且，僅當(dāng)?shù)忍?hào)成立。由3.6式定義的內(nèi)積 可驗(yàn)證： 1. 2. 3. 4. ，為實(shí)數(shù)，等號(hào)僅當(dāng)成立。所以關(guān)于內(nèi)積的四個(gè)條件都成立。習(xí)題3.2：（a） 范圍取什么值時(shí)，函數(shù)（）是在希爾伯特空間中？假設(shè)是實(shí)數(shù)，但不必是正數(shù)。（b） 對(duì)于特定情況，在希爾伯特空間嗎？呢？呢？解：（a），由于為實(shí)數(shù)，因此顯然（1）時(shí)，；（2）時(shí)，；（3）時(shí)，。綜上知，若要使處于Hilbert空間中，必有即。（b）由

6、（a）知，處于Hilbert空間中的條件為，所以當(dāng)時(shí)， ，因此，、在Hilbert空間中，不在。*習(xí)題3.3 證明如果對(duì)于所有（希爾伯特空間中）的函數(shù)都有 ，那么，對(duì)于所有的和就有（即，兩種對(duì)于厄密算符的定義等式3.16和3.17是等價(jià)的）。提示：首先設(shè)，然后令。證明：若對(duì)于Hilbert空間中任意函數(shù)，都有，設(shè)，其中是一任意常數(shù)（復(fù)數(shù)）我們有上式對(duì)任意常數(shù)都成立， 分別取，有 兩式相加得到所要結(jié)果 。習(xí)題3.4（a） 證明兩個(gè)厄密算符之和仍為厄密算符。（b） 假設(shè)是厄密的，是一個(gè)復(fù)數(shù)。在什么條件下（的）也是厄密的？（c） 在什么條件下兩個(gè)厄密算符的積也是厄密的？ （d） 證明坐標(biāo)算符（）和哈

7、密頓算符（）是厄密算符。證明：（a）設(shè)是兩個(gè)厄密算符，則對(duì)任意函數(shù)有，又，故仍是厄密算符。（b）兩式相等， 必須為實(shí)數(shù)。所以當(dāng)為實(shí)數(shù)時(shí)也是厄密的。（c）設(shè)是厄密算符，則有 如果是厄米的，必須有 即，即兩厄密算符在對(duì)易的條件下，其積才是厄密的。（d）證：，中間兩步利用了在時(shí)，以及勢能是實(shí)函數(shù)的條件。所以我們有， 即都為厄密算符。習(xí)題3.5 算符的厄密共軛算符（伴算符）是算符，有 （對(duì)所有的和）. （所以一個(gè)厄密算符與它的厄密共軛算符相等：。）（a）給出，和的厄密共軛算符。（b）構(gòu)建諧振子的升階算符（等式2.47）的厄密共軛算符。（c）證明。解：（a）由上題知，為厄密算符，所以。由于，所以。所以。

8、（b），是厄米算符，（與任何算符都是對(duì)易的），所以 （c）設(shè)，為任意函數(shù)，則，又，與上式比較知。（注意算符的次序變化）推廣 習(xí)題3.6考慮算符，其中是極坐標(biāo)中的方位角（同例3.1），并且函數(shù)同樣遵從3.26式。是厄密算符嗎？求出它的本征函數(shù)和本征值。的譜是什么？這個(gè)譜是簡并嗎？解： ，所以是厄密算符。以上證明中利用了周期條件，。的本征方程為，解為 由周期性條件，得到或者因此本征值為 給定一個(gè)，有兩個(gè)本征函數(shù)（）它們的本征值一樣，所以是二重簡并的（除外）。如果讓取負(fù)值，本征函數(shù)可以表示為 習(xí)題3.7（a） 假設(shè)和是算符的兩個(gè)具有相同的本征值的本征函數(shù)。證明任何和 的線性迭加也是與具有相同本征值的

9、本征函數(shù)。（b） 驗(yàn)證與是算符具有相同的本征值的兩個(gè)本征 函數(shù)。構(gòu)造兩個(gè)的和的線性的組合，使它們在（-1，1）范圍內(nèi)是正交的。（a）證：依題意有。設(shè)，其中為任意常數(shù)（復(fù)數(shù)），則有。（b）。因此，是算符屬于本征值1的兩個(gè)本征函數(shù)?？捎蓪?duì)稱化和反對(duì)稱化來構(gòu)造正交的本征函數(shù) 顯然它們是正交的，因?yàn)橐粋€(gè)是偶函數(shù)，一個(gè)是奇函數(shù)。習(xí)題3.8（a） 驗(yàn)證例題3.1中厄密算符的本征值是實(shí)數(shù)。證明（具有不同本征值的）本征函數(shù)是正交的。（b） 對(duì)習(xí)題3.6中的算符做同樣的驗(yàn)證。解：（a）例題3.1中的厄密算符和本征函數(shù)為 本征值（分立譜）顯然本征值是實(shí)數(shù)。對(duì)任意兩個(gè)本征函數(shù) 有（b）題3.6中的算符和本征函數(shù)為

10、本征值為（二重簡并），顯然本征值為實(shí)數(shù)。 所以算符具有不同本征值的本征函數(shù)是正交的。（在情況下，兩個(gè)態(tài)的本征值一樣，但是它們也是正交的）習(xí)題3.9(a)從第二章中列舉一個(gè)僅具有分立譜線的哈密頓（諧振子除外）。(b)從第二章中列舉一個(gè)僅具有連續(xù)譜的哈密頓（自由粒子除外）。(c)從第二章中列舉一個(gè)既具有分立譜又具有連續(xù)譜的哈密頓（有限深方勢阱除外）。解：易知（a）（b）（c）的答案分別為：無限深方勢阱，函數(shù)勢壘，函數(shù)勢阱。習(xí)題3.10 無限深方勢阱的基態(tài)是動(dòng)量的本征函數(shù)嗎？如果是，它的動(dòng)量是什么？如果不是，為什么不是？解：無限深方勢阱的基態(tài)為，動(dòng)量算符，由于，由于 所以不是動(dòng)量的本征函數(shù)。（對(duì)無限

11、深方勢阱的能量本征函數(shù)，它是向右傳播的平面波和向左傳播的平面波的疊加，兩個(gè)波的動(dòng)量數(shù)值一樣（），但是符號(hào)相反，所以不是動(dòng)量的本征函數(shù)，但是動(dòng)量平方算符的本征函數(shù)。）習(xí)題3.11 對(duì)諧振子的基態(tài)，求出其動(dòng)量空間的波函數(shù)。測量該狀態(tài)的動(dòng)量，發(fā)現(xiàn)其結(jié)果處于經(jīng)典范圍（具有相同能量）之外的幾率是多大（精確到兩位數(shù)）？提示：數(shù)值計(jì)算部分可查閱數(shù)學(xué)手冊中“正態(tài)分布”或“誤差函數(shù)”部分，或者使用Mathematic軟件。解：諧振子基態(tài)在坐標(biāo)空間中的波函數(shù),則動(dòng)量空間的波函數(shù)為，經(jīng)典范圍為 所以發(fā)現(xiàn)粒子動(dòng)量在經(jīng)典動(dòng)量以外的幾率為 令 查正態(tài)分布表 所以 習(xí)題3.12 證明 提示：注意到。則，在動(dòng)量空間，坐標(biāo)算符

12、則可表示為。更普遍的有 原則上，可以像在坐標(biāo)空間一樣在動(dòng)量空間進(jìn)行所有的計(jì)算（當(dāng)然并不總是很簡便）。證明：由我們有 *習(xí)題3.13(a) 證明下列的對(duì)易關(guān)系等式： (b) 證明 (c）對(duì)任意函數(shù)，更一般的證明 證明：（a）可知左邊，右邊，左邊右邊，故有。（b）利用數(shù)學(xué)歸納法證明：（1）時(shí)，有，顯然成立。（2）假設(shè)時(shí)成立，即有。（3）時(shí)，有，利用（a）中結(jié)論，則有因?yàn)?，所以。即時(shí)也成立。所以。（c）取任意波函數(shù)，則有，由于是任意函數(shù)，所以有。*習(xí)題3.14 證明著名的 “（名副其實(shí)的）不確定原理”聯(lián)系著坐標(biāo)（）的不確定性和能量（）的不確定性： 對(duì)于定態(tài)這個(gè)并不能告訴你更多¾為什么？證：

13、由兩個(gè)算符之間的不確定關(guān)系，對(duì)坐標(biāo)和哈密頓算符有，由于，所以有。對(duì)于定態(tài)，我們已經(jīng)知道（能量有確定值），。上式顯然成立，因此我們無法從中再獲取新的信息。習(xí)題3.15 證明兩個(gè)非對(duì)易算符不能擁有共同的完備本征函數(shù)系.提示：證明如果和擁有共同的完備本征函數(shù)系,則對(duì)于希耳伯特空間的任意函數(shù)有.證明:假設(shè)和（即：是和的共同本征方程），并且函數(shù)集是完備的，因此任意（Hilbert空間中的）函數(shù)都能表示成線性疊加 ，那么有因?yàn)樯鲜綄?duì)任意的都成立，所以得到，這顯然與所給條件矛盾，所以兩個(gè)非對(duì)易算符不能具有共同的完備本征函數(shù)系。習(xí)題3.16 求3.67式所給方程 的解。注意和都是實(shí)常數(shù)。解: 習(xí)題 3.17

14、在下面的具體例子中應(yīng)用公式：（a）=1；（b）；（c）；（d）。在每種情況下，解釋結(jié)果，特別是參考公式1.27，1.33，1.38和能量守恒（2.39式后的評(píng)注）。解：（a）上式表明波函數(shù)的歸一化不隨時(shí)間改變.（b）當(dāng)中不顯含時(shí)間時(shí)得到: 此即能量守恒.(c) (d) 這就是Ehrenfest定理， 量子力學(xué)中的牛頓運(yùn)動(dòng)方程。習(xí)題3.18對(duì)習(xí)題2.5中的波函數(shù)和可觀測量通過計(jì)算和來驗(yàn)證能量-時(shí)間不確定原理。解： 習(xí)題2.5中的一維無限深勢阱（）的定態(tài)疊加波函數(shù)為 , 而 由習(xí)題2.4知 所以從習(xí)題2.5知所以能量時(shí)間不確定原理(3.72式)給出 估算一下兩邊大小 ; 顯然滿足能量時(shí)間不確定原理

15、。習(xí)題3.19對(duì)習(xí)題2.43中的自由粒子波包和力學(xué)量通過計(jì)算和來驗(yàn)證能量-時(shí)間不確定原理。解：由習(xí)題2.43，對(duì)題給的自由粒子波包，我們有 ， 為了得到我們需要計(jì)算。對(duì)自由粒子， 所以其中由習(xí)題2.43所以 所以題給的自由粒子波包滿足能量時(shí)間不確定原理。習(xí)題3.20 證明當(dāng)問題中的可觀測量為時(shí)，能量-時(shí)間不確定原理還原為“名副其實(shí)”的不確定原理（習(xí)題3.14）。證：當(dāng) 時(shí)，能量-時(shí)間不確定原理為，但是 ,所以 ，再由得到“名副其實(shí)”的不確定原理，習(xí)題3.21 證明投影算符是等冪的：。求出本征值，描述它的本征矢量。證：設(shè)任意態(tài)矢量，有所以 注意: 說兩個(gè)算符相等是指這兩個(gè)算符對(duì)于任意矢量作用結(jié)果

16、相同如果是的屬于本征值的本征矢量,那么有， 所以 因此的本征值是， 任何一個(gè)含有態(tài)的矢量是的屬于本征值1的本征矢，任何與正交的本征矢是的屬于本征值0的本征矢。習(xí)題3.22 考慮由正交歸一基，張成的三維矢量空間。右矢和由下式給定，。（a） 給出和（以對(duì)偶基表示的）。（b） 求出和并證實(shí)。（c） 在這個(gè)基中，求出算符里的9個(gè)矩陣元，并寫出矩陣。它是厄密矩陣么？解：（a） ; （b） （c） 顯然它不是厄密矩陣。習(xí)題3.23一個(gè)兩-能級(jí)體系的哈密頓為：，這里，是正交歸一基，是量綱為能量的一個(gè)實(shí)數(shù)。求出它的本征值和歸一化的本征矢（用和的線性迭加）。相應(yīng)于這個(gè)基表示的矩陣是什么？解：相應(yīng)于這個(gè)基表示的矩

17、陣的矩陣元是 本征方程為 久期方程為 把代入本征方程，有 歸一化（得到時(shí)不計(jì)一任意相因子），所以對(duì)應(yīng)的本征態(tài)為 同理把代入本征方程，有 歸一化所以對(duì)應(yīng)的本征態(tài)為 習(xí)題3.24 設(shè)算符有一組完備的正交歸一本征矢： 證明可以被寫成譜分解形式：提示：一個(gè)算符是通過它對(duì)所有可能矢量的作用來表征的，因此你需要證明的是，對(duì)于任意矢量來說，有：證：設(shè)為一任意態(tài)矢量，它可以用展開為，所以有習(xí)題3.25 勒讓德多項(xiàng)式。用格拉姆施密特方法（習(xí)題A.4）在區(qū)間里來正交歸一化函數(shù)1，, , 。你可能會(huì)認(rèn)出這些結(jié)果(除了歸一化外)它們是勒讓德多項(xiàng)式（表4.1）。設(shè) 它與及正交，歸一化設(shè)它與，及正交，歸一化這樣我們構(gòu)造出

18、了四個(gè)相互正交且歸一的（在區(qū)間）的函數(shù)。習(xí)題3.26 一個(gè)反厄密算符等于它的負(fù)的厄密共軛： （a） 證明一個(gè)反厄密算符的期望值是個(gè)虛數(shù)。（b） 證明兩個(gè)厄密算符的對(duì)易子是反厄密的。那么兩個(gè)反厄密算符的對(duì)易子如何？證：（a）所以是個(gè)虛數(shù)（b）由，所以如果那么如果那么所以在兩種情況下對(duì)易子都是反厄密的。習(xí)題3.27 連續(xù)測量。一個(gè)算符表示可觀測量，它的兩個(gè)歸一化本征態(tài)是和，分別對(duì)應(yīng)本征值和。算符表示可觀測量，它的兩個(gè)歸一化本征態(tài)是和，分別對(duì)應(yīng)本征值和。兩組本征態(tài)之間有關(guān)系： （a） 測量可觀測量，所得結(jié)果為。那么在測量之后（瞬時(shí)）體系處在什么態(tài)？（b） 如果現(xiàn)在再測量，可能的結(jié)果是什么？它們出現(xiàn)的

19、幾率是多少？（c） 在恰好測出之后，再次測量。那么結(jié)果為的幾率是多少？（注意如果我已經(jīng)告訴你測量所得結(jié)果，對(duì)不同的測量所得結(jié)果，本問的答案將是不同的。）解： （a）當(dāng)對(duì)體系測量得到 時(shí)，體系的波函數(shù)會(huì)坍塌為本征值為的本征態(tài)，所以在測量之后（瞬時(shí)）體系在態(tài)。（b）由是的本征態(tài)和的線性疊加，當(dāng)對(duì)態(tài)測量時(shí)，可能得到或者，得到 的幾率為9/25,得到的幾率為16/25.（c）如果在測量時(shí)得到的結(jié)果是，則波函數(shù)坍塌到態(tài)（幾率為9/25），由 可以解出，所以再測量時(shí)，得到的幾率為9/25。同理，如果在測量得到的是，則波函數(shù)坍塌到態(tài)(幾率為16/25) 所以再測量時(shí)得到的幾率為16/25。所以在測量,再測量

20、得到的幾率為 *習(xí)題3.28 對(duì)無限深方勢阱第定態(tài)求其動(dòng)量空間的波函數(shù)。作為的函數(shù)，畫出和（特別注意點(diǎn)）。用來計(jì)算的期望值。并把答案和習(xí)題2.4比較。解：一維無限深方勢阱的定態(tài)波函數(shù)為動(dòng)量空間的波函數(shù)由下式得出所以注意到 所以對(duì)有當(dāng)時(shí)，上式的分母為零，但是分子也為零，所以在這些點(diǎn)波函數(shù)不會(huì)出現(xiàn)奇異行為。波函數(shù)的模平方圖如下： 式中 由因式分解公式 對(duì)為奇數(shù)情況 對(duì)為偶數(shù)情況所以在兩種情況下都有 （第二項(xiàng)積分由于被積函數(shù)是奇函數(shù)為零）所以 這與用坐標(biāo)空間的定態(tài)波函數(shù)由公式 計(jì)算的結(jié)果是一樣的（當(dāng)然它們也必須一樣）。習(xí)題3.29 考慮下面的波函數(shù)：這里是某個(gè)正整數(shù)。這個(gè)函數(shù)在區(qū)間上是純正弦的（波長

21、為），但是它的動(dòng)量仍然有一個(gè)分布范圍，因?yàn)檎袷帥]有伸展到無限遠(yuǎn)處。求出動(dòng)量空間波函數(shù)，畫出和，求出峰寬和 （主峰兩邊零點(diǎn)之間的寬度）。并考慮當(dāng)時(shí)每一個(gè)寬度會(huì)怎樣, 用和來估計(jì)和，驗(yàn)證不確定原理是否滿足。提醒：如果你嘗試計(jì)算，你將會(huì)很意外。你能夠分析問題所在么？解： 它們的圖形如下 的寬度為。的最大值在處（注意此處分母為零，但是分子也為零），這個(gè)最大值兩側(cè)的零點(diǎn)出現(xiàn)在處，所以。當(dāng)，。在這個(gè)極限下，粒子有比較確定的動(dòng)量，但是坐標(biāo)非常不確定。 滿足不確定原理。 如果我們試圖計(jì)算，我們發(fā)現(xiàn)，但是 出現(xiàn)這個(gè)問題的根源在于波函數(shù)在端點(diǎn)是不連續(xù)的，這導(dǎo)致在端點(diǎn)產(chǎn)生函數(shù)，而是函數(shù)模平方的積分，結(jié)果為無限大。一

22、般來講，如果想要有限，波函數(shù)必須連續(xù)。習(xí)題3.30 假設(shè)：式中和是常數(shù)。（a） 歸一化，確定的值。（b） 求出，和（在時(shí)刻）。（c） 求出動(dòng)量空間的波函數(shù)，并驗(yàn)證它是歸一化的。（d） 用來計(jì)算，和（在時(shí)刻）。（e） 對(duì)這個(gè)態(tài)的驗(yàn)證不確定原理。解：（a） 所以（b） （被積函數(shù)是奇函數(shù)） 所以 （c）動(dòng)量空間的而波函數(shù)為 驗(yàn)證歸一化 （d） 所以 （e） 滿足不確定原理*問題3.31 維里Virial定理。利用3.71式證明： 式中是動(dòng)能（）。對(duì)定態(tài)上式的左邊為是0（為什么？）所以有： 這稱為維里定理。用它來證明對(duì)諧振子的定態(tài)有，并驗(yàn)證這與你在習(xí)題2.11和2.12里得到的結(jié)果是一致的。解：由力

23、學(xué)量期待值隨時(shí)間演化的公式 算符不顯含時(shí)間，所以 對(duì)于定態(tài)，所有力學(xué)量（不顯含時(shí)間）的期待值都不隨時(shí)間變化，即 ， 所以。對(duì)于諧振子，所以由于 所以對(duì)諧振子定態(tài)有習(xí)題3.32在一個(gè)關(guān)于能量-時(shí)間不確定原理的有趣版本里，這里是演變?yōu)榕c相正交的態(tài)所需要的時(shí)間。用某個(gè)（任意的）勢的兩個(gè)（正交歸一的）定態(tài)波函數(shù)的均勻迭加：，驗(yàn)證這個(gè)結(jié)論。解：對(duì)應(yīng)的時(shí)間 是兩個(gè)波函數(shù)第一次正交的時(shí)間，定義時(shí)間的不確定為 而 所以 從而有 我們得到了所謂的能量-時(shí)間不確定原理。*習(xí)題3.33 以諧振子（正交歸一的）定態(tài)為基，求矩陣元和。你已在習(xí)題2.12里計(jì)算過對(duì)角元素（）；用同樣方法計(jì)算更一般的情況。構(gòu)造出相應(yīng)的（無限

24、）矩陣，X和P。證明在這個(gè)基中是對(duì)角的。你預(yù)期它的對(duì)角元素是什么？部分答案如下： 解：利用產(chǎn)生和湮滅算符以及 所以在占有數(shù)表象（能量本征態(tài)表象）坐標(biāo)與動(dòng)量的矩陣為由此得到 所以 由此，我們可以看出哈密頓算符在它自己的表象中是對(duì)角矩陣的（也必須是），對(duì)角元素為是諧振子的能量本征值。習(xí)題3.34 一個(gè)諧振子處于這樣的態(tài)，當(dāng)對(duì)其測量能量時(shí)所得結(jié)果必是或 其中之一，并且得到兩者的幾率相等。在此態(tài)中，的可能的最大值是多少呢？如果假設(shè)在時(shí)刻為這個(gè)可能的最大值， 是什么？解：由題意波函數(shù)為 并且 ， 為實(shí)數(shù)所以 可能的最大值為，若時(shí)刻為最大值，則，取，取，則這樣 *習(xí)題3.35 諧振子的相干態(tài)。在諧振子定態(tài)

25、中（，2.67式）僅的態(tài)符合不確定原理的極限（）；一般情況下，如你在習(xí)題2.12求出的那樣。但是某些線性迭加（所謂的相干態(tài)）也會(huì)減小不確定原理中的積。它們是降階算符的本征函數(shù)：（這里本征值可以是任何復(fù)數(shù)）。（a） 對(duì)態(tài)計(jì)算，。提示：利用例題2.5中的方法，并記住是的厄密共軛。不要假定是實(shí)數(shù)。（b） 求出和；證明。（c） 像其它的波函數(shù)一樣，相干態(tài)可以用能量本征態(tài)展開：證明展開系數(shù)是：（d） 由歸一化確定。答案：。（e） 現(xiàn)在加入時(shí)間因子： 證明仍然是的本征態(tài)，但是本征值隨時(shí)間變化：。因此一個(gè)相干態(tài)維持相干，并繼續(xù)減小不確定原理中的積。（f） 基態(tài)（）本身是相干態(tài)嗎？如果是，它的本征值是什么？

26、解：（a） 因?yàn)槭堑亩蛎芄曹?，所以?（b）（c）由 所以 （d） 歸一化：所以 （不考慮任意相因子）（e）所以，仍然是的本征態(tài)，其本征值為（f） 因?yàn)?，所以基態(tài)是的本征值為0的本征態(tài)，所以是相干態(tài)。 習(xí)題3.36擴(kuò)展的不確定原理。廣義不確定原理（3.62式）指出：其中。（）證明它可以擴(kuò)展為 3.99其中。提示：保留3.60式中的實(shí)部項(xiàng)。（）當(dāng)時(shí)驗(yàn)證3.99（在這種情況下標(biāo)準(zhǔn)的不確定原理是平庸的，因?yàn)椋贿z憾的是擴(kuò)展的不確定原理也沒多少幫助）。解：（a）由3.59式 和得：（a） 當(dāng)時(shí)，習(xí)題3.37 某個(gè)三-能級(jí)體系的哈密頓的矩陣表示為其中，和都是實(shí)數(shù)。（a） 如果體系的初始態(tài)是求 （b）如果初始態(tài)是