大林(Dahlin)算法

1、本文格式為Word版，下載可任意編輯大林(Dahlin)算法 假如被控對象存在純時間滯后，則對其掌握的難度往往較大。假如在這種狀況下，對系統(tǒng)的要求是無超調(diào)量或超調(diào)量很小，并且允許有較長的調(diào)整時間，則大林算法的掌握效果往往比PID等掌握算法具有更好的效果。假設(shè)有滯后特性的被控對象可以用帶有純滯后環(huán)節(jié)e-s的一階或二階慣性環(huán)節(jié)來近似。即，(6.24)或 (6.25)帶零階保持器的一階對象的脈沖傳遞函數(shù)為(6.26)帶零階保持器的二階對象的脈沖傳遞函數(shù)為(6.27)式中(6.28)(1) 數(shù)字掌握器D(z)的形式不論是對一階慣性對象還是對二階慣性對象，大林算法的設(shè)計目標(biāo)都是使閉環(huán)傳遞函數(shù)(s)相當(dāng)于

2、一個純滯后環(huán)節(jié)和一個慣性環(huán)節(jié)的串聯(lián)，其中純滯后環(huán)節(jié)的滯后時間與被控對象的純滯后時間完全相同。這樣就能保證使系統(tǒng)不產(chǎn)生超調(diào)，同時保證其穩(wěn)定性。因此(6.29)式中，Tc為抱負(fù)閉環(huán)系統(tǒng)的一階慣性時間常數(shù)。對上式用零階保持器法離散化，得到（6.30）由于(6.31)所以，只要確定了被控對象，就可以由上式確定掌握器。 被控對象為帶純滯后的一階慣性環(huán)節(jié)將式(6.26)代入式(6.31)，得到(6.32) 被控對象為帶純滯后的二階慣性環(huán)節(jié)將式(6.27)代入式(6.31)，得到(6.33)因此，大林算法的主要步驟是：(a) 選取期望的閉環(huán)傳遞函數(shù)；(b) 依據(jù)被控裝置的傳遞函數(shù)(6.26)或(6.27)計

3、算廣義脈沖傳遞函數(shù)；(c) 計算數(shù)字掌握器脈沖傳遞函數(shù)。例6.4已知被控裝置的傳遞函數(shù)為試采納大林算法，確定數(shù)字掌握器。解：采樣周期T=1s，期望閉環(huán)傳遞函數(shù)為由式（6.30）得被控裝置廣義脈沖傳遞函數(shù)依據(jù)式(6.31)得系統(tǒng)單位階躍響應(yīng)y(kT)及掌握器的輸出信號u(kT)如圖6.15所示。從圖中曲線可以看出，輸出響應(yīng)有較大波紋，掌握量u(kT)有振蕩周期為二倍采樣周期的大幅值搖擺。圖6.15 例6.4系統(tǒng)單位階躍的輸出響應(yīng)和掌握量曲線(2) 振鈴現(xiàn)象及其消退所謂振鈴(Ringing)現(xiàn)象，是指數(shù)字掌握器的輸出以二分之一采樣頻率大幅度衰減的振蕩。如上例6.4中所示。這與前面所介紹的最少拍有紋

4、波系統(tǒng)中的紋波是不一樣的。紋波是由于掌握器輸出始終是振蕩的，影響到系統(tǒng)的輸出始終有紋波。而振鈴現(xiàn)象中的振蕩是衰減的。由于被控對象中慣性環(huán)節(jié)的低通特性，使得這種振蕩對系統(tǒng)的輸出幾乎無任何影響。但是振鈴現(xiàn)象卻會增加執(zhí)行機(jī)構(gòu)的磨損，在有交互作用的多參數(shù)掌握系統(tǒng)中，振鈴現(xiàn)象還有可能影響到系統(tǒng)的穩(wěn)定性。 振鈴現(xiàn)象的分析系統(tǒng)的輸出Y(z)和數(shù)字掌握器的輸出U(z)間有下列關(guān)系系統(tǒng)的輸出Y(z)和輸入函數(shù)的R(z)之間有下列關(guān)系由上面兩式得到數(shù)字掌握器的輸出U(z)與輸入函數(shù)的R(z)之間的關(guān)系為(6.34)定義(6.35)明顯，可由式(6.34)得到Ku(z)表達(dá)了數(shù)字掌握器的輸出與輸入函數(shù)在閉環(huán)時的關(guān)系

5、，是分析振鈴現(xiàn)象的基礎(chǔ)。對于單位階躍輸入函數(shù)R(z)=1/(1-z-1)，含有極點z=1，假如Ku(z)的極點在z平面的負(fù)實軸上，且與z=-1點相近，那么數(shù)字掌握器的輸出序列u(k)中將含有這兩種幅值相近的瞬態(tài)項，而且瞬態(tài)項的符號在不同時刻是不同的。當(dāng)兩瞬態(tài)項符號相同時，數(shù)字掌握器的輸出掌握作用加強(qiáng)，符號相反時，掌握作用減弱，從而造成數(shù)字掌握器的輸出序列大幅度波動。分析Ku(z)在z平面福實軸上的極點分布狀況，就可得出振鈴現(xiàn)象的有關(guān)結(jié)論。下面分析帶純滯后的一階或二階慣性環(huán)節(jié)系統(tǒng)中的振鈴現(xiàn)象。(a)帶純滯后的一階慣性環(huán)節(jié)被控對象為帶純滯后的一階慣性環(huán)節(jié)。有前面爭論可知脈沖傳遞函數(shù)G(z)和閉環(huán)系

6、統(tǒng)的期望脈沖傳遞函數(shù)(z)，代入上式得(6.36)求得極點z=e-T/Tc，明顯，該極點永久是大于零的。故得出結(jié)論：在帶純滯后的一階慣性環(huán)節(jié)組成的系統(tǒng)中，數(shù)字掌握器輸出對輸入的脈沖傳遞函數(shù)不存在負(fù)實軸上的極點，這種系統(tǒng)不存在振鈴現(xiàn)象。(b)帶純滯后的二階慣性環(huán)節(jié)被控對象為帶純滯后的二階慣性環(huán)節(jié)。將脈沖傳遞函數(shù)G(z)和閉環(huán)系統(tǒng)的期望脈沖傳遞函數(shù)(z)代入，得(6.37)上式有兩個極點，第一個為z=e-T/Tc，不會引起振鈴現(xiàn)象；其次個極點在z=-c2/c1。因說明可能消失負(fù)實軸上與z=-1相近的極點，這一極點將引起振鈴現(xiàn)象。 振鈴幅度RA振鈴幅度RA用來衡量振鈴劇烈的程度。為描述振鈴劇烈的程度

7、，應(yīng)找出數(shù)字掌握器輸出量的最大值umax。由于這一最大值與系統(tǒng)參數(shù)的關(guān)系難于用解析的式子描述出來，所以常用單位階躍作用下數(shù)字掌握器第0次輸出量與第1次輸出量的差值來衡量振鈴現(xiàn)象劇烈的程度。設(shè)Ku具有如下形式(6.38)在單位階躍輸入函數(shù)的作用下，數(shù)字掌握器輸出量的z變換是(6.39)所以，RA=1-(b1-a1+1)=a1-b1對于帶純滯后的二階慣性環(huán)節(jié)組成的系統(tǒng)，其振鈴幅度為(6.40) 振鈴現(xiàn)象的消退有兩種方法可用來消退振鈴現(xiàn)象。第一種方法是先找出D(z)中引起振鈴現(xiàn)象的因子(z=-1四周的極點)，然后令其中的z=1，依據(jù)終值定理，這樣處理不影響輸出量的穩(wěn)態(tài)值。下面詳細(xì)說明這種處理方法。前

8、面已介紹在帶純滯后的二階慣性環(huán)節(jié)系統(tǒng)中，數(shù)字掌握器的D(z)為其極點z=-c2/c1將引起振鈴現(xiàn)象。令極點因子(c1+c2z-1)中的z為z=1，就可消退這個振鈴極點。此時 消退振鈴極點后，數(shù)字掌握器的形式為(6.41)這種消退振鈴現(xiàn)象的方法雖然不影響輸出穩(wěn)態(tài)值，但卻轉(zhuǎn)變了數(shù)字掌握器的動態(tài)特性，將影響閉環(huán)系統(tǒng)的瞬態(tài)性能。其次種方法是從保證閉環(huán)系統(tǒng)的特性動身，選擇合適的采樣周期T及系統(tǒng)閉環(huán)時間常數(shù)Tc，使得數(shù)字掌握器的輸出避開產(chǎn)生劇烈的振鈴現(xiàn)象。從式中可以看出，帶純滯后的二階慣性環(huán)節(jié)組成的系統(tǒng)中，振鈴幅度與被控對象的參數(shù)T1、T2有關(guān)，與閉環(huán)系統(tǒng)期望的時間常數(shù)Tc以及采樣周期T也有關(guān)。通過適當(dāng)選

9、擇T及Tc，可以把振鈴幅度抑制在最低限度以內(nèi)。有的狀況下，系統(tǒng)閉環(huán)時間常數(shù)Tc作為系統(tǒng)的性能指標(biāo)被首先確定了，但仍可通過選擇采樣周期T來抑制振鈴現(xiàn)象。 一種改進(jìn)的消退振鈴現(xiàn)象的方法上面的大林算法是從修改數(shù)字掌握器入手，依據(jù)它所得到的閉環(huán)傳遞函數(shù)很難估出暫態(tài)下系統(tǒng)輸出的變化規(guī)律。將被控對象對應(yīng)的脈沖傳遞函數(shù)寫成(6.42)式中，G0(z)不含振鈴因子。取期望閉環(huán)脈沖傳遞函數(shù)為(6.43)式中，0(z)為大林算法給出的期望閉環(huán)脈沖傳遞函數(shù)(6.44)于是有(6.45)明顯，Ku(z)中也不含振鈴極點-zi了。同大林算法相比，這種方法得到的數(shù)字掌握器稍簡單些。 具有純滯后系統(tǒng)的數(shù)字掌握器直接設(shè)計的步驟具有純滯后的系統(tǒng)中直接設(shè)計數(shù)字掌握器考慮的主要性能是掌握系統(tǒng)不允許產(chǎn)生超調(diào)并要求系統(tǒng)穩(wěn)定。系統(tǒng)設(shè)計中一個值得留意的問題是振鈴現(xiàn)象。下面是考慮振鈴現(xiàn)象影響時，設(shè)計數(shù)字掌握器的一般步驟。(a)依據(jù)系統(tǒng)的性能，確定閉環(huán)系統(tǒng)的參數(shù)Tc，給出振鈴幅度RA的指標(biāo)；