高等數(shù)學(xué)上冊(cè)后習(xí)題答案

1、習(xí)題1-1 1. 設(shè)A=(-¥, -5)È(5, +¥), B=-10, 3), 寫出AÈB, AÇB, AB及A(AB)的表達(dá)式. 解 AÈB=(-¥, 3)È(5, +¥), AÇB=-10, -5), AB=(-¥, -10)È(5, +¥), A(AB)=-10, -5). 2. 設(shè)A、B是任意兩個(gè)集合, 證明對(duì)偶律: (AÇB)C=AC ÈBC . 證明 因?yàn)?xÎ(AÇB)CÛxÏAÇ

2、BÛ xÏA或xÏBÛ xÎAC或xÎBC Û xÎAC ÈBC, 所以 (AÇB)C=AC ÈBC . 3. 設(shè)映射f : X ®Y, AÌX, BÌX . 證明 (1)f(AÈB)=f(A)Èf(B); (2)f(AÇB)Ìf(A)Çf(B). 證明 因?yàn)?yÎf(AÈB)Û$xÎAÈB, 使f(x)=y Û(因?yàn)閤ÎA或xÎ

3、;B) yÎf(A)或yÎf(B) Û yÎf(A)Èf(B), 所以 f(AÈB)=f(A)Èf(B). (2)因?yàn)?yÎf(AÇB)Þ$xÎAÇB, 使f(x)=yÛ(因?yàn)閤ÎA且xÎB) yÎf(A)且yÎf(B)Þ yÎ f(A)Çf(B),所以 f(AÇB)Ìf(A)Çf(B). 4. 設(shè)映射f : X®Y, 若存在一個(gè)映射g: Y®X,

4、 使, , 其中IX、IY分別是X、Y上的恒等映射, 即對(duì)于每一個(gè)xÎX, 有IX x=x; 對(duì)于每一個(gè)yÎY, 有IY y=y. 證明: f是雙射, 且g是f的逆映射: g=f -1. 證明 因?yàn)閷?duì)于任意的yÎY, 有x=g(y)ÎX, 且f(x)=fg(y)=Iy y=y, 即Y中任意元素都是X中某元素的像, 所以f為X到Y(jié)的滿射. 又因?yàn)閷?duì)于任意的x1¹x2, 必有f(x1)¹f(x2), 否則若f(x1)=f(x2)Þg f(x1)=gf(x2) Þ x1=x2. 因此f既是單射, 又是滿射, 即f是雙射.

5、 對(duì)于映射g: Y®X, 因?yàn)閷?duì)每個(gè)yÎY, 有g(shù)(y)=xÎX, 且滿足f(x)=fg(y)=Iy y=y, 按逆映射的定義, g是f的逆映射. 5. 設(shè)映射f : X®Y, AÌX . 證明: (1)f -1(f(A)ÉA; (2)當(dāng)f是單射時(shí), 有f -1(f(A)=A . 證明 (1)因?yàn)閤ÎA Þ f(x)=yÎf(A) Þ f -1(y)=xÎf -1(f(A), 所以 f -1(f(A)ÉA. (2)由(1)知f -1(f(A)ÉA. 另一方面, 對(duì)于

6、任意的xÎf -1(f(A)Þ存在yÎf(A), 使f -1(y)=xÞf(x)=y . 因?yàn)閥Îf(A)且f是單射, 所以xÎA. 這就證明了f -1(f(A)ÌA. 因此f -1(f(A)=A . 6. 求下列函數(shù)的自然定義域: (1); 解 由3x+2³0得. 函數(shù)的定義域?yàn)? (2); 解 由1-x2¹0得x¹±1. 函數(shù)的定義域?yàn)?-¥, -1)È(-1, 1)È(1, +¥). (3); 解 由x¹0且1-x2³0

7、得函數(shù)的定義域D=-1, 0)È(0, 1. (4); 解 由4-x2>0得 |x|<2. 函數(shù)的定義域?yàn)?-2, 2). (5); 解 由x³0得函數(shù)的定義D=0, +¥). (6) y=tan(x+1); 解 由(k=0, ±1, ±2, × × ×)得函數(shù)的定義域?yàn)?k=0, ±1, ±2, × × ×). (7) y=arcsin(x-3); 解 由|x-3|£1得函數(shù)的定義域D=2, 4. (8); 解 由3-x³0且x&#

8、185;0得函數(shù)的定義域D=(-¥, 0)È(0, 3). (9) y=ln(x+1); 解 由x+1>0得函數(shù)的定義域D=(-1, +¥). (10). 解 由x¹0得函數(shù)的定義域D=(-¥, 0)È(0, +¥). 7. 下列各題中, 函數(shù)f(x)和g(x)是否相同？為什么？ (1)f(x)=lg x2, g(x)=2lg x; (2) f(x)=x, g(x)=; (3),. (4)f(x)=1, g(x)=sec2x-tan2x . 解 (1)不同. 因?yàn)槎x域不同. (2)不同. 因?yàn)閷?duì)應(yīng)法則不同, x<

9、;0時(shí), g(x)=-x. (3)相同. 因?yàn)槎x域、對(duì)應(yīng)法則均相相同. (4)不同. 因?yàn)槎x域不同. 8. 設(shè), 求, , , j(-2), 并作出函數(shù)y=j(x)的圖形. 解 , , , . 9. 試證下列函數(shù)在指定區(qū)間內(nèi)的單調(diào)性: (1), (-¥, 1); (2)y=x+ln x, (0, +¥). 證明 (1)對(duì)于任意的x1, x2Î(-¥, 1), 有1-x1>0, 1-x2>0. 因?yàn)楫?dāng)x1<x2時(shí), , 所以函數(shù)在區(qū)間(-¥, 1)內(nèi)是單調(diào)增加的. (2)對(duì)于任意的x1, x2Î(0, +¥

10、;), 當(dāng)x1<x2時(shí), 有 , 所以函數(shù)y=x+ln x在區(qū)間(0, +¥)內(nèi)是單調(diào)增加的. 10. 設(shè) f(x)為定義在(-l, l)內(nèi)的奇函數(shù), 若f(x)在(0, l)內(nèi)單調(diào)增加, 證明f(x)在(-l, 0)內(nèi)也單調(diào)增加. 證明 對(duì)于"x1, x2Î(-l, 0)且x1<x2, 有-x1, -x2Î(0, l)且-x1>-x2. 因?yàn)閒(x)在(0, l)內(nèi)單調(diào)增加且為奇函數(shù), 所以f(-x2)<f(-x1), -f(x2)<-f(x1), f(x2)>f(x1), 這就證明了對(duì)于"x1, x2&#

11、206;(-l, 0), 有f(x1)< f(x2), 所以f(x)在(-l, 0)內(nèi)也單調(diào)增加. 11. 設(shè)下面所考慮的函數(shù)都是定義在對(duì)稱區(qū)間(-l, l)上的, 證明: (1)兩個(gè)偶函數(shù)的和是偶函數(shù), 兩個(gè)奇函數(shù)的和是奇函數(shù); (2)兩個(gè)偶函數(shù)的乘積是偶函數(shù), 兩個(gè)奇函數(shù)的乘積是偶函數(shù), 偶函數(shù)與奇函數(shù)的乘積是奇函數(shù). 證明 (1)設(shè)F(x)=f(x)+g(x). 如果f(x)和g(x)都是偶函數(shù), 則 F(-x)=f(-x)+g(-x)=f(x)+g(x)=F(x), 所以F(x)為偶函數(shù), 即兩個(gè)偶函數(shù)的和是偶函數(shù). 如果f(x)和g(x)都是奇函數(shù), 則 F(-x)=f(-x)

12、+g(-x)=-f(x)-g(x)=-F(x), 所以F(x)為奇函數(shù), 即兩個(gè)奇函數(shù)的和是奇函數(shù). (2)設(shè)F(x)=f(x)×g(x). 如果f(x)和g(x)都是偶函數(shù), 則 F(-x)=f(-x)×g(-x)=f(x)×g(x)=F(x), 所以F(x)為偶函數(shù), 即兩個(gè)偶函數(shù)的積是偶函數(shù). 如果f(x)和g(x)都是奇函數(shù), 則 F(-x)=f(-x)×g(-x)=-f(x)-g(x)=f(x)×g(x)=F(x), 所以F(x)為偶函數(shù), 即兩個(gè)奇函數(shù)的積是偶函數(shù). 如果f(x)是偶函數(shù), 而g(x)是奇函數(shù), 則 F(-x)=f(

13、-x)×g(-x)=f(x)-g(x)=-f(x)×g(x)=-F(x), 所以F(x)為奇函數(shù), 即偶函數(shù)與奇函數(shù)的積是奇函數(shù). 12. 下列函數(shù)中哪些是偶函數(shù), 哪些是奇函數(shù), 哪些既非奇函數(shù)又非偶函數(shù)？ (1)y=x2(1-x2); (2)y=3x2-x3; (3); (4)y=x(x-1)(x+1); (5)y=sin x-cos x+1; (6). 解 (1)因?yàn)閒(-x)=(-x)21-(-x)2=x2(1-x2)=f(x), 所以f(x)是偶函數(shù). (2)由f(-x)=3(-x)2-(-x)3=3x2+x3可見f(x)既非奇函數(shù)又非偶函數(shù). (3)因?yàn)? 所以

14、f(x)是偶函數(shù). (4)因?yàn)閒(-x)=(-x)(-x-1)(-x+1)=-x(x+1)(x-1)=-f(x), 所以f(x)是奇函數(shù). (5)由f(-x)=sin(-x)-cos(-x)+1=-sin x-cos x+1可見f(x)既非奇函數(shù)又非偶函數(shù). (6)因?yàn)? 所以f(x)是偶函數(shù). 13. 下列各函數(shù)中哪些是周期函數(shù)？對(duì)于周期函數(shù), 指出其周期: (1)y=cos(x-2); 解 是周期函數(shù), 周期為l=2p. (2)y=cos 4x; 解 是周期函數(shù), 周期為. (3)y=1+sin px; 解 是周期函數(shù), 周期為l=2. (4)y=xcos x; 解 不是周期函數(shù). (5)

15、y=sin2x. 解 是周期函數(shù), 周期為l=p. 14. 求下列函數(shù)的反函數(shù): (1); 解 由得x=y3-1, 所以的反函數(shù)為y=x3-1. (2); 解 由得, 所以的反函數(shù)為. (3)(ad-bc¹0); 解 由得, 所以的反函數(shù)為. (4) y=2sin3x; 解 由y=2sin 3x得, 所以y=2sin3x的反函數(shù)為. (5) y=1+ln(x+2); 解 由y=1+ln(x+2)得x=ey-1-2, 所以y=1+ln(x+2)的反函數(shù)為y=ex-1-2. (6). 解 由得, 所以的反函數(shù)為. 15. 設(shè)函數(shù)f(x)在數(shù)集X上有定義, 試證: 函數(shù)f(x)在X上有界的

16、充分必要條件是它在X上既有上界又有下界. 證明 先證必要性. 設(shè)函數(shù)f(x)在X上有界, 則存在正數(shù)M, 使|f(x)|£M, 即-M£f(x)£M. 這就證明了f(x)在X上有下界-M和上界M. 再證充分性. 設(shè)函數(shù)f(x)在X上有下界K1和上界K2, 即K1£f(x)£ K2 . 取M=max|K1|, |K2|, 則 -M£ K1£f(x)£ K2£M , 即 |f(x)|£M. 這就證明了f(x)在X上有界. 16. 在下列各題中, 求由所給函數(shù)復(fù)合而成的函數(shù), 并求這函數(shù)分別對(duì)應(yīng)于給定

17、自變量值x1和x2的函數(shù)值: (1) y=u2, u=sin x, , ; 解 y=sin2x, ,. (2) y=sin u, u=2x, ,; 解 y=sin2x, ,. (3), u=1+x2, x1=1, x2= 2; 解 , , . (4) y=eu, u=x2, x1 =0, x2=1; 解 , , . (5) y=u2 , u=ex , x1=1, x2=-1. 解 y=e2x, y1=e2×1=e2, y2=e2×(-1)=e-2. 17. 設(shè)f(x)的定義域D=0, 1, 求下列各函數(shù)的定義域: (1) f(x2); 解 由0£x2£1

18、得|x|£1, 所以函數(shù)f(x2)的定義域?yàn)?1, 1. (2) f(sinx); 解 由0£sin x£1得2np£x£(2n+1)p (n=0, ±1, ±2× × ×), 所以函數(shù)f(sin x)的定義域?yàn)?np, (2n+1)p (n=0, ±1, ±2× × ×) . (3) f(x+a)(a>0); 解 由0£x+a£1得-a£x£1-a, 所以函數(shù)f(x+a)的定義域?yàn)?a, 1-a.

19、(4) f(x+a)+f(x-a)(a>0). 解 由0£x+a£1且0£x-a£1得: 當(dāng)時(shí), a£x£1-a; 當(dāng)時(shí), 無解. 因此當(dāng)時(shí)函數(shù)的定義域?yàn)閍, 1-a, 當(dāng)時(shí)函數(shù)無意義. 18. 設(shè), g(x)=ex , 求fg(x)和gf(x), 并作出這兩個(gè)函數(shù)的圖形. 解 , 即. , 即. 19. 已知水渠的橫斷面為等腰梯形, 斜角j=40°(圖1-37). 當(dāng)過水?dāng)嗝鍭BCD的面積為定值S0時(shí), 求濕周L(L=AB+BC+CD)與水深h之間的函數(shù)關(guān)系式, 并指明其定義域. 圖1-37 解 , 又從得, 所以.

20、 自變量h的取值范圍應(yīng)由不等式組h>0, 確定, 定義域?yàn)? 20. 收斂音機(jī)每臺(tái)售價(jià)為90元, 成本為60元. 廠方為鼓勵(lì)銷售商大量采購, 決定凡是訂購量超過100臺(tái)以上的, 每多訂購1臺(tái), 售價(jià)就降低1分, 但最低價(jià)為每臺(tái)75元. (1)將每臺(tái)的實(shí)際售價(jià)p表示為訂購量x的函數(shù); (2)將廠方所獲的利潤(rùn)P表示成訂購量x的函數(shù); (3)某一商行訂購了1000臺(tái), 廠方可獲利潤(rùn)多少？ 解 (1)當(dāng)0£x£100時(shí), p=90. 令0.01(x0-100)=90-75, 得x0=1600. 因此當(dāng)x³1600時(shí), p=75. 當(dāng)100<x<1600時(shí)

21、, p=90-(x-100)´0.01=91-0. 01x. 綜合上述結(jié)果得到 . (2). (3) P=31´1000-0.01´10002=21000(元). 習(xí)題1-2 1. 觀察一般項(xiàng)xn如下的數(shù)列xn的變化趨勢(shì), 寫出它們的極限: (1); 解 當(dāng)n®¥時(shí), ®0, . (2); 解 當(dāng)n®¥時(shí), ®0, . (3); 解 當(dāng)n®¥時(shí), ®2, . (4); 解 當(dāng)n®¥時(shí), ®0, . (5) xn=n(-1)n. 解 當(dāng)n®

22、;¥時(shí), xn=n(-1)n沒有極限. 2. 設(shè)數(shù)列xn的一般項(xiàng). 問=? 求出N, 使當(dāng)n>N時(shí), xn與其極限之差的絕對(duì)值小于正數(shù)e , 當(dāng)e =0.001時(shí), 求出數(shù)N. 解 . . "e >0, 要使|x n-0|<e , 只要, 也就是. 取, 則"n>N, 有|xn-0|<e . 當(dāng)e =0.001時(shí), =1000. 3. 根據(jù)數(shù)列極限的定義證明: (1); 分析 要使, 只須, 即. 證明 因?yàn)?quot;e>0, $, 當(dāng)n>N時(shí), 有, 所以. (2); 分析 要使, 只須, 即. 證明 因?yàn)?quot;

23、e>0, $, 當(dāng)n>N時(shí), 有, 所以. (3); 分析 要使, 只須. 證明 因?yàn)?quot;e>0, $, 當(dāng)"n>N時(shí), 有, 所以. (4). 分析 要使|0.99 × × × 9-1|, 只須<e , 即. 證明 因?yàn)?quot;e>0, $, 當(dāng)"n>N時(shí), 有|0.99 × × × 9-1|<e , 所以. 4. , 證明. 并舉例說明: 如果數(shù)列|xn|有極限, 但數(shù)列xn未必有極限. 證明 因?yàn)? 所以"e>0, $NÎN

24、, 當(dāng)n>N時(shí), 有, 從而|un|-|a|£|un-a|<e . 這就證明了. 數(shù)列|xn|有極限, 但數(shù)列xn未必有極限. 例如, 但不存在. 5. 設(shè)數(shù)列xn有界, 又, 證明: . 證明 因?yàn)閿?shù)列xn有界, 所以存在M, 使"nÎZ, 有|xn|£M. 又, 所以"e>0, $NÎN, 當(dāng)n>N時(shí), 有. 從而當(dāng)n>N時(shí), 有 , 所以. 6. 對(duì)于數(shù)列xn, 若x2k-1®a(k®¥), x2k ®a(k ®¥), 證明: xn

25、4;a(n®¥). 證明 因?yàn)閤2k-1®a(k®¥), x2k ®a(k ®¥), 所以"e>0, $K1, 當(dāng)2k-1>2K1-1時(shí), 有| x2k-1-a|<e ; $K2, 當(dāng)2k>2K2時(shí), 有|x2k-a|<e . 取N=max2K1-1, 2K2, 只要n>N, 就有|xn-a|<e . 因此xn®a (n®¥).習(xí)題1-3 1. 根據(jù)函數(shù)極限的定義證明: (1); 分析 因?yàn)?|(3x-1)-8|=|3x-9|=3|x

26、-3|, 所以要使|(3x-1)-8|<e , 只須. 證明 因?yàn)?quot;e>0, $, 當(dāng)0<|x-3|<d時(shí), 有 |(3x-1)-8|<e , 所以. (2); 分析 因?yàn)?|(5x+2)-12|=|5x-10|=5|x-2|, 所以要使|(5x+2)-12|<e , 只須. 證明 因?yàn)?quot;e >0, $, 當(dāng)0<|x-2|<d時(shí), 有 |(5x+2)-12|<e , 所以. (3); 分析 因?yàn)?, 所以要使, 只須. 證明 因?yàn)?quot;e >0, $, 當(dāng)0<|x-(-2)|<d時(shí), 有 ,

27、 所以. (4). 分析 因?yàn)?, 所以要使, 只須. 證明 因?yàn)?quot;e >0, $, 當(dāng)時(shí), 有 , 所以. 2. 根據(jù)函數(shù)極限的定義證明: (1); 分析 因?yàn)?, 所以要使, 只須, 即. 證明 因?yàn)?quot;e >0, $, 當(dāng)|x|>X時(shí), 有 , 所以. (2). 分析 因?yàn)?. 所以要使, 只須, 即. 證明 因?yàn)?quot;e>0, $, 當(dāng)x>X時(shí), 有 , 所以. 3. 當(dāng)x®2時(shí), y=x2®4. 問d等于多少, 使當(dāng)|x-2|<d時(shí), |y-4|<0.001？ 解 由于當(dāng)x®2時(shí), |x-

28、2|®0, 故可設(shè)|x-2|<1, 即1<x<3. 要使 |x2-4|=|x+2|x-2|<5|x-2|<0.001, 只要. 取d=0.0002, 則當(dāng)0<|x-2|<d時(shí), 就有|x2-4|<0. 001. 4. 當(dāng)x®¥時(shí), , 問X等于多少, 使當(dāng)|x|>X時(shí), |y-1|<0.01? 解 要使, 只要, 故. 5. 證明函數(shù)f(x)=|x|當(dāng)x®0時(shí)極限為零. 證明 因?yàn)?|f(x)-0|=|x|-0|=|x|=|x-0|, 所以要使|f(x)-0|<e, 只須|x|<e.

29、 因?yàn)閷?duì)"e>0, $d=e, 使當(dāng)0<|x-0|<d, 時(shí)有 |f(x)-0|=|x|-0|<e, 所以. 6. 求 當(dāng)x®0時(shí)的左右極限, 并說明它們?cè)趚®0時(shí)的極限是否存在. 證明 因?yàn)?, , , 所以極限存在. 因?yàn)?, , , 所以極限不存在. 7. 證明: 若x®+¥及x®-¥時(shí), 函數(shù)f(x)的極限都存在且都等于A, 則. 證明 因?yàn)? , 所以"e>0, $X1>0, 使當(dāng)x<-X1時(shí), 有|f(x)-A|<e ; $X2>0, 使當(dāng)x>

30、X2時(shí), 有|f(x)-A|<e . 取X=maxX1, X2, 則當(dāng)|x|>X時(shí), 有|f(x)-A|<e , 即. 8. 根據(jù)極限的定義證明: 函數(shù)f(x)當(dāng)x®x0 時(shí)極限存在的充分必要條件是左極限、右極限各自存在并且相等. 證明 先證明必要性. 設(shè)f(x)®A(x®x0), 則"e>0, $d>0, 使當(dāng)0<|x-x0|<d 時(shí), 有|f(x)-A|<e . 因此當(dāng)x0-d<x<x0和x0<x<x0+d 時(shí)都有|f(x)-A|<e . 這說明f(x)當(dāng)x®x0

31、時(shí)左右極限都存在并且都等于A . 再證明充分性. 設(shè)f(x0-0)=f(x0+0)=A, 則"e>0, $d1>0, 使當(dāng)x0-d1<x<x0時(shí), 有| f(x)-A<e ; $d2>0, 使當(dāng)x0<x<x0+d2時(shí), 有| f(x)-A|<e . 取d=mind1, d2, 則當(dāng)0<|x-x0|<d 時(shí), 有x0-d1<x<x0及x0<x<x0+d2 , 從而有| f(x)-A|<e , 即f(x)®A(x®x0). 9. 試給出x®¥時(shí)函數(shù)極限的

32、局部有界性的定理, 并加以證明. 解 x®¥時(shí)函數(shù)極限的局部有界性的定理: 如果f(x)當(dāng)x®¥時(shí)的極限存在, 則存在X>0及M>0, 使當(dāng)|x|>X時(shí), |f(x)|<M. 證明 設(shè)f(x)®A(x®¥), 則對(duì)于e =1, $X>0, 當(dāng)|x|>X時(shí), 有|f(x)-A|<e =1. 所以 |f(x)|=|f(x)-A+A|£|f(x)-A|+|A|<1+|A|. 這就是說存在X>0及M>0, 使當(dāng)|x|>X時(shí), |f(x)|<M, 其中M

33、=1+|A|. 習(xí)題1-4 1. 兩個(gè)無窮小的商是否一定是無窮?。颗e例說明之. 解 不一定. 例如, 當(dāng)x®0時(shí), a(x)=2x, b(x)=3x都是無窮小, 但, 不是無窮小. 2. 根據(jù)定義證明: (1)當(dāng)x®3時(shí)為無窮小; (2)當(dāng)x®0時(shí)為無窮小. 證明 (1)當(dāng)x¹3時(shí). 因?yàn)?quot;e>0, $d=e , 當(dāng)0<|x-3|<d時(shí), 有, 所以當(dāng)x®3時(shí)為無窮小. (2)當(dāng)x¹0時(shí). 因?yàn)?quot;e>0, $d=e , 當(dāng)0<|x-0|<d時(shí), 有, 所以當(dāng)x®0時(shí)為無

34、窮小. 3. 根據(jù)定義證明: 函數(shù)為當(dāng)x®0時(shí)的無窮大. 問x應(yīng)滿足什么條件, 能使|y|>104？ 證明 分析, 要使|y|>M, 只須, 即. 證明 因?yàn)?quot;M>0, $, 使當(dāng)0<|x-0|<d時(shí), 有, 所以當(dāng)x®0時(shí), 函數(shù)是無窮大. 取M=104, 則. 當(dāng)時(shí), |y|>104. 4. 求下列極限并說明理由: (1); (2). 解 (1)因?yàn)? 而當(dāng)x®¥ 時(shí)是無窮小, 所以. (2)因?yàn)?x¹1), 而當(dāng)x®0時(shí)x為無窮小, 所以. 5. 根據(jù)函數(shù)極限或無窮大定義, 填寫下表

35、:f(x)®Af(x)®¥f(x)®+¥f(x)®-¥x®x0"e>0, $d>0, 使當(dāng)0<|x-x0|<d時(shí), 有恒|f(x)-A|<e. x®x0+x®x0-x®¥"e>0, $X>0, 使當(dāng)|x|>X時(shí), 有恒|f(x)|>M.x®+¥x®-¥解f(x)®Af(x)®¥f(x)®+¥f(x)®-&

36、#165;x®x0"e>0, $d>0, 使當(dāng)0<|x-x0|<d時(shí), 有恒|f(x)-A|<e. "M>0, $d>0, 使當(dāng)0<|x-x0|<d時(shí), 有恒|f(x)|>M."M>0, $d>0, 使當(dāng)0<|x-x0|<d時(shí), 有恒f(x)>M."M>0, $d>0, 使當(dāng)0<|x-x0|<d時(shí), 有恒f(x)<-M.x®x0+"e>0, $d>0, 使當(dāng)0<x-x0<d時(shí), 有恒

37、|f(x)-A|<e. "M>0, $d>0, 使當(dāng)0<x-x0<d時(shí), 有恒|f(x)|>M."M>0, $d>0, 使當(dāng)0<x-x0<d時(shí), 有恒f(x)>M."M>0, $d>0, 使當(dāng)0<x-x0<d時(shí), 有恒f(x)<-M.x®x0-"e>0, $d>0, 使當(dāng)0<x0-x<d時(shí), 有恒|f(x)-A|<e. "M>0, $d>0, 使當(dāng)0<x0-x<d時(shí), 有恒|f(x)|&

38、gt;M."M>0, $d>0, 使當(dāng)0<x0-x<d時(shí), 有恒f(x)>M."M>0, $d>0, 使當(dāng)0<x0-x<d時(shí), 有恒f(x)<-M.x®¥"e>0, $X>0, 使當(dāng)|x|>X時(shí), 有恒|f(x)-A|<e. "e>0, $X>0, 使當(dāng)|x|>X時(shí), 有恒|f(x)|>M."e>0, $X>0, 使當(dāng)|x|>X時(shí), 有恒f(x)>M."e>0, $X>0,

39、 使當(dāng)|x|>X時(shí), 有恒f(x)<-M.x®+¥"e>0, $X>0, 使當(dāng)x>X時(shí), 有恒|f(x)-A|<e. "e>0, $X>0, 使當(dāng)x>X時(shí), 有恒|f(x)|>M."e>0, $X>0, 使當(dāng)x>X時(shí), 有恒f(x)>M."e>0, $X>0, 使當(dāng)x>X時(shí), 有恒f(x)<-M.x®-¥"e>0, $X>0, 使當(dāng)x<-X時(shí), 有恒|f(x)-A|<e. &

40、quot;e>0, $X>0, 使當(dāng)x<-X時(shí), 有恒|f(x)|>M."e>0, $X>0, 使當(dāng)x<-X時(shí), 有恒f(x)>M."e>0, $X>0, 使當(dāng)x<-X時(shí), 有恒f(x)<-M. 6. 函數(shù)y=xcos x在(-¥, +¥)內(nèi)是否有界？這個(gè)函數(shù)是否為當(dāng)x®+¥ 時(shí)的無窮大？為什么？ 解 函數(shù)y=xcos x在(-¥, +¥)內(nèi)無界. 這是因?yàn)?quot;M>0, 在(-¥, +¥)內(nèi)總能找到這樣的x,

41、使得|y(x)|>M. 例如y(2kp)=2kp cos2kp=2kp (k=0, 1, 2, × × ×), 當(dāng)k充分大時(shí), 就有| y(2kp)|>M. 當(dāng)x®+¥ 時(shí), 函數(shù)y=xcos x不是無窮大. 這是因?yàn)?quot;M>0, 找不到這樣一個(gè)時(shí)刻N(yùn), 使對(duì)一切大于N的x, 都有|y(x)|>M. 例如(k=0, 1, 2, × × ×), 對(duì)任何大的N, 當(dāng)k充分大時(shí), 總有, 但|y(x)|=0<M. 7. 證明: 函數(shù)在區(qū)間(0, 1上無界, 但這函數(shù)不是當(dāng)x®

42、;0+時(shí)的無窮大. 證明 函數(shù)在區(qū)間(0, 1上無界. 這是因?yàn)?"M>0, 在(0, 1中總可以找到點(diǎn)xk, 使y(xk)>M. 例如當(dāng)(k=0, 1, 2, × × ×)時(shí), 有, 當(dāng)k充分大時(shí), y(xk)>M. 當(dāng)x®0+ 時(shí), 函數(shù)不是無窮大. 這是因?yàn)?"M>0, 對(duì)所有的d>0, 總可以找到這樣的點(diǎn)xk, 使0<xk<d, 但y(xk)<M. 例如可取(k=0, 1, 2, × × ×), 當(dāng)k充分大時(shí), xk<d, 但y(xk)=2kp

43、sin2kp=0<M. 習(xí)題1-5 1. 計(jì)算下列極限: (1); 解 . (2); 解 . (3); 解 . (4); 解 . (5); 解 . (6); 解 . (7); 解 . (8); 解 (分子次數(shù)低于分母次數(shù), 極限為零). 或 . (9); 解 . (10); 解 . (11); 解 . (12); 解 . (13); 解 (分子與分母的次數(shù)相同, 極限為最高次項(xiàng)系數(shù)之比). 或 . (14); 解 . 2. 計(jì)算下列極限: (1); 解 因?yàn)? 所以. (2); 解 (因?yàn)榉肿哟螖?shù)高于分母次數(shù)). (3). 解 (因?yàn)榉肿哟螖?shù)高于分母次數(shù)). 3. 計(jì)算下列極限: (1)

44、; 解 (當(dāng)x®0時(shí), x2是無窮小, 而是有界變量). (2). 解 (當(dāng)x®¥時(shí), 是無窮小, 而arctan x是有界變量). 4. 證明本節(jié)定理3中的(2).習(xí)題1-6 1. 計(jì)算下列極限: (1); 解 . (2); 解 . (3); 解 . (4); 解 . (5); 解 . 或 . (6)(x為不等于零的常數(shù)). 解 . 2. 計(jì)算下列極限: (1); 解 . (2); 解 . (3); 解 . (4)(k為正整數(shù)). 解 . 3. 根據(jù)函數(shù)極限的定義, 證明極限存在的準(zhǔn)則I¢. 證明 僅對(duì)x®x0的情形加以證明. 設(shè)e為任一給定

45、的正數(shù), 由于, 故由定義知, 對(duì)e>0, 存在d1>0, 使得當(dāng)0<|x-x0|<d1時(shí), 恒有|g(x)-A|<e, 即 A-e<g(x)<A+e. 由于, 故由定義知, 對(duì)e>0, 存在d2>0, 使得當(dāng)0<|x-x0|<d2時(shí), 恒有|h(x)-A|<e, 即 A-e<h(x)<A+e. 取d=mind1, d2, 則當(dāng)0<|x-x0|<d時(shí), A-e<g(x)<A+e與A-e<h(x)<A+e同時(shí)成立, 又因?yàn)?g(x)£f(x)£h(x), 所

46、以 A-e<f(x)<A+e, 即 |f(x)-A|<e,因此. 證明 僅對(duì)x®x0的情形加以證明. 因?yàn)?, , 所以對(duì)任一給定的e>0, 存在d>0, 使得當(dāng)0<|x-x0|<d時(shí), 恒有 |g(x)-A|<e及|h(x)-A|<e,即 A-e<g(x)<A+e及A-e<h(x)<A+e.又因?yàn)?g(x)£f(x)£h(x), 所以 A-e<f(x)<A+e, 即 |f(x)-A|<e,因此. 4. 利用極限存在準(zhǔn)則證明: (1); 證明 因?yàn)? 而 且, 由極限存

47、在準(zhǔn)則I, . (2); 證明 因?yàn)?, 而 , , 所以 . (3)數(shù)列, , , × × × 的極限存在; 證明 , (n=1, 2, 3, × × ×). 先證明數(shù)列xn有界. 當(dāng)n=1時(shí), 假定n=k時(shí)xk<2, 則當(dāng)n=k+1時(shí), , 所以xn<2(n=1, 2, 3, × × ×), 即數(shù)列xn有界. 再證明數(shù)列單調(diào)增. 因?yàn)?, 而xn-2<0, xn+1>0, 所以xn+1-xn>0, 即數(shù)列xn單調(diào)增. 因?yàn)閿?shù)列xn單調(diào)增加有上界, 所以此數(shù)列是有極限的.

48、(4); 證明 當(dāng)|x|£1時(shí), 則有 1+x£1+|x|£(1+|x|)n , 1+x³1-|x|³(1-|x|)n , 從而有 . 因?yàn)?, 根據(jù)夾逼準(zhǔn)則, 有 . (5). 證明 因?yàn)? 所以. 又因?yàn)? 根據(jù)夾逼準(zhǔn)則, 有. 習(xí)題 1-7 1. 當(dāng)x®0時(shí), 2x-x2 與x2-x3相比, 哪一個(gè)是高階無窮??？ 解 因?yàn)? 所以當(dāng)x®0時(shí), x2-x3是高階無窮小, 即x2-x3=o(2x-x2). 2. 當(dāng)x®1時(shí), 無窮小1-x和(1)1-x3, (2)是否同階？是否等價(jià)？ 解 (1)因?yàn)? 所以當(dāng)x&

49、#174;1時(shí), 1-x和1-x3是同階的無窮小, 但不是等價(jià)無窮小. (2)因?yàn)? 所以當(dāng)x®1時(shí), 1-x和是同階的無窮小, 而且是等價(jià)無窮小. 3. 證明: 當(dāng)x®0時(shí), 有: (1) arctan xx; (2). 證明 (1)因?yàn)?提示: 令y=arctan x, 則當(dāng)x®0時(shí), y®0), 所以當(dāng)x®0時(shí), arctanxx. (2)因?yàn)? 所以當(dāng)x®0時(shí), . 4. 利用等價(jià)無窮小的性質(zhì), 求下列極限: (1); (2)(n, m為正整數(shù)); (3); (4). 解 (1). (2). (3). (4)因?yàn)?(x

50、4;0), (x®0), (x®0),所以 . 5. 證明無窮小的等價(jià)關(guān)系具有下列性質(zhì): (1) a a (自反性); (2) 若a b, 則ba(對(duì)稱性); (3)若a b, bg, 則ag(傳遞性). 證明 (1), 所以a a ; (2) 若a b, 則, 從而. 因此ba ; (3) 若a b, bg, . 因此ag.習(xí)題1-8 1. 研究下列函數(shù)的連續(xù)性, 并畫出函數(shù)的圖形: (1); 解 已知多項(xiàng)式函數(shù)是連續(xù)函數(shù), 所以函數(shù)f(x)在0, 1)和(1, 2內(nèi)是連續(xù)的. 在x=1處, 因?yàn)閒(1)=1, 并且 , . 所以, 從而函數(shù)f(x)在x=1處是連續(xù)的.

51、綜上所述，函數(shù)f(x)在0, 2上是連續(xù)函數(shù). (2). 解 只需考察函數(shù)在x=-1和x=1處的連續(xù)性. 在x=-1處, 因?yàn)閒(-1)=-1, 并且 , , 所以函數(shù)在x=-1處間斷, 但右連續(xù). 在x=1處, 因?yàn)閒(1)=1, 并且 =f(1), =f(1), 所以函數(shù)在x=1處連續(xù). 綜合上述討論, 函數(shù)在(-¥, -1)和(-1, +¥)內(nèi)連續(xù), 在x=-1處間斷, 但右連續(xù). 2. 下列函數(shù)在指出的點(diǎn)處間斷, 說明這些間斷點(diǎn)屬于哪一類, 如果是可去間斷點(diǎn), 則補(bǔ)充或改變函數(shù)的定義使它連續(xù): (1), x=1, x=2; 解 . 因?yàn)楹瘮?shù)在x=2和x=1處無定義,

52、 所以x=2和x=1是函數(shù)的間斷點(diǎn). 因?yàn)? 所以x=2是函數(shù)的第二類間斷點(diǎn); 因?yàn)? 所以x=1是函數(shù)的第一類間斷點(diǎn), 并且是可去間斷點(diǎn). 在x=1處, 令y=-2, 則函數(shù)在x=1處成為連續(xù)的. (2), x=k, (k=0, ±1, ±2, × × ×); 解 函數(shù)在點(diǎn)x=kp(kÎZ)和(kÎZ)處無定義, 因而這些點(diǎn)都是函數(shù)的間斷點(diǎn). 因(k¹0), 故x=kp(k¹0)是第二類間斷點(diǎn); 因?yàn)? (kÎZ), 所以x=0和(kÎZ) 是第一類間斷點(diǎn)且是可去間斷點(diǎn). 令y|x=

53、0=1, 則函數(shù)在x=0處成為連續(xù)的; 令時(shí), y=0, 則函數(shù)在處成為連續(xù)的. (3), x=0; 解 因?yàn)楹瘮?shù)在x=0處無定義, 所以x=0是函數(shù)的間斷點(diǎn). 又因?yàn)椴淮嬖? 所以x=0是函數(shù)的第二類間斷點(diǎn). (4), x =1. 解 因?yàn)? 所以x=1是函數(shù)的第一類不可去間斷點(diǎn). 3. 討論函數(shù)的連續(xù)性, 若有間斷點(diǎn), 判別其類型. 解 . 在分段點(diǎn)x=-1處, 因?yàn)? , 所以x=-1為函數(shù)的第一類不可去間斷點(diǎn). 在分段點(diǎn)x=1處, 因?yàn)? , 所以x=1為函數(shù)的第一類不可去間斷點(diǎn). 4. 證明: 若函數(shù)f(x)在點(diǎn)x0連續(xù)且f(x0)¹0, 則存在x0的某一鄰域U(x0),

54、當(dāng)xÎU(x0)時(shí), f(x)¹0. 證明 不妨設(shè)f(x0)>0. 因?yàn)閒(x)在x0連續(xù), 所以, 由極限的局部保號(hào)性定理, 存在x0的某一去心鄰域, 使當(dāng)xÎ時(shí)f(x)>0, 從而當(dāng)xÎU(x0)時(shí), f(x)>0. 這就是說, 則存在x0的某一鄰域U(x0), 當(dāng)xÎU(x0)時(shí), f(x)¹0. 5. 試分別舉出具有以下性質(zhì)的函數(shù)f(x)的例子: (1)x=0, ±1, ±2, , × × ×, ±n, , × × ×是

55、f(x)的所有間斷點(diǎn), 且它們都是無窮間斷點(diǎn); 解 函數(shù)在點(diǎn)x=0, ±1, ±2, , × × ×, ±n, , × × ×處是間斷的,且這些點(diǎn)是函數(shù)的無窮間斷點(diǎn). (2)f(x)在R上處處不連續(xù), 但|f(x)|在R上處處連續(xù); 解 函數(shù)在R上處處不連續(xù), 但|f(x)|=1在R上處處連續(xù). (3)f(x)在R上處處有定義, 但僅在一點(diǎn)連續(xù). 解 函數(shù)在R上處處有定義, 它只在x=0處連續(xù). 習(xí)題1-9 1. 求函數(shù)的連續(xù)區(qū)間, 并求極限, 及. 解 , 函數(shù)在(-¥, +¥)內(nèi)除

56、點(diǎn)x=2和x=-3外是連續(xù)的, 所以函數(shù)f(x)的連續(xù)區(qū)間為(-¥, -3)、(-3, 2)、(2, +¥). 在函數(shù)的連續(xù)點(diǎn)x=0處, . 在函數(shù)的間斷點(diǎn)x=2和x=-3處, , . 2. 設(shè)函數(shù)f(x)與g(x)在點(diǎn)x0連續(xù), 證明函數(shù) j(x)=maxf(x), g(x), y(x)=minf(x), g(x)在點(diǎn)x0也連續(xù). 證明 已知, . 可以驗(yàn)證 , . 因此 , . 因?yàn)?=j(x0),所以j(x)在點(diǎn)x0也連續(xù). 同理可證明y(x)在點(diǎn)x0也連續(xù). 3. 求下列極限: (1); (2); (3); (4); (5); (6); (7). 解 (1)因?yàn)楹瘮?shù)

57、是初等函數(shù), f(x)在點(diǎn)x=0有定義, 所以 . (2)因?yàn)楹瘮?shù)f(x)=(sin 2x)3是初等函數(shù), f(x)在點(diǎn)有定義, 所以 . (3)因?yàn)楹瘮?shù)f(x)=ln(2cos2x)是初等函數(shù), f(x)在點(diǎn)有定義, 所以 . (4) . (5) . (6) . (7) . 4. 求下列極限: (1); (2); (3); (4); (5); (6). 解 (1) . (2) . (3) . (4) . (5). 因?yàn)?, , 所以. (6) . 5. 設(shè)函數(shù), 應(yīng)當(dāng)如何選擇數(shù)a, 使得f(x)成為在(-¥, +¥)內(nèi)的連續(xù)函數(shù)？ 解 要使函數(shù)f(x)在(-¥, +¥)內(nèi)連續(xù), 只須f(x)在x=0處連續(xù), 即只須 . 因?yàn)? , 所以只須取a=1. 習(xí)題1-10 1. 證明方程x5-3x=1至少有一個(gè)根介于1和2之間. 證明 設(shè)f(x)=x5-3x-1, 則f(x)是閉區(qū)間1, 2上的連續(xù)函數(shù). 因?yàn)閒(1)=-3