高數(shù)答案下習(xí)題冊(cè)答案 第六版下冊(cè) 同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)系 編

1、 第八章 多元函數(shù)的微分法及其應(yīng)用 1 多元函數(shù)概念 一、設(shè).二、求下列函數(shù)的定義域：1、 2、 三、求下列極限： 1、 （0） 2、 () 四、證明極限 不存在.證明：當(dāng)沿著x軸趨于（0，0）時(shí)，極限為零，當(dāng)沿著趨于（0，0）時(shí)，極限為, 二者不相等，所以極限不存在五、證明函數(shù) 在整個(gè)xoy面上連續(xù)。 證明：當(dāng)時(shí)，。當(dāng)時(shí)， ，所以函數(shù)在（0，0）也連續(xù)。所以函數(shù) 在整個(gè)xoy面上連續(xù)。六、設(shè)且當(dāng)y=0時(shí)，求f(x)及z的表達(dá)式. 解：f(x)=，z 2 偏導(dǎo)數(shù)1、設(shè)z= ,驗(yàn)證 證明：，2、求空間曲線在點(diǎn)（）處切線與y軸正向夾角()3、設(shè), 求 ( 1)4、設(shè), 求 ， ， 解： ， 5、設(shè)

2、，證明 : 6、判斷下面的函數(shù)在(0,0) 處是否連續(xù)？是否可導(dǎo)（偏導(dǎo)）？說明理由 連續(xù)； 不存在， 7、設(shè)函數(shù) f(x,y)在點(diǎn)（a,b）處的偏導(dǎo)數(shù)存在，求 （2fx(a,b)） 3 全微分1、單選題（1）二元函數(shù)f(x,y)在點(diǎn)(x,y)處連續(xù)是它在該點(diǎn)處偏導(dǎo)數(shù)存在的 _ (A) 必要條件而非充分條件 （B）充分條件而非必要條件 （C）充分必要條件 （D）既非充分又非必要條件 （2）對(duì)于二元函數(shù)f(x,y)，下列有關(guān)偏導(dǎo)數(shù)與全微分關(guān)系中正確的是_ (A) 偏導(dǎo)數(shù)不連續(xù)，則全微分必不存在 （B）偏導(dǎo)數(shù)連續(xù)，則全微分必存在 （C）全微分存在，則偏導(dǎo)數(shù)必連續(xù) （D）全微分存在，而偏導(dǎo)數(shù)不一定存在

3、2、求下列函數(shù)的全微分：1） 2） 解： 3） 解：3、設(shè)， 求 解： =4、設(shè) 求： 5、討論函數(shù)在（0，0）點(diǎn)處的連續(xù)性 、偏導(dǎo)數(shù)、 可微性解： 所以在（0，0）點(diǎn)處連續(xù)。 ，所以可微。 4 多元復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則1、 設(shè)，求 解：=2、 設(shè)，求 3、 設(shè)， 可微，證明 4、 設(shè)，其中具有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，求， 解： , , = ,5、 設(shè)，其中具有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)、具有二階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，求解： ， 6、 設(shè)，求解：。7、設(shè)，且變換 可把方程=0 化為 ， 其中具有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，求常數(shù)的值 證明： 得： a=38、設(shè)函數(shù)f(x,y)具有連續(xù)的一階偏導(dǎo)數(shù)，f(1,1)=1,又， 求 和 (1) ,

4、 (a+ab+ab2+b3) 5 隱函數(shù)的求導(dǎo)公式1、 設(shè)，求解：令，2、 設(shè)由方程確定，其中可微，證明 3、 設(shè)由方程所確定，其中可微，求 4、 設(shè)，求， ( ，)5、 設(shè)由方程所確定，可微，求解：令 ，則6、設(shè)由方程所確定，求 ()7、設(shè)z=z(x,y)由方程 所確定，求, , , 6 微分法在幾何中的應(yīng)用1、 求螺旋線 在對(duì)應(yīng)于處的切線及法平面方程解：切線方程為 法平面方程2、 求曲線 在（3，4，5）處的切線及法平面方程 解：切線方程為 ，法平面方程：3、 求曲面在（1，-1，2）處的切平面及法線方程 解：切平面方程為 及法線方程4、 設(shè)可微，證明由方程所確定的曲面在任一點(diǎn)處的切平面與

5、一定向量平行證明：令，則 ，所以在（）處的切平面與定向量（）平行。5、 證明曲面）上任意一點(diǎn)處的切平面在三個(gè)坐標(biāo)軸上的截距的平方和為證明：令，則 在任一點(diǎn)處的切平面方程為 在在三個(gè)坐標(biāo)軸上的截距分別為在三個(gè)坐標(biāo)軸上的截距的平方和為證明曲面上任意一點(diǎn)處的切平面都通過原點(diǎn)7、設(shè)F(x,y,z)具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，且對(duì)任意實(shí)數(shù)t, 總有 k為自然數(shù)，試證：曲面F(x,y,z)=0上任意一點(diǎn)的切平面都相交于一定點(diǎn) 證明 ： 兩邊對(duì)t 求導(dǎo)，并令t=1 設(shè)是曲面上任意一點(diǎn)，則過這點(diǎn)的切平面為： +=0 此平面過原點(diǎn)（0，0，0） 7 方向?qū)?shù)與梯度1、 設(shè)函數(shù)， 1）求該函數(shù)在點(diǎn)（1，3）處的梯度。2）在點(diǎn)

6、（1，3）處沿著方向的方向?qū)?shù)，并求方向?qū)?shù)達(dá)到最大和最小的方向解：梯度為 , 方向?qū)?shù)達(dá)到最大值的方向?yàn)?，方向?qū)?shù)達(dá)到 最小值的方向?yàn)椤?、 求函數(shù)在（1，2，-1）處沿方向角為的方向?qū)?shù)，并求在該點(diǎn)處方向?qū)?shù)達(dá)到最大值的方向及最大方向?qū)?shù)的值。解：方向?qū)?shù) 為，該點(diǎn)處方向?qū)?shù)達(dá)到最大值的方向即為梯度的方向 ，此時(shí)最大值為 3、 求函數(shù)在（1，1，-1）處沿曲線在（1，1，1）處的切線正方向（對(duì)應(yīng)于t增大的方向）的方向?qū)?shù)。解：，該函數(shù)在點(diǎn)（1，1，-1）處的方 向?qū)?shù)為，4、求函數(shù)在（1，1，-1）處的梯度。解：， 8 多元函數(shù)的極值及求法 1、求函數(shù)的極值。 答案：（，）極小值點(diǎn) 2求函

7、數(shù)的極值 答案：極小值 3. 函數(shù)在點(diǎn)（1，1）處取得極值，求常數(shù)a (-5) 4、 求函數(shù)在條件下的條件極值解： ，極小值為5、 欲造一個(gè)無蓋的長(zhǎng)方體容器，已知底部造價(jià)為3元/平方，側(cè)面造價(jià)均為1元/平方，現(xiàn)想用36元造一個(gè)容積最大的容器，求它的尺寸。（長(zhǎng)和寬2米，高3米）6、 在球面（）上求一點(diǎn)，使函數(shù) 達(dá)到極大值，并求此時(shí)的極大值。利用此極大值證明 有證明：令令，解得駐點(diǎn)。所以函數(shù)在處達(dá)到極大值。極大值為。即，令得。 7、求橢球面被平面x+y+z=0截得的橢圓的長(zhǎng)半軸與短半軸的 長(zhǎng)度解： ， 長(zhǎng)半軸 ， 短半軸 第八章 自測(cè)題一、選擇題：（每題2分，共14分）1、設(shè)有二元函數(shù) 則 A、存

8、在；B、不存在；C、存在， 且在(0,0)處不連續(xù)；D、存在， 且在(0,0)處連續(xù)。2、函數(shù)在各一階偏導(dǎo)數(shù)存在且連續(xù)是在連續(xù)的 A、必要條件； B、充分條件；C、充要條件； D、既非必要也非充分條件。3、函數(shù) 在(0,0)點(diǎn)處 A、極限值為1； B、極限值為-1；C、連續(xù)； D、無極限。4、在處，存在是函數(shù)在該點(diǎn)可微分的 （A）必要條件； （B）充分條件； （C）充要條件； （D）既非必要亦非充分條件。5、點(diǎn)是函數(shù)的 （A）極小值點(diǎn)； （ B）駐點(diǎn)但非極值點(diǎn)；（C）極大值點(diǎn)； （D）最大值點(diǎn)。6、曲面在點(diǎn)P(2,1,0)處的切平面方程是 （A）； （B）；（C）； （D）7、已知函數(shù)均有一階

9、連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，那么 (A); (B) ;(C) ; (D) 二、填空題：（每題分，共18分）1、 （ 0 ）、設(shè)，則（ ）、設(shè)則( 0 )、設(shè)，則在點(diǎn)處的全微分.、曲線在點(diǎn)處的切線方程為( )、曲線在點(diǎn)(1,1,1)處的切線方程為( )三、計(jì)算題（每題6分）1、設(shè)，求的一階偏導(dǎo)數(shù) ， 。2、設(shè)，求此函數(shù)在點(diǎn)處的全微分。并求該函數(shù)在該點(diǎn)處沿著從 P到方向的方向?qū)?shù)( ，)、設(shè)具有各二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，求解：、設(shè) 求和。 不存在，故不存在，同理，也不存在。 當(dāng)時(shí)，有 、設(shè)由方程所確定，求 ( )、設(shè)，具有連續(xù)的二階偏導(dǎo)數(shù)，可導(dǎo)，求 、設(shè)確定函數(shù)，求。 、設(shè)，式中二階可導(dǎo)，求解：記，則，類似地，有四、（分

10、）試分解正數(shù)為三個(gè)正數(shù)之和，而使它們的倒數(shù)和為最小。設(shè)三個(gè)正數(shù)為，則，記，令則由 解出。五、證明題：（分）試證：曲面上任一點(diǎn)處的切平面都平行于一條直線，式中連續(xù)可導(dǎo)。證明：曲面在任一點(diǎn)處的切平面的法向量為定直線L的方向向量若為，則，即則曲面上任一點(diǎn)的切平面平行于以(1,1,1)為方向的定直線。第九章 重積分 1 二重積分的概念與性質(zhì)1、 由二重積分的幾何意義求二重積分的值 其中D為： ( =)2、 設(shè)D為圓域若積分=，求a的值。解： = 3、 設(shè)D由圓求 解：由于D的面積為, 故=4、設(shè)D：， ，比較, 與的大小關(guān)系解：在D上， ,故5、 設(shè)f(t)連續(xù)，則由平面 z=0，柱面 和曲面所圍的

11、立體的體積，可用二重積分表示為6、根據(jù)二重積分的性質(zhì)估計(jì)下列積分的值 ()7、設(shè)f(x,y)為有界閉區(qū)域D：上的連續(xù)函數(shù)，求 解：利用積分中值定理及連續(xù)性有 2 二重積分的計(jì)算法1、設(shè)，其中D是由拋物線與直線y=2x，x=0所圍成的區(qū)域，則I=（ ） A ： B ： C ： D ： 2、設(shè)D是由不等式所確定的有界區(qū)域，則二重積分為 （ ）A ：0 B： C ： D： 13、設(shè)D是由曲線xy=1與直線x=1,x=2及y=2所圍成的區(qū)域，則二重積分 為（ ） A： B ： C ： D：4、 設(shè)f(x,y)是連續(xù)函數(shù)，則二次積分為（ ） A B C D 5、設(shè)有界閉域D1、D2關(guān)于oy軸對(duì)稱，f是域

12、D=D1+D2上的連續(xù)函數(shù)，則二重 積分為（ ） A B C D 6、設(shè)D1是由ox軸、oy軸及直線x+y=1所圍成的有界閉域，f是域D:|x|+|y|1 上的連續(xù)函數(shù)，則二重積分為（ ） A B C D 7、.設(shè)f(x,y)為連續(xù)函數(shù)，則為( ) A B C D 8、求 ，其中 由x=2,y=x,xy=1所圍成. ()9、設(shè)I=,交換積分次序后I為： I=10、改變二次積分的次序： = 11、設(shè) D=(x,y)|0x1,0y1 ,求的值 解：=12設(shè) I=,其中D是由x2+y2=Rx所圍城的區(qū)域，求I ()13、計(jì)算二重積分，其中D是圓域 解：=14、計(jì)算二重積分，其中D=(x,y)| 0x

13、1,0y1 解： =15、計(jì)算二重積分，D： 解：= 3 三重積分1、設(shè)是由x=0，y=0，z=0及x+2y+z=1所圍成的空間有界域，則為( ) A B C D 2、設(shè)是由曲面x2+y2=2z ,及z=2所圍成的空間有界域，在柱面坐標(biāo)系下將三重積分表示為累次積分，I=（ ） A B C D 3、設(shè)是由所確定的有界閉域，求三重積分 解：=24、設(shè)是由曲面z=xy, y=x, x=1 及z=0所圍成的空間區(qū)域，求 (1/364) 5、設(shè)是球域：，求 (0) 6、計(jì)算 其中為：平面z=2與曲面所圍成的 區(qū)域 ()7、計(jì)算其中是由平面z=0,z=y,y=1以及y=x2所圍成的閉區(qū)域(2/27) 8、

14、設(shè)函數(shù)f(u)有連續(xù)導(dǎo)數(shù)，且f(0)=0,求 解：= 4 重積分的應(yīng)用1、(1)、由面積=2x, =4x,y=x,y=0所圍成的圖形面積為（ ） A B C D (2) 、位于兩圓與之間，質(zhì)量分布均勻的薄板重心坐標(biāo)是( ) A (0,) B (0,) C (0,) D (0,)(3)、由拋物面和平面x=2所圍成的質(zhì)量分布均勻的物體的重心坐標(biāo)是 （ ） A () B () C () D ()(4)、 質(zhì)量分布均勻(密度為)的立方體所占有空間區(qū)域:,該立方體到oz軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量IZ=( ) A B C D 2、求均勻上半球體(半徑為R)的質(zhì)心解：顯然質(zhì)心在z軸上，故x=y=0,z= 故質(zhì)心為(0,0

15、,)4、 曲面將球面分割成三部分，由上至下依次記 這三部分曲面的面積為 s1, s2, s3, 求s1:s2:s3 解： 5、求曲面包含在圓柱內(nèi)部的那部分面積 解：6、求圓柱體包含在拋物面和xoy平面之間那部分立 體的體積 解： 第九章 自測(cè)題一、選擇題: （40分） 1、=( ) A B C D. 2、設(shè)為,當(dāng)( )時(shí),. A 1 B C D 3、設(shè),其中由所圍成,則=( B ). A B; C D. 4、設(shè)是由三個(gè)坐標(biāo)面與平面=1所圍成的空間區(qū)域,則 =( ). A B C D . 5 、設(shè)是錐面與平面所圍成的空間區(qū)域在第一卦限的部分,則=( ). A B C D . 6、計(jì)算,圍成的立體

16、,則正確的為( )和（） A B C D . 7、曲面包含在圓柱內(nèi)部的那部分面積( ) A B C D . 8、由直線所圍成的質(zhì)量分布均勻(設(shè)面密度為)的平面薄板,關(guān)于軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量=( ). A B C D 二、計(jì)算下列二重積分:（20分） 1、,其中是閉區(qū)域: ()2、,其中是由直線及圓周,所圍 成的在第一象 限內(nèi)的閉區(qū)域 . () 3、,其中是閉區(qū) 域: ( )4、,其中:. ()三、作出積分區(qū)域圖形并交換下列二次積分的次序: （15分） 1、 () 2、 () 3、 ()四、計(jì)算下列三重積分:（15分） 1、:拋物柱面所圍成的區(qū)域 ()2、其中是由平面上曲線繞軸旋轉(zhuǎn)而成的曲面與 平面所圍

17、 ()五、（5分）求平面被三坐標(biāo)面所割出的有限部分的面積 . ()六、（5分）設(shè)在上連續(xù),試證: = 第十章 曲線積分與曲面積分 1 對(duì)弧長(zhǎng)的曲線積分1設(shè) 關(guān)于軸對(duì)稱，表示在軸上側(cè)的部分，當(dāng)關(guān)于是偶函數(shù)時(shí)， A.0 B. C. D.ABC都不對(duì)2、設(shè)是以點(diǎn)為頂點(diǎn)的正方形邊界,則= A. 4 B.2 C. D. 3、有物質(zhì)沿曲線：分布，其線密度為，則它 的質(zhì)量 A. B. C. D.4求其中L為由所圍區(qū)域的整個(gè)邊界解：5其中L為雙紐線解：原積分=6 其中L為原積分=7其中L為球面與平面的交線解：將代入方程得于是L的參數(shù)方程：，又原積分=8、求均勻弧 的重心坐標(biāo)， 2 對(duì)坐標(biāo)的曲線積分一、選擇題1

18、.設(shè)關(guān)于軸對(duì)稱，表示在軸上側(cè)的部分，當(dāng)關(guān)于是偶函數(shù) 時(shí)， A.0 B. C. D.ABC都不對(duì)2設(shè)為的正向，則 A.0 B.4 C.2 D.-23為的正向， A.2 B.-2 C.0 D. 二、計(jì)算1，其中由曲線從 到方向解： 2 其中是正向圓周曲線 解： 由奇偶對(duì)稱性，： 3其中為從點(diǎn)到的有向線段 解：方程：，三、過和的曲線族，求曲線使沿該曲線從到的積分的值最小解：。 最小，此時(shí) 四、空間每一點(diǎn)處有力，其大小與到軸的距離成反比，方向垂直指向軸，試求當(dāng)質(zhì)點(diǎn)沿圓周從點(diǎn)到時(shí)，力所作的功解：由已知五、將積分化為對(duì)弧長(zhǎng)的積分,其中L 沿上半圓周解：，于是 3 格林公式及其應(yīng)用一、選擇題1.若是上半橢圓

19、取順時(shí)針方向,則 = A.0 B. C. D 2. 設(shè)為的正向，則 A2 B.-2 C.0 D.3.設(shè)為曲線的正向，則A9 B.-18 C. -9 D.0 二、計(jì)算題1.設(shè)是圓取逆時(shí)針方向，則 解：將方程代入被積函數(shù)在由格林公式得 2其中為點(diǎn)到的拋物線 的弧段解：因故積分與路徑無關(guān)，取3求，為(1) (2) 正方形邊界的正向解：(1)直接用格林公式=0 (2) 設(shè)為圓周：取逆時(shí)針方向，其參數(shù)方程 原積分為所以4、驗(yàn)證在面上是某函數(shù)的全微分，求出解：， 5、設(shè)曲線積分與路徑無關(guān)，其中具有連續(xù)的導(dǎo)數(shù)，且 ，計(jì)算的值解：取路徑：沿從到；再沿從到則或 4 對(duì)面積的曲面積分1、計(jì)算曲面積分 ，其中是平面

20、在第一卦限的部分 解：2、求曲面積分 ，其中是界于平面z=0和z=H之間的圓柱面 解： =23、求曲面積分 ，其中是錐面被柱面 所截得的有限部分 解：= 5 對(duì)坐標(biāo)的曲面積分一、選擇題1.設(shè)關(guān)于面對(duì)稱反向，是在面的前側(cè)部分，若關(guān)于為偶函數(shù)，則（ ） A.0 B. C. D.ABC都不對(duì)2.設(shè)取上側(cè),則下述積分不等于零的是（ ）A B C D 3.設(shè)為球面取外側(cè),為其上半球面,則有（ ） A. B. C. D. 0二、計(jì)算1其中由及三個(gè)坐標(biāo)面所圍成閉曲面的外側(cè)2其中為錐面被平面所截部分的外側(cè) 3.其中為被平面所截部分，其法向量與z軸成銳角 三、用兩類曲面積分之間的關(guān)系計(jì)算1 求其中是柱面在部分，

21、是的外法線的方向余弦 2其中為連續(xù)函數(shù)，為平面在第四卦限部分的上側(cè) =四、試求向量穿過由及及所圍成圓臺(tái)外側(cè)面（不含上下底）的流量 6 高斯公式1. 設(shè)是拋物面介于及之間部分的下側(cè)，求 2設(shè)為取外側(cè),求 3.設(shè)為平面在第一卦限部分的上側(cè)，則=4.求矢量場(chǎng)穿過曲面所圍成的閉曲面外側(cè)的通量 5. 求，其中有連續(xù)的二階導(dǎo)數(shù)，是 所圍立體的外側(cè) 6.求 ，其中是 及所圍曲面的外側(cè)7.，其中為取外側(cè) 7 斯托克斯公式 1、設(shè)為依參數(shù)增大方向的橢圓：，求 （0）2設(shè)為平面與坐標(biāo)面交線，從z軸看去為逆時(shí)針方向，求 （2）3.設(shè)為圓周若從軸正向看依逆時(shí)針方向，則 （） 4、其中為圓周若從軸正向看依逆時(shí)針方向。5

22、 ,其中為曲線從軸正 向看依逆時(shí)針方向。6 ,其中為橢圓 若從x軸正向看，此橢圓依逆時(shí)針方向。第十章 自測(cè)題一、填空（每題4分，共20分）1、設(shè)平面曲線為下半圓周，則曲線積分 （）2、設(shè)為橢圓，其周長(zhǎng)為,則(12)3、設(shè)為正向圓周在第一象限中的部分，則曲線積分（）4、設(shè) 是由錐面與半球面圍成的空間區(qū)域，是 的整個(gè)邊界的外側(cè)，則5、設(shè)為球面外側(cè)，則曲面積分 （0）二、選擇題（每題5分，共15分）1、 設(shè)是在第一卦限部分.則有 A B.C. D.2、設(shè)取上側(cè)，則下述積分不正確的是A B. C. D.3、設(shè)L是從點(diǎn)(0,0)沿折線、y=1-|x-1|至點(diǎn)A(2,0)的折線段，則曲線積分 為（ ） A

23、 0 B -1 C 2 D 2 三、計(jì)算（每題8分）1計(jì)算曲面積分，其中為錐面在柱體 內(nèi)的部分 2、過和的曲線族，求曲線使沿該曲線從到的積分的值最小 解：。 最小，此時(shí) 3、計(jì)算曲線積分，其中是以為中心，為半徑的圓周（取逆時(shí)針方向） 解：設(shè)為圓周：取逆時(shí)針方向，其參數(shù)方程原積分為4、計(jì)算其中L是平面與柱面的交線，從z軸正向看上去為逆時(shí)針方向.（-24）5計(jì)算曲面積分 其中是曲面 的上側(cè)。 （-） 6計(jì)算曲面積分其中S是由曲面與兩平面圍成立體表面的外側(cè) （） 7設(shè)S是橢球面的上半部分，點(diǎn),為S在點(diǎn)P處切平面, 為點(diǎn)到切平面的距離,求 （）四、（9分）在變力作用下，質(zhì)點(diǎn)由原點(diǎn)沿直線運(yùn)動(dòng)到橢球面 第

24、一卦限的點(diǎn)，問取何值時(shí)，力所作的功最大？求出的最大值。 （ 第十一章 無窮級(jí)數(shù) 1 常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的概念和性質(zhì)1、 設(shè)級(jí)數(shù)，則其和為（ ） A B C D 2、 若，則級(jí)數(shù)（ ） A 收斂且和為0 B 收斂但和不一定為0 C 發(fā)散 D 可能收斂也可能發(fā)散3 、若級(jí)數(shù)收斂于S，則級(jí)數(shù)（ ） A 收斂于2S B收斂于2S+ C收斂于2S- D發(fā)散4、若，,求 的值解： 所以5、若級(jí)數(shù)收斂，問數(shù)列是否有界 解：由于，故收斂數(shù)列必有界。6、若，求級(jí)數(shù)的值 解： 故7、求的值 解：故=8、求 的和 ( 2 常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的審斂法一、用比較審斂法或極限形式的比較審斂法判別下列級(jí)數(shù)的收斂性1、 判定級(jí)數(shù) 的斂散性

25、解：由于,而級(jí)數(shù)發(fā)散，故發(fā)散3、 判定斂散性 收斂; 1, 發(fā)散4、 判定斂散性 (收斂); 二、用比值或根值審斂法判別下列級(jí)數(shù)的收斂性5、 判定級(jí)數(shù)的斂散性 解：1,所以發(fā)散6、 判定級(jí)數(shù)的斂散性 解：，所以收斂 7、 收斂 8、 ， 收斂三、判別下列級(jí)數(shù)是否收斂。如果收斂，是絕對(duì)收斂還是條件收斂？7、 （絕對(duì)收斂）10、 （條件收斂）四、判定是否收斂，若收斂，是絕對(duì)收斂還是條件收斂解：|，用比值判別法知,所以絕對(duì)收斂 3 冪級(jí)數(shù)1、設(shè)冪級(jí)數(shù)在x=3處收斂，則該級(jí)數(shù)在x=-1點(diǎn)處（ ）A 絕對(duì)收斂 B 條件收斂 C發(fā)散 D 可能收斂也可能發(fā)散2、級(jí)數(shù)的收斂域 （0，43、 求冪級(jí)數(shù)的收斂半徑

26、 （）4、若級(jí)數(shù)在x=-2處收斂，則此級(jí)數(shù)在x=5處是否收斂，若收斂，是否絕對(duì)收斂 （絕對(duì)收斂 ）5、求冪級(jí)數(shù)的收斂域解：首先判斷其收斂區(qū)間為（-7，-3），當(dāng)x=-7、-3時(shí)，級(jí)數(shù)發(fā)散，所以級(jí)數(shù)的收 斂域?yàn)椋?7，-3）6、求冪級(jí)數(shù)的收斂域解：首先求得收斂區(qū)間為（-3，3），而級(jí)數(shù)在x=-3處發(fā)散，在x=3處收斂，所以 收斂域?yàn)椋?3，3 7、求冪級(jí)數(shù)的和函數(shù) （ -1x1）8、求冪級(jí)數(shù)的和函數(shù)解： = （-1x-1） 4 函數(shù)展開成冪級(jí)數(shù)1、 將函數(shù)f(x)=展開成x的冪級(jí)數(shù)解：f(x)=由展開式可得f(x)= x2、 將函數(shù)f(x)=展開成x的冪級(jí)數(shù)解： 而= x兩邊積分得 x3、將函數(shù)

27、f(x)=展開成x的冪級(jí)數(shù)解：f(x)=4、將函數(shù)f(x)=展開成x-5的冪級(jí)數(shù)解： f(x)= = x5、解：= x 5函數(shù)冪級(jí)數(shù)展開式的應(yīng)用1、 計(jì)算ln2的進(jìn)似值（要求誤差不超過0.0001）解：在lnx的冪級(jí)數(shù)展開式中令x=2 ln2=1- 考慮誤差范圍可求得ln22、 計(jì)算定積分的進(jìn)似值（要求誤差不超過0.0001）解：= = 再考慮誤差范圍可求得3、 計(jì)算積分的進(jìn)似值，（要求誤差不超過0.0001） 再考慮誤差范圍可求得 7 傅里葉級(jí)數(shù)1、 設(shè)f(x)是周期為的周期函數(shù)，它在-上的表達(dá)式為f(x)= 試將f(x)展開成傅立葉級(jí)數(shù)解： b=再將所求得的系數(shù)代入傅立葉級(jí)數(shù)可得傅立葉級(jí)數(shù)

28、展開式2、 將函數(shù)展開成正弦級(jí)數(shù) 3、 將函數(shù)展開成正弦級(jí)數(shù)和余弦級(jí)數(shù) 8 一般周期函數(shù)的傅立葉級(jí)數(shù)1、 將f(x)=2+|x|(-1展開成以2為周期的傅立葉級(jí)數(shù)后求的值 解：展開f(x)= 代x=0得 =+ 得 2、 將f(x)=x-1(0)展開成周期為4的余弦級(jí)數(shù)解： f(x)= (0)3、 將f(x)=x-1(0)展開成周期為4的正弦級(jí)數(shù)的和函數(shù)為s(x)，求s(8)解：s(8)=s(0)=4、設(shè)f(x)=，S(x)= ,其中=2求S(解：S(=S(= 第十一章 自測(cè)題一選擇題:（40分）1、下列級(jí)數(shù)中,收斂的是( ). (A)； (B)； (C)； (D).2、下列級(jí)數(shù)中,收斂的是(

29、). (A) ； (B)； (C)； (D).3、下列級(jí)數(shù)中,收斂的是( ) (A)； (B)； (C) ； (D).4、部分和數(shù)列有界是正項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂的( ) (A)充分條件； (B)必要條件； (C)充要條件； (D)既非充分又非必要條件5、設(shè)為非零常數(shù),則當(dāng)( )時(shí),級(jí)數(shù)收斂 . (A)； (B)； (C)； (D)6、冪級(jí)數(shù)的收斂區(qū)域是( ). (A) ；(B) ； (C) （0,2） (D) 0,27、是級(jí)數(shù)收斂的( ) (A)充分條件； (B)必要條件； (C)充要條件； (D)既非充分又非必要條件 .8、冪級(jí)數(shù)的收斂區(qū)間是( ) (A) ； (B) ； (C) ； (D) .二、

30、（8分）判別下列級(jí)數(shù)的收斂性 1、； 2、三、（6分）判別級(jí)數(shù)的斂散性 .四、（6分）求極限 . 五（8分）求下列冪級(jí)數(shù)的收斂區(qū)間: 1、； 2、.六（6分）求冪級(jí)數(shù)的和函數(shù) . 七（6分）求數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的和 . 八（6分）試將函數(shù)展開成.九（6分）設(shè)是周期為的函數(shù),它在上的表達(dá)式為 將展開成傅立葉級(jí)數(shù) . 十（8分）將函數(shù)分別展開成正弦級(jí)數(shù)和余弦級(jí)數(shù) . 自測(cè)題答案一、1、B； 2、B； 3、C； 4、C； 5、D； 6、A； 7、B； 8、B.二、1、發(fā)散； 2、收斂.三、條件收斂.四、. (提示:化成)五、1、； 2、.六、. 七、.八、九、 ().十、 . 第十二章 微分方程 1 微分方程

31、的基本概念1、由方程x2-xy+y2=C所確定的函數(shù)是方程（ ）的解。 A. (x-2y)y=2-xy B.(x-2y)y=2x-y C.(x-2)dx=(2-xy)dy D.(x-2y)dx=(2x-y)dy2、曲線族y=Cx+C2 (C為任意常數(shù)) 所滿足的微分方程 （ ） A. y=xy+y2 B.y=Cx+y2 C. xy+y2=C D. y=xy+y23如函數(shù)滿足初始條件：y=(C1+C2x)e2x , y|x=0=0 , y|x=p=1，則C1,C2的值為（ ） A. C1=0 , C2=1 B. C1=1 , C2=0 C. C1=p , C2=0 D. C1=0 , C2=p

32、4.微分方程y=寫成以y為自變量，x為函數(shù)的形式為（ ） A. B. C. x=2x-y D. y=2x-y5. 已知某初值問題的解為y=C1sin(x-C2) y|x=p=1,y|x=p=0, 確定C1, C2解：y=C1sin(x-C2), y=C1cos(x-C2)代入y|x=p=1,y|x=p=0得C1=1,C2=2kp+6 .設(shè)物體A從點(diǎn)(0,1)出發(fā)，以速度大小為常數(shù)v沿y軸正向運(yùn)動(dòng)。物體B從點(diǎn)(-1,0)與A同時(shí)出發(fā)，其速度大小為2v,方向始終指向A，試建立物體B的運(yùn)動(dòng)軌跡滿足的微分方程，并寫出初始條件。解：設(shè)在時(shí)刻t，物體B位于(x,y)處，則整理可得： 而有 其中s表示B的運(yùn)

33、動(dòng)軌跡的曲線的弧長(zhǎng)。將代入得：初始條件：y(-1)=0, y(-1)=1 2 可分離變量的微分方程1.方程P(x,y)dx+Q(x,y)dy=0是（ ） A.可分離變量的微分方程 B.一階微分方程的對(duì)稱形式。 C.不是微分方程 D.不能變成2、方程xy-ylny=0的通解為（ ）A y=ex B. y=Cex C.y=ecx D.y=ex+C3、方程滿足初始條件：y=e2x-y , y|x=0=0的特解為（ ）A. ey=e2x+1 B. C. y=lne2x+1-ln2 D. ey=e2x+C4、已知y=y(x)在任一點(diǎn)x處的增量，且當(dāng)Dx0時(shí)，a是Dx 的高階無窮小，y(0)=p,則y(1

34、)=( ) A. 2p B. p C. D. 5、求 特解 cosx sinydy=cosy sinxdx ， y|x=0=解：分離變量為tanydy=tanxdx即-ln(cosy)=-ln(cosx)-lnCcosy=ccosx代入初始條件：y|x=0=得：特解為：cosy=cosx6、求微分方程滿足y(0)=p的特解。解：由得：積分得：代入初始條件：y(0)=p，得C= -27、求微分方程滿足y(0)=0的特解 8、子彈以速度v0=400m/s打進(jìn)厚度為h=20cm的墻壁，穿透墻壁后速度為100m/s飛出。假定墻壁對(duì)于子彈的阻力和子彈運(yùn)動(dòng)速度平方成正比，求子彈穿透墻壁所用的時(shí)間。解：設(shè)在

35、時(shí)間t=0時(shí)，子彈打進(jìn)墻壁v(t)表示子彈在t時(shí)刻速度。子彈在墻壁中的運(yùn)動(dòng)所受阻力kv2(k為常數(shù))由牛頓第二定律得： 又v(0)=v0=400.解得C=可設(shè)子彈穿透墻壁所用時(shí)間為T，且墻壁后h=20cm,知即：e0.2k=400kT+1 (*)由題設(shè)知：子彈在時(shí)刻T時(shí)，飛出墻壁，且速度為100m/s，即，得400kT=3，代入(*)得：k=10ln2，即 3 齊次方程1 .(x2+y2)dx-xydy=0，其通解為（ ） A. y2=x2(2ln|x|+C) B. y=x(2ln|x|+C) C. y2=2x2ln|x|+C D. y=2xln|x|+C2., y|x=1=2，則特解為（ ）

36、 A. y2=2x2(lnx+C) B.y2=2x2(lnx+2) C .y=2xlnx+C D.y=2xlnx+23.的通解為（ ） A. x=2y+C B. C. D.以上都不對(duì)4、求yx2+xy=y2滿足y|x=1=1的特解。解：，則解得：5、求微分方程(x2+2xy-y2)dx-(y2+2xy-x2)dy=0滿足初始條件y|x=1=1的特解解：可得解得：lnx+lnC=ln(u+1)-ln(1+u2)即x(1+u2）=C(1+u),代入初始條件y|x=1=1得特解x2+y2=x+y6、求初值問題的解解：原方程化為令y=xu這里可得：將y|x=1=0代入的特解為或7、求曲線，使其上任一點(diǎn)

37、到原點(diǎn)的距離等于該點(diǎn)的切線在x軸上的截距解：設(shè)曲線上任一點(diǎn)P(x,y)，曲線：y=y(x)，則由題意知：Y-y=y(X-x)又得整理得：解得：得通解六、求的解。解：令u=x+2y，則u=1+2y2u-lnu=4x+C2(x+2y)-ln(2+2y)=4x+C 4 一階線性微分方程1、微分方程(y2+1)dx=y(y-2x)dy的通解是（ ）A. B. C. D. 2、微分方程xy+2y=xlnx滿足y(1)=的解為（ ） A. B. C. D. 3、y+y=y2(cosx-sinx)的通解為（ ） A .y=Cex-sinx B.=Cex-sinx C. Cyex-ysinx=C D.y=ex-sinx+C4、求 通解 解：，令得即2.xdy-ydx=y2eydy解：整理得5、求