初中數(shù)學(xué)動(dòng)點(diǎn)最值問題解法探析

1、word初中數(shù)學(xué)動(dòng)點(diǎn)最值問題解法探析一、問題原型：人教版八年級(jí)上冊(cè)第42頁(yè)探究如圖1-1，要在燃?xì)夤艿郎闲藿ㄒ粋€(gè)泵站，分別向、兩鎮(zhèn)供氣，泵站修在管道的什么地方，可使所用的輸氣管線最短？這個(gè)“確定最短路線問題，是一個(gè)利用軸對(duì)稱解決極值的經(jīng)典問題。解這類問題二、根本解法：對(duì)稱共線法。利用軸對(duì)稱變換，將線路中各線段映射到同一直線上線路長(zhǎng)度不變，確定動(dòng)點(diǎn)位置，計(jì)算線路最短長(zhǎng)度。三、一般結(jié)論：(在線段上時(shí)取等號(hào))如圖1-2 線段和最小，常見有三種類型：一“|定動(dòng)|+|定動(dòng)|型：兩定點(diǎn)到一動(dòng)點(diǎn)的距離和最小通過軸對(duì)稱，將動(dòng)點(diǎn)所在直線同側(cè)的兩個(gè)定點(diǎn)中的其中一個(gè)，映射到直線的另一側(cè)，當(dāng)動(dòng)點(diǎn)在這個(gè)定點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)及另

2、一定點(diǎn)的線段上時(shí)，由“兩點(diǎn)之間線段最短可知線段和的最小值，最小值為定點(diǎn)線段的長(zhǎng)。1.兩個(gè)定點(diǎn)+一個(gè)動(dòng)點(diǎn)。如圖1-3，作一定點(diǎn)關(guān)于動(dòng)點(diǎn)所在直線的對(duì)稱點(diǎn)，線段是另一定點(diǎn)與的交點(diǎn)即為距離和最小時(shí)動(dòng)點(diǎn)位置，最小距離和。例12006年河南省中考題如圖2，正方形的邊長(zhǎng)為，是的中點(diǎn)，是對(duì)角線上一動(dòng)點(diǎn)，那么的最小值是。解析：與關(guān)于直線對(duì)稱，連結(jié)，那么。連結(jié),在中，那么故的最小值為例22009年濟(jì)南市中考題如圖3，：拋物線的對(duì)稱軸為，與軸交于、兩點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)，其中，。1求這條拋物線的函數(shù)表達(dá)式；2在對(duì)稱軸上存在一點(diǎn)，使得的周長(zhǎng)最小，請(qǐng)求出點(diǎn)的坐標(biāo)。解析：1對(duì)稱軸為，由對(duì)稱性可知：。根據(jù)、三點(diǎn)坐標(biāo)，利用待定系數(shù)

3、法，可求得拋物線為：2與關(guān)于對(duì)稱軸對(duì)稱，連結(jié)，與對(duì)稱軸交點(diǎn)即為所求點(diǎn)。設(shè)直線解析式為：。把、代入得，。當(dāng)時(shí)，那么2.兩個(gè)定點(diǎn)+兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)。兩動(dòng)點(diǎn)，其中一個(gè)隨另一個(gè)動(dòng)一個(gè)主動(dòng)，一個(gè)從動(dòng)，并且兩動(dòng)點(diǎn)間的距離保持不變。用平移方法，可把兩動(dòng)點(diǎn)變成一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，轉(zhuǎn)化為“兩個(gè)定點(diǎn)和一個(gè)動(dòng)點(diǎn)類型來(lái)解。例3如圖4，河岸兩側(cè)有、兩個(gè)村莊，為了村民出行方便，方案在河上修一座橋，橋修在何處才能兩村村民來(lái)往路程最短？解析：設(shè)橋端兩動(dòng)點(diǎn)為、，那么點(diǎn)隨點(diǎn)而動(dòng)，等于河寬，且垂直于河岸。將向上平移河寬長(zhǎng)到，線段與河北岸線的交點(diǎn)即為橋端點(diǎn)位置。四邊形為平行四邊形，此時(shí)值最小。那么來(lái)往、兩村最短路程為：。例4(2022年天津市中考)在

4、平面角坐標(biāo)系中，矩形的頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)，頂點(diǎn)、分別在軸、軸的正半軸上，為邊的中點(diǎn)。1假設(shè)為邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)?shù)闹荛L(zhǎng)最小時(shí)，求點(diǎn)的坐標(biāo)；2假設(shè)，為邊上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且，當(dāng)四邊形的周長(zhǎng)最小時(shí)，求點(diǎn)，的坐標(biāo)。解析：作點(diǎn)關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn)，那么，。1連接交軸于點(diǎn)，連接，此時(shí)的周長(zhǎng)最小。由可知 ，那么，那么。2將向左平移2個(gè)單位到點(diǎn)，定點(diǎn)、分別到動(dòng)點(diǎn)、的距離和等于為定點(diǎn)、到動(dòng)點(diǎn)的距離和，即。從而把“兩個(gè)定點(diǎn)和兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)類問題轉(zhuǎn)化成“兩個(gè)定點(diǎn)和一個(gè)動(dòng)點(diǎn)類型。在上截取，連接交軸于，四邊形為平行四邊形，。此時(shí)值最小，那么四邊形的周長(zhǎng)最小。由、可求直線解析式為，當(dāng)時(shí)，即，那么。也可以用1中相似的方法求坐標(biāo)二“|動(dòng)定|+|

5、動(dòng)動(dòng)|型：兩動(dòng)點(diǎn)分別在兩條直線上獨(dú)立運(yùn)動(dòng)，一動(dòng)點(diǎn)分別到一定點(diǎn)和另一動(dòng)點(diǎn)的距離和最小。利用軸對(duì)稱變換，使一動(dòng)點(diǎn)在另一動(dòng)點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)與定點(diǎn)的線段上兩點(diǎn)之間線段最短，且這條線段垂直于另一動(dòng)點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)所在直線連接直線外一點(diǎn)與直線上各點(diǎn)的所有線段中，垂線段最短時(shí)，兩線段和最小，最小值等于這條垂線段的長(zhǎng)。例52009年陜西省中考如圖6，在銳角中，的平分線交于點(diǎn)，、分別是和上的動(dòng)點(diǎn)，那么的最小值為 4 。解析：角平分線所在直線是角的對(duì)稱軸，上動(dòng)點(diǎn)關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)在上，當(dāng)時(shí)，最小。作于，交于，作交于，例6如圖7，四邊形是等腰梯形，、在軸上，在軸上，拋物線過、兩點(diǎn)。1求、；2設(shè)是軸上方拋物線上的一動(dòng)點(diǎn)，它到軸與軸的距

6、離之和為，求的最大值；3當(dāng)2中點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到使取最大值時(shí)，此時(shí)記點(diǎn)為，設(shè)線段與軸交于點(diǎn)，為線段上一動(dòng)點(diǎn)，求到點(diǎn)與到軸的距離之和的最小值，并求此時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo)。解析：1由，可得：、；根據(jù)、的坐標(biāo)可求出拋物線解析式為2設(shè)，且，那么，用零點(diǎn)分段法可求得，。當(dāng)時(shí)，。此時(shí)，那么。3軸與直線關(guān)于對(duì)稱，作軸于，動(dòng)點(diǎn)關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)在直線上，當(dāng)垂直于直線時(shí)，的值最小。，根據(jù)和可求直線的解析式，那么有。由可知，。作，過點(diǎn)作軸的平行線，交于，那么。作于，那么，當(dāng)是于的交點(diǎn)時(shí)，與重合，有最小值5。函數(shù)，此時(shí)，那么，即。3.“|定動(dòng)|+|動(dòng)動(dòng)|+|動(dòng)定|型：兩定點(diǎn)到兩動(dòng)點(diǎn)的距離、以及兩動(dòng)之間距離和最小。例72009年漳州中考如圖8， ，是內(nèi)一點(diǎn)，、分別是和上的動(dòng)點(diǎn)，求周長(zhǎng)的最小值。解析：分別作關(guān)于、的對(duì)稱點(diǎn)、，連接，那么，當(dāng)、在線段上時(shí)， 周長(zhǎng)最小， ， 。 那么周長(zhǎng)的最小值為例82009年恩施中考恩施到張家界高速公路與滬渝高速公路垂直，如圖9建立直角坐標(biāo)系。著名的恩施大峽谷和世界級(jí)自然保護(hù)區(qū)星斗山位于兩高速公路同側(cè)，到直線的距離為，到直線和的距離分別為和。請(qǐng)你在旁和旁各修建一效勞