費(fèi)馬大定理證明

1、【法1】 等軸雙曲線方程的通解與費(fèi)爾瑪大定理的證明滕錫和(河南魯山 江河中學(xué) 郵編：467337) 摘 要: 由等軸雙曲線方程與費(fèi)爾瑪方程的內(nèi)在聯(lián)系，尋找到一種費(fèi)爾瑪方程是否有正整數(shù)解的充要條件，再由對(duì)此條件的否定，證明了費(fèi)爾瑪大定理，并且把費(fèi)爾瑪大定理與勾股定理有機(jī)地統(tǒng)一起來。關(guān)鍵詞: 完全解；可導(dǎo)出解；連環(huán)解中圖法分類號(hào)：O156.4 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A 文章編號(hào)： 1 R通解本文所用數(shù)集： -自然數(shù)集， -有理數(shù)集， -實(shí)數(shù)集。本文討論不超出的范圍。本文中方程及同類方程中的指數(shù)，以后不再說明。引理1 方程 （2） (1)有解的充要條件是它有解。引理2 方程（1）（2）有解的充要條件是它有既約

2、解。這樣，在以后的討論中只需討論解及既約解的情形，可使過程簡化。引理3 方程（1）（2）有解的充要條件是方程 （2） （2）有解。證明 充分性 如果方程（2）（2）有解，設(shè)（）為其解，則（）-（）1， 。于是方程（1）（2）有解。必要性 如果方程（1）（2）有解，設(shè)為其解，則，（）-（）1。于是方程（2）（2）有解（）。證畢 引理4 如果方程（1）（2）有解，那么，只有兩類：i）完全解；ii）可導(dǎo)出解。證明 第i）類屬顯然。第ii）類，把代入方程（1），得， 于是導(dǎo)出方程（1）的解。 除此以外，由其它任何形式的帶無理因子的解，都不能導(dǎo)出解。事實(shí)上，設(shè)（中至少有一個(gè)且三個(gè)數(shù)中含有不可通約的無理因

3、子， ）為方程（1）的解，則由的定義知，它們的無理因子是不能從上式中完全提到括號(hào)外面去的，即由它不能導(dǎo)出方程（1）的解。證畢從引理4及其證明過程可以得到以下三條結(jié)論：（1） 若將第i）類解的三個(gè)數(shù)同乘以一個(gè)數(shù)（），得到，則此解仍是方程（1）的第i）類解；若將三個(gè)數(shù)同乘以一個(gè)數(shù)（），得到，則此解變?yōu)榉匠蹋?）的第ii）類解。（2） 若將第ii）類解的三個(gè)數(shù)同乘以一個(gè)數(shù)，得到，則此解變?yōu)榉匠蹋?）的第i）類解;若將三個(gè)數(shù)同乘以一個(gè)數(shù)（），得到，則此解仍是方程（1）的第ii）類解。（3） 方程（1）的第i）、ii）類解與非第i）、ii）類解之間是封閉的。即無論對(duì)數(shù)組的三個(gè)數(shù)同乘以一個(gè)什么正實(shí)數(shù)，它們

4、之間都不可能互化。 定理1 方程（1）（2）的 解公式是 ， 或 （。證明 當(dāng)時(shí)，由得。根據(jù)引理3，這兩個(gè)方程在是否存在解方面是等價(jià)的。從而得到 于是設(shè)，則。由此解得 ?；謴?fù)和的比例系數(shù)后得，拆開后即得 。 又，由得。 設(shè)，則。仿上法又得到。若設(shè)， 則之間的變換關(guān)系是將兩式分別代入方程（1），等式成立。因此，兩式都是方程（1）的解公式。證畢定理1說明 i）方程（1）的任何一個(gè)解都可以由兩式同時(shí)表出; 兩式表出的任何一個(gè)數(shù)組，都是方程（1）的解。ii）如果方程（1）有（或）解，則必能用兩式同時(shí)表出；如果兩式同時(shí)表出（或）數(shù)組，則方程（1）有 (或)解。反之，如果兩式不能同時(shí)表出（或）數(shù)組，則方程

5、（1）沒有（或）解。2 有N解的充要條件引理5 方程（1）（2）有解的充要條件是 或 能同時(shí)表出或?qū)С鰯?shù)組。 證明 根據(jù)引理4的結(jié)論（3），可將兩式的系數(shù)略去，因?yàn)檫@樣，一者可使討論簡化，二者既不會(huì)使第i）、ii）類解增生，也不會(huì)使之消失，三者必要時(shí)再同乘以一個(gè)公共因子。先證。 必要性 根據(jù)定理1，如果方程（1）有解，必能用式表出或?qū)С?。根?jù)引理4，其解只有兩類：i）如果是第i）類解，即存在，當(dāng)時(shí)，其解 是解，則能表出數(shù)組；ii）如果是第ii）類解，根據(jù)引理4，由這個(gè)第ii）類解必能導(dǎo)出第i）類解，從而能導(dǎo)出數(shù)組。 充要性 如果式能表出或?qū)С鰯?shù)組，顯然是方程（1）的解，即方程（1）有解。 對(duì)于

6、式與式同理可證。證畢 根據(jù)引理1、2、5，不難找到思路：方程（1）有解的充要條件是兩式能同時(shí)表出或?qū)С黾燃s數(shù)組。定理2 方程 （ （3）有解的充要條件是以下兩式： 或 能同時(shí)表出既約數(shù)組。也可以是，奇，（，） 1。有且僅有這兩種情形，因?yàn)樽匀粩?shù)只有奇偶兩類。此類情形與上同理，故未寫出。無妨，下同。證明 必要性 如果方程（3）有既約解，根據(jù)引理1、2、5，必可由、 兩式同時(shí)表出或?qū)С?。此時(shí)兩式分別為 , .i） 證。根據(jù)引理4的三條結(jié)論，先讓。為此必須設(shè) ,一奇一偶，則必須再設(shè)，奇，則 ii）再證。根據(jù)引理4的三條結(jié)論，先讓。為此必須設(shè) ，二奇，則 。必須再設(shè) ，二奇，則 。 同時(shí)易證 、中的底

7、數(shù)分別兩兩互素。到此， 、兩式仍必能表出方程（3）的既約解。于是 、必能同時(shí)表出既約數(shù)組。 充分性 如果、都能表出既約數(shù)組，同時(shí)易驗(yàn)知，、能使方程（3）成立，那么，此時(shí)這兩個(gè)既約數(shù)組就是方程（3）的既約解。即方程（3）有解。證畢 推論1 方程（有解的充要條件是一下兩式： （，一奇一偶，）或 （，二奇，）能同時(shí)表出既約數(shù)組。 不難看出，、兩式內(nèi)容詳細(xì)，、兩式簡明扼要。它們各有所長，作用相同。定理 方程（ （4）有解的充要條件是一下兩式; ，或 （，二奇，能同時(shí)表出既約數(shù)組。 證明 必要性 如果方程（4）有既約解，根據(jù)引理1、2、5，必可由、兩式同時(shí)表出或?qū)С?。此時(shí)兩式分別為 ， 。將、的證明同時(shí)

8、進(jìn)行，以便比較。下面分四種情形討論：i）根據(jù)引理4 的三條結(jié)論，若，則必須設(shè) ，一奇一偶，則 。必須再設(shè)，奇，則 ；若，則必須設(shè) ，二奇，則必須再設(shè)，二奇，則 。 ii）根據(jù)引理4的三條結(jié)論，若，為了讓，必須有。為此必須設(shè)，則 若，為了讓，必須有，為此必須設(shè)，二奇， 則 但是，在情形ii）下，方程（4）若有既約解，必須被、兩式同時(shí)表出。于是得到 比較后發(fā)現(xiàn)，式中左邊的底數(shù)不是完全平方數(shù)，而右邊的底數(shù)是完全平方數(shù)；式的情形恰好相反。為此必須再設(shè)，則； 必須再設(shè)，二奇，則 。 這樣，情形ii）就歸結(jié)到情形i）中去了。同時(shí)易證中的底數(shù)分別兩兩互素。至于情形iii）和情形iv），顯然被情形ii）所包含

9、。到此，兩式仍必能表出方程（4）的既約解。于是，必能表出既約數(shù)組。 充要性 如果都能表出既約數(shù)組，同時(shí)易驗(yàn)知分別能使方程（4）成立，那么，此時(shí)這兩個(gè)既約數(shù)組就是方程（4）的既約解，即方程（4）有解。證畢推論2 方程（4） 有解的充要條件是以下兩式： （，一奇一偶，） （，二奇，） 能同時(shí)表出既約數(shù)組。 將推論1、2歸納到一起就是 推論3 方程(1) 有解的充要條件是以下兩式: （，一奇一偶，） （，二奇，） 能同時(shí)表出既約數(shù)組.順便指出,當(dāng)時(shí),由二式便可得到: 推論4 方程 (5)的既約解公式是以下二式： （，一奇一偶，）或 （，二奇，）3 連環(huán)解定理3 方程 （6）沒有。推論5 方程沒有解。

10、 推論6 方程沒有解。推論7 設(shè)，那么。定義1 如果都是方程（1）（2）的解，那么就把它們稱做方程（1）的一對(duì)連環(huán)解。引理6 設(shè)，一奇一偶，；，一奇一偶，那么，方程組 沒有解。證明 假設(shè)方程組有解，則由式變形后設(shè) 代入式，得 當(dāng)時(shí)，式左正右負(fù)相矛盾；當(dāng)時(shí)，將式兩邊開平方，得 根據(jù)推論7，。那么，式左邊是有理數(shù)，右邊是無理數(shù)，相矛盾。故原方程組沒有解。證畢定理4 方程（1）（2）沒有連環(huán)解。證明 假設(shè)方程（1）有連環(huán)解，則可設(shè)是它的一對(duì)連環(huán)解。根據(jù)推論3中的式，它們必可表示為（，一奇一偶，）（，一奇一偶,） = 對(duì)比、兩式得方程組根據(jù)引理6，上方程組沒有解。此與的定義相矛盾。故方程（1）沒有連環(huán)

11、解。證畢推論8 設(shè)，那么，中至少有一個(gè)。證明 假設(shè)不是這樣，那么，可設(shè)，。 ， 。于是恰好構(gòu)成方程（1）的一對(duì)連環(huán)解。此與定理4中方程（1）沒有連環(huán)解相矛盾。故原結(jié)論成立。證畢4 費(fèi)爾瑪方程沒有N解引理7 設(shè)，那么， 。定理5 方程（4）（沒有解。證明 假設(shè)不是這樣，那就是說，方程（4）有解。根據(jù)定理中的式，必有 （，二奇，）再根據(jù)引理7，必有+，-， 。此與由推論8中得到的與中至少有一個(gè)相矛盾。 因此，方程（4）沒有解。證畢 推論9 方程沒有解。 現(xiàn)將有關(guān)內(nèi)容概括一下：1） 推論6 方程沒有解。2） 定理4 方程沒有解。3） 推論9 方程沒有解。由此得到： 定理6 費(fèi)爾瑪方程 沒有解。 這就

12、是說，當(dāng)自然數(shù)時(shí)，任何一個(gè)自然數(shù)的次冪都不能分成兩個(gè)自然數(shù)的次冪之和。參考文獻(xiàn)1 閔嗣鶴 嚴(yán)士健 初等數(shù)論 高等教育出版社 19822 梁宗臣 世界數(shù)學(xué)簡史【法2】五個(gè)相似直角三角形與費(fèi)爾瑪大定理的證明（摘要）1 通解 引理1 設(shè)、的一個(gè)銳角分別為、，其度數(shù)都為，如圖，那么，它們的三邊之長可以分別表示為以下五個(gè)三角數(shù)組： ；。證明 首先，對(duì)于，設(shè)， ，則，即， ，。 其次，易知， ；當(dāng)時(shí)，;當(dāng)或時(shí)，。因此，這五個(gè)直角三角形在上述變換條件下都相似（或全等），且它們的三邊之長可以分別用三角數(shù)組表示。定理1 方程 （2） （1）的解公式是以下四式： ， ， ， 。 證明 由引理1，都是方程 （2）的

13、解，即。所以對(duì)任意的，都有。從而 是方程（2）的任意解。故。令就是方程（1）（2）的解公式。證畢2 有N解的充要條件引理2 方程（1）（2）有解的充要條件是它有解引理3 方程（1）（2）有解的充要條件是它有既約解引理4 如果方程（1）（2）有解，那么只有兩類：i）完全解; ii）可導(dǎo)出解（證明及三條結(jié)論同法1，略）引理5 （同法1，略） （下接法1的第4頁第5行引理5）Equilateral Hyperbolas General Solution And Fermats Last Theorems Demonstration Teng Xihe(Jianghe Middle School, Lushan County,Henan P.C:467337)Abstract: Basing on the relationship between Equilateral Hyperbola and Fermats Equation to make sure if there is some necessary request for positive integral solution in solving Fermats Equation . Then according to the negative