電子科技大學(xué),電磁場與電磁波第一章矢量分析

1、第第1 1章章電磁場與電磁波電磁場與電磁波電子科技大學(xué)電子科技大學(xué)電磁場與電磁波課程組電磁場與電磁波課程組第一章第一章 矢量分析矢量分析第第1 1章章電磁場與電磁波電磁場與電磁波電子科技大學(xué)電子科技大學(xué)電磁場與電磁波課程組電磁場與電磁波課程組 本章重點介紹與矢量場分析有關(guān)的數(shù)學(xué)基本章重點介紹與矢量場分析有關(guān)的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)內(nèi)容。礎(chǔ)內(nèi)容。 矢量代數(shù)矢量代數(shù) 常用正交坐標(biāo)系常用正交坐標(biāo)系 標(biāo)量場的標(biāo)量場的梯度梯度 矢量場的矢量場的散度散度 矢量場的矢量場的旋度旋度 拉普拉斯運算拉普拉斯運算 亥姆霍茲定理亥姆霍茲定理本章內(nèi)容本章內(nèi)容第第1 1章章電磁場與電磁波電磁場與電磁波電子科技大學(xué)電子科技大學(xué)電磁場與

2、電磁波課程組電磁場與電磁波課程組 矢量的幾何表示矢量的幾何表示：用一條有方向的線段來表示用一條有方向的線段來表示 A矢量的幾何表示矢量的幾何表示矢量可表示為：矢量可表示為： 其中其中 為為模值模值，表征矢量的，表征矢量的大小大?。?為為單位矢量單位矢量，表征矢量的，表征矢量的方向方向； 說明：矢量書寫時，說明：矢量書寫時，印刷體印刷體為場量符號加粗，如為場量符號加粗，如 。教材。教材上的矢量符號即采用印刷體。上的矢量符號即采用印刷體。1.1 矢量代數(shù)矢量代數(shù)1.1.1 標(biāo)量和矢量標(biāo)量和矢量 標(biāo)量與矢量標(biāo)量與矢量 標(biāo)量：標(biāo)量：只有大小，沒有方向只有大小，沒有方向的物理量的物理量( (電壓電壓U

3、U、電荷量、電荷量Q Q、能量、能量W W等）等） 矢量：矢量：既有大小，又有方向既有大小，又有方向的物理量（作用力，電、磁場強度）的物理量（作用力，電、磁場強度） 矢量的代數(shù)表示矢量的代數(shù)表示FEHBDAAeDAAeAAAeA第第1 1章章電磁場與電磁波電磁場與電磁波電子科技大學(xué)電子科技大學(xué)電磁場與電磁波課程組電磁場與電磁波課程組xxyyzzAe Ae Ae AcoscoscosxyzAAAAAA(coscoscos )xyzAA eee 矢量用坐標(biāo)分量表示矢量用坐標(biāo)分量表示coscoscosAxyzeeeezAxAAyAzxyO第第1 1章章電磁場與電磁波電磁場與電磁波電子科技大學(xué)電子科技

4、大學(xué)電磁場與電磁波課程組電磁場與電磁波課程組1.1.2 矢量的運算矢量的運算xxyyzzxxyyzzAe Ae Ae ABe Be Be B()()ABBAABCABC()()()xxxyyyzzzABeABeABeAB 矢量的加法和減法矢量的加法和減法說明：說明：1 1、矢量的加法符合、矢量的加法符合交換律交換律和和結(jié)合律結(jié)合律： 2 2、矢量相加和相減可用、矢量相加和相減可用平行四邊形法則平行四邊形法則求解：求解： BAABBAABB第第1 1章章電磁場與電磁波電磁場與電磁波電子科技大學(xué)電子科技大學(xué)電磁場與電磁波課程組電磁場與電磁波課程組cosABxxyyzzA BA BA BA BA B

5、 矢量的乘法矢量的乘法 矢量與標(biāo)量相乘矢量與標(biāo)量相乘xxyyzzAkAe kAe kAe kAe k A標(biāo)量與矢量相乘只改變矢量大小，不改變方向。標(biāo)量與矢量相乘只改變矢量大小，不改變方向。 矢量的標(biāo)積（點積）矢量的標(biāo)積（點積）()A BB AA BCA BA C 說明：說明：1 1、矢量的點積符合交換律和分配律：、矢量的點積符合交換律和分配律： 2 2、兩個矢量的點積為標(biāo)量兩個矢量的點積為標(biāo)量 ABAB第第1 1章章電磁場與電磁波電磁場與電磁波電子科技大學(xué)電子科技大學(xué)電磁場與電磁波課程組電磁場與電磁波課程組sin()()()xyznABxyzxyzxyzzyyzxxzzxyyxeeeA Be

6、ABAAABBBeA BA BeA BA BeA BA B 矢量的矢積（叉積）矢量的矢積（叉積）說明：說明：1 1、矢量的叉積矢量的叉積不符合不符合交換律，但交換律，但符合符合分配律：分配律： 2 2、兩個矢量的叉積為矢量兩個矢量的叉積為矢量 ()A BBAABCA BA C 3 3、矢量運算恒等式、矢量運算恒等式()()()()()()A B CB CACA BAB CB A CC A B sinABBABA第第1 1章章電磁場與電磁波電磁場與電磁波電子科技大學(xué)電子科技大學(xué)電磁場與電磁波課程組電磁場與電磁波課程組 三維空間任意一點的位置可通過三維空間任意一點的位置可通過三條相互正交線的交點三

7、條相互正交線的交點來確定。來確定。 在電磁場與波理論中，三種常用的正交坐標(biāo)系為：在電磁場與波理論中，三種常用的正交坐標(biāo)系為：直角坐直角坐標(biāo)系標(biāo)系、圓柱坐標(biāo)系圓柱坐標(biāo)系和和球坐標(biāo)系球坐標(biāo)系。 三條正交線組成的確定三維空間任意點位置的體系，稱為三條正交線組成的確定三維空間任意點位置的體系，稱為正交坐標(biāo)系正交坐標(biāo)系；三條正交線稱為；三條正交線稱為坐標(biāo)軸坐標(biāo)軸；描述坐標(biāo)軸的量稱為；描述坐標(biāo)軸的量稱為坐坐標(biāo)變量標(biāo)變量。1.2 三種常用的正交坐標(biāo)系三種常用的正交坐標(biāo)系第第1 1章章電磁場與電磁波電磁場與電磁波電子科技大學(xué)電子科技大學(xué)電磁場與電磁波課程組電磁場與電磁波課程組1.2.1 直角坐標(biāo)系直角坐標(biāo)系x

8、yzre xe ye z位置矢量位置矢量面元矢量面元矢量線元矢量線元矢量ddddxyzlexeye zdd dd dxxyzxSe lle y zdd dd dzzxyzSe lle x y體積元體積元dd d dVx y zdd dd dyyxzySellex z坐標(biāo)變量坐標(biāo)變量, ,x y z坐標(biāo)單位矢量坐標(biāo)單位矢量,xyze e e 點點P(x0,y0,z0)0yy（平面）（平面） o x y z0 xx（平面）（平面）0zz（平面（平面）P 直角坐標(biāo)系直角坐標(biāo)系 xezeyex yz直角坐標(biāo)系的長度元、面積元、體積元直角坐標(biāo)系的長度元、面積元、體積元 odzd ydxzyeSxxddd

9、yxeSzzdddzxeSyyddd第第1 1章章電磁場與電磁波電磁場與電磁波電子科技大學(xué)電子科技大學(xué)電磁場與電磁波課程組電磁場與電磁波課程組1.2.2 圓柱坐標(biāo)系圓柱坐標(biāo)系dd dd ddd dd ddd dd dzzzzzSellezSellezSe lle , z 坐標(biāo)變量坐標(biāo)變量,zee e 坐標(biāo)單位矢量坐標(biāo)單位矢量zree z位置矢量位置矢量ddddzreee z 線元矢量線元矢量dd d dVz 體積元體積元面元矢量面元矢量圓柱坐標(biāo)系中的線元、面元和體積元圓柱坐標(biāo)系中的線元、面元和體積元圓柱坐標(biāo)系圓柱坐標(biāo)系第第1 1章章電磁場與電磁波電磁場與電磁波電子科技大學(xué)電子科技大學(xué)電磁場與電

10、磁波課程組電磁場與電磁波課程組說明：說明：圓柱坐標(biāo)系下矢量運算方法：圓柱坐標(biāo)系下矢量運算方法：zzzzAe Ae Ae ABe Be Be B()()()zzzABeABeABeAB() ()zzzzzzA Be Ae Ae Ae Be Be BA BA BA B ()()zzzzzzzeeeA BAAAeA BA BeA BA BBBB()ze A BA B加減：加減：標(biāo)積：標(biāo)積：矢積：矢積：第第1 1章章電磁場與電磁波電磁場與電磁波電子科技大學(xué)電子科技大學(xué)電磁場與電磁波課程組電磁場與電磁波課程組1.2.3 球面坐標(biāo)系球面坐標(biāo)系2dd dsin d drrrSe lle r dd dsin

11、d drzSel le rrdd dd drSel le r r球坐標(biāo)系球坐標(biāo)系球坐標(biāo)系中的線元、面元和體積元球坐標(biāo)系中的線元、面元和體積元,r 坐標(biāo)變量坐標(biāo)變量,re e e 坐標(biāo)單位矢量坐標(biāo)單位矢量rre r位置矢量位置矢量dddsin drrere re r 線元矢量線元矢量2dsin d d dVrr 體積元體積元面元矢量面元矢量第第1 1章章電磁場與電磁波電磁場與電磁波電子科技大學(xué)電子科技大學(xué)電磁場與電磁波課程組電磁場與電磁波課程組說明：說明：球面坐標(biāo)系下矢量運算：球面坐標(biāo)系下矢量運算： rrrrAe Ae Ae ABe Be Be B()()()rrrABe ABeABeAB()

12、()rrrrrrA Be Ae Ae Ae Be Be BA BA BA B ()()()rrrrrrrreeeA BAAABBBe A BA BeA BA BeA BA B加減：加減：標(biāo)積：標(biāo)積：矢積：矢積：第第1 1章章電磁場與電磁波電磁場與電磁波電子科技大學(xué)電子科技大學(xué)電磁場與電磁波課程組電磁場與電磁波課程組1.2.4 坐標(biāo)單位矢量之間的關(guān)系坐標(biāo)單位矢量之間的關(guān)系 xeyezeeezecossin0cossin0001直角坐標(biāo)直角坐標(biāo)與與圓柱坐標(biāo)系圓柱坐標(biāo)系eezereeesin0cossincos0001圓柱坐標(biāo)圓柱坐標(biāo)與與球坐標(biāo)系球坐標(biāo)系直角坐標(biāo)直角坐標(biāo)與與球坐標(biāo)系球坐標(biāo)系zeree

13、ecossincossinsincos0 xeyesinsinsincoscossinoxy單位圓單位圓 直角坐標(biāo)系與柱坐標(biāo)系之間直角坐標(biāo)系與柱坐標(biāo)系之間坐標(biāo)單位矢量的關(guān)系坐標(biāo)單位矢量的關(guān)系xeyeeeorz單位圓單位圓 柱坐標(biāo)系與球坐標(biāo)系之間柱坐標(biāo)系與球坐標(biāo)系之間坐標(biāo)單位矢量的關(guān)系坐標(biāo)單位矢量的關(guān)系zeeree第第1 1章章電磁場與電磁波電磁場與電磁波電子科技大學(xué)電子科技大學(xué)電磁場與電磁波課程組電磁場與電磁波課程組三種坐標(biāo)系有不同適用范圍：三種坐標(biāo)系有不同適用范圍：1 1、直角坐標(biāo)系適用于場呈、直角坐標(biāo)系適用于場呈面對稱分布面對稱分布的問題求解，如無限大的問題求解，如無限大面電荷分布產(chǎn)生電場

14、分布。面電荷分布產(chǎn)生電場分布。2 2、柱面坐標(biāo)系適用于場呈、柱面坐標(biāo)系適用于場呈軸對稱分布軸對稱分布的問題求解，如無限長的問題求解，如無限長線電流產(chǎn)生磁場分布。線電流產(chǎn)生磁場分布。3 3、球面坐標(biāo)系適用于場呈、球面坐標(biāo)系適用于場呈點對稱分布點對稱分布的問題求解，如點電荷的問題求解，如點電荷產(chǎn)生電場分布。產(chǎn)生電場分布。第第1 1章章電磁場與電磁波電磁場與電磁波電子科技大學(xué)電子科技大學(xué)電磁場與電磁波課程組電磁場與電磁波課程組1.3 標(biāo)量場的梯度標(biāo)量場的梯度q 如果物理量是標(biāo)量，稱該場為如果物理量是標(biāo)量，稱該場為標(biāo)量場標(biāo)量場。 例如例如：溫度場、電位場、高度場等。：溫度場、電位場、高度場等。q 如果

15、物理量是矢量，稱該場為如果物理量是矢量，稱該場為矢量場矢量場。 例如例如：流速場：流速場、重力場重力場、電場、磁場等。、電場、磁場等。q 如果場與時間無關(guān)，稱為如果場與時間無關(guān)，稱為靜態(tài)場靜態(tài)場，反之為，反之為時變場時變場。時變標(biāo)量場和矢量場可分別表示為：時變標(biāo)量場和矢量場可分別表示為： ( , , , )u x y z t 、( , , , )F x y z t 確定空間區(qū)域上的每一點都有確定物理量與之對應(yīng)，稱在該區(qū)確定空間區(qū)域上的每一點都有確定物理量與之對應(yīng)，稱在該區(qū)域上定義了一個域上定義了一個場場。從數(shù)學(xué)上看，場是定義在空間區(qū)域上的函數(shù)：從數(shù)學(xué)上看，場是定義在空間區(qū)域上的函數(shù)： 標(biāo)量場和

16、矢量場標(biāo)量場和矢量場( , , )u x y z 、( , , )F x y z靜態(tài)標(biāo)量場和矢量場可分別表示為：靜態(tài)標(biāo)量場和矢量場可分別表示為：第第1 1章章電磁場與電磁波電磁場與電磁波電子科技大學(xué)電子科技大學(xué)電磁場與電磁波課程組電磁場與電磁波課程組1.3.1 標(biāo)量場的等值面標(biāo)量場的等值面 標(biāo)量場空間中，由所有場值相等的點所構(gòu)成的面，即為等值面。標(biāo)量場空間中，由所有場值相等的點所構(gòu)成的面，即為等值面。即若標(biāo)量函數(shù)為即若標(biāo)量函數(shù)為 ，則等值面方程為：，則等值面方程為：( , , )uu x y z( , , )u x y zcconst1.3.2 方向?qū)?shù)方向?qū)?shù)方向?qū)?shù)表征標(biāo)量場空間中，方向?qū)?/p>

17、數(shù)表征標(biāo)量場空間中，某點處某點處場值沿場值沿特定方向特定方向變化的規(guī)律。變化的規(guī)律。 方向?qū)?shù)定義：方向?qū)?shù)定義：000()()limlMu Mu Mull M0Mll( )u r方向?qū)?shù)與選取的方向?qū)?shù)與選取的考察方向考察方向有關(guān)。有關(guān)。第第1 1章章電磁場與電磁波電磁場與電磁波電子科技大學(xué)電子科技大學(xué)電磁場與電磁波課程組電磁場與電磁波課程組 方向?qū)?shù)物理意義：方向?qū)?shù)物理意義：00Mul，標(biāo)量場，標(biāo)量場 在在 處沿處沿 方向增加率；方向增加率；u0M00Mul，標(biāo)量場，標(biāo)量場 在在 處沿處沿 方向減小率；方向減小率；u0Mll00Mul，標(biāo)量場，標(biāo)量場 在在 處沿處沿 方向為等值面方向（無

18、改變）方向為等值面方向（無改變）u0Ml 方向?qū)?shù)的計算方向?qū)?shù)的計算coscoscosuuuulxyz 的方向余弦。的方向余弦。 l式中式中： coscoscos、分別為分別為 與與x,y,zx,y,z坐標(biāo)軸的夾角。坐標(biāo)軸的夾角。 l第第1 1章章電磁場與電磁波電磁場與電磁波電子科技大學(xué)電子科技大學(xué)電磁場與電磁波課程組電磁場與電磁波課程組 梯度的定義梯度的定義max( , , )lugradu x y zel式中：式中： 為場量為場量 最大變化率最大變化率的方向上的單位矢量。的方向上的單位矢量。le 梯度的性質(zhì)梯度的性質(zhì) 標(biāo)量場的梯度為標(biāo)量場的梯度為矢量矢量，且是坐標(biāo)位置的函數(shù)，且是坐標(biāo)位置

19、的函數(shù) 標(biāo)量場梯度的幅度表示標(biāo)量場的標(biāo)量場梯度的幅度表示標(biāo)量場的最大增加率最大增加率 標(biāo)量場梯度的方向標(biāo)量場梯度的方向垂直于垂直于等值面，為標(biāo)量場等值面，為標(biāo)量場增加最快增加最快的方向的方向 標(biāo)量場在給定點沿任意方向的標(biāo)量場在給定點沿任意方向的方向?qū)?shù)方向?qū)?shù)等于等于梯度在該方向投影梯度在該方向投影1.3.3 標(biāo)量場的梯度標(biāo)量場的梯度u第第1 1章章電磁場與電磁波電磁場與電磁波電子科技大學(xué)電子科技大學(xué)電磁場與電磁波課程組電磁場與電磁波課程組 梯度的運算梯度的運算1rzuuuueeerrz 11sinruuuueeerrr 直角坐標(biāo)系：直角坐標(biāo)系：()xyxyzzuuueeexgrad ueee

20、xzzuyy哈密頓算符u 球面坐標(biāo)系：球面坐標(biāo)系：11()sinreeerrr 柱面坐標(biāo)系：柱面坐標(biāo)系：1()rzeeerrz 第第1 1章章電磁場與電磁波電磁場與電磁波電子科技大學(xué)電子科技大學(xué)電磁場與電磁波課程組電磁場與電磁波課程組0()()()( )( )CCuCuuvuvuvuvvuf ufuu 梯度運算相關(guān)公式梯度運算相關(guān)公式式中：式中： 為常數(shù)；為常數(shù)； C,u v為坐標(biāo)變量函數(shù)；為坐標(biāo)變量函數(shù)； 第第1 1章章電磁場與電磁波電磁場與電磁波電子科技大學(xué)電子科技大學(xué)電磁場與電磁波課程組電磁場與電磁波課程組1.4 矢量場的通量與散度矢量場的通量與散度1.4.1 1.4.1 矢量線（力線）

21、矢量線（力線）矢量場的通量矢量場的通量 矢量線的矢量線的疏密疏密表征矢量場的表征矢量場的大小大小 矢量線上每點的切向代表該處矢量場的方向矢量線上每點的切向代表該處矢量場的方向( )SF rd S 若若矢量場矢量場 分布于空間中，在分布于空間中，在空間中存在任意曲面空間中存在任意曲面S S，則定義：，則定義：( )F r為為矢量矢量 沿沿有向曲面有向曲面 S S 的通量的通量。1.4.2 1.4.2 矢量場的通量矢量場的通量( )F r矢量線矢量線OM Fdrrrdr問題問題：如何定量描述矢量場的大??？如何定量描述矢量場的大??？ 引入引入通量通量的概念。的概念。 第第1 1章章電磁場與電磁波電磁

22、場與電磁波電子科技大學(xué)電子科技大學(xué)電磁場與電磁波課程組電磁場與電磁波課程組cos ( )nsssF dSF e dSFr dS 1) 1) 面元矢量面元矢量 定義：面積很小的定義：面積很小的有向有向曲面。曲面。dS：面元面積，為微分量，：面元面積，為微分量，無限小無限小dSne：面元法線方向，：面元法線方向，垂直于垂直于面元平面。面元平面。說明：說明： nedS2) 2) 面元法向面元法向 的確定方法：的確定方法： 對非閉合曲面：由曲面邊線繞向按對非閉合曲面：由曲面邊線繞向按右手右手螺旋法則螺旋法則確定；確定； 對閉合曲面：閉合面對閉合曲面：閉合面外法線方向外法線方向ne 若若S 為閉合曲面為

23、閉合曲面 ( )srd AS物理意義：表示穿入和穿出閉合面物理意義：表示穿入和穿出閉合面S S的通量的的通量的代數(shù)和代數(shù)和。 第第1 1章章電磁場與電磁波電磁場與電磁波電子科技大學(xué)電子科技大學(xué)電磁場與電磁波課程組電磁場與電磁波課程組 若若 ，通過閉合曲面有凈的矢量線穿出，閉合面內(nèi)有發(fā)，通過閉合曲面有凈的矢量線穿出，閉合面內(nèi)有發(fā)出矢量線的出矢量線的正源正源；0 若若 ，有凈的矢量線進(jìn)入，閉合面內(nèi)有匯集矢量線的，有凈的矢量線進(jìn)入，閉合面內(nèi)有匯集矢量線的負(fù)負(fù)源源；0 若若 ，進(jìn)入與穿出閉合曲面的矢量線相等，閉合面內(nèi)，進(jìn)入與穿出閉合曲面的矢量線相等，閉合面內(nèi)無無源源，或或正源負(fù)源代數(shù)和為正源負(fù)源代數(shù)和

24、為0 0。0 通過通過閉合面閉合面S S的通量的通量的物理意義：的物理意義：000第第1 1章章電磁場與電磁波電磁場與電磁波電子科技大學(xué)電子科技大學(xué)電磁場與電磁波課程組電磁場與電磁波課程組1.4.31.4.3、矢量場的散度、矢量場的散度 散度的定義散度的定義 在場空間在場空間 中任意點中任意點M M 處作一個閉合曲面，所圍的體積處作一個閉合曲面，所圍的體積為為 ，則定義場矢量，則定義場矢量 在在M M 點處的散度為：點處的散度為： ( )F rV0( )div( )limsVF rdF rVS( )F r即即流出單位體積元封閉面的通量。流出單位體積元封閉面的通量。第第1 1章章電磁場與電磁波電

25、磁場與電磁波電子科技大學(xué)電子科技大學(xué)電磁場與電磁波課程組電磁場與電磁波課程組 散度的物理意義散度的物理意義 矢量場的散度表征了矢量場的矢量場的散度表征了矢量場的通量源的分布特性通量源的分布特性( (體密度體密度) )； 矢量場的矢量場的散度是標(biāo)量散度是標(biāo)量； 矢量場的散度是空間坐標(biāo)的函數(shù)；矢量場的散度是空間坐標(biāo)的函數(shù)； 矢量場的散度值表征空間中某點處矢量場的散度值表征空間中某點處通量源的密度通量源的密度。( ( 正源正源) )( )0divF r 負(fù)負(fù)源源) )( )0divF r( ( 無源無源）( )0divF r 若若 處處成立，則該矢量場稱為處處成立，則該矢量場稱為無散場無散場 若若

26、，則該矢量場稱為，則該矢量場稱為有散場有散場， 為源密度為源密度( )0divF r( )0divF r 討論：在矢量場中，討論：在矢量場中，第第1 1章章電磁場與電磁波電磁場與電磁波電子科技大學(xué)電子科技大學(xué)電磁場與電磁波課程組電磁場與電磁波課程組 在直角坐標(biāo)系下：在直角坐標(biāo)系下：( )yxzFFFdivF rxyz() ()xyzxxyyzzeeeF eF eF exyz( )F r 在圓柱坐標(biāo)系下：在圓柱坐標(biāo)系下： 在球面坐標(biāo)系下：在球面坐標(biāo)系下：()11( )rzFrFFF rrrrz22111( )()(sin)sinsinrFF rr FFrrrr 散度的計算散度的計算第第1 1章章

27、電磁場與電磁波電磁場與電磁波電子科技大學(xué)電子科技大學(xué)電磁場與電磁波課程組電磁場與電磁波課程組1.4.4 散度定理（矢量場的高斯定理）散度定理（矢量場的高斯定理）( )( )VsF r dVF rdS 該公式表明了矢量場該公式表明了矢量場 的散度在體積的散度在體積V內(nèi)的積分等于矢量場穿內(nèi)的積分等于矢量場穿過包圍該體積的過包圍該體積的邊界面邊界面S S的通量。的通量。( )F r 散度運算相關(guān)公式散度運算相關(guān)公式0 ()()()()()()()CCCCfCffkFkF kf FfFFfFGFG 為常矢量為標(biāo)量函數(shù)為常數(shù)第第1 1章章電磁場與電磁波電磁場與電磁波電子科技大學(xué)電子科技大學(xué)電磁場與電磁波

28、課程組電磁場與電磁波課程組1.5 矢量場的矢量場的環(huán)流環(huán)流 旋度旋度磁感應(yīng)線要磁感應(yīng)線要么穿過曲面么穿過曲面磁感應(yīng)線要么同時磁感應(yīng)線要么同時穿入和穿出曲面穿入和穿出曲面磁感應(yīng)線磁感應(yīng)線磁場的環(huán)流：磁場的環(huán)流：第第1 1章章電磁場與電磁波電磁場與電磁波電子科技大學(xué)電子科技大學(xué)電磁場與電磁波課程組電磁場與電磁波課程組1.5.1 1.5.1 矢量的環(huán)流矢量的環(huán)流在場矢量在場矢量 空間中，取一有向閉合空間中，取一有向閉合路徑路徑 ，則稱，則稱 沿沿 積分的結(jié)果稱積分的結(jié)果稱為矢量為矢量 沿沿 的環(huán)流。即：的環(huán)流。即：( )F r( )F r( )F r( )lF rdl 線元線元矢量矢量 ：長度趨近于

29、：長度趨近于0 0，方向沿路徑切線方向。，方向沿路徑切線方向。dl 環(huán)流意義：若矢量場環(huán)流不為零，則矢量場中存在產(chǎn)環(huán)流意義：若矢量場環(huán)流不為零，則矢量場中存在產(chǎn)生矢量場的漩渦源。生矢量場的漩渦源。反映矢量場漩渦源分布情況反映矢量場漩渦源分布情況討論：討論：SSn 環(huán)量的定義APllll第第1 1章章電磁場與電磁波電磁場與電磁波電子科技大學(xué)電子科技大學(xué)電磁場與電磁波課程組電磁場與電磁波課程組1.5.2 1.5.2 矢量的旋度矢量的旋度 環(huán)流面密度環(huán)流面密度0limcnsF dlrot FS 稱為矢量場稱為矢量場 在在M M點處沿點處沿 方向的漩渦源密度方向的漩渦源密度。( )F r n定義：定義

30、：空間某點空間某點M M處單位面元邊界閉合曲線的環(huán)流：處單位面元邊界閉合曲線的環(huán)流：SCMFn1)1)環(huán)流面密度大小與所選取的單位面元方向環(huán)流面密度大小與所選取的單位面元方向 有關(guān)。有關(guān)。nrotnnFe rotF（投影關(guān)系）2) 任意取向面元的環(huán)流面密度與最大環(huán)流面密度的關(guān)系：任意取向面元的環(huán)流面密度與最大環(huán)流面密度的關(guān)系：第第1 1章章電磁場與電磁波電磁場與電磁波電子科技大學(xué)電子科技大學(xué)電磁場與電磁波課程組電磁場與電磁波課程組 矢量場的矢量場的旋度旋度 矢量場在矢量場在M M點的旋度為該點處點的旋度為該點處環(huán)流面密度最大時環(huán)流面密度最大時對應(yīng)的矢量，對應(yīng)的矢量，模值等于模值等于M M點處最

31、大環(huán)流面密度點處最大環(huán)流面密度，方向為，方向為環(huán)流密度最大的方向環(huán)流密度最大的方向，表，表示為示為 ，即：，即：rot F式中：式中： 表示矢量場旋度的方向；表示矢量場旋度的方向； nmax0rotlimcSF dlFnS 旋度的物理意義旋度的物理意義 矢量的旋度為矢量的旋度為矢量矢量，是空間坐標(biāo)的函數(shù)，是空間坐標(biāo)的函數(shù) 矢量在空間某點處的旋度表征矢量場在該點處的矢量在空間某點處的旋度表征矢量場在該點處的漩渦源密度漩渦源密度第第1 1章章電磁場與電磁波電磁場與電磁波電子科技大學(xué)電子科技大學(xué)電磁場與電磁波課程組電磁場與電磁波課程組 旋度的計算旋度的計算 直角坐標(biāo)系：直角坐標(biāo)系：xxyyzzrot

32、Fe rot Fe rot Fe rot F()()()yyxxzzxyzFFFFFFeeeyzzxxy()xyzxxyyzzeeee Fe Fe FxyzFxyzxyzeeexyzFFF第第1 1章章電磁場與電磁波電磁場與電磁波電子科技大學(xué)電子科技大學(xué)電磁場與電磁波課程組電磁場與電磁波課程組1zzeeeFzFFF2sin1sinsinrrerereFrrFrFrF 柱面坐標(biāo)系：柱面坐標(biāo)系： 球面坐標(biāo)系：球面坐標(biāo)系：矢量場的旋度矢量場的旋度的散度恒為零的散度恒為零標(biāo)量場的梯度標(biāo)量場的梯度的旋度恒為零的旋度恒為零()fFfFfF ()fCfC 0C ()FGFG ()FGGFFG ()0F ()

33、0u 旋度計算相關(guān)公式：旋度計算相關(guān)公式：證明證明證明證明第第1 1章章電磁場與電磁波電磁場與電磁波電子科技大學(xué)電子科技大學(xué)電磁場與電磁波課程組電磁場與電磁波課程組討論：散度和旋度比較討論：散度和旋度比較 0,0FF0.0FF0,0FF0,0FF第第1 1章章電磁場與電磁波電磁場與電磁波電子科技大學(xué)電子科技大學(xué)電磁場與電磁波課程組電磁場與電磁波課程組1.5.3 1.5.3 斯托克斯定理斯托克斯定理()cdd lAAS0limro tcnSdSlAe由旋度的定義 對于有限大面積s，可將其按如圖方式進(jìn)行分割，對每一小面積元有)11()clA dAdS 22()clA dAdS ()sAdS clA

34、 d()SlA dSA dl斯托克斯定理的證明：得證！ 意義：矢量場的旋度在曲面上的積分等于意義：矢量場的旋度在曲面上的積分等于該矢量場在限定該曲面的閉合曲線上的環(huán)流。該矢量場在限定該曲面的閉合曲線上的環(huán)流。曲面的曲面的剖分剖分方向相反大方向相反大小相等抵消小相等抵消第第1 1章章電磁場與電磁波電磁場與電磁波電子科技大學(xué)電子科技大學(xué)電磁場與電磁波課程組電磁場與電磁波課程組 若矢量場若矢量場 在某區(qū)域在某區(qū)域V V內(nèi)，處處內(nèi)，處處 ，但在某些位，但在某些位置或整個空間內(nèi)，有置或整個空間內(nèi)，有 ，則稱在該區(qū)域，則稱在該區(qū)域V V內(nèi)，場內(nèi)，場 為無旋場。為無旋場。 1.6 無旋場與無散場無旋場與無散

35、場1.6.1 1.6.1 無旋場無旋場0F0F( )F r( )F r( )( )0cSF rdlF rdS結(jié)論：結(jié)論：無旋場場矢量沿任何閉合路徑的環(huán)流等于零無旋場場矢量沿任何閉合路徑的環(huán)流等于零( (無漩渦源無漩渦源) )。 重要性質(zhì)重要性質(zhì)：無旋場的旋度始終為無旋場的旋度始終為0，可引入標(biāo)量輔助函數(shù)可引入標(biāo)量輔助函數(shù)表征矢量場，即表征矢量場，即Fu 例如：靜電場例如：靜電場0EE 第第1 1章章電磁場與電磁波電磁場與電磁波電子科技大學(xué)電子科技大學(xué)電磁場與電磁波課程組電磁場與電磁波課程組1.6.2 1.6.2 無散場無散場 若矢量場若矢量場 在某區(qū)域在某區(qū)域V V內(nèi)，處處內(nèi)，處處 ，但在某些

36、位置，但在某些位置或整個空間內(nèi)，有或整個空間內(nèi)，有 ，則稱在該區(qū)域，則稱在該區(qū)域V V內(nèi)，場內(nèi)，場 為為無源有旋場。無源有旋場。 ( )F r0F0FJ( )F r( )( )0SVF rdSF r dV結(jié)論：結(jié)論：無散場通過任意閉合曲面的通量等于零（無散度源）無散場通過任意閉合曲面的通量等于零（無散度源）。 重要性質(zhì)：重要性質(zhì)：無散場的散度始終為無散場的散度始終為0，可引入矢量函數(shù)的旋度表示無散場，可引入矢量函數(shù)的旋度表示無散場FA 例如，恒定磁場例如，恒定磁場BA 0B第第1 1章章電磁場與電磁波電磁場與電磁波電子科技大學(xué)電子科技大學(xué)電磁場與電磁波課程組電磁場與電磁波課程組（3 3）無旋、

37、無散場）無旋、無散場 （源在所討論的區(qū)域之外）（源在所討論的區(qū)域之外）0F （4 4）有散、有旋場）有散、有旋場這樣的場可分解為兩部分：無旋場部分和無散場部分這樣的場可分解為兩部分：無旋場部分和無散場部分( )( )( )( )( )lCF rF rF ru rA r 無旋場部分無旋場部分無散場部分無散場部分()0u Fu 20u0F 第第1 1章章電磁場與電磁波電磁場與電磁波電子科技大學(xué)電子科技大學(xué)電磁場與電磁波課程組電磁場與電磁波課程組1.7 拉普拉斯運算拉普拉斯運算 標(biāo)量場的拉普拉斯運算標(biāo)量場的拉普拉斯運算對標(biāo)量場的梯度求散度的運算稱為拉普拉斯運算。記作：對標(biāo)量場的梯度求散度的運算稱為拉

38、普拉斯運算。記作：2uu 2“”式中：式中：稱為拉普拉斯算符。稱為拉普拉斯算符。 在直角坐標(biāo)系中：在直角坐標(biāo)系中：2222222uuuuxyz 在圓柱坐標(biāo)系中：在圓柱坐標(biāo)系中：22222211()uuuuz 在球面坐標(biāo)系中：在球面坐標(biāo)系中：(1.7.3)(1.7.3)第第1 1章章電磁場與電磁波電磁場與電磁波電子科技大學(xué)電子科技大學(xué)電磁場與電磁波課程組電磁場與電磁波課程組 矢量場的拉普拉斯運算矢量場的拉普拉斯運算2()()FFF 在直角坐標(biāo)系中：在直角坐標(biāo)系中：2222xxyyzzFeFeFeF第第1 1章章電磁場與電磁波電磁場與電磁波電子科技大學(xué)電子科技大學(xué)電磁場與電磁波課程組電磁場與電磁波課程組1.8 亥姆霍茲定理亥姆霍茲定理亥姆霍茲定理亥姆霍茲定理 在有限區(qū)域內(nèi)，