第三章力學量用算符表達

1、 經(jīng)典力學中物質運動的狀態(tài)總是用坐標、動量、角動經(jīng)典力學中物質運動的狀態(tài)總是用坐標、動量、角動量、自旋、動能、勢能、轉動能等力學量以決定論的方式量、自旋、動能、勢能、轉動能等力學量以決定論的方式描述。量子力學的第一個驚人之舉就是引入了波函數(shù)描述。量子力學的第一個驚人之舉就是引入了波函數(shù) 這這樣一個基本概念，以概率的特征全面地描述了微觀粒子的樣一個基本概念，以概率的特征全面地描述了微觀粒子的運動狀態(tài)。但運動狀態(tài)。但 并不能作為量子力學中的力學量。于是，并不能作為量子力學中的力學量。于是，又引入了一個重要的基本概念又引入了一個重要的基本概念算符算符，用它表示量子力學，用它表示量子力學中的力學量。算

2、符和波函數(shù)作為量子力學的核心概念相輔中的力學量。算符和波函數(shù)作為量子力學的核心概念相輔相承、貫穿始終。相承、貫穿始終。 第三章力學量用算符表達 代表對波函數(shù)進行某種運算或變換的符號代表對波函數(shù)進行某種運算或變換的符號 u = v 表示表示 把函數(shù)把函數(shù) u 變成變成 v， 就是這種變就是這種變 換的算符。換的算符。1）du / dx = v ， d / dx 就是算符，其作用就是算符，其作用 是對函數(shù)是對函數(shù) u 微商，微商， 故稱為微商算符。故稱為微商算符。2）x u = v， x 也是算符。也是算符。 它對它對 u 作用作用 是使是使 u 變成變成 v。由于算符只是一種運算符號，所以它單獨

3、存由于算符只是一種運算符號，所以它單獨存在是沒有意義的，僅當它作用于波函數(shù)上，在是沒有意義的，僅當它作用于波函數(shù)上，對波函數(shù)做相應的運算才有意義，例如：對波函數(shù)做相應的運算才有意義，例如：算符定義算符定義3.1 算符的運算規(guī)則算符的運算規(guī)則 )()(dxdxdxdxxdxdxdxd 原原式式() sincos cos ddxxxxxxxdxdxxxxcos2sin xxsin)( 22() ?ddxxdxdx設波函數(shù)設波函數(shù)，求，求 解：解： 例題例題 1（1 1）線性算符）線性算符(c11+c22)= c11+c22其中其中c1, c2是任意復常數(shù)，是任意復常數(shù)， 1, 1是任意兩個波函數(shù)。

4、是任意兩個波函數(shù)。滿足如下運算規(guī)律的滿足如下運算規(guī)律的 算符算符 稱為線性算符稱為線性算符（2 2）算符相等）算符相等 若兩個算符若兩個算符 、對體系的任何波函數(shù)對體系的任何波函數(shù) 的運算結果都相的運算結果都相 同，即同，即= ，則算符則算符 和算符和算符 相等記為相等記為 = 。是是線線性性算算符符。單單位位算算符符動動量量算算符符Iip 例如：例如：開方算符、取復共軛就不是線性算符。開方算符、取復共軛就不是線性算符。 注意：描寫可觀測量的力學量算符都是線性算符，這是態(tài)疊加原理的反映。注意：描寫可觀測量的力學量算符都是線性算符，這是態(tài)疊加原理的反映。例題例題 2指出下列算符哪個是線性的，說明

5、其理由。指出下列算符哪個是線性的，說明其理由。 2224dxdx 2 nK 1 ； ； 解：2224dxdx是線性算符是線性算符22222122212222211222221122244 )(4)(4)(4 udxdxcudxdxcucdxdxucdxdxucucdxdx 2 不是線性算符不是線性算符22221122222121212122211 2 ucucucuuccucucuc nK 1是線性算符是線性算符 NKNKNKNKnKucucucucucuc12211112211112211（3 3）算符之和）算符之和 若兩個算符若兩個算符 、 對體系的任何波函數(shù)對體系的任何波函數(shù) 有：有：

6、( + ) = + = 則則 + = 稱為算符之和。稱為算符之和。顯然，算符求和滿足交換率和結合率。顯然，算符求和滿足交換率和結合率。之之和和。勢勢能能算算符符和和體體系系動動能能算算符符等等于于算算符符表表明明VTHHamiltonVTH 例如：體系例如：體系Hamilton 算符算符注意，算符運算沒有相減，因為減可用加來代替。注意，算符運算沒有相減，因為減可用加來代替。 - - = = + + （- -）。）。 很易證明線性算符之和仍為線性算符。很易證明線性算符之和仍為線性算符。（4 4）算符之積）算符之積若若 ( ) = () = 則則 = 其中其中是任意波函數(shù)。是任意波函數(shù)。一般來說算

7、符之積不滿足一般來說算符之積不滿足 交換律，即交換律，即 這是算符與通常數(shù)運算這是算符與通常數(shù)運算 規(guī)則的唯一不同之處。規(guī)則的唯一不同之處。（5 5）對易關系）對易關系若若 ，則稱則稱 與與 不對易。不對易。不不對對易易。例例如如：算算符符 xxipx xxxxiixpx )() 1 (證證：顯然二者結果不相等，所以顯然二者結果不相等，所以:ixppxixppxxppxxxxxxx 所所以以是是任任意意波波函函數(shù)數(shù)，因因為為）（而而 xxxxiixixp )() 2 (對易對易關系關系 izppziyppyzzyy與與共共軛軛動動量量滿滿足足同同理理可可證證其其它它坐坐標標算算符符000000

8、000 zxxzyzzyxyyxyyxxzzxxzzyyppppppppppppzppzzppzyppyyppyxppxxppxzyxppppixppx,0 量子力學中最基本的量子力學中最基本的 對易關系。對易關系。對對易易。與與對對易易，而而與與對對易易，與與不不對對易易；與與對對易易，但但是是與與對對易易，與與zpzpppIIxpxpppIxyyxxyyx)()(若算符滿足若算符滿足 = - ， 則稱則稱 和和 反對易。反對易。寫成通式寫成通式:但是坐標算符與其非共軛動量但是坐標算符與其非共軛動量 對易，各動量之間相互對易。對易，各動量之間相互對易。注意：注意： 當當 與與 對易，對易，

9、與與 對易，不能推知對易，不能推知 與與 對易與否。對易與否。例如：例如：（6 6）對易括號）對易括號為了表述簡潔，運算便利和研究量子為了表述簡潔，運算便利和研究量子 力學與經(jīng)典力學的關系，人們定義了力學與經(jīng)典力學的關系，人們定義了 對易括號：對易括號： , - 這樣一來，這樣一來， 坐標和動量的對易關系坐標和動量的對易關系 可改寫成如下形式：可改寫成如下形式：不難證明對易括號滿足如下對易關系：不難證明對易括號滿足如下對易關系： 1) , = - , 2) ,+ = , + , 3) , = ,+ , 4) , + , + , , = 0 上面的第四式稱為上面的第四式稱為 Jacobi 恒等式

10、。恒等式。 ipx ,例題例題 3, ( ) ( )( )( ) ( )( ) ( )( )( )( )( )( ), ( )xxxxpxxpxx pxixxixxxixixixxxxixxpxix （1）2222, ( ), ( ) , ( )()()xxxxxxxxpxppxpx ppiipxxipxx （2）,zyxzpxpzpzpy 角動量算符的對易關系角動量算符的對易關系,zxyzyxpxpzpzpyLL 證：證：yxzxzyLiLLLiLL, 同同理理,zxyzxzpxpzpzpxpzpy ,zyxyzzxzpxpzpzpzpxpypzpy zyxLiLL, yzzyzxxzppx

11、zpxpzppzypzpy , , yzxzppxzpzpy , yzyzxzxzppxzppzxpzpyppyz , , , , yxpixpiy)()( xypypxi zLi zyxCivitaLeviLiLL,3211,123或或，其其中中其其意意義義如如下下：符符號號，稱稱為為合合記記之之： （7 7）逆算符）逆算符1. 1. 定義定義: : 設設= , = , 能夠唯一的解出能夠唯一的解出 , , 則可定義則可定義 算符算符 之逆之逆 -1-1 為為: : -1-1 = = 并不是所有算符都存并不是所有算符都存 在逆算符在逆算符, ,例如投影例如投影 算符就不存在逆算符就不存在逆.

12、 .2.2.性質性質 I: I: 若算符若算符 之逆之逆 -1-1 存在存在, ,則則 -1-1 = = -1-1 = I = I , , , , -1-1 = 0 = 0 證證: = : = -1-1 = = -1-1 ( ) = ( ) = -1-1 因為因為是任意函數(shù)是任意函數(shù), ,所以所以 -1-1 = I = I成立成立. . 同理同理, , -1-1 = I = I 亦成立亦成立. .3.3.性質性質 II: II: 若若 , , 均存在逆算符均存在逆算符, , 則則 ( )( )-1-1 = = -1-1 -1-1nnFnxxFn!)0(0)()( 設給定一函數(shù)設給定一函數(shù) F(

13、x), F(x), 其各階導數(shù)均存在其各階導數(shù)均存在, , 其冪級數(shù)展開收斂其冪級數(shù)展開收斂則可定義算符則可定義算符 的函數(shù)的函數(shù) F()F()為為: :nnFnUUFn)(!)0(0)( ninntHitHe!10 算符算符 的復共軛算符的復共軛算符 * *就是把就是把 表達式中表達式中 的所有量換成復共軛的所有量換成復共軛. .piip*)(* 例如例如: : 坐標表象中坐標表象中（8 8）算符函數(shù)）算符函數(shù)是是兩兩個個任任意意函函數(shù)數(shù)。和和式式中中定定義義為為：的的轉轉置置算算符符算算符符 *UdUdUUxx 1 ：例例 xdx*證證：利用波函數(shù)標準條件利用波函數(shù)標準條件: : 當當|x

14、| |x| 時時, 0 0。0)(* xxdxxxxx 0)(xxpp 由于由于、是是 任意波函數(shù)任意波函數(shù), , 所以所以 * xdx xdx*|* xdx*同理可證同理可證: :ABBA)( 可可以以證證明明：（1010）轉置算符轉置算符(11)(11)厄密共軛算符厄密共軛算符 *)(*OdOd *)(*OdOd由此可得：由此可得：:轉置算符轉置算符 的定義的定義*OO 厄密共軛厄密共軛 算符亦可算符亦可 寫成：寫成：算符算符 之厄密共軛算符之厄密共軛算符 + + 定義定義: :可以證明可以證明: ( )+ = + + + ( .)+ = . + + + *)(* Od * Od *Od(

15、12) (12) 厄密算符厄密算符1. 定義定義: 滿足下列關系滿足下列關系 的算符稱為的算符稱為 厄密算符厄密算符.OOOdOd*)(* 或或 2. 性質性質性質性質 I: 兩個厄密算符之和仍是厄密算符兩個厄密算符之和仍是厄密算符。 即即 若若 + = , + = 則則 (+)+ = (+) 性質性質 II: 兩個厄密算符之積一般不是兩個厄密算符之積一般不是厄密厄密 算符算符, 除非二算符對易。除非二算符對易。 因為因為 ( )+ = + + = 僅當僅當 , , = 0 成立時成立時, ( )+ = 才成立。才成立。 *)(*OdOd指出下列算符哪個是厄米算符，說明其理由。例題例題 422

16、4 dxddxdidxd，不是厄米算符不是厄米算符，當當解：解：dxddxdxddxdxddxdxddxdxdxdxdxddxdxd *)( *)( * * 00 * * * - *()*dOdO是厄米算符是厄米算符dxdidxdxdidxdxdidxdxdiidxdxdi *)( *)( * * * - 2-222222222* *4 4* 4 * 4 44 4* (4)* 4dddddxdxdxdxdxdxdddddxdxdxdxdxdxdddxdxdxdxddx 是厄米算符例題例題 5證明證明 是厄米算符。是厄米算符。xp*()()()xxpdidxidxidxidxpd 所以所以xp是

17、厄米算符，同理是厄米算符，同理ypyp p都是厄米算符都是厄米算符AB證明：如果算符證明：如果算符和和都是厄米的，那么都是厄米的，那么也是厄米的也是厄米的AB+（） dBdAdBA2*12*12*1)( dBdA*)(*)(1212 dBA*)(12證：證： 也是厄米的。也是厄米的。AB+（）例題例題 6問下列算符是否是厄米算符：問下列算符是否是厄米算符：例題例題 7xpx ) (21xppxxx dpxdpxxx)( ) (2*12*1 dxpdpxxx2121*)(*)（ xxp xxpxpx 解：解： 因為因為 不是厄米算符。不是厄米算符。 dxpdpxdxppxxxxx2*12*12*

18、1) (21) (21) (21 dpxdxpxx2*12*1) (21)(21 dxppxxx2*1) (21 dpxxpxx2*1) (21 ) (21xppxxx 是厄米算符。是厄米算符。 定理定理I I：體系任何狀態(tài)體系任何狀態(tài)下，其厄密算符的平均值下，其厄密算符的平均值必為實數(shù)必為實數(shù)。證：證： FdF* *)(Fd* Fd*F 逆定理：在任何狀態(tài)下，平均值逆定理：在任何狀態(tài)下，平均值均為實數(shù)的算符必為厄密算符。均為實數(shù)的算符必為厄密算符。根據(jù)假定在任意態(tài)下有根據(jù)假定在任意態(tài)下有：證：證： *)(*FdFdFF即即取取=1 1+c+c2 2 ，其中其中 1 1 、2 2 也是任意態(tài)的

19、波函數(shù)，也是任意態(tài)的波函數(shù)，c c 是任意常數(shù)。是任意常數(shù)。 )(*)(*2121 cFcdFd式式左左 *)(Fd式式右右 211222211*)(*)(*|* FdcFdcFdcFd 211222211*|* FdcFdcFdcFd *)(2121 ccFd 211222211*)(*)(*)(|*)( FdcFdcFdcFd因為對任因為對任 意波函數(shù)意波函數(shù)*FF 211222211*)(*)(*|* FdcFdcFdcFd 211222211*|* FdcFdcFdcFd左式左式=右式右式 21122112*)(*)(* FdcFdcFdcFdc*)(*)(*12122121 FdFd

20、cFdFdc令令c = 1，得：得： 12122121*)(*)(* FdFdFdFd令令c = i，得：得：*)(*)(*12122121 FdFdFdFd二式相加得：二式相加得： 2121*)(* FdFd二式相減得：二式相減得：1212*)(* FdFd 所得二式正是厄密算符的定義式，所得二式正是厄密算符的定義式， 故逆定理成立。故逆定理成立。實驗上的可觀測實驗上的可觀測 量當然要求在任何狀態(tài)下平均值量當然要求在任何狀態(tài)下平均值 都是實數(shù)，都是實數(shù)，因此相應的算符必須因此相應的算符必須 是厄密算符。是厄密算符。所以左右兩邊頭兩項相等相消，于是有：所以左右兩邊頭兩項相等相消，于是有：例1：

21、dxxdxx*)(x（ 為實數(shù)） *()xxpdxpdx例2：動量算符為厄密算符2( )2xpHV xm例3：證明Hamilton為厄密算符綜上所述綜上所述：表示力學量的算符必為線性、厄密算符， 但線性厄密算符不一定是力學量算符。所以明確厄米算符的基本性質是討論力學量的理論基礎。所以明確厄米算符的基本性質是討論力學量的理論基礎。11221122()A ccc Ac A*()dAdA表示力學量的算符必為線性厄密算符。表示力學量的算符必為線性厄密算符。力學量的算符為線性厄密算符力學量的算符為線性厄密算符 當我們試圖用算符表示力學量時，首先注意到：力當我們試圖用算符表示力學量時，首先注意到：力學量的

22、測量值都是實數(shù)值，而算符只表示對態(tài)函數(shù)的某學量的測量值都是實數(shù)值，而算符只表示對態(tài)函數(shù)的某種作用，并不代表數(shù)值，只有算符本征態(tài)的本征值才是種作用，并不代表數(shù)值，只有算符本征態(tài)的本征值才是一個確定的數(shù)值。進一步說，只有厄米算符本征態(tài)的本一個確定的數(shù)值。進一步說，只有厄米算符本征態(tài)的本征值才是一個確定的實數(shù)值。這提示我們，力學量的值征值才是一個確定的實數(shù)值。這提示我們，力學量的值只可能與厄米算符的本征值相聯(lián)系。于是提出假設：只可能與厄米算符的本征值相聯(lián)系。于是提出假設：量量子力學中每一個力學量可以用一個線性厄米算符來表示，子力學中每一個力學量可以用一個線性厄米算符來表示，狀態(tài)用線性厄米算符的本征態(tài)

23、表示。狀態(tài)用線性厄米算符的本征態(tài)表示。（1 1）漲落）漲落 dFFFFF222)(*)()( FF因為是厄密算符因為是厄密算符必為實數(shù)必為實數(shù)因而因而FF 也是厄密算符也是厄密算符厄密算符平方的平均值一定大于等于零厄密算符平方的平均值一定大于等于零 22*FdF0|)( |)(222 dFFdFF FFd*)( 2| Fd0 于是有：于是有：（2 2）力學量的本征方程）力學量的本征方程若體系處于一種特殊狀態(tài)，若體系處于一種特殊狀態(tài)， 在此狀態(tài)下測量在此狀態(tài)下測量F F所得結果所得結果 是唯一確定的，即：是唯一確定的，即：0)(2 F則稱這種則稱這種 狀態(tài)為力狀態(tài)為力 學量學量 F F 的的 本

24、征態(tài)。本征態(tài)。 常常數(shù)數(shù)或或 FFF0)(nnnFF 可把常數(shù)記為可把常數(shù)記為Fn，把狀態(tài)把狀態(tài) 記為記為n，于是得：于是得：其中其中F Fn n, , n n 分別稱為算符分別稱為算符 F F的本征值和相應的本征態(tài)的本征值和相應的本征態(tài)，上式即是，上式即是算符算符F F的本征方程的本征方程。求解時，。求解時， 作為力學量的本征態(tài)或本征函數(shù)還要滿足物理上對波函數(shù)的要求即波函數(shù)的標準條件。作為力學量的本征態(tài)或本征函數(shù)還要滿足物理上對波函數(shù)的要求即波函數(shù)的標準條件。證明：證明：3.2 厄米算符的本征值與本征函數(shù)厄米算符的本征值與本征函數(shù)定理定理1 1：厄密算符的本征值必為實。：厄密算符的本征值必為

25、實。 當體系處于當體系處于 F F 的本征態(tài)的本征態(tài)n n 時，則每次測量結果都是時，則每次測量結果都是 F Fn n 。由由 本征方程可以看出，在本征方程可以看出，在n n（設已歸一）態(tài)下設已歸一）態(tài)下證證（3 3）量子力學基本假定）量子力學基本假定 nnFdF * nnndF *nF 是是實實數(shù)數(shù)。所所以以必必為為實實，nFF根據(jù)上節(jié)定理根據(jù)上節(jié)定理 I測量力學量測量力學量F F時所有可能出現(xiàn)的值，都對應于線性厄密算符時所有可能出現(xiàn)的值，都對應于線性厄密算符 F F的本征值的本征值 F Fn n（即測量值是本征值之一），該本征值由力學量算符（即測量值是本征值之一），該本征值由力學量算符 F

26、 F的本征方程給出：的本征方程給出：,2,1 nFFnnn 定理定理II: 厄密算符屬于不同本征值的本征函數(shù)彼此正交厄密算符屬于不同本征值的本征函數(shù)彼此正交證：mmmnnnFFFF 設設存存在在并并設設積積分分 dnn*)*(mmmFF 取復共軛，并注意到取復共軛，并注意到 F Fm m 為實。為實。兩邊右乘兩邊右乘 n 后積分后積分 dFdFnmmnm*)( dFdFdFnmnnmnm*)(二式相二式相減減 得：得：0*)( dFFnmnm若若FmFn，則必有：則必有：0* dnm 證畢證畢 微觀體系所處的狀態(tài)，只可能分為兩大類：一是體系微觀體系所處的狀態(tài)，只可能分為兩大類：一是體系狀態(tài)恰好

27、處于力學量算符的本征態(tài)；二是處于任意態(tài)。狀態(tài)恰好處于力學量算符的本征態(tài)；二是處于任意態(tài)。 當體系處于力學量算符當體系處于力學量算符 的本征態(tài)時，力學量的本征態(tài)時，力學量 具具有確定值。這種確定的關系可以表示為：有確定值。這種確定的關系可以表示為： FF 量子力學重要的基本任務之一，就是確定力學量算量子力學重要的基本任務之一，就是確定力學量算符的本征態(tài)及本征值。但必須隨時注意：符的本征態(tài)及本征值。但必須隨時注意：力學量算符的力學量算符的本征態(tài)可能不止一個。本征態(tài)可能不止一個。 zLi 本征方程為：imLizln)(mLzimmCe)(可解出：(2 )imimeem波函數(shù)單一性要求：，必須是整數(shù)。

28、, 2, 1, 0m即：，是量子化的分立譜。本征值mLz202*12Cd利用歸一化條件：imme21)(：得歸一化的本征波函數(shù)), 2, 1, 0(m 的本征值和本征函數(shù)的本征值和本征函數(shù)zli 例例1:例例2:動量分量動量分量 的本征值和本征函數(shù)的本征值和本征函數(shù)xPix xiPx本征方程為：/( )xxiPPxCe可解出：若粒子位置不受限制若粒子位置不受限制,則則 可以取一切實數(shù)可以取一切實數(shù),是連續(xù)是連續(xù)變化的變化的.xP是平面波是平面波,不能歸一化不能歸一化./( )xxiPPxCe例例3: 一維自由粒子的能量本征值和本征函數(shù)一維自由粒子的能量本征值和本征函數(shù)2222Emx本征方程為：

29、一維自由粒子的一維自由粒子的Hamilton量量2222/ 22HPmm x 其本征函數(shù)可以取為其本征函數(shù)可以取為:( ),2/0ikxExekmE相應能量本征值為相應能量本征值為:22/ 20Ekm二重簡并二重簡并 大致可分為三類：大致可分為三類： （1）連續(xù)譜連續(xù)譜本征值可取任何實數(shù)值。如自由粒子的坐標本征值可取任何實數(shù)值。如自由粒子的坐標和動量的本征值譜；和動量的本征值譜； （2）帶譜帶譜本征值被限定在某些區(qū)域，本征值被限定在某些區(qū)域， 例如固體中的能帶；例如固體中的能帶； （3）分立譜分立譜本征值只能取一系列孤立實數(shù)，如粒子在束本征值只能取一系列孤立實數(shù)，如粒子在束縛態(tài)下的能譜?？`態(tài)下

30、的能譜。 重點討論連續(xù)譜和分立譜。通常連續(xù)譜記為重點討論連續(xù)譜和分立譜。通常連續(xù)譜記為 或或 分分立譜記為立譜記為 。對應的本征函數(shù)分別記為。對應的本征函數(shù)分別記為 及及 。力學量算符的本征態(tài)及本征值可能不是一一對應，。力學量算符的本征態(tài)及本征值可能不是一一對應，而出現(xiàn)若干個（如而出現(xiàn)若干個（如 f 個）本征態(tài)對應一個本征值，稱這種個）本征態(tài)對應一個本征值，稱這種情況為情況為 f 度簡并。度簡并。,43211xFxxFx), 2 , 1(nn,n力學量算符的本征值被稱為力學量算符的本征值被稱為力學量譜力學量譜或或本征值譜本征值譜下列函數(shù)哪些是算符下列函數(shù)哪些是算符22dxd的本征函數(shù)，其本征值

31、是什么？的本征函數(shù)，其本征值是什么？2xxexsinxcos3xxcossin ， ， ，2)(222 xdxd2x22dxd 解：解： 不是不是的本征函數(shù)。的本征函數(shù)。xxeedxd 22xe22dxd 是是的本征函數(shù)，其對應的本征值為的本征函數(shù)，其對應的本征值為1。xxdxdxdxdsin)(cos)(sin22 22(3cos )( 3sin )3cosddxxxdxdx )cos(sincossinsin(cos)cos(sin22xxxxxxdxdxxdxd ） 例題例題 8試求算符試求算符dxdieFix 的本征函數(shù)的本征函數(shù) 解：解：F的本征方程為的本征方程為FF ln( )ix

32、ixixixiFedieFdxdiFedxdiFedxxCe即（FF是的本征值）的本征值）例題例題 9(4) 簡并情況簡并情況上面證明厄密算符本征函數(shù)的正交性時，曾假設上面證明厄密算符本征函數(shù)的正交性時，曾假設 這些本征函數(shù)屬于不同本征值，即非簡并情況。這些本征函數(shù)屬于不同本征值，即非簡并情況。如果如果 F F 的本征值的本征值F Fn n是是f f度簡并的，則對應度簡并的，則對應F Fn n有有f f個本征函數(shù)：個本征函數(shù)：n1n1 , ,n2 n2 , ., , ., nfnf 滿足本征方程：滿足本征方程：fiFFninni, 2 , 1 一般說來，這些函數(shù)一般說來，這些函數(shù) 并不一定正交

33、。并不一定正交?？梢宰C明由這可以證明由這 f f 個函數(shù)可以線性組合成個函數(shù)可以線性組合成 f f 個獨立的新函數(shù)，個獨立的新函數(shù)，它們仍屬于本征值它們仍屬于本征值 F Fn n 且滿足正交歸一化條件。且滿足正交歸一化條件。但是但是證證明明由這由這 f 個個n i 線性組合成線性組合成 f 個新函數(shù)個新函數(shù) n jfjAnijifinj, 2 , 11 可以滿足正交歸一化條件：可以滿足正交歸一化條件：fjjdAAdj jinniijjififijnnj,2,1,*11 證明分證明分如下兩如下兩步進行步進行1. 1. njnj 是本征值是本征值 F Fn n 的本征函數(shù)。的本征函數(shù)。2. 滿足正

34、交歸一條件的滿足正交歸一條件的 f 個新函數(shù)個新函數(shù)n j可以組成?？梢越M成。nijifinjAFF 1nijifiFA 1 nijifinAF 1njnF 1. 1. njnj是本征值是本征值F Fn n的本征函數(shù)。的本征函數(shù)。2. 滿足正交歸一條件的滿足正交歸一條件的f個新函數(shù)個新函數(shù)nj可以組成?？梢越M成。fjjdAAdj jinniijjififijnnj,2 , 1,*11 方程的歸一化條件有方程的歸一化條件有 f f 個，正交條個，正交條 件有件有f(f-1)/2f(f-1)/2 個，所以共有獨立方個，所以共有獨立方 程數(shù)為二者之和等于程數(shù)為二者之和等于 f(f+1)/2f(f+1

35、)/2 。fjAnijifinj, 2 , 11 為此只需證明線性為此只需證明線性 疊加系數(shù)疊加系數(shù) A Ajiji 的個的個 數(shù)數(shù) f f 2 2 大于或等于大于或等于 正交歸一條件方程正交歸一條件方程 個數(shù)即可。個數(shù)即可。算符算符 F F 本征值本征值 F Fn n簡并的本質簡并的本質是：是： 當當 F Fn n 確定后還不能唯一的確定狀確定后還不能唯一的確定狀態(tài)，要想唯一的確定狀態(tài)還得尋找態(tài)，要想唯一的確定狀態(tài)還得尋找另外一個或幾個力學量算符，另外一個或幾個力學量算符，F(xiàn) F 算算符與這些算符兩兩對易，其本征值符與這些算符兩兩對易，其本征值與與 F Fn n 一起共同確定狀態(tài)。一起共同確

36、定狀態(tài)。綜合上述討論可得如下結論：綜合上述討論可得如下結論： 既然厄密算符本征函數(shù)總可以取為正交歸一化既然厄密算符本征函數(shù)總可以取為正交歸一化 的，所以以后凡是提到厄密算符的本征函數(shù)時，的，所以以后凡是提到厄密算符的本征函數(shù)時， 都是正交歸一化的，即組成正交歸一系。都是正交歸一化的，即組成正交歸一系。因為因為 f f2 2 - f(f+1)/2 = f(f-1)/2 0 - f(f+1)/2 = f(f-1)/2 0， 所以，方程個數(shù)少于待定系數(shù)所以，方程個數(shù)少于待定系數(shù) A Ajiji 的個數(shù)，因而，我們的個數(shù)，因而，我們有多種可能來確定這有多種可能來確定這 f f 2 2 個系數(shù)使上式成立

37、。個系數(shù)使上式成立。f f 個新函個新函數(shù)數(shù)njnj 的確是算符的確是算符 F F 對應于本征值對應于本征值 Fn Fn 的正交歸一化的正交歸一化的本征函數(shù)。的本征函數(shù)。3.3.1 3.3.1 測不準關系的嚴格推測不準關系的嚴格推導導由上節(jié)討論表明，當體系處于力學量由上節(jié)討論表明，當體系處于力學量A A的本征態(tài)時的本征態(tài)時, ,若若對它測量對它測量, ,則可以得到一個確切值則可以得到一個確切值, ,即相應的本征值即相應的本征值, ,而而不會出現(xiàn)漲落。不會出現(xiàn)漲落。在在A A的這個本征態(tài)下的這個本征態(tài)下, ,如去測量另一個力學量如去測量另一個力學量B,B,是否是否也可以得到一個確定的值也可以得到

38、一個確定的值? ?不確定度：不確定度：測量值測量值 F Fn n 與平均值與平均值 的偏差的大小。的偏差的大小。（1 1）測不準關系的嚴格推導）測不準關系的嚴格推導仍仍為為厄厄密密算算符符。為為厄厄密密算算符符，則則偏偏差差證證明明：若若FFFFI .FFFFFFFF*) （）（證：證：3.3 共同本征函數(shù)共同本征函數(shù)IIII 測不準關系的嚴格推導測不準關系的嚴格推導設二厄密算符對易關系為：設二厄密算符對易關系為：k iFGGF 是算符或是算符或普通數(shù)普通數(shù)的的輔輔助助積積分分：引引入入實實參參量量、為為求求二二量量不不確確定定度度 GF 0|)(2 dGiFI dGiFGiF* dGiFGi

39、F)*(*)( dGGdFGidGFidFF)(*)()(*)()(*)()(*)(2 dGGdFGidGFidFF)(*)(*)(*)(*2 dGdFGGFidF222)(*)(* dGdFGGFidFI222)(*)(*)( GFFGGF ，GGFF ，GFFGFF， GFGF， k iGF ，最后有：最后有： dGdkiidFI222)(*)(*)( 0)()()(222 GkFI 對任意實數(shù)對任意實數(shù) 均成立均成立由代數(shù)二次式理論可知，該不等式成由代數(shù)二次式理論可知，該不等式成立的條件是系數(shù)必須滿足下列關系：立的條件是系數(shù)必須滿足下列關系：4)()()(222kGF 兩個不對易兩個不對

40、易算符均方偏算符均方偏差關系式差關系式測不準關系測不準關系 dkk* 均方偏差均方偏差22)()(FFF 其中：其中：222FFFF 222FFFF 222FFFF 22FF 22()()21,2kFGFGF G 坐標和動量的測不準關坐標和動量的測不準關系系222( )()()4kFG k iGF ，4)222 xxpxipx（，22)22 xxpxpx簡簡記記之之：（或或寫寫成成：表明：坐標與動量的均方偏差不能同時為零，其一越小，表明：坐標與動量的均方偏差不能同時為零，其一越小，另一就越大。另一就越大。測不準關系測不準關系: :總之，若兩個力學量總之，若兩個力學量F和和G不對易，則一般說來不

41、對易，則一般說來 和和 不能同時為零，不能同時為零，即即F與與G不能同時測定，或者說它們不能有共同本征態(tài)，反之，若兩個厄不能同時測定，或者說它們不能有共同本征態(tài)，反之，若兩個厄密算符對易，則可以找出這樣的態(tài)，使密算符對易，則可以找出這樣的態(tài)，使 和和 ，即可找到它們，即可找到它們的共同本征態(tài)。的共同本征態(tài)。 FG0F0G（2）兩力學量同時有確定值的條件兩力學量同時有確定值的條件如果力學量如果力學量 F F 有確定值，有確定值， （x x）必為必為 F F 的本征態(tài)，即的本征態(tài)，即 F如果有另一個力學量如果有另一個力學量 G G 在在 態(tài)中也有確定值，態(tài)中也有確定值， 則則 必也是必也是 G G

42、 的一個本征態(tài)，即的一個本征態(tài)，即 G結論：結論：當在當在 態(tài)中測量力學量態(tài)中測量力學量 F F 和和 G G 時，如果同時具有確定值，時，如果同時具有確定值，那么那么 必是必是 二力學量共同本征函數(shù)。二力學量共同本征函數(shù)。思考題：思考題： 1、若兩個厄米算符對易，是否在所有態(tài)下它們都同時、若兩個厄米算符對易，是否在所有態(tài)下它們都同時 具有確定值？具有確定值？2、若兩個厄米算符不對易，是否一定都沒有共同本征態(tài)？、若兩個厄米算符不對易，是否一定都沒有共同本征態(tài)？3、若兩個厄米算符有共同本征態(tài)，是否它們就彼此對易？、若兩個厄米算符有共同本征態(tài)，是否它們就彼此對易？ 兩算符對易的物理含義 GF FG

43、 FGFGFG0)( GFFGGFFG所以所以0)( GFFG？是特定函數(shù)，是特定函數(shù)， 非任意函數(shù)也！非任意函數(shù)也！例如：例如：0, zxLLl = 0 = 0 的態(tài)，的態(tài)，Y Y l l m m = Y= Y0000 L Lx x L Lz z 同時有確定值。同時有確定值。但是，如果兩個力學量的共同本征函數(shù)不止一個，但是，如果兩個力學量的共同本征函數(shù)不止一個，而是一組且構成完備系，此時二力學量算符必可對易。而是一組且構成完備系，此時二力學量算符必可對易?？疾烨懊娑剑嚎疾烨懊娑剑?G F定理：若兩個力學量算符有一組共同完備定理：若兩個力學量算符有一組共同完備的本征函數(shù)系，則二算符對易。的

44、本征函數(shù)系，則二算符對易。證：證：,3,2,1 nGGFFnnnnnn 已已知知：由于由于 n n 組成完備系，所組成完備系，所以任意態(tài)函數(shù)以任意態(tài)函數(shù) (x) (x) 可以可以按其展開：按其展開：)()(xcxnnn 則則nnncFGGFxFGGF )()()(nnnFGGFc )( nnnnnnnGFFGc )( nnnnnFGGFc )( 因為因為 (x) (x) 是任意函數(shù)是任意函數(shù)0 FGGF所所以以0 逆定理：如果兩個力學量算符對易，則此二算符逆定理：如果兩個力學量算符對易，則此二算符有組成完備系的共同的本征函數(shù)。有組成完備系的共同的本征函數(shù)。證：證：考察：考察：nnnFF nnn

45、nGG nnnFFG一一樣樣，本本征征值值亦亦為為與與的的一一個個本本征征函函數(shù)數(shù)，也也是是即即 )( n n 也是也是 G G 的本征函數(shù)，同理的本征函數(shù)，同理 F F 的所有本征函數(shù)的所有本征函數(shù) n n （ n = 1n = 1，2 2， ) )也也都是都是 G G 的本征函數(shù)的本征函數(shù), ,因此二算符具有共同完備的本征函數(shù)系因此二算符具有共同完備的本征函數(shù)系. .,0nnFFFGGF本本征征值值為為的的任任一一本本征征函函數(shù)數(shù)為為設設 僅考慮非簡并情況僅考慮非簡并情況即：即：nGF nnnGFFG )()(nnnGFGF 與與 n n 只差只差一常數(shù)一常數(shù) G Gn n定理：定理：一組

46、力學量算符具有共同完備本征函數(shù)一組力學量算符具有共同完備本征函數(shù)系的充要條件是這組算符兩兩對易。系的充要條件是這組算符兩兩對易。例例 1 1： .,)2(1)(,2/3zyxrpipzyxppperppp同同時時有有確確定定值值：共共同同完完備備本本征征函函數(shù)數(shù)系系：兩兩兩兩對對易易；動動量量算算符符： 例例 2 2： .,)1(,),()()(,22mllEYrRrLLHnlmnlnlmz同同時時有有確確定定值值：共共同同完完備備本本征征函函數(shù)數(shù)系系：兩兩兩兩對對易易；氫氫原原子子中中： 3.3.2 的共同本征態(tài)的共同本征態(tài),球諧函數(shù)球諧函數(shù)2( , )zll由于角動量的三個分量不對易由于角

47、動量的三個分量不對易,一般無共同本征態(tài)一般無共同本征態(tài),但由于但由于 因此可以找出因此可以找出 與與 任何一個分量的共同本征態(tài)任何一個分量的共同本征態(tài).2, 0(, , )allax y z2l采用球坐標采用球坐標:2222222211sinsinsin1sinsinsinzll 由于由于2, 0zll2l的本征函數(shù)可以同時也取為的本征函數(shù)可以同時也取為 的本征態(tài)的本征態(tài)zl1( ),0, 1, 2,2immem 此時此時 的本征函數(shù)已分離變量的本征函數(shù)已分離變量,即令即令2l( , )( ) ( )Y 帶入本征方程帶入本征方程22( , )( , )l YY 2是是 的本征值的本征值, 無量

48、綱無量綱, 待定待定2l221(sin)()00sinsinddmdd 令令 ,則則cos22222(1)2()01ddmdd 連帶Legendre方程其解其解: 當當 有一個多項式解有一個多項式解(1),0,1,2.l ll( ),mlPml本征方程：本征方程：利用正交歸一性公式，可以定義一個歸一化的利用正交歸一性公式，可以定義一個歸一化的部分的波函數(shù)（實）：部分的波函數(shù)（實）：(21)()!( )( 1)(cos ),2()!,1,1,mmlmlllmPlmml lll 這樣這樣, 的正交歸一的共同本征函數(shù)表示為的正交歸一的共同本征函數(shù)表示為:2(, )zll21()!( , )( 1)(

49、cos )4()!mmimlmlllmYPelm 稱為球諧函數(shù)稱為球諧函數(shù),它們滿足它們滿足:lmY22(1)0,1,2,1,1,lmlmzlmlml Yl lYl Ym Ylml lll 對應一個對應一個 l l 值，值，m m 取值為取值為 0, 0, 1, 1, 2, 2, 3, ., 3, ., l l 共共 (2 (2 l l +1) +1)個個值。因此當值。因此當l l 確定后，尚有確定后，尚有(2 (2 l l +1) +1)個磁量子狀態(tài)不確定。個磁量子狀態(tài)不確定。換言之，對換言之，對應一個應一個l l值有值有(2 (2 l l +1) +1)個量子狀態(tài)，這種現(xiàn)象稱為簡并，個量子

50、狀態(tài)，這種現(xiàn)象稱為簡并，l l 的簡并度是的簡并度是 (2 (2 l l +1) +1) 度。度。由于量子數(shù)由于量子數(shù) l l 表征了角動量的大小，表征了角動量的大小， 所以稱為角量子數(shù)；所以稱為角量子數(shù)；m m 稱為磁量子數(shù)。稱為磁量子數(shù)。的本征值為：的本征值為：2(1)l l 2l的本征值為：的本征值為：zlm由角動量對易關系：由角動量對易關系： 1,1,yzzyzyxxzyLLLLiLLiLLiLL 代入平均值公式：代入平均值公式： dYLLLLYiLlmyzzylmx1* dYLLYidYLLYilmyzlmlmzylm11* dYLYLidYLLYilmylmzlmzylm)(1)(

51、1* dYLYmidYLYmilmylmlmylm11*0 yyLimLim同理：同理：0 yL證明在證明在 L LZ Z 本征態(tài)本征態(tài) Y Ylmlm 下，下，L = = = 0 = 0例題例題 10利用測不準關系證明，在利用測不準關系證明，在 L Lz z 本征態(tài)本征態(tài) Y Ylmlm 下，下，L Lx x= = L Ly y= 0= 0證：證：22224)xzyxzyLLLLiLL （，由于由于在在 L Lz z 本征態(tài)本征態(tài) Y Ylmlm 中，中，測量力學量測量力學量 L Lz z 有有確定值，所以確定值，所以L Lz z 均方偏差必為零，均方偏差必為零，即即0)2 zL（則測不準關

52、系：則測不準關系：222224040)xxyLLL （平均值的平方平均值的平方為非負數(shù)為非負數(shù)欲保證不等式成立，必有：欲保證不等式成立，必有：0 xL同理：同理：0 yL例題例題 11 3.3.3 3.3.3力學量完全集合力學量完全集合（1 1）定義：為完全確定狀態(tài)所需要的一組兩兩對易的力學）定義：為完全確定狀態(tài)所需要的一組兩兩對易的力學 量算符的最?。〝?shù)目）集合稱為對易力學量完全集（量算符的最?。〝?shù)目）集合稱為對易力學量完全集（CSCOCSCO）。）。定義：定義： 設有一組彼此對易而又相互獨立的力學量算符設有一組彼此對易而又相互獨立的力學量算符(1,2, .)，如果它們的共同的本征函數(shù)是非簡

53、并的，它如果它們的共同的本征函數(shù)是非簡并的，它們的共同本征函數(shù)記為們的共同本征函數(shù)記為 k，k是一組量子數(shù)的籠統(tǒng)記號。是一組量子數(shù)的籠統(tǒng)記號。設給定設給定k之后即給定這組本征值就能夠確定體系的一個可之后即給定這組本征值就能夠確定體系的一個可能狀態(tài)，則稱這組力學量能狀態(tài)，則稱這組力學量(1,2, .)構成體系的對易力學量構成體系的對易力學量完全集。完全集。 kkkkka 展開，即：展開，即：均可用均可用狀態(tài)狀態(tài)體系任何一個體系任何一個構成正交歸一完備基，構成正交歸一完備基，所有本征態(tài)所有本征態(tài)例例 1 1：三維空間中自由粒子，完全確定其三維空間中自由粒子，完全確定其狀態(tài)需要三個兩兩對易的力學量：

54、狀態(tài)需要三個兩兩對易的力學量：.,zyxppp例例 2 2：氫原子，完全確定其狀態(tài)也需氫原子，完全確定其狀態(tài)也需要三個兩兩對易的力學量：要三個兩兩對易的力學量：.,2zLLH例例 3 3：一維諧振子，只需要一個力學一維諧振子，只需要一個力學量就可完全確定其狀態(tài)：量就可完全確定其狀態(tài)：H（2 2）力學量完全集中力學量的數(shù)目一般與體系自由度）力學量完全集中力學量的數(shù)目一般與體系自由度數(shù)相同。數(shù)相同。（3 3）由力學量完全集所確定的本征函數(shù)系，構成該體）由力學量完全集所確定的本征函數(shù)系，構成該體系態(tài)空間的系態(tài)空間的一組完備的本征函數(shù)，即體系的任何狀一組完備的本征函數(shù)，即體系的任何狀態(tài)均可用它展開。態(tài)

55、均可用它展開。小結：兩個力學量同時有確定值的條件小結：兩個力學量同時有確定值的條件 體系恰好處在其共同本征態(tài)上。體系恰好處在其共同本征態(tài)上。zyxppp,rpiper2/3)2(1)(zyxppp,例例 ：動量算符：動量算符： 兩兩對易，兩兩對易，共同完備本征函數(shù)系：共同完備本征函數(shù)系：本征態(tài)下有確定值：本征態(tài)下有確定值：的概率。的概率。態(tài)下測得諧振子能量為態(tài)下測得諧振子能量為代表在代表在其中其中均可用它們展開：均可用它們展開：態(tài)態(tài)一維諧振子的任何一個一維諧振子的任何一個歸一完備組，歸一完備組，就構成體系一組正交，就構成體系一組正交相應本征函數(shù)相應本征函數(shù)能量本征值能量本征值完全集完全集量就構

56、成一組力學量量就構成一組力學量例如：一維諧振子，例如：一維諧振子，nnnnnnnEaannEHamilton 2,.2 , 1 , 0,),21(. 體系的任何態(tài)總可以用包含體系的任何態(tài)總可以用包含在內的一組力學量完在內的一組力學量完全集的共同本征態(tài)來展開。全集的共同本征態(tài)來展開。 已知空間轉子處于如下狀態(tài)已知空間轉子處于如下狀態(tài)),(32),(312111 YY 試問：試問： （1 1）是否是是否是 L L2 2 的本征態(tài)？的本征態(tài)？ （2 2）是否是是否是 L Lz z 的本征態(tài)？的本征態(tài)？ （3 3）求）求 L L2 2 的平均值；的平均值； （4 4）在）在 態(tài)中分別測量態(tài)中分別測量 L L2 2 和和 L Lz z 時得到的可能值及時得到的可能值及其相應的幾率。其相應的幾率。解：解： ),(32),(31)1(211122 YYLL 212112)12(232)11(131YY 211122312YY 沒有確定的沒有確定的 L L2 2 的本征值，故的本征值，