高中數(shù)學定積分復習課程

1、高中數(shù)學定積分一、定積分的定義一、定積分的定義 11( )( )nniiiibafxfn 小矩形面積和S=如果當n時，S 的無限接近某個常數(shù)，這個常數(shù)為函數(shù)f(x)在區(qū)間a, b上的定積分，記作 baf (x)dx，即f (x)dx f ( i)xi。 從求曲邊梯形面積從求曲邊梯形面積S的過程中可以看出的過程中可以看出,通過通過“四步四步曲曲”:分割分割-近似代替近似代替-求和求和-取極限得到解決取極限得到解決.1( )lim( )ninibaf x dxfnba即定積分的定義： 定積分的相關名稱：定積分的相關名稱： 叫做積分號，叫做積分號， f(x) 叫做被積函數(shù)，叫做被積函數(shù)， f(x)d

2、x 叫做被積表達式，叫做被積表達式， x 叫做積分變量，叫做積分變量， a 叫做積分下限，叫做積分下限， b 叫做積分上限，叫做積分上限， a, b 叫做積分區(qū)間。叫做積分區(qū)間。1( )lim( )ninibaf x dxfnba即Oabxy)(xfy Sbaf (x)dx； 按定積分的定義，有 (1) 由連續(xù)曲線yf(x) (f(x)0) ，直線xa、xb及x軸所圍成的曲邊梯形的面積為 (2) 設物體運動的速度vv(t)，則此物體在時間區(qū)間a, b內運動的距離s為 sbav(t)dt。 Oab( )vv ttv定積分的定義：1( )lim( )ninibaf x dxfnba即112001(

3、 )3Sf x dxx dx根據(jù)定積分的定義右邊圖形的面積為1x yOf(x)=x213S 1SD2SD2( )2v tt= -+O Ov t t12gggggg3SDjSDnSD1n2n3njn1nn-4SD112005( )(2)3Sv t dttdt 根據(jù)定積分的定義左邊圖形的面積為1.dxxf)(與badxxf)(的差別3定積分的值與積分變量用什么字母表示無關，即有bababaduufdttfdxxf)()()(4規(guī)定： abbadxxfdxxf)()(0)(aadxxfdxxf)(是)(xf的全體原函數(shù) 是函數(shù)badxxf)(是一個和式的極限 是一個確定的常數(shù)注：2 .當xfini)

4、(1的極限存在時，其極限值僅與被積函數(shù)及積分區(qū)間有關，而與區(qū)間ba,的分法及i點的取法無關。f(x)a,b(2)定積分的幾何意義：Ox yab yf (x)baf (x)dx f (x)dxf (x)dx。 xa、xb與 x軸所圍成的曲邊梯形的面積。 當 f(x)0 時，積分dxxfba)(在幾何上表示由 y=f (x)、 特別地，當 ab 時，有baf (x)dx0。 當f(x)0時，由yf (x)、xa、xb 與 x 軸所圍成的曲邊梯形位于 x 軸的下方，x yOdxxfSba)(，dxxfba)(ab yf (x) yf (x)dxxfSba)(baf (x)dx f (x)dxf (x

5、)dx。 S上述曲邊梯形面積的負值。 定積分的幾何意義：積分baf (x)dx 在幾何上表示 baf (x)dx f (x)dxf (x)dx。 Sab yf (x)Ox y( )yg x探究探究:根據(jù)定積分的幾何意義根據(jù)定積分的幾何意義,如何用定積分表示圖中如何用定積分表示圖中陰影部分的面積陰影部分的面積?ab yf (x)Ox y1()baSfx dx( )yg x12( )( )bbaaS S Sf xdxg xdx 2( )baSg x dx三三: : 定積分的基本性質定積分的基本性質 性質性質1. 1. dx)x( g)x(fba babadx)x( gdx)x(f性質性質2. 2.

6、 badx)x(kf badx)x(fk三三: : 定積分的基本性質定積分的基本性質 定積分關于積分區(qū)間具有定積分關于積分區(qū)間具有可加性可加性 bccabadx)x(fdx)x(fdx)x(f 性質性質3. 3. 2121 ccbccabadx)x(fdx)x(fdx)x(fdx)x(fOx yab yf (x)性質性質 3 不論不論a，b，c的相對位置如何都有的相對位置如何都有ab y=f(x)baf (x)dx f (x)dxf (x)dx。 f (x)dx f (x)dxf (x)dx。 f (x)dx f (x)dxf (x)dx。 cOx ybaf (x)dx f (x)dxf (x

7、)dx。 例例1：利用定積分的定義：利用定積分的定義,計算計算 的值的值. 130 x d x例2.用定積分表示圖中四個陰影部分面積積為義，可得陰影部分的面根據(jù)定積分的幾何意上連續(xù)，且，在）在圖中，被積函數(shù)（, 0)(0)(12xfaxxf解：dxxAa200000ayxyxyxyxf(x)=x2f(x)=x2-12f(x)=1ab-12f(x)=(x-1)2-1積為義，可得陰影部分的面根據(jù)定積分的幾何意上連續(xù)，且，在）在圖中，被積函數(shù)（, 0)(21)(22xfxxf解：dxxA2210000ayxyxyxyx-12ab-12f(x)=x2f(x)=x2f(x)=1f(x)=(x-1)2-1

8、積為義，可得陰影部分的面根據(jù)定積分的幾何意上連續(xù)，且，在）在圖中，被積函數(shù)（, 0)(1)(3xfbaxf解：dxAba0000ayxyxyxyx-12ab-12f(x)=x2f(x)=x2f(x)=1f(x)=(x-1)2-1可得陰影部分的面積為根據(jù)定積分的幾何意義，上，在上，上連續(xù)，且在，在）在圖中，被積函數(shù)（0)(20, 0)(01211) 1()(42xfxfxxf解：dxxdxxA 1) 1( 1) 1(2202010000ayxyxyxyx-12ab-12f(x)=x2f(x)=x2f(x)=1f(x)=(x-1)2-1成立。說明等式利用定積分的幾何意義0sin22xdx例3：解：

9、所以并有上，在上，上連續(xù)，且在，在在右圖中，被積函數(shù), 0sin20, 0sin0222sin)(21AAxxxxf0)(1222AAdxxf222A1Axyf(x)=sinx1-1 利用定積分的幾何意義，判斷下列定積分 值的正、負號。20sinxdx212dxx利用定積分的幾何意義，說明下列各式。 成立：0sin20 xdx200sin2sinxdxxdx1）2）.1）2）.練習：試用定積分表示下列各圖中影陰部分的面積。0yxy=x21 20 xy=f(x)y=g(x)aby例例4dxx 1021計計算算積積分分義義知知，該該積積分分值值等等于于解解：由由定定積積分分的的幾幾何何意意的的面面