不動(dòng)點(diǎn)的性質(zhì)與應(yīng)用(教師版)

1、精品不動(dòng)點(diǎn)的性質(zhì)與應(yīng)用一、不動(dòng)點(diǎn)：對(duì)于函數(shù)f ( x)( xD ) ，我們把方程f ( x)x 的解 x 稱(chēng)為函數(shù)f (x) 的不動(dòng)點(diǎn)，即 yf ( x) 與 yx 圖像交點(diǎn)的橫坐標(biāo) .例 1 ：求函數(shù)f ( x)2x1的不動(dòng)點(diǎn) .解：有一個(gè)不動(dòng)點(diǎn)為1例 2 ：求函數(shù) g x2x21的不動(dòng)點(diǎn) .( )解：有兩個(gè)不動(dòng)點(diǎn)1 、21二、穩(wěn)定點(diǎn)：對(duì)于函數(shù) f ( x)( xD ) ，我們把方程f f ( x)x 的解 x 稱(chēng)為函數(shù) f (x) 的穩(wěn)定點(diǎn)，即 yf f (x) 與y x 圖像交點(diǎn)的橫坐標(biāo) .很顯然，若 x0 為函數(shù) yf ( x) 的不動(dòng)點(diǎn)，則x0 必為函數(shù) yf (x) 的穩(wěn)定點(diǎn) .證

2、明：因?yàn)?f (x0 )x0 ，所以 f ( f ( x0 )f ( x0 )x0 ，故 x0 也是函數(shù) yf (x) 的穩(wěn)定點(diǎn) .例 3 ：求函數(shù)f ( x)2x1的穩(wěn)定點(diǎn) .解：設(shè) f ( x)2x1，令 2(2x 1) 1x，解得 x1故函數(shù) y 2 x1有一個(gè)穩(wěn)定點(diǎn) 1【提問(wèn)】有沒(méi)有不是不動(dòng)點(diǎn)的穩(wěn)定點(diǎn)呢？答：當(dāng)然有例 4 ：求函數(shù) g( x) 2x 21的穩(wěn)定點(diǎn) .解：令 g g( x)x ，則 2(2x21)21x2(4x44x21)1 x 0 8x48x2x 1 0 ，因?yàn)椴粍?dòng)點(diǎn)必為穩(wěn)定點(diǎn)，所以該方程一定有兩解x11 ,x2128x48x2x 1必有因式 (x 1)(2x1)2x2

3、x1可得 ( x1)(2x1)( 4x22x 1)0另外兩解 x3 ,415，4感謝下載載精品gxx2115 、 15 ，其中1 5故函數(shù))21 的穩(wěn)定點(diǎn)是、1是穩(wěn)定點(diǎn)，但不是不動(dòng)點(diǎn)(、4244下面四個(gè)圖形，分別對(duì)應(yīng)例1、 2、3、4.yf ( x) 2x 1yg( x) 2x2 1yxyxxx圖 -1圖 -2yf (x)2x 1yg( x)2x 21yxy1 x1x22xyx12yx圖 -3圖 -4由此可見(jiàn)，不動(dòng)點(diǎn)是函數(shù)圖像與直線yx 的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，穩(wěn)定點(diǎn)是函數(shù)y f ( x)( x D ) 圖像與曲線 xf ( y)( y D ) 圖像交點(diǎn)的橫坐標(biāo)（特別，若函數(shù)有反函數(shù)時(shí)，則穩(wěn)定點(diǎn)是函數(shù)

4、圖像與其反函數(shù)圖像交點(diǎn)的橫坐標(biāo)） .由圖 1 和圖 3 ，我們猜測(cè)命題：若函數(shù) yf (x)( xD) 單調(diào)遞增，則它的不動(dòng)點(diǎn)與穩(wěn)定點(diǎn)或者相同，或者都沒(méi)有 .證明：（ 1）1若函數(shù) yf (x)( x D ) 有不動(dòng)點(diǎn) x0，即 f ( x0 )x0f ( f ( x0 )f ( x0 )x0 ，故 x0 也是函數(shù) yf (x) 的穩(wěn)定點(diǎn)；2 若函數(shù) yf (x)( xD ) 有穩(wěn)定點(diǎn) x0 ，即 f ( f ( x0 )x0 ，假設(shè) x0 不是函數(shù)的不動(dòng)點(diǎn)，即f ( x0 )x0若 f （x0 ） >x 0 ，則 f（ f（ x0 ） >f （ x0），即 x0>f （ x

5、0 ）與 f （ x0 ） >x 0 矛盾，故不存在這種情況；感謝下載載精品若 f （x0 ） <x 0 ，則 f （ f（ x0 ） <f （x0），即 x0<f （ x0）與 f （ x0 ）<x 0 矛盾，故不存在這種情況；綜上， f（ x0 ） =x 0x0 是 f（ x）的不動(dòng)點(diǎn)（ 2 ） 1 若函數(shù) yf ( x)( xD ) 無(wú)不動(dòng)點(diǎn)，由（1 ）知若函數(shù)有穩(wěn)定點(diǎn)，則函數(shù)必有不動(dòng)點(diǎn)，矛盾，故函數(shù)無(wú)穩(wěn)定點(diǎn)；2 若函數(shù) yf (x)( xD ) 無(wú)穩(wěn)定點(diǎn)，由（1）知若函數(shù)有不動(dòng)點(diǎn)，則函數(shù)必有穩(wěn)定點(diǎn)，矛盾，故函數(shù)無(wú)不動(dòng)點(diǎn)；綜上， 若函數(shù) y f (x)( x

6、D ) 單調(diào)遞增，則它的不動(dòng)點(diǎn)與穩(wěn)定點(diǎn)或者相同，或者都沒(méi)有.例 5 、對(duì)于函數(shù) f( x)，我們把使得 f(x)= x 成立的 x 稱(chēng)為函數(shù) f(x )的不動(dòng)點(diǎn)。把使得f(f(x)= x 成立的 x 稱(chēng)為函 數(shù) 的 f(x) 的 穩(wěn) 定 點(diǎn) ， 函 數(shù) f (x) 的 不 動(dòng) 點(diǎn) 和 穩(wěn) 定 點(diǎn) 構(gòu) 成 集 合 分 別 記 為 A和 B.即A= x|f(x)= x ,B= x|f(f(x)= x，（ 1 ）請(qǐng)證明： A? B；（ 2 ） f (x)x2a(aR, x R) ，且 A= B? ，求實(shí)數(shù) a 的取值范圍 .解：（ 1 ）證明：若 A時(shí)， AB若 A時(shí)，對(duì)任意的xA ，有 f ( x

7、) xf f (x) f ( x)x x BAB綜上，得 AB（2）Q Ax2ax 0 有解1 4a 0 a14Q B（ x2 -a ） 2 -a=x有解x4-2ax 2-x+a 2-a=0Q A ? B 即 x4 -2ax 2 -x+a 2 -a=0 的左邊有因式x2 -x-a ；(x2 -x-a)(x 2 +x-a+1)=0；又 A=B x2+x-a+1=0 無(wú)實(shí)數(shù)根，或?qū)崝?shù)根是方程x2-x-a=0 的根；若 x2+x-a+1=0無(wú)實(shí)數(shù)根，則 =1-43（ -a+1 ） <0a4若 x2+x-a+1=0有實(shí)根，且實(shí)根是方程x2-x-a=0 的根；作差，得 2x+1=0x132a4綜上

8、， a 的取值范圍為 1 , 344感謝下載載精品例 6 、已知函數(shù) yf (x), xD ，若存在x0 D ，使得 f (x0 )x0 ，則稱(chēng) x0 為函數(shù) f ( x) 的不動(dòng)點(diǎn)；若存在 x0D ，使得f f ( x )x，則稱(chēng) x為函數(shù)f (x)的穩(wěn)定點(diǎn)，則下列結(jié)論中正確的是填上所000_(有正確結(jié)論的序號(hào)). 1 、1是函數(shù) f (x) 2x2 1 的兩個(gè)不動(dòng)點(diǎn)；2若 x0 為函數(shù) yf ( x)若 x0 為函數(shù) yf ( x)的不動(dòng)點(diǎn)，則x0 必為函數(shù) yf (x)的穩(wěn)定點(diǎn)，則x0 必為函數(shù) yf (x)的穩(wěn)定點(diǎn)；的不動(dòng)點(diǎn)；函數(shù)f ( x)2x21 共有三個(gè)穩(wěn)定點(diǎn)； f (x)exx

9、 的不動(dòng)點(diǎn)與穩(wěn)定點(diǎn)相同?？键c(diǎn)： 命題的真假判斷與應(yīng)用解：解 2x21x 得： x11 , x211 、1是函數(shù) f (x)2故2x2 1 有兩個(gè)不動(dòng)點(diǎn)，即正確；2若 x0 為函數(shù) y= f(x)的不動(dòng)點(diǎn)，則 f ( x0 )x0 ，此時(shí) f f ( x0 )f ( x0 )x0 ，則 x0 必為函數(shù) y= f(x)的穩(wěn)定點(diǎn)，故正確；若 x0 為函數(shù) y= f(x)的穩(wěn)定點(diǎn)，則 x0 不一定為函數(shù)y= f (x)的不動(dòng)點(diǎn) (見(jiàn)結(jié)論 )，故錯(cuò)誤；解 2(2x21) 21x8x48x2x10 ，得 x=1或 x1515或 x=14或 x42即函數(shù) f ( x) 2x21 共有四個(gè)穩(wěn)定點(diǎn)，故錯(cuò)誤；因

10、f ( x)exx 在定義域上為增函數(shù)，故它的不動(dòng)點(diǎn)與穩(wěn)定點(diǎn)相同。故答案為：例 7 、設(shè)函數(shù)f ( x)xa (aR) .若方程 f(f(x)= x 有解 ,則 a 的取值范圍為 ()感謝下載載精品A. (1B.1C.(1D.1,+ ), 0,488解：法二：設(shè)f(x)= t ,t ? 0,則方程 f (f( x)= x 等價(jià)為 f(t)= x，即xat，t= x，即 f (x)= x，tax xax 在 x? 0 時(shí)有解， ax2x設(shè) gxx2xx( x1)則 ag( x)maxg( 1)1 ，故選： A.24例 8 ：已知 fxx3bx ，若 fx在 1,) 上單調(diào)（ 1 ）求 b 的取值

11、范圍；（ 2 ）已知 f xx3bx ，若設(shè) x01, f ( x0 )1，且滿足 f f (x0 )x0 ，求證： f ( x0 )x0 解：（ 1 ）法一：令 1x1x2，則 fx1fx2x13bx1x23bx2( x1x2 )( x12x1x2x22b) 0x12x1 x2x22b0bx12x1 x2x22 恒成立b1 113（ 2 ）（證法一）設(shè)f (x0 )m ，由 f f ( x0 )x0 得 f (m)x0 ，于是有x03bx0m (1)m3bmx0 (2)（ 1 ）（ 2 ）得： ( x03m3 )b( x0m)mx0 ，化簡(jiǎn)可得(x0m)( x02mx0m21b)0 ， Q

12、x01, f ( x0 )m1，x02mx0m21b 4b10 ，故 x0m0 ，即有 f (x0 )x0 （證法二）假設(shè)f ( x0 )x0 ，若 f （x0 ） >x0 ，則 f（ f（ x0 ） >f （ x0），即 x0>f （ x0 ）與 f （ x0 ） >x 0 矛盾，故不存在這種情況；若 f （x0 ） <x0 ，則 f （ f（ x0 ） <f （x0），即 x0<f （ x0）與 f （ x0 ）<x0 矛盾，故不存在這種情況；綜上， f（ x0 ） =x 0例 9 ：已知 fxax2bxc a0 ，且方程 fx x 無(wú)實(shí)根。

13、現(xiàn)有四個(gè)命題 方程 f f xx 也一定沒(méi)有實(shí)數(shù)根； 若 a0，則不等式 ffxx 對(duì)一切 xR 成立； 若 a0 ，則必存在實(shí)數(shù) x0 使不等式 f fx0x0 成立； 若 abc0 ，則不等式 ff xx 對(duì)一切 xR 成立。其中真命題的個(gè)數(shù)是（C）（A）1 個(gè)（B）2 個(gè)（C）3 個(gè)（D）4 個(gè)感謝下載載精品【提問(wèn)】由以上例題我們還可以得到什么結(jié)論呢？【性質(zhì)】1、函數(shù) f ( x)( xD ) 不動(dòng)點(diǎn)構(gòu)成的集合是f f ( x)( x D ) 不動(dòng)點(diǎn)構(gòu)成的集合的子集；2、若函數(shù) f ( x) 在 D 上單調(diào)遞增，則f ( x)( x D ) 不動(dòng)點(diǎn)構(gòu)成的集合與 f f ( x)( xD

14、) 不動(dòng)點(diǎn)構(gòu)成的集合相等；3 、若 f ( f ( x) 有唯一不動(dòng)點(diǎn)，則f (x) 也有唯一不動(dòng)點(diǎn)；證明：4 、若函數(shù)f ( x)( xD ) 是自反函數(shù)，則在D 內(nèi)任何實(shí)數(shù)均是f f (x)( xD ) 的不動(dòng)點(diǎn)；證明：5 、若函數(shù)f f ( x)( xD ) 不動(dòng)點(diǎn)構(gòu)成的集合是非無(wú)限集，則f (x)( xD ) 不動(dòng)點(diǎn)構(gòu)成的集合的元素個(gè)數(shù)與 f f ( x)( xD ) 不動(dòng)點(diǎn)構(gòu)成的集合的元素個(gè)數(shù)同為偶數(shù)或同為奇數(shù).證明：感謝下載載精品【課后練習(xí)】1 、對(duì)于函數(shù)f x ，若 fx0x0 ，則稱(chēng) x0為函數(shù) yf ( x) 的不動(dòng)點(diǎn)；若f ( f (x0 )x0 ，則稱(chēng) x0 為函數(shù) yf

15、 ( x) 的穩(wěn)定點(diǎn) . 如果 fx x2a aR的“穩(wěn)定點(diǎn)”恰是它的“不動(dòng)點(diǎn)”，那么a 的取值范圍是（）A、,1B、3 ,C、3 , 1D 、3 , 1444444解： x0 為函數(shù) fx的不動(dòng)點(diǎn)，則方程 fxx ，即 x2xa0 有實(shí)根 x0 ， 14a01；a4x0 是方程 ff xx 的根，即x22ax如果穩(wěn)定點(diǎn)恰是它的不動(dòng)點(diǎn)，則ax2x a x2x a 1 0，因?yàn)楹瘮?shù) fxx2a aR 的穩(wěn)定點(diǎn)恰是它的不動(dòng)點(diǎn)，所以 若方程 x2x a1 0無(wú)實(shí)根14 a10a3；4若方程 x2xa1 0 有實(shí)根，且實(shí)根是方程x2xa0 的根，作差，得 2x+1=0x11132a244綜上：3a1，

16、故選 D442 、方程 f xx 的根稱(chēng)為函數(shù)f (x) 的不動(dòng)點(diǎn)，若函數(shù)fxx有唯一不動(dòng)點(diǎn)，且x1 1000 ，a x2感謝下載載精品1xn 1， n1 ， 2， 3， ，則 x20172008.1fxn3 、對(duì)于函數(shù)yf ( x) ,若 x0 滿足 f ( x0 )x0 ,則稱(chēng) x0 為函數(shù) f ( x) 的一階不動(dòng)點(diǎn) ,若 x0 滿足 f f ( x0 )x0 ,則稱(chēng) x0 為函數(shù)f (x) 的二階不動(dòng)點(diǎn)，（ 1 ）設(shè) f(x)=2 x+3, 求 f (x)的二階不動(dòng)點(diǎn)。（ 2 ）設(shè) fxexxa, aR ,若 f(x) 在0,1 上存在二階不動(dòng)點(diǎn)x0 ，求實(shí)數(shù) a 的取值范圍 .考點(diǎn)：

17、 函數(shù)與方程的綜合運(yùn)用, 函數(shù)的值 解：（ 1 ）若 f (x)=2 x+3, 則 f f(x)=2(2 x+3)+3=4x+9 ，由 f f( x)= x,得 4 x+9= x,解得 x= - 3 ；2xRf x e x a a（ ）函數(shù),在 R 上單調(diào)遞增，則由 (2) 可知 ,若 f(x )在 0,1上存在二階不動(dòng)點(diǎn)x0 ，感謝下載載精品則 f(x)在 0,1 上也必存在一階不動(dòng)點(diǎn)x0 ；反之 ,若 f(x)在0,1 上存在一階不動(dòng)點(diǎn)x0 ,即 f ( x0 )x0 ，那么 f f ( x0 )f ( x0 )x0 ,故 f (x)在 0,1 上也存在二階不動(dòng)點(diǎn)x0 .所以函數(shù) f (x

18、)在0,1 上存在二階不動(dòng)點(diǎn)x0 等價(jià)于 f(x)= x 在 0,1 上有解 ,即方程 exxax 在 0,1 上有解，aex 在0,1 上有解a 的取值范圍是- e,- 1.4 、已知函數(shù)f ( x)6x26x，設(shè)函數(shù) g1 ( x)f ( x), g2 ( x)f g1 (x),g3 ( x) f g2 ( x),gn ( x)f gn 1( x),（1 ）求證 :如果存在一個(gè)實(shí)數(shù)x0 ，滿足g1 ( x0 )x0 ，那么對(duì)一切n N ,gn (x0 ) x0 都成立都成立；（ 2 ）若實(shí)數(shù) x0 滿足 gn ( x0 )x0，則稱(chēng) x0 為穩(wěn)定不動(dòng)點(diǎn)，試求出所有這些穩(wěn)定不動(dòng)點(diǎn)；（3）設(shè)區(qū)

19、間 A(0,) ，對(duì)于任意 xA ，有 g1 ( x)f (x) a0, g2 ( x)f g1 (x)f(0)0 ，且n 2時(shí)， gn (x)0 .試問(wèn)是否存在區(qū)間B(A B) ,對(duì)于區(qū)間內(nèi)任意實(shí)數(shù)x ，只要 n2，都有g(shù)n ( x) 0 .解析 :(1) 證明 : 當(dāng)n=1 時(shí)， g1 ( x0 )x0 ，顯然成立；設(shè) n=k 時(shí)，有 gk (x0 )x0 (kN) 成立，則 gk 1 ( x0 )f gk ( x0 )f ( x0 )g1( x0 )x0 ，即n= k +1時(shí)，命題成立 .對(duì)一切 nN ,gn ( x0 )x0 都成立都成立（ 2 ）由（ 1 ）知，穩(wěn)定不動(dòng)點(diǎn)x0 ，只需

20、滿足f ( x0 )x0由 f (x0 )x0 ，得 f ( x)6x026x0 x0x0 0 或 x056穩(wěn)定不動(dòng)點(diǎn)為0 和.（ 3 ）f(x) 0 ，得6x26x0x0 或 x 1.gn ( x)0f gn 1 (x)0 或 g n 1( x)1感謝下載載精品要使一切 n2 ，都有 gn ( x)0 ，必須有 g1 (x)0 或 g1( x)1 .由 g1( x)06x26 x0x 0 或x 1由 g1( x) 16x 26x 1故對(duì)于區(qū)間 ()和 (1,+ )內(nèi)的任意實(shí)數(shù)x,只要 n2, nN ，都有 gn ( x)0 .【真題】（ 2012年北京東城一模文）對(duì)于函數(shù) f (x)，我們把

21、使得 f(x )= x 成立的 x 成為函數(shù) f(x)的不動(dòng)點(diǎn)，把使得f(f (x)= x成立的 x 成為函數(shù)的f(x) 的穩(wěn)定點(diǎn)，函數(shù)f(x)的不動(dòng)點(diǎn)和穩(wěn)定點(diǎn)構(gòu)成集合分別記為A和B.即A=| ()=,= |()=x，x f xx B x f f x(1) 設(shè)函數(shù) f(x)=3 x +4 ，求集合 A 和 B；(2) 求證： A? B；(3) 設(shè)函數(shù) f xax2bx c a0，且 A= ?，求證： B= ? .考點(diǎn)： 集合的包含關(guān)系判斷及應(yīng)用,空集的定義、性質(zhì)及運(yùn)算、方程無(wú)解的證明解： (1) 令 f(x)=3 x +4=x，解得 x= - 2,故有 A= - 2由于 f f(x)=3(3

22、x+4)+4=9x+16 ，令 9 x+16= x,得 x= - 2,故有 B= - 2(2) 若 A= ?，則 A? B 顯然成立；若 A?，設(shè) t A，則 f(t)= t ,f(f(t)= f(t)= t，t B，故 A? B.(3) Q Af ( x)x 無(wú)解f ( x)x 或 f ( x)x感謝下載載精品1o a0 時(shí)，則 f ( x)x 在 xR上恒成立f f ( x)f ( x)xB2o a0 時(shí)，則 f (x)x 在 xR 上恒成立f f ( x)f ( x)xB綜上， B（上海中學(xué)2015學(xué)年第一學(xué)期高一期終考試）一、填空題 /12 、若實(shí)數(shù) x0 滿足 f (x0 )x0 ，

23、則稱(chēng) x0 為函數(shù) f (x) 的不動(dòng)點(diǎn)，有下面三個(gè)命題：（ 1）若 f (x) 是二次函數(shù)，且沒(méi)有不動(dòng)點(diǎn)，則函數(shù)f f ( x) 也沒(méi)有不動(dòng)點(diǎn)；（ 2）若 f (x) 是二次函數(shù)，則函數(shù)f f ( x) 可能有 4 個(gè)不動(dòng)點(diǎn)；（ 3）若 f (x) 的不動(dòng)點(diǎn)的個(gè)數(shù)是2 ，則 f f ( x) 的不動(dòng)點(diǎn)的個(gè)數(shù)不可能是 3.它們中所有真命題的序號(hào)是_（ 1）、（ 2 ）、（ 3 ） _.三、解答題 /5 、對(duì)定義在 1,) 上的函數(shù) f ( x) 和常數(shù) a、 b ，若 f (2 x)af ( x) b 恒成立， 則稱(chēng) ( a, b) 為函數(shù) f ( x) 的一個(gè)“凱森數(shù)對(duì)” .（ 1）若 (1

24、,1)是 f (x) 的一個(gè)“凱森數(shù)對(duì)”，且 f (1) 3，求 f (16) ；（ 2）已知函數(shù) f1( x) log 3x 與 f 2 ( x) 2x 的定義域都為1, ) ，問(wèn)它們是否存在“凱森數(shù)對(duì)”？分別給出判斷并說(shuō)明理由；（ 3）若 (2,0) 是 f (x) 的一個(gè) “凱森數(shù)對(duì)” ，且當(dāng) 1 x2 時(shí)， f ( x)2x x2 ，求 f ( x) 在區(qū)間 (1, )上的不動(dòng)點(diǎn)個(gè)數(shù)（不動(dòng)點(diǎn)的概念參考填空題第12 題）.解：（ 1 ） f (16)7（ 2） f1 (x) log 3x 存在“凱森數(shù)對(duì)” (a, b)(1,log 3 2)f 2 ( x) 2x 不存在“凱森數(shù)對(duì)”（ 3

25、）不動(dòng)點(diǎn)個(gè)數(shù)為0感謝下載載精品（楊浦區(qū) 2016 學(xué)年度第一學(xué)期高一年級(jí)期中質(zhì)量調(diào)研）21 、（本題滿分 12分）本題共有 2 個(gè)小題，第（ 1 ）小題滿分 2 分，第（ 2 ）小題滿分4 分，第（ 3 ）小題滿分 6 分.對(duì)于函數(shù) f ( x) ，稱(chēng)滿足 f ( x0 )x0 的 x0 為函數(shù) f (x) 的“不動(dòng)點(diǎn)” ，稱(chēng)滿足 f f ( x0 )x0的 x0 為函數(shù) f(x) 的“穩(wěn)定點(diǎn)” .（ 1）求函數(shù)f ( x)x2 的“不動(dòng)點(diǎn)”；（ 2）求函數(shù)f ( x)| x1| 的“穩(wěn)定點(diǎn)”；（ 3）已知函數(shù)yf ( x)ax (a 0, a 1,a2) 有無(wú)數(shù)個(gè) “穩(wěn)定點(diǎn)” ，若 x x

26、|1x 2 且 xb ，x b求 y 的取值范圍（用 a 表示） .解：（ 1）0、1（ 2 ） x0,1（ 3 ） 1o a1 或 a2 時(shí)，則 y 2a ,a2a1a2o 1 a2 時(shí)，則 y ( , a U 2a ,)1a2a感謝下載載精品（ 2017年全國(guó)中學(xué)生數(shù)學(xué)能力競(jìng)賽高一年級(jí)組決賽）17 、對(duì)于函數(shù) f(x)，若 f (x)= x，則稱(chēng) x 為 f (x)的“不動(dòng)點(diǎn)”，若 f(f(x)= x ，則稱(chēng) x 為 f(x)的“穩(wěn)定點(diǎn)”。函數(shù)的“不動(dòng)點(diǎn)”和“穩(wěn)定點(diǎn)”的集合分別記為A 和B，即A=| ()=x， = |()=x.x f xB x f f x( )求證： A? B；( )若

27、fxax21 a R, xR，且A B，求實(shí)數(shù) a 的取值范圍 .考點(diǎn)： 集合的包含關(guān)系判斷及應(yīng)用,集合的相等 ,函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì) 解： ( )若 A= ?，則 A? B 顯然成立；若 A?，設(shè) t A， 則 f(t)= t ，f(f(t)= f(t )= t ， t B，故 A? B()Q Aax2 1 x 有解1 4a 0 a14Q Ba(ax 21)1x 有解a3x42a2 x2xa 10QA?Ba3 x42a2 x2xa1 0的左邊有因式 ax 2x1(ax 2x1)(a 2 x2axa1)0 ；又 A=Ba2 x2axa 10 無(wú)實(shí)數(shù)根，或?qū)崝?shù)根是方程ax2x10 的根；若 a 2

28、x2axa1 0 無(wú)實(shí)數(shù)根，則a24a 2 (a1)014a4 0 a34若 a 2 x2axa1 0 有實(shí)根，且實(shí)根是方程 ax 2x10 的根得 a 2 x2ax a 2ax 1 0 x1111 031 a3132a4a2a4a4a 的取值范圍為 ,44【數(shù)列中的應(yīng)用】感謝下載載精品1 、求線性遞推數(shù)列的通項(xiàng)：a1a，且 pq( p1)0an 1panq法四： 不動(dòng)點(diǎn)法 構(gòu)造等比數(shù)列令 xpxq xqpxq 的不動(dòng)點(diǎn)，遞推公式兩邊同減不動(dòng)點(diǎn)，為函數(shù) y1p得 an 1qppanqqp(anq )11 p1p若 aq0，則 anq1p1；p若 a1qp0 ，則 anqp(a1q) pn 1an( aq ) pn 1q.1p1 p1pa1a2 、形如an1panq 型 ：不動(dòng)點(diǎn)法構(gòu)造等比數(shù)列或線性遞推數(shù)列ta ns將 an 1,an均換成 x ，得 xpxqx , x 是函數(shù) fxpxq 的兩個(gè)不動(dòng)點(diǎn)txs12( )stx兩邊同減兩個(gè)不動(dòng)點(diǎn)，得an 1x1pa nqpx1q( psqt )(anx1 ) tanstx1s(ta ns)(tx1s)an 1x2panq