2016年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試(山東卷)理數(shù)

1、2016 年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試（山東卷）理數(shù)、選擇題：本大題共 10 小題，每小題 5 分，共 50 分，每小題給出四個選項，只有一個選項符合題目要求D . - 1 - 2ix2A=y|y=2, X R , B=x|x - 1V0，則 AUB=(B. (0,1)C. (-1,+s)D. (0,+s)如圖所示的頻率分布直方圖，其中自習(xí)時間的范圍是17.5 ,30，樣本數(shù)據(jù)分組為17.5 , 20）,20 , 22.5） , 22.5, 25）, 25, 27.5）, 27.5 , 30.根據(jù)直方圖，這 200 名學(xué)生中每周的自習(xí)時間不少于 22.5 小時的人數(shù)是（）正（主視團側(cè)（左）視

2、圖俯視團+ 二 C.+D .1. （ 5 分）（2016?山東）若復(fù)數(shù)z 滿足 2z+二=3 - 2i，其中 i 為虛數(shù)單位，則z=(14056 B. 60 C. 120 D.10080402O V - oo OO4.（5 分）（2016?山東）若變量x2+y2的最大值是（4 B. 9C. 10 D.（5 分）（2016?山東）一個由半球和四棱錐組成的幾何體，其三視圖如圖所示.則該幾何體的體積為（A.5.12A . 1+2i B. 1 - 2i C.- 1+2i2. ( 5 分)(2016?山東)設(shè)集合A . (- 1 , 1)A. + nB.3 33 33 666. （ 5 分）（2016?

3、山東）已知直線 a, b 分別在兩個不同的平面a, B內(nèi).則 直線 a 和直線 b相交”是 平面a和平面B相交”的（）A .充分不必要條件B .必要不充分條件C.充要條件 D .既不充分也不必要條件_7.（5 分）（2016?山東）函數(shù) f（ x） = G：.；：、si nx+cosx）（ V3 cosx- sinx）的最小正周期是（）A7T- 37T _ _A. B. nC.D.2n2 28.（5 分） （2016?山東）已知非零向量 n,i滿足 4|=3|-i|, cosv，、i=.若-丨丄（t+i）,3則實數(shù) t 的值為（）qqA . 4 B. - 4 C . - D.-4439.（5

4、分） （2016?山東）已知函數(shù) f（ x）的定義域為 R.當(dāng) xv0 時，f （x） =x - 1 ；當(dāng)-1$冬 時，f （ - x） = - f （x） ;當(dāng) x 丄時，f（x+丄）=f （X- 3）.則 f（6）=（）2 2 2A. - 2 B . - 1 C . 0 D . 210 . （5 分）（2016?山東）若函數(shù) y=f （x）的圖象上存在兩點，使得函數(shù)的圖象在這兩點處的切線互相垂直，則稱 y=f （x）具有 T 性質(zhì).下列函數(shù)中具有 T 性質(zhì)的是（ ）x3A . y=s inxB . y=l nx C . y=e D . y=x本大題共 5 小題，每小題 5 分，共 25 分

5、.（2016?山東）執(zhí)行如圖的程序框圖，若輸入的a, b 的值分別為 0 和 9,則輸出2 213 . （5 分）（2016?山東）已知雙曲線 E:青-七=1 （a0, b0）,若矩形 ABCD 的四個二、填空題:11 . （5 分）的 i 的值為5的展開式中 x5的系數(shù)是-80,則實數(shù) a=頂點在 E 上，AB ,CD 的中點為 E 的兩個焦點，且 2|AB|=3|BC|，則 E 的離心率是 _14 . （5 分）（2016?山東）在-1, 1上隨機地取一個數(shù) k，則事件 直線 y=kx 與圓（x - 5）2 2+y =9 相交”發(fā)生的概率為_數(shù) b,使得關(guān)于 x 的方程 f (x) =b

6、有三個不同的根，則m 的取值范圍是 _ 三、解答題，：本大題共 6 小題，共 75 分.16.( 12 分)(2016?山東)在厶 ABC 中，角 A , B , C 的對邊分別為 a，b，c，已知 2( tanA+tanB)_tanAtanB= +cosB cosA(I)證明：a+b=2c;(n)求 cosC 的最小值.17.(12 分)(2016?山東)在如圖所示的圓臺中，AC 是下底面圓 O 的直徑，EF 是上底面圓 O 的直徑，F(xiàn)B 是圓臺的一條母線.(I)已知 G，H 分別為 EC，F(xiàn)B 的中點，求證： GH /平面 ABC ;(H)已知 EF=FB= AC=2 7AB=BC，求二面

7、角 F- BC - A 的余弦值.2218. ( 12 分)(2016?山東)已知數(shù)列an的前 n 項和 Sn=3n +8n,bn是等差數(shù)列，且 an=bn+bn+1.(I)求數(shù)列bn的通項公式；(a +1)(n)令 cn=- ，求數(shù)列cn的前 n 項和 Tn.(bnQn19.(12 分)(2016?山東)甲、乙兩人組成 星隊”參加猜成語活動，每輪活動由甲、乙各猜一個成語，在一輪活動中，如果兩人都猜對，則星隊”得 3 分；如果只有一個人猜對，則星隊”得 1 分；如果兩人都沒猜對，則星隊”得 0 分.已知甲每輪猜對的概率是乙每輪猜對4的概率是：；每輪活動中甲、乙猜對與否互不影響.各輪結(jié)果亦互不影

8、響.假設(shè)星隊”參加3兩輪活動，求：(I)星隊”至少猜對 3 個成語的概率；(II )星隊”兩輪得分之和為 X 的分布列和數(shù)學(xué)期望 EX .2x 120. (13 分)(2016?山東)已知 f (x) =a (x- lnx) + ，aR.(I)討論 f (x)的單調(diào)性；15. ( 5 分)(2016?山東)已知函數(shù)f (x)， 其中 m0,若存在實 子 _2ms+4ni*(II )當(dāng) a=1 時，證明 f (x ) f (x) +對于任意的 x 1，2成立.22 221.(14 分)(2016?山東)平面直角坐標(biāo)系 xOy 中，橢圓 C: + =1 (ab 0)的離心a2b2率是一，拋物線 E

9、 : x2=2y 的焦點 F 是 C 的一個頂點.2(I)求橢圓 C 的方程；(n)設(shè) P 是 E 上的動點，且位于第一象限， E 在點 P 處的切線 I 與 C 交與不同的兩點 A , B，線段 AB的中點為 D，直線 OD 與過 P 且垂直于 x 軸的直線交于點 M .(i) 求證：點 M 在定直線上；S,(ii)直線I與y軸交于點 6,記厶 PFG 的面積為 PDM 的面積為 S?，求的最大值及取得最大值時點 P 的坐標(biāo).y +2016 年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試(山東卷)理數(shù)參考答案與試題解析一、選擇題1.B【分析】設(shè)出復(fù)數(shù)乙通過復(fù)數(shù)方程求解即可.【解答】解：復(fù)數(shù) z 滿足 2z2

10、.5=0.7,故自習(xí)時間不少于 22.5 小時的頻率為：0.7 200=140,故選：D4.C【分析】由約束條件作出可行域，然后結(jié)合x2+y2的幾何意義，即可行域內(nèi)的動點與原點距離的平方求得 x2+y2的最大值.【解答】解：由約束條件：./0 A ( 0,- 3), C ( 0, 2), |0C|,聯(lián)立彳*+廠2，解得 B (3, - 1).加-3y=92 2 x +y 的最大值是 10.故選：C.5.C【分析】由已知中的三視圖可得：該幾何體上部是一個半球，下部是一個四棱錐， 進(jìn)而可得答案.【解答】解：由已知中的三視圖可得：該幾何體上部是一個半球，下部是一個四棱錐， 半球的直徑為棱錐的底面對角

11、線，由棱錐的底底面棱長為 1,可得 2R=二.故只=空，故半球的體積為：- * - 主n,2326棱錐的底面面積為：1,高為 1,故棱錐的體積 V ,故選：C6.A【分析】根據(jù)空間直線與直線，平面與平面位置關(guān)系的幾何特征，結(jié)合充要條件的定義，可得答案.【解答】解：當(dāng) 直線 a 和直線 b 相交”時，平面a和平面B相交”成立，當(dāng)平面a和平面B相交”時，直線 a 和直線 b 相交”不一定成立， 故 直線 a 和直線 b 相交”是 平面a和平面B相交”的充分不必要條件， 故選：A7.B【專題】計算題；轉(zhuǎn)化思想；轉(zhuǎn)化法；三角函數(shù)的圖像與性質(zhì).【分析】利用和差角及二倍角公式，化簡函數(shù)的解析式，進(jìn)而可得函

12、數(shù)的周期.【解答】 解：數(shù) f (x) = (p sinx+cosx)(耳cosx sinx) =2sin (x+) ?2cos (x+) =2sin(2X+，T=n,故選：B=*=*=* T【分析】若).i(t +i),貝,J? (t +i)=0,進(jìn)而可得實數(shù) t 的值.故組合體的體積為:2八2 -i?(t+|)=t ?-|+=t| |?| |?二+| -| =( |，) | - J =0,34解得：t= - 4,故選：B.9.D【分析】求得函數(shù)的周期為1，再利用當(dāng)-1$勻時，f (- x) = - f (x),得到 f (1) = - f3(-1),當(dāng) xv0 時，f (x) =x - 1

13、，得到 f (- 1) = - 2,即可得出結(jié)論.【解答】解：當(dāng) x 一時，f (x+ ) =f ( x -),2 2 2當(dāng) xx+1) =f (x)，即周期為 1.2-f (6) =f (1),當(dāng)1時，f ( x) = - f (x),-f (1) =- f (- 1),當(dāng) xv0 時，f (x) =x3- 1,-f (- 1) = - 2, f (1) =- f (- 1) =2 , f (6) =2.故選：D.10. A【分析】若函數(shù) y=f (x)的圖象上存在兩點，使得函數(shù)的圖象在這兩點處的切線互相垂直，則函數(shù) y=f (x)的導(dǎo)函數(shù)上存在兩點，使這點的導(dǎo)函數(shù)值乘積為-1,進(jìn)而可得答案

14、.【解答】解：函數(shù) y=f (x)的圖象上存在兩點，使得函數(shù)的圖象在這兩點處的切線互相垂直，則函數(shù) y=f (x)的導(dǎo)函數(shù)上存在兩點，使這點的導(dǎo)函數(shù)值乘積為-1,當(dāng) y=sinx 時，y=cosx，滿足條件；當(dāng) y=l nx 時，y= 0 恒成立，不滿足條件；當(dāng) y=ex時，y =ex 0 恒成立，不滿足條件；當(dāng) y=x3時，y =3x20 恒成立，不滿足條件；故選：A二、填空題11.3.【分析】根據(jù)已知的程序框圖可得，該程序的功能是利用循環(huán)結(jié)構(gòu)計算并輸出變量i 的值，模擬程序的運行過程，可得答案.【解答】解：輸入的a, b 的值分別為 0 和 9, i=1 .第一次執(zhí)行循環(huán)體后：a=1,b=

15、8,不滿足條件avb,故 i=2 ；第二次執(zhí)行循環(huán)體后：a=3,b=6,不滿足條件avb,故 i=3 ；第三次執(zhí)行循環(huán)體后：a=6,b=3,滿足條件 avb,故輸出的 i 值為：3,故答案為：312. - 2 .數(shù)80,2DC3144-a3【分析】利用二項展開式的通項公式Tr+1=（ ax2）5-r:匸，化簡可得求的 X5的系令 10 -=5，解得 r=2 .2/( ax2+555的展開式中 X5的系數(shù)是-80得 a= - 2.13.2.【分析】可令 x=c，代入雙曲線的方程，求得y= 士，再由題意設(shè)出 A , B, C, D 的坐標(biāo),a由 2|AB|=3|BC|，可得 a, b, c 的方程

16、，運用離心率公式計算即可得到所求值.【解答】解：令 x=c,代入雙曲線的方程可得 y= ）_ 1 = -k2k2k2k2由題意可設(shè) A (- c, ), B (- c,- ), C (c,- ), D ( c,),aaaa由 2|AB|=3|BC|，可得,- 22? =3?2c,即為 2b =3ac,a解得 e=2 （負(fù)的舍去）故答案為：2.圓心到直線 y=kx 的距離為：Vk2+i【解答】解：（ax2+ -）5的展開式的通項公式5r：-,Tr+1= ( ax2)5 r由 b2=c2- a2,e=：，可得【分析】 利用圓心到直線的距離小于半徑可得到直線與圓相交， 可求出滿足條件的根據(jù)幾何概型的

17、概率公式可求出所求.2 2【解答】解：圓（x- 5） +y =9 的圓心為（5, 0）,半徑為 3.k,最后16.【分析】（I）由切化弦公式I. _!_：-,帶入cosAC0SD22要使直線 y=kx 與圓（x - 5） +y =9 相交，則二3,解得-工kni 0）,解之即可.I y 13xWm的圖象如下:x 2ins+4ni$2 2 2 2f (x) =x - 2mx+4m= (x - m)+4mm 4m - m ,x 的方程 f (x) =b 有三個不同的根，【解答】解：當(dāng) m0 時，函數(shù) f（X）/x m 時， y 要使得關(guān)于必須 4m - mvm （m 0）, 即m 3m （m0）,

18、 解得 m 3, m 的取值范圍是（3, +s）, 故答案為：（3,+R）.并整理可得 2 （sinAcosB+cosAsinB ） =sinA+cosB， 這樣根cosBcosA據(jù)兩角和的正弦公式即可得到sinA+sinB=2sinC，從而根據(jù)正弦定理便可得出a+b=2c;2 2 2 2 2 2(n)根據(jù) a+b=2c ,兩邊平方便可得出 a +b +2ab=4c ,從而得出 a +b =4c - 2ab ,并由不2 2等式 a2+b2支 ab 得出 c2ab ,也就得到了.如，這樣由余弦定理便可得出- I ,ab2ab從而得出 cosC 的范圍，進(jìn)而便可得出 cosC 的最小值._ -得.

19、cosB cosA【解答】解：()證明：由-i ,：. .： ,isinAsinB ：i二 ；cosA cosBcosAcosB cosAcosB兩邊同乘以 cosAcosB 得，2 (sinAcosB+cosAsinB ) 2sin (A+B ) =sinA+sinB ;即 sinA+sinB=2sinC (1);根據(jù)正弦定理，:;sinA sinB sinC=_.,帶入(1)得: a+b=2c;(n)a+b=2c;( a+b) =a +b +2ab=4c ;.2 2 2a +b =4c - 2ab,又 a, b0;2：1;=sinA+sinB ;一 ：I二?2R 2R 2R 2且 4c 紹

20、 ab，當(dāng)且僅當(dāng) a=b 時取等號;由余弦定理,a2+ b2 _c _3c - 2ab 3cosC=-Zab2ab 2 abC0SC 的最小值為17.【分析】(I)取GH / 平面 ABC .(H)由 AB=BCFC 中點 Q,連結(jié) GQ、QH，推導(dǎo)出平面 GQH /平面 ABC，由此能證明，知 B0 丄 AC,以 0 為原點, 空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能求出二面角【解答】證明：(I)取 FC 中點 Q,連結(jié) G、H 為 EC、FB 的中點，GQ|QH /| ,又 EF1B0 , GQ , -B0 ,平面 GQH /平面 ABC ,/ GH?面 GQH , GH /平面 ABC . 解：(n

21、)TAB=BC, B0 丄 AC,又 00 丄面 ABC ,以 0 為原點，OA為 x 軸，0B 為 y 軸， 則 A (:, 0, 0), C (-2: , 0 , 0),OA 為 x 軸， OB 為 y 軸， 00 為 z 軸， 建立 F - BC- A 的余弦值.GQ、QH,00 為 z 軸，建立空間直角坐標(biāo)系，B (0, 2屈,0), 0( 0, 0, 3), F ( 0,7, 3),FC= （- 2 徒，-品，-3）, CB= （2忑,2畐,0）,由題意可知面 ABC 的法向量為=(0, 0, 3),設(shè)= (xo, yo, zo)為面 FCB 的法向量,-2730-V3yo-3z0=

22、O2V3xo+2V3yo=0面角 F - BC - A 的平面角是銳角,面角 F - BC - A 的余弦值為-.718.【分析】（I）求出數(shù)列an的通項公式，再求數(shù)列（H）求出數(shù)列Cn的通項，利用錯位相減法求數(shù)列2【解答】解：（I）Sn=3 n +8n, n2時，an=Sn- Sn-1=6n+5,n=1 時，a1=S1=11, an=6n+5;Tan=bn+bn+1, an_1=bn-1+bn,二an-an-1=bn+1-bn-1. 2d=6 , d=3,Ta1=b1+b2, 11=2b1+3, b1=4,則上芒丸，即*Ln*CB=Obn的通項公式；Cn的前 n 項和 Tn.取 xo=l，則

23、-= COSV | | ,二 bn=4+3 (n- 1) =3n+1;七 lnx 放縮， 得到 F (x) =， 丄.令0(x) = ：，利用導(dǎo)數(shù)可得o(x)在1 , 2上為2333xX XXX減函數(shù)，得到 F (x) 恒成立.由此可得 f (x) f( x) +；對于任意的 x 1 , 2成立.2 2【解答】(I)解：由 f (x) =a (x- lnx)+得 f (x) =a (1- )K=J一 -一二門丄=- !-3 =3(x0).XX若 aO,則2ax - 2v0 恒成立，當(dāng) x(0,1)時，f (x) 0,f (x ) 為增函數(shù)，當(dāng) x (1, +g)時,f (x)v0,f(X)為減

24、函數(shù)；當(dāng) a 0，若 0vav2，當(dāng) x ( 0,1 )和 ( , +g)時，f ( x) 0, f (x)為增函數(shù),a當(dāng) x( 1二) 時，f (x)v0, f ( x)為減函數(shù)；a若 a=2, f (x)為恒成立，f (幻在(0, +R)上為增函數(shù)；若 a2，當(dāng) x (0,和(1, +g)時，f( x) 0, f (x)為增函數(shù),a當(dāng) x (，1)時，f (x)v0, f ( x)為減函數(shù)；(n)解： a=1,91919319令 F ( x) =f (x) - f (x) =x - Inx * - 1=x - Inx+I .v Z.Z Y JI .JxXXAXAX X/e 1+x,.x In (1+x),.ex 1 x,貝 V x - 1 lnx ,x3. 13X2+X-23令權(quán) X)賓白辭2，則(X)卅-+腫廠 3/：躋 6 :恒成立.2即 f (x ) f( x) + ；對于任意的 x 1, 2成立.221.【分析】(I)運用橢圓的離心率公式和拋物線的焦點坐標(biāo)，以及橢圓的a, b, c 的關(guān)系，解得 a, b，進(jìn)而得到橢圓的方程；(n) (i)設(shè) P(xo,yo),運用導(dǎo)數(shù)求得切線的斜率和方程，代入橢圓方程，運用韋達(dá)定理，可得中