051數(shù)列知識點總結(jié)精華及試題精粹1

1、知識要點數(shù)列數(shù)列的定義數(shù)列的有關(guān)概念數(shù)列的通項數(shù)列與函數(shù)的關(guān)系項項數(shù)通項等差數(shù)列等差數(shù)列的定義等差數(shù)列的通項等差數(shù)列的性質(zhì)等差數(shù)列的前n項和等比數(shù)列等比數(shù)列的定義等比數(shù)列的通項等比數(shù)列的性質(zhì)等比數(shù)列的前n項和等差數(shù)列等比數(shù)列定義遞推公式；通項公式（）中項（）（）前項和重要性質(zhì)1. 等差、等比數(shù)列：等差數(shù)列等比數(shù)列定義通項公式=+（n-1）d=+（n-k）d=+-d求和公式中項公式A= 推廣：2=。推廣：性質(zhì)1若m+n=p+q則 若m+n=p+q，則。2若成A.P（其中）則也為A.P。若成等比數(shù)列 （其中），則成等比數(shù)列。3 成等差數(shù)列。成等比數(shù)列。4 ， 5看數(shù)列是不是等差數(shù)列有以下三種方法：

2、2()(為常數(shù)).看數(shù)列是不是等比數(shù)列有以下四種方法：(，)注：i. ，是a、b、c成等比的雙非條件，即a、b、c等比數(shù)列.ii. （ac0）為a、b、c等比數(shù)列的充分不必要.iii. 為a、b、c等比數(shù)列的必要不充分.iv. 且為a、b、c等比數(shù)列的充要.注意：任意兩數(shù)a、c不一定有等比中項，除非有ac0，則等比中項一定有兩個.(為非零常數(shù)).正數(shù)列成等比的充要條件是數(shù)列（）成等比數(shù)列.數(shù)列的前項和與通項的關(guān)系：注： （可為零也可不為零為等差數(shù)列充要條件（即常數(shù)列也是等差數(shù)列）若不為0，則是等差數(shù)列充分條件）.等差前n項和可以為零也可不為零為等差的充要條件若為零，則是等差數(shù)列的充分條件；若不

3、為零，則是等差數(shù)列的充分條件. 非零常數(shù)列既可為等比數(shù)列，也可為等差數(shù)列.（不是非零，即不可能有等比數(shù)列）2. 等差數(shù)列依次每k項的和仍成等差數(shù)列，其公差為原公差的k2倍；若等差數(shù)列的項數(shù)為2，則；若等差數(shù)列的項數(shù)為，則，且，. 3. 常用公式：1+2+3 +n =注：熟悉常用通項：9，99，999，； 5，55，555，.4. 等比數(shù)列的前項和公式的常見應(yīng)用題：生產(chǎn)部門中有增長率的總產(chǎn)量問題. 例如，第一年產(chǎn)量為，年增長率為，則每年的產(chǎn)量成等比數(shù)列，公比為. 其中第年產(chǎn)量為，且過年后總產(chǎn)量為：銀行部門中按復(fù)利計算問題. 例如：一年中每月初到銀行存元，利息為，每月利息按復(fù)利計算，則每月的元過個

4、月后便成為元. 因此，第二年年初可存款：=.分期付款應(yīng)用題：為分期付款方式貸款為a元；m為m個月將款全部付清；為年利率.5. 數(shù)列常見的幾種形式：（p、q為二階常數(shù)）用特證根方法求解.具體步驟：寫出特征方程（對應(yīng)，x對應(yīng)），并設(shè)二根若可設(shè)，若可設(shè)；由初始值確定.（P、r為常數(shù)）用轉(zhuǎn)化等差，等比數(shù)列；逐項選代；消去常數(shù)n轉(zhuǎn)化為的形式，再用特征根方法求；（公式法），由確定.轉(zhuǎn)化等差，等比：.選代法：.用特征方程求解：.由選代法推導(dǎo)結(jié)果：.6. 幾種常見的數(shù)列的思想方法：等差數(shù)列的前項和為，在時，有最大值. 如何確定使取最大值時的值，有兩種方法：一是求使，成立的值；二是由利用二次函數(shù)的性質(zhì)求的值.如

5、果數(shù)列可以看作是一個等差數(shù)列與一個等比數(shù)列的對應(yīng)項乘積，求此數(shù)列前項和可依照等比數(shù)列前項和的推倒導(dǎo)方法：錯位相減求和. 例如：兩個等差數(shù)列的相同項亦組成一個新的等差數(shù)列，此等差數(shù)列的首項就是原兩個數(shù)列的第一個相同項，公差是兩個數(shù)列公差的最小公倍數(shù).2. 判斷和證明數(shù)列是等差（等比）數(shù)列常有三種方法：(1)定義法:對于n2的任意自然數(shù),驗證為同一常數(shù)。(2)通項公式法。(3)中項公式法:驗證都成立。3. 在等差數(shù)列中,有關(guān)Sn 的最值問題：(1)當(dāng)>0,d<0時，滿足的項數(shù)m使得取最大值. (2)當(dāng)<0,d>0時，滿足的項數(shù)m使得取最小值。在解含絕對值的數(shù)列最值問題時,注

6、意轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用。（三）、數(shù)列求和的常用方法1. 公式法:適用于等差、等比數(shù)列或可轉(zhuǎn)化為等差、等比數(shù)列的數(shù)列。 2.裂項相消法:適用于其中 是各項不為0的等差數(shù)列，c為常數(shù)；部分無理數(shù)列、含階乘的數(shù)列等。3.錯位相減法:適用于其中 是等差數(shù)列，是各項不為0的等比數(shù)列。 4.倒序相加法: 類似于等差數(shù)列前n項和公式的推導(dǎo)方法.1）: 1+2+3+.+n = 2） 1+3+5+.+(2n-1) = 3） 4） 5） 6） 備注：求遞推數(shù)列的通項公式的九種方法利用遞推數(shù)列求通項公式，在理論上和實踐中均有較高的價值.自從二十世紀(jì)八十年代以來，這一直是全國高考和高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽的熱點之一.一、作差求和法例1

7、 在數(shù)列中，,，求通項公式.解：原遞推式可化為：則，逐項相加得：.故.二、作商求和法例2 設(shè)數(shù)列是首項為1的正項數(shù)列，且（n=1,2,3），則它的通項公式是=（2000年高考15題）解：原遞推式可化為：=0 0， 則 ， 逐項相乘得：，即=.三、換元法例3 已知數(shù)列，其中，且當(dāng)n3時，求通項公式（1986年高考文科第八題改編）.解：設(shè)，原遞推式可化為：是一個等比數(shù)列，公比為.故.故.由逐差法可得：. 例4已知數(shù)列，其中，且當(dāng)n3時，求通項公式。解 由得：，令，則上式為，因此是一個等差數(shù)列，.。由于又所以，即 四、積差相消法 例5設(shè)正數(shù)列，滿足=且，求的通項公式.解 將遞推式兩邊同除以整理得：設(shè)

8、=，則=1，故有 ()由+ +()得=，即=.逐項相乘得：=，考慮到，故 . 五、取倒數(shù)法例6 已知數(shù)列中，其中，且當(dāng)n2時，求通項公式。解 將兩邊取倒數(shù)得：，這說明是一個等差數(shù)列，首項是，公差為2，所以，即.六、取對數(shù)法例7 若數(shù)列中，=3且（n是正整數(shù)），則它的通項公式是=（2002年上海高考題）.解 由題意知0，將兩邊取對數(shù)得，即，所以數(shù)列是以=為首項，公比為2的等比數(shù)列， ，即.七、平方（開方）法例8 若數(shù)列中，=2且（n），求它的通項公式是.解 將兩邊平方整理得。數(shù)列是以=4為首項，3為公差的等差數(shù)列。因為0，所以。八、待定系數(shù)法待定系數(shù)法解題的關(guān)鍵是從策略上規(guī)范一個遞推式可變成為何

9、種等比數(shù)列，可以少走彎路.其變換的基本形式如下：1、（A、B為常數(shù)）型，可化為=A（）的形式.例9 若數(shù)列中，=1，是數(shù)列的前項之和，且（n），求數(shù)列的通項公式是.解 遞推式可變形為 （1）設(shè)（1）式可化為 （2）比較（1）式與（2）式的系數(shù)可得，則有。故數(shù)列是以為首項，3為公比的等比數(shù)列。=。所以。當(dāng)n，。數(shù)列的通項公式是 。2、（A、B、C為常數(shù)，下同）型，可化為=）的形式.例10 在數(shù)列中，求通項公式。解：原遞推式可化為：比較系數(shù)得=-4，式即是：.則數(shù)列是一個等比數(shù)列，其首項，公比是2. 即.3、型，可化為的形式。例11 在數(shù)列中，當(dāng)， 求通項公式.解：式可化為：比較系數(shù)得=-3或=-

10、2，不妨取=-2.式可化為：則是一個等比數(shù)列，首項=2-2（-1）=4，公比為3.利用上題結(jié)果有：.4、型，可化為的形式。例12 在數(shù)列中，=6求通項公式.解 式可化為：比較系數(shù)可得：=-6， 式為是一個等比數(shù)列，首項，公比為.即 故.九、猜想法 運用猜想法解題的一般步驟是：首先利用所給的遞推式求出，然后猜想出滿足遞推式的一個通項公式，最后用數(shù)學(xué)歸納法證明猜想是正確的。求遞推數(shù)列通項的特征根法與不動點法一、形如是常數(shù)）的數(shù)列形如是常數(shù)）的二階遞推數(shù)列都可用特征根法求得通項，其特征方程為若有二異根，則可令是待定常數(shù)）若有二重根，則可令是待定常數(shù)）再利用可求得，進而求得例1已知數(shù)列滿足，求數(shù)列的通

11、項解：其特征方程為，解得，令，由，得，例2已知數(shù)列滿足，求數(shù)列的通項解：其特征方程為，解得，令，由，得，二、形如的數(shù)列對于數(shù)列，是常數(shù)且）其特征方程為，變形為 若有二異根，則可令（其中是待定常數(shù)），代入的值可求得值這樣數(shù)列是首項為，公比為的等比數(shù)列，于是這樣可求得若有二重根，則可令（其中是待定常數(shù)），代入的值可求得值這樣數(shù)列是首項為，公差為的等差數(shù)列，于是這樣可求得此方法又稱不動點法例3已知數(shù)列滿足，求數(shù)列的通項解：其特征方程為，化簡得，解得，令由得，可得，數(shù)列是以為首項，以為公比的等比數(shù)列，例4已知數(shù)列滿足，求數(shù)列的通項解：其特征方程為，即，解得，令由得，求得，數(shù)列是以為首項，以為公差的等差

12、數(shù)列，試題精粹江蘇省2011年高考數(shù)學(xué)聯(lián)考試題13（江蘇天一中學(xué)、海門中學(xué)、鹽城中學(xué)2011屆高三調(diào)研考試）在等差數(shù)列中，表示其前項，若，則的取值范圍是（4，）12（江蘇省2010屆蘇北四市第一次聯(lián)考）已知等差數(shù)列的前 n 項和為 S n , T n ,若對于任意的自然數(shù) n ，都有則 = 8. （常州市2011屆高三數(shù)學(xué)調(diào)研）面積為S的的三邊成等差數(shù)列，設(shè)外接圓的面積為，則10.（常州市2011屆高三數(shù)學(xué)調(diào)研）若在由正整數(shù)構(gòu)成的無窮數(shù)列an中，對任意的正整數(shù)n，都有an an+1，且對任意的正整數(shù)k，該數(shù)列中恰有2k1個k，則a2008=.45 7（姜堰二中學(xué)情調(diào)查（三）設(shè)a>0，b>0，若是3a與3b的等比中項，則+的最小值是_410. （泰州市2011屆高三第一次模擬考試）數(shù)列為正項等比數(shù)列，若，且，則此數(shù)列的前4項和。10、（南通市六所省重點高中聯(lián)考試卷）已知數(shù)列滿足，（），.若前100項中恰好含有30項為0，則的值為 6或714. （蘇北四市2011屆高三第一次調(diào)研考試）已知數(shù)列，滿足，且