小河打水、最短距離類型題精編

1、小河打水問題整理如圖，要在河邊修建一個(gè)水泵站，分別向張村、李莊送水，修在河邊什么地方可使所用的水管最短？【數(shù)學(xué)模型】已知：直線I和I的同側(cè)兩點(diǎn)A B。求作：點(diǎn)C,使C在直線I上，并且AC+ CB最小 作法：1、作點(diǎn)A關(guān)于直線I的對稱點(diǎn)A'2、連結(jié)A'B交I于點(diǎn)Co點(diǎn)C就是所求的點(diǎn)。構(gòu)建“對稱模型”實(shí)現(xiàn)轉(zhuǎn)化? 1.如圖，牧童在A處放牛，其家在B處，A、B到河岸的距離分別為AC和 BD 且AO BD若點(diǎn)A到河岸CD的中點(diǎn)的距離為500米，則牧童從A處把牛牽到河 邊飲水再回家，最短距離是（）米。A. 750B. 1000C. 1500D. 2000河流 :Z/Y/4/:/Arz? 2

2、.在直角坐標(biāo)系xOy中，x軸上的動點(diǎn)M(x, 0)到定點(diǎn)P (5, 5)、Q(2, 1) 的距離分別為MP和MQ當(dāng)M卉MQ取最小值時(shí)，點(diǎn)M的橫坐標(biāo)x=。? 3.如圖，村莊A、B位于一條小河的兩側(cè)，若河岸 a b彼此平行，現(xiàn)在要建 設(shè)一座與河岸垂直的橋 CD問橋址應(yīng)如何選擇，才能使A村到B村的路程最近？? 4.如圖，A、B是直線a同側(cè)的兩定點(diǎn)，定長線段PQ在a上平行移動，問PQ 移動到什么位置時(shí)，AP+PQ+Q的長最短？B? 5.要在街道旁修建一個(gè)奶站，向居民區(qū)A、B提供牛奶，奶站應(yīng)建在什么地方, 才能使從A、B到它的距離之和最短？居民區(qū)E居民區(qū)査? 6.已知點(diǎn)P、Q分別為AB AC上的點(diǎn)，在B

3、C邊上求作一點(diǎn)尺使厶PQ周長? 7.如圖， ABC中, AB=AC過點(diǎn)A的直線 MN BC,點(diǎn)P是MN±的任意點(diǎn), 試說明PB+PO 2AB? 8. (2006蘇州)臺球是一項(xiàng)高雅的體育運(yùn)動其中包含了許多物理學(xué)、幾何 學(xué)知識。圖是一個(gè)臺球桌，目標(biāo)球 F與本球E之間有一個(gè)G球阻擋。(1) 擊球者想通過擊打E球先撞擊球臺的AB邊，經(jīng)過一次反彈后再撞擊 F球 他應(yīng)將E球打到AB邊上的哪一點(diǎn)？請?jiān)趫D中用尺規(guī)作出這一點(diǎn)H.并作出E球的運(yùn)行路線；(不寫畫法，保留作圖痕跡)(2) 如圖，現(xiàn)以D為原點(diǎn)，建立直角坐標(biāo)系，記 A(0, 4)，C(8，0)，E (4,3)，F(xiàn) (7, 1),求E球按剛才方

4、式運(yùn)行到F球的路線長度.(忽略球的太小)? 9.先閱讀下文，再回答問題:你也許很喜歡臺球，在玩臺球過程中也用到數(shù)學(xué)知識，如圖，四邊形 ABCD是一 矩形的球桌臺面，有兩個(gè)球位于P、Q兩點(diǎn)上，先找出P點(diǎn)關(guān)于CD的對稱點(diǎn)P， 連接P'Q交CD于 M點(diǎn)，則P處的球經(jīng)CD反彈后，會擊中Q處的球。請回答：如果使P球先碰撞臺邊CD反彈碰撞臺邊AB后，再擊中Q球，如何撞擊 呢？（畫出圖形）? 10.如圖，CDEF是一個(gè)矩形的臺球面，有黑白兩球分別位于點(diǎn) A B兩點(diǎn)，試 問怎樣撞擊黑球A,使A先碰到臺邊EF反彈后再擊中白球B?你還有其他方法使 A碰到臺邊反彈后再擊中白球 B嗎？EDAFC? 11.如圖

5、是一臺球桌，欲使球 A先撞擊球桌的某一邊反彈后，再進(jìn)入 4號洞, 你有幾種撞擊方法，畫出圖形即可。如果反彈后，任意進(jìn)入其中一個(gè)洞，那么你共有多少種撞擊方法。? 12.小新所在的班級去農(nóng)村學(xué)農(nóng)，勞動之余數(shù)學(xué)老師讓同學(xué)們做一個(gè)游戲， 如 圖，在河岸邊放一排水桶，要求同學(xué)從A處出發(fā)，先去取水桶，然后去河邊打水， 再把水送到B處的水缸中。要求同學(xué)們找出路程最短的路線。同學(xué)們七嘴八舌地 爭論，沒有得出統(tǒng)一的意見。請你幫他們出出主意，究竟怎樣走才能使所走的路 程最短？? 13.如圖，已知/ AO的有一點(diǎn)P,試分別在邊0A和0B上各找一點(diǎn)E、F,使 得厶PEF的周長最小。試畫出圖形，并說明理由。? 14.如

6、圖，M是/ A0站部一點(diǎn)。(1) 分別作出點(diǎn)M關(guān)于OA 0B的對稱點(diǎn)，M、M。連接MM,交0A于點(diǎn)P,交 0B于 Q(2) 若MM=10cm求AMNd勺周長。(3) 在0A 0B上任取點(diǎn)P'、Q，連接MP、P' Q、MQ，得到 MP Q。 比較 MP Q與厶MPQ勺周長，你得到什么結(jié)論？? 15.如圖，C是/ A0B內(nèi)一點(diǎn)，C、C2分別是點(diǎn)C關(guān)于0A 0B的對稱點(diǎn)，若G、C2的連線交0A于D,交0B于E，GC2= 4.5cm，則 CDE的周長為()A. 4.5cmB. 6.5cmC. 5.5cmD.無法求Ca? 16.如圖，點(diǎn)P關(guān)于OA 0B的對稱點(diǎn)分別為C、D,0B于N,若C

7、D= 18cm 則厶PMN勺周長為連接CD,交0A于M交? 17.如圖，點(diǎn)P在/ AOB內(nèi)部，且/ A0度數(shù)為45 上找點(diǎn)C D,使PC+CD+D之和最小。,0P=2cm 在射線 OA 0BD為垂足，DE交BC于 E,? 18.已知，如圖。丘是厶ABC的邊AB的垂直平分線,且AO 5，BO 8,則厶AEC的周長為I? 19.如圖，在厶ABC中，A吐BC,邊BC的垂直平分線分別交 AB BC于點(diǎn)E、D, 若BO 10, AO 6,求厶ACE的周長。B? 20.已知：如圖，點(diǎn) P在/ AOM，且點(diǎn)P與M關(guān)于0A對稱，PM交OA于 Q 點(diǎn)P與N關(guān)于0B對稱，PN交0B于R,連接MN OR OM ON

8、若MNk 10cm, OP =6cm 求厶OMNfA PEF的周長。? 21.已知，如圖，在厶ABC中, AB< AC BC邊上的垂直平分線 DE交BC于點(diǎn)D, 交AC于點(diǎn)E, AO8,AABE的周長為14,求AB的長.? 22.如圖，在 ABC中, AB的垂直平分線交 AC于 D,若AO 5cm BC= 4cm 則厶BDC的周長為.1? 23.如圖，A、B兩個(gè)小集鎮(zhèn)在河流CD的同側(cè)，分別到河的距離為 AC= 10千 米，BD= 30千米，且CD= 30千米，現(xiàn)在要在河邊建一自來水廠，向 A B兩鎮(zhèn) 供水，鋪設(shè)水管的費(fèi)用為每千米 3萬，請你在河流CD上選擇水廠的位置M使 鋪設(shè)水管的費(fèi)用最

9、節(jié)省，并求出總費(fèi)用是多少？BbLYD-iBiBBL?24.如圖，A B兩村欲在河邊建一抽水站，已知 A村到河邊的距離是100m B 村到河邊的距離是300m且CD的長為300m若輔設(shè)水管的費(fèi)用是每米100元， 問應(yīng)在河邊的何處建水站才能使得輔設(shè)水管的費(fèi)用最低？在圖上畫出水站的位 置P,并求出輔設(shè)水管的最低費(fèi)用。TA?25.為了豐富少年兒童的業(yè)余生活，某社區(qū)要在如圖所示AB所在的直線建一圖 書室，本社區(qū)有兩所學(xué)校所在的位置在點(diǎn) C和點(diǎn)D處，CALAB于A，DBLAB于B， 已知AB= 25km CA= 15km, DB= 10km,試問：圖書室 E應(yīng)該建在距點(diǎn) A多少km?26.如圖，鐵路上 A

10、, B兩點(diǎn)相距25km, C、D為兩村莊，DAL AB于A, CBL AB 于B,已知DA= 15km, CB= 10km,現(xiàn)在要在鐵路AB上建一個(gè)土特產(chǎn)品收購站 E， 使得C、D兩村到E站的距離相等，則E站應(yīng)建在離A站多少km處？?27. （2008年咸寧）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線 I是第一、三象限的角 平分線.實(shí)驗(yàn)與探究：（1）由圖觀察易知A（0，2）關(guān)于直線I的對稱點(diǎn)A的坐標(biāo)為（2, 0），請?jiān)趫D中分別標(biāo)明B（5, 3）、C （-2, 5）關(guān)于直線I的對稱點(diǎn)B'、C的位置，并 寫出他們的坐標(biāo)：B，、C' ;歸納與發(fā)現(xiàn)：（2） 結(jié)合圖形觀察以上三組點(diǎn)的坐標(biāo)，你會發(fā)現(xiàn)：

11、坐標(biāo)平面內(nèi)任一點(diǎn) P （a，b） 關(guān)于第一、三象限的角平分線I的對稱點(diǎn)P'的坐標(biāo)為（不必證明）； 運(yùn)用與拓廣：（3）已知兩點(diǎn)D（ 1，- 3）、E （- 1，- 4）,試在直線I上確定一點(diǎn)Q使點(diǎn)Q 到D E兩點(diǎn)的距離之和最小，并求出 Q點(diǎn)坐標(biāo).?28. （2009年孝感）在平面直角坐標(biāo)系中，有 A （3，-2），B （4, 2）兩點(diǎn)，現(xiàn) 另取一點(diǎn)C （1, n）,當(dāng)n =時(shí)，AC + BC的值最小.（2009年達(dá)州）在邊長為2cm的正方形ABC沖，點(diǎn)Q為BC邊的中點(diǎn)，點(diǎn)P為 對角線AC上一動點(diǎn)，連接PB PQ則厶PBC周長的最小值為cm ?29. （2009 陜西）如圖，在銳角厶 AB

12、C中, A吐4 2,Z BAC= 45°,/ BAC的平分線交BC于點(diǎn)D, M N分別是AD和AB上的動點(diǎn)，貝U BM+MI的最小值是C?30.如圖，在正方形 ABCD中，點(diǎn)M在CD上，在AC上確定點(diǎn)N,使DW MN最?31. (2009年達(dá)州)在邊長為2cm的正方形ABCD中，點(diǎn)Q為BC邊的中點(diǎn)，點(diǎn)P為對角線AC上一動點(diǎn)，連接PB PQ則厶PBC周長的最小值為cm?32.在正方形 ABCD中, E在 BC上, BE= 2，CE= 1，P在 BD上，貝U PE和 PC的 長度之和最小可達(dá)到。如圖，正方形 ABCD勺邊長為8，M在DC上，且DM= 2，N是AC上的一動點(diǎn)，DN + MN

13、勺最小值為。?33.如圖，在 ABC中, AO BO2，Z ACB= 90°, D是 BC邊的中點(diǎn)，E是 AB 邊上一動點(diǎn)，則EC ED的最小值為。(1) 如圖1,等腰Rt ABC的直角邊長為2, E是斜邊AB的中點(diǎn)，P是AC邊上 的一動點(diǎn)，貝U PB+PE的最小值為;(2) 幾何拓展：如圖2,ABC中, AB=2 / BAC=30，若在 AC AB上各取一 點(diǎn)M N,使BM+M的值最小，求這個(gè)最小值；(3) 代數(shù)應(yīng)用：求代數(shù)式一x2+ 1+ (4 x)2 + 4 (0< x< 4)的最小值。© 1圖2?34.如圖，AC BD為正方形ABCD寸角線，相交于點(diǎn) 0

14、,點(diǎn)D為BC邊的中點(diǎn), 連長為2cm 在BD上找點(diǎn)P,使DP+CP之和最小。?35. (2009年撫順)如圖所示，正方形ABCD勺面積為12, ABE是等邊三角形, 點(diǎn)E在正方形ABCD內(nèi)，在對角線AC上有一點(diǎn)P,使PD+ PE的和最小，則這個(gè) 最小值為( )A. 2 3B. 2 6C. 3D. 6?36. (2009荊門)一次函數(shù)y=kx+b的圖象與x、y軸分別交于點(diǎn)A (2, 0), B (0, 4).(1) 求該函數(shù)的解析式；(2) O為坐標(biāo)原點(diǎn)，設(shè)OA AB的中點(diǎn)分別為C D, P為OB上一動點(diǎn)，求PC PD的最小值，并求取得最小值時(shí) P點(diǎn)坐標(biāo).?37. (2010寧德)如圖，四邊形

15、ABCD是正方形， ABE是等邊三角形，M為對 角線BD (不含B點(diǎn))上任意一點(diǎn)，將BM繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到BN連接 EN AM CM(1) 求證： AMB2A ENB(2) 當(dāng)M點(diǎn)在何處時(shí)，AM CM的值最?。划?dāng)M點(diǎn)在何處時(shí)，AW BWCM的值最小，并說明理由;(3) 當(dāng)AM BWCM的最小值為 3+ 1時(shí)，求正方形的邊長?38. (2010 淮安)(1)觀察發(fā)現(xiàn)如題圖1,若點(diǎn)A B在直線I同側(cè)，在直線I上找一點(diǎn)P,使AP+BP勺值最小. 做法如下：作點(diǎn)B關(guān)于直線I的對稱點(diǎn)B',連接AB，與直線I的交點(diǎn)就是所 求的點(diǎn)P。再如題圖2,在等邊 ABC中, AB=2點(diǎn)E是A

16、B的中點(diǎn)，AD是高，在AD上找一 點(diǎn)P, 使 BP+PE勺值最小.做法如下：作點(diǎn)B關(guān)于AD的對稱點(diǎn)，恰好與點(diǎn)C重合，連接CE交AD于一點(diǎn)， 則這點(diǎn)就是所求的點(diǎn)P,故BP+PE的最小值為.如題圖3,已知。O的直徑CD為4, AD勺度數(shù)為60°,點(diǎn)B是AD勺中點(diǎn)，在直徑 CD上找一點(diǎn)P,使BP+AP勺值最小，并求 BP+AP勺最小值.DB（3）拓展延伸如題圖4,在四邊形ABCD勺對角線AC上找一點(diǎn)P,使/ APBW APD保留作圖痕 跡，不必寫出作法.?39.如圖，一輛汽車在直線形的公路 AB上由A向B行駛，M N分別是位于公 路AB兩側(cè)的村莊。（1）設(shè)汽車行駛到公路AB上點(diǎn)P位置時(shí)，距

17、離村莊M最近；行駛到點(diǎn)Q位置時(shí), 距離村莊N最近。請?jiān)趫D中的AB上分別畫出點(diǎn)P、Q的位置；（2）當(dāng)汽車從A出發(fā)向B行駛時(shí)，在公路AB的哪一段路上距離M N兩村莊都 越來越近？在哪一段路上距離村莊 N越來越近，而離村莊 M卻越來越遠(yuǎn)？（3） 在公路AB上是否存在這樣一點(diǎn)H,使汽車行駛到該點(diǎn)時(shí)，與村莊 M N的 距離相等？如果存在，請?jiān)趫D中的 AB上畫出這一點(diǎn)；如果不存在，請簡要說明 理由。?40. （2008河北）在一平直河岸I同側(cè)有A、B兩個(gè)村莊，A B到I的距離分別 是3km和2km A吐akm （a> 1）.現(xiàn)計(jì)劃在河岸I上建一抽水站P,用輸水管向 兩個(gè)村莊供水.圖 13-1方案設(shè)計(jì)

18、: 某班數(shù)學(xué)興趣小組設(shè)計(jì)了兩種鋪設(shè)管道方案： 圖13- 1是方案一的示意圖，設(shè)該 方案中管道長度為d1，且d1= PB+ BA（km）（其中BP丄I于點(diǎn)P）;圖13-2是方 案二的示意圖，設(shè)該方案中管道長度為 d2，且d2 = PA PB（ km）（其中點(diǎn)A與 點(diǎn)A關(guān)于I對稱，AB與I交于點(diǎn)P）.觀察計(jì)算（1） 在方案一中，di =km （用含a的式子表示）;（2）在方案二中，組長小宇為了計(jì)算 d2的長，作了如圖13-3所示的輔助線，請你按小宇同學(xué)的思路計(jì)算，d2=km （用含a的式子表示）.探索歸納：（1） 當(dāng)a= 4時(shí)，比較大?。篸ic2 （填“”、“二”或“V”）；當(dāng)a = 6時(shí)，比較大?。篸id2 （填 “”、“二”或“V”）；（2）請你參考右邊方框中的方法指導(dǎo)，就 a （當(dāng)a> 1時(shí)）的所有取值情況進(jìn)行 分析，要使鋪設(shè)的管道長度較短，應(yīng)選擇方案一還是方案二？方法指導(dǎo)當(dāng)不扇直接比較兩個(gè)正數(shù)訊S的大4哎h 可以對它們的平方進(jìn)行比較vm -n - (tn-w) 5 m +&#