中考數(shù)學(xué)專題復(fù)習(xí)九中考壓軸題

1、【問題解析】中考壓軸題是中考必不可少的試題，這類題一般是融代數(shù)、幾何為一體的綜合題，或者是解決實際問題的綜合題此類題注重對數(shù)學(xué)思想方法、探究性思維能力和創(chuàng)新思維能力的考查，涉及的知識比較多，信息量大，題目靈活，要求學(xué)生有較高的分析問題、解決問題的能力它符合新課標(biāo)對學(xué)生能力提高的要求從近幾年各省市中考數(shù)學(xué)壓軸題來看，作為試卷的最后一題，一般都是循序漸進(jìn)地設(shè)置幾個問題，對學(xué)生的要求一步步的抬高壓軸題涉及知識多，覆蓋面廣，綜合性強，難度系數(shù)大，關(guān)系比較復(fù)雜，解法靈活，既考查了學(xué)生的基礎(chǔ)知識和基本技能，又考查了學(xué)生的數(shù)學(xué)思想方法和探索創(chuàng)新能力、解決問題能力，是必不可少的近幾年來主要以函數(shù)和幾何綜合題、

2、二次函數(shù)與代數(shù)知識綜合應(yīng)用、一次函數(shù)與二次函數(shù)綜合題、開放探究題等類型出現(xiàn)，【熱點探究】類型一：拋物線與三角形的綜合問題【例題1】（2016云南省昆明市）如圖1，對稱軸為直線x=的拋物線經(jīng)過B（2，0）、C（0，4）兩點，拋物線與x軸的另一交點為A（1）求拋物線的解析式；（2）若點P為第一象限內(nèi)拋物線上的一點，設(shè)四邊形COBP的面積為S，求S的最大值；（3）如圖2，若M是線段BC上一動點，在x軸是否存在這樣的點Q，使MQC為等腰三角形且MQB為直角三角形？若存在，求出點Q的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由【考點】二次函數(shù)綜合題【分析】（1）由對稱軸的對稱性得出點A的坐標(biāo)，由待定系數(shù)法求出拋物線的解析

3、式；（2）作輔助線把四邊形COBP分成梯形和直角三角形，表示出面積S，化簡后是一個關(guān)于S的二次函數(shù)，求最值即可；（3）畫出符合條件的Q點，只有一種，利用平行相似得對應(yīng)高的比和對應(yīng)邊的比相等列比例式；在直角OCQ和直角CQM利用勾股定理列方程；兩方程式組成方程組求解并取舍【解答】解：（1）由對稱性得：A（1，0），設(shè)拋物線的解析式為：y=a（x+1）（x2），把C（0，4）代入：4=2a，a=2，y=2（x+1）（x2），拋物線的解析式為：y=2x2+2x+4；（2）如圖1，設(shè)點P（m，2m2+2m+4），過P作PDx軸，垂足為D，S=S梯形+SPDB=m（2m2+2m+4+4）+（2m2+2m

4、+4）（2m），S=2m2+4m+4=2（m1）2+6，20，S有最大值，則S大=6；（3）如圖2，存在這樣的點Q，使MQC為等腰三角形且MQB為直角三角形，理由是：設(shè)直線BC的解析式為：y=kx+b，把B（2，0）、C（0，4）代入得：，解得：，直線BC的解析式為：y=2x+4，設(shè)M（a，2a+4），過A作AEBC，垂足為E，則AE的解析式為：y=x+，則直線BC與直線AE的交點E（1.4，1.2），設(shè)Q（x，0）（x0），AEQM，ABEQBM，由勾股定理得：x2+42=2a2+（2a+44）2，由得：a1=4（舍），a2=，當(dāng)a=時，x=，Q（，0）【同步練】（2016浙江省湖州市）如圖

5、，已知二次函數(shù)y=x2+bx+c（b，c為常數(shù)）的圖象經(jīng)過點A（3，1），點C（0，4），頂點為點M，過點A作ABx軸，交y軸于點D，交該二次函數(shù)圖象于點B，連結(jié)BC（1）求該二次函數(shù)的解析式及點M的坐標(biāo)；（2）若將該二次函數(shù)圖象向下平移m（m0）個單位，使平移后得到的二次函數(shù)圖象的頂點落在ABC的內(nèi)部（不包括ABC的邊界），求m的取值范圍；（3）點P是直線AC上的動點，若點P，點C，點M所構(gòu)成的三角形與BCD相似，請直接寫出所有點P的坐標(biāo)（直接寫出結(jié)果，不必寫解答過程）類型二：拋物線與四邊形的綜合問題【例題2】2016青海西寧12分）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，四邊形ABCD是以AB為直徑的M

6、的內(nèi)接四邊形，點A，B在x軸上，MBC是邊長為2的等邊三角形，過點M作直線l與x軸垂直，交M于點E，垂足為點M，且點D平分（1）求過A，B，E三點的拋物線的解析式；（2）求證：四邊形AMCD是菱形；（3）請問在拋物線上是否存在一點P，使得ABP的面積等于定值5？若存在，請求出所有的點P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由【考點】二次函數(shù)綜合題【分析】（1）根據(jù)題意首先求出拋物線頂點E的坐標(biāo)，再利用頂點式求出函數(shù)解析式；（2）利用等邊三角形的性質(zhì)結(jié)合圓的有關(guān)性質(zhì)得出AMD=CMD=AMC=60，進(jìn)而得出DC=CM=MA=AD，即可得出答案；（3）首先表示出ABP的面積進(jìn)而求出n的值，再代入函數(shù)關(guān)系式求出

7、P點坐標(biāo)【解答】（1）解：由題意可知，MBC為等邊三角形，點A，B，C，E均在M上，則MA=MB=MC=ME=2，又COMB，MO=BO=1，A（3，0），B（1，0），E（1，2），拋物線頂點E的坐標(biāo)為（1，2），設(shè)函數(shù)解析式為y=a（x+1）22（a0）把點B（1，0）代入y=a（x+1）22，解得：a=，故二次函數(shù)解析式為：y=（x+1）22；（2）證明：連接DM，MBC為等邊三角形，CMB=60，AMC=120，點D平分弧AC，AMD=CMD=AMC=60，MD=MC=MA，MCD，MDA是等邊三角形，DC=CM=MA=AD，四邊形AMCD為菱形（四條邊都相等的四邊形是菱形）；（3）解

8、：存在理由如下：設(shè)點P的坐標(biāo)為（m，n）SABP=AB|n|，AB=44|n|=5，即2|n|=5，解得：n=，當(dāng)時，（m+1）22=，解此方程得：m1=2，m2=4即點P的坐標(biāo)為（2，），（4，），當(dāng)n=時，（m+1）22=，此方程無解，故所求點P坐標(biāo)為（2，），（4，）【同步練】（2016四川眉山）已知如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點A、B、C分別為坐標(biāo)軸上上的三個點，且OA=1，OB=3，OC=4，（1）求經(jīng)過A、B、C三點的拋物線的解析式；（2）在平面直角坐標(biāo)系xOy中是否存在一點P，使得以以點A、B、C、P為頂點的四邊形為菱形？若存在，請求出點P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由；（3）

9、若點M為該拋物線上一動點，在（2）的條件下，請求出當(dāng)|PMAM|的最大值時點M的坐標(biāo)，并直接寫出|PMAM|的最大值類型三：拋物線與圖形變換的綜合問題【例題3】（2016陜西）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點O為坐標(biāo)原點，拋物線y=ax2+bx+5經(jīng)過點M（1，3）和N（3，5）（1）試判斷該拋物線與x軸交點的情況；（2）平移這條拋物線，使平移后的拋物線經(jīng)過點A（2，0），且與y軸交于點B，同時滿足以A、O、B為頂點的三角形是等腰直角三角形，請你寫出平移過程，并說明理由【考點】二次函數(shù)綜合題【分析】（1）把M、N兩點的坐標(biāo)代入拋物線解析式可求得a、b的值，可求得拋物線解析式，再根據(jù)一元二次方程根的

10、判別式，可判斷拋物線與x軸的交點情況；（2）利用A點坐標(biāo)和等腰三角形的性質(zhì)可求得B點坐標(biāo)，設(shè)出平移后的拋物線的解析式，把A、B的坐標(biāo)代入可求得平移后的拋物線的解析式，比較平移前后拋物線的頂點的變化即可得到平移的過程【解答】解：（1）由拋物線過M、N兩點，把M、N坐標(biāo)代入拋物線解析式可得，解得，拋物線解析式為y=x23x+5，令y=0可得x23x+5=0，該方程的判別式為=（3）2415=920=110，拋物線與x軸沒有交點；（2）AOB是等腰直角三角形，A（2，0），點B在y軸上，B點坐標(biāo)為（0，2）或（0，2），可設(shè)平移后的拋物線解析式為y=x2+mx+n，當(dāng)拋物線過點A（2，0），B（0，

11、2）時，代入可得，解得，平移后的拋物線為y=x2+3x+2，該拋物線的頂點坐標(biāo)為（，），而原拋物線頂點坐標(biāo)為（，），將原拋物線先向左平移3個單位，再向下平移3個單位即可獲得符合條件的拋物線；當(dāng)拋物線過A（2，0），B（0，2）時，代入可得，解得，平移后的拋物線為y=x2+x2，該拋物線的頂點坐標(biāo)為（，），而原拋物線頂點坐標(biāo)為（，），將原拋物線先向左平移2個單位，再向下平移5個單位即可獲得符合條件的拋物線【同步練】（2016重慶市A卷12分）如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y=x2+x+3與x軸交于A，B兩點（點A在點B左側(cè)），與y軸交于點C，拋物線的頂點為點E（1）判斷ABC的形狀，并說明理

12、由；（2）經(jīng)過B，C兩點的直線交拋物線的對稱軸于點D，點P為直線BC上方拋物線上的一動點，當(dāng)PCD的面積最大時，Q從點P出發(fā)，先沿適當(dāng)?shù)穆窂竭\動到拋物線的對稱軸上點M處，再沿垂直于拋物線對稱軸的方向運動到y(tǒng)軸上的點N處，最后沿適當(dāng)?shù)穆窂竭\動到點A處停止當(dāng)點Q的運動路徑最短時，求點N的坐標(biāo)及點Q經(jīng)過的最短路徑的長；（3）如圖2，平移拋物線，使拋物線的頂點E在射線AE上移動，點E平移后的對應(yīng)點為點E，點A的對應(yīng)點為點A，將AOC繞點O順時針旋轉(zhuǎn)至A1OC1的位置，點A，C的對應(yīng)點分別為點A1，C1，且點A1恰好落在AC上，連接C1A，C1E，AC1E是否能為等腰三角形？若能，請求出所有符合條件的點

13、E的坐標(biāo)；若不能，請說明理由類型四：拋物線下的動態(tài)最值問題【例題4】（2016貴州安順14分）如圖，拋物線經(jīng)過A（1，0），B（5，0），C（0，）三點（1）求拋物線的解析式；（2）在拋物線的對稱軸上有一點P，使PA+PC的值最小，求點P的坐標(biāo)；（3）點M為x軸上一動點，在拋物線上是否存在一點N，使以A，C，M，N四點構(gòu)成的四邊形為平行四邊形？若存在，求點N的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由【分析】（1）設(shè)拋物線的解析式為y=ax2+bx+c（a0），再把A（1，0），B（5，0），C（0，）三點代入求出a、b、c的值即可；（2）因為點A關(guān)于對稱軸對稱的點B的坐標(biāo)為（5，0），連接BC交對稱軸直線于

14、點P，求出P點坐標(biāo)即可；（3）分點N在x軸下方或上方兩種情況進(jìn)行討論【解答】解：（1）設(shè)拋物線的解析式為y=ax2+bx+c（a0），A（1，0），B（5，0），C（0，）三點在拋物線上，解得拋物線的解析式為：y=x22x；（2）拋物線的解析式為：y=x22x，其對稱軸為直線x=2，連接BC，如圖1所示，B（5，0），C（0，），設(shè)直線BC的解析式為y=kx+b（k0），解得，直線BC的解析式為y=x，當(dāng)x=2時，y=1=，P（2，）；（3）存在如圖2所示，當(dāng)點N在x軸下方時，拋物線的對稱軸為直線x=2，C（0，），N1（4，）；當(dāng)點N在x軸上方時，如圖，過點N2作N2Dx軸于點D，在AN2D

15、與M2CO中，AN2DM2CO（ASA），N2D=OC=，即N2點的縱坐標(biāo)為x22x=，解得x=2+或x=2，N2（2+，），N3（2，）綜上所述，符合條件的點N的坐標(biāo)為（4，），（2+，）或（2，）【點評】本題考查的是二次函數(shù)綜合題，涉及到用待定系數(shù)法求一次函數(shù)與二次函數(shù)的解析式、平行四邊的判定與性質(zhì)、全等三角形等知識，在解答（3）時要注意進(jìn)行分類討論【同步練】（煙臺市 2015 中考 -24）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y=ax2+bx+c與M相交于A、B、C、D四點，其中A、B兩點的坐標(biāo)分別為（1，0），（0，2），點D在x軸上且AD為M的直徑點E是M與y軸的另一個交點，過劣?。?）

16、求點D的坐標(biāo)及該拋物線的表達(dá)式；（2）若點P是x軸上的一個動點，試求出PEF的周長最小時點P的坐標(biāo)；（3）在拋物線的對稱軸上是否存在點Q，使QCM是等腰三角形？如果存在，請直接寫出點Q的坐標(biāo)；如果不存在，請說明理由類型五：拋物線下的動態(tài)存在問題【例題5】（棗莊市 2015 中考 -25）如圖，直線y=x+2與拋物線（a0）相交于A（，）和B（4，m），點P是線段AB上異于A、B的動點，過點P作PCx軸于點D，交拋物線于點C（1）求拋物線的解析式；（2）是否存在這樣的P點，使線段PC的長有最大值？若存在，求出這個最大值；若不存在，請說明理由；（3）求PAC為直角三角形時點P的坐標(biāo)思路分析：此題主

17、要考查了二次函數(shù)解析式的確定、二次函數(shù)最值的應(yīng)用以及直角三角形的判定、函數(shù)圖象交點坐標(biāo)的求法等知識解題時注意聯(lián)系，對于題（1）已知B（4，m）在直線y=x+2上，很容易求得m的值，又因為已知拋物線圖象上的A、B兩點坐標(biāo)，可將其代入拋物線的解析式中，通過聯(lián)立方程組即可求得待定系數(shù)的值（2）要弄清PC的長，實際是直線AB與拋物線函數(shù)值的差可設(shè)出P點橫坐標(biāo)，根據(jù)直線AB和拋物線的解析式表示出P、C的縱坐標(biāo)，進(jìn)而得到關(guān)于PC與P點橫坐標(biāo)的函數(shù)關(guān)系式，根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)即可求出PC的最大值對于題（3）當(dāng)PAC為直角三角形時，根據(jù)直角頂點的不同，需要結(jié)合圖形從三種情況進(jìn)行分類討論，分別求解解題過程：解：（1）

18、B（4，m）在直線y=x+2上，m=4+2=6，B（4，6），A（，）、B（4，6）在拋物線上，解得，拋物線的解析式為（2）設(shè)動點P的坐標(biāo)為（n，n+2），則C點的坐標(biāo)為（，），PC=（+2）（），=，=，PC0，當(dāng)n=時，線段PC最大且為（3）PAC為直角三角形，i）若點P為直角頂點，則APC=90由題意易知，PCy軸，APC=45，因此這種情形不存在；ii）若點A為直角頂點，則PAC=90如答圖31，過點A（，）作ANx軸于點N，則ON=，AN=過點A作AM直線AB，交x軸于點M，則由題意易知，AMN為等腰直角三角形，MN=AN=，OM=ON+MN=+=3，M（3，0）設(shè)直線AM的解析式為

19、：y=kx+b，則：，解得，直線AM的解析式為：y=x+3 又拋物線的解析式為：y=2x28x+6 聯(lián)立式，解得：x=3或x=（與點A重合，舍去）C（3，0），即點C、M點重合當(dāng)x=3時，y=x+2=5，P1（3，5）；iii）若點C為直角頂點，則ACP=90y=2x28x+6=2（x2）22，拋物線的對稱軸為直線x=2如答圖32，作點A（，）關(guān)于對稱軸x=2的對稱點C，則點C在拋物線上，且C（，）當(dāng)x=時，y=x+2=P2（，）點P1（3，5）、P2（，）均在線段AB上，綜上所述，PAC為直角三角形時，點P的坐標(biāo)為（3，5）或（，）規(guī)律總結(jié)：熟練把握關(guān)于二次函數(shù)解析式的確定、二次函數(shù)最值的應(yīng)

20、用以及直角三角形的判定、函數(shù)圖象交點坐標(biāo)的求法等知識是解此類綜合性強的問題的關(guān)鍵【同步練】（2016內(nèi)蒙古包頭）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知拋物線y=ax2+bx2（a0）與x軸交于A（1，0）、B（3，0）兩點，與y軸交于點C，其頂點為點D，點E的坐標(biāo)為（0，1），該拋物線與BE交于另一點F，連接BC（1）求該拋物線的解析式，并用配方法把解析式化為y=a（xh）2+k的形式；（2）若點H（1，y）在BC上，連接FH，求FHB的面積；（3）一動點M從點D出發(fā)，以每秒1個單位的速度平沿行與y軸方向向上運動，連接OM，BM，設(shè)運動時間為t秒（t0），在點M的運動過程中，當(dāng)t為何值時，OMB=90

21、？（4）在x軸上方的拋物線上，是否存在點P，使得PBF被BA平分？若存在，請直接寫出點P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由類型六：拋物線與相似的綜合問題【例題6】（煙臺市 2014 中考 -26）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，RtABC的頂點A，C分別在y軸，x軸上，ACB=90，OA=，拋物線y=ax2axa經(jīng)過點B（2，），與y軸交于點D（1）求拋物線的表達(dá)式；（2）點B關(guān)于直線AC的對稱點是否在拋物線上？請說明理由；（3）延長BA交拋物線于點E，連接ED，試說明EDAC的理由【解析】（1）把點B的坐標(biāo)代入拋物線的表達(dá)式即可求得（2）通過AOCCFB求得OC的值，通過OCDFCB得出DC=CB，OC

22、D=FCB，然后得出結(jié)論（3）設(shè)直線AB的表達(dá)式為y=kx+b，求得與拋物線的交點E的坐標(biāo)，然后通過解三角函數(shù)求得結(jié)果【解答】解：（1）把點B的坐標(biāo)代入拋物線的表達(dá)式，得=a222aa，解得a=，拋物線的表達(dá)式為y=x2x（2）連接CD，過點B作BFx軸于點F，則BCF+CBF=90ACB=90，ACO+BCF=90，ACO=CBF，AOC=CFB=90，AOCCFB，=，設(shè)OC=m，則CF=2m，則有=，解得m1=m2=1，OC=CF=1，當(dāng)x=0時，y=，OD=，BF=OD，DOC=BFC=90，OCDFCB，DC=CB，OCD=FCB，點B、C、D在同一直線上，點B與點D關(guān)于直線AC對稱

23、，點B關(guān)于直線AC的對稱點在拋物線上（3）過點E作EGy軸于點G，設(shè)直線AB的表達(dá)式為y=kx+b，則，解得k=，y=x+，代入拋物線的表達(dá)式x+=x2x解得x=2或x=2，當(dāng)x=2時y=x+=（2）+=，點E的坐標(biāo)為（2，），tanEDG=，EDG=30tanOAC=，OAC=30，OAC=EDG，EDAC【點評】本題考查了待定系數(shù)法求解析式，三角形相似的判定及性質(zhì)，以及對稱軸的性質(zhì)和解三角函數(shù)等知識的理解和掌握【同步練】（2016湖北荊門14分）如圖，直線y=x+2與x軸，y軸分別交于點A，點B，兩動點D，E分別從點A，點B同時出發(fā)向點O運動（運動到點O停止），運動速度分別是1個單位長度/

24、秒和個單位長度/秒，設(shè)運動時間為t秒，以點A為頂點的拋物線經(jīng)過點E，過點E作x軸的平行線，與拋物線的另一個交點為點G，與AB相交于點F（1）求點A，點B的坐標(biāo)；（2）用含t的代數(shù)式分別表示EF和AF的長；（3）當(dāng)四邊形ADEF為菱形時，試判斷AFG與AGB是否相似，并說明理由（4）是否存在t的值，使AGF為直角三角形？若存在，求出這時拋物線的解析式；若不存在，請說明理由【達(dá)標(biāo)檢測】1. （2016湖北黃石8分）科技館是少年兒童節(jié)假日游玩的樂園如圖所示，圖中點的橫坐標(biāo)x表示科技館從8：30開門后經(jīng)過的時間（分鐘），縱坐標(biāo)y表示到達(dá)科技館的總?cè)藬?shù)圖中曲線對應(yīng)的函數(shù)解析式為y=，10：00之后來的游

25、客較少可忽略不計（1）請寫出圖中曲線對應(yīng)的函數(shù)解析式；（2）為保證科技館內(nèi)游客的游玩質(zhì)量，館內(nèi)人數(shù)不超過684人，后來的人在館外休息區(qū)等待從10：30開始到12：00館內(nèi)陸續(xù)有人離館，平均每分鐘離館4人，直到館內(nèi)人數(shù)減少到624人時，館外等待的游客可全部進(jìn)入請問館外游客最多等待多少分鐘？2. （2016廣西百色12分）正方形OABC的邊長為4，對角線相交于點P，拋物線L經(jīng)過O、P、A三點，點E是正方形內(nèi)的拋物線上的動點（1）建立適當(dāng)?shù)钠矫嬷苯亲鴺?biāo)系，直接寫出O、P、A三點坐標(biāo)；求拋物線L的解析式；（2）求OAE與OCE面積之和的最大值3. （2016廣西桂林12分）如圖1，已知開口向下的拋物線

26、y1=ax22ax+1過點A（m，1），與y軸交于點C，頂點為B，將拋物線y1繞點C旋轉(zhuǎn)180后得到拋物線y2，點A，B的對應(yīng)點分別為點D，E（1）直接寫出點A，C，D的坐標(biāo)；（2）當(dāng)四邊形ABCD是矩形時，求a的值及拋物線y2的解析式；（3）在（2）的條件下，連接DC，線段DC上的動點P從點D出發(fā)，以每秒1個單位長度的速度運動到點C停止，在點P運動的過程中，過點P作直線lx軸，將矩形ABDE沿直線l折疊，設(shè)矩形折疊后相互重合部分面積為S平方單位，點P的運動時間為t秒，求S與t的函數(shù)關(guān)系4. （2016黑龍江齊齊哈爾8分）如圖，對稱軸為直線x=2的拋物線y=x2+bx+c與x軸交于點A和點B，

27、與y軸交于點C，且點A的坐標(biāo)為（1，0）（1）求拋物線的解析式；（2）直接寫出B、C兩點的坐標(biāo)；（3）求過O，B，C三點的圓的面積（結(jié)果用含的代數(shù)式表示）注：二次函數(shù)y=ax2+bx+c（a0）的頂點坐標(biāo)為（，）5. （棗莊市 2014 中考 -25）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，二次函數(shù)y=x22x3的圖象與x軸交于A、B兩點，與y軸交于點C，連接BC，點D為拋物線的頂點，點P是第四象限的拋物線上的一個動點（不與點D重合）（1）求OBC的度數(shù)；（2）連接CD、BD、DP，延長DP交x軸正半軸于點E，且SOCE=S四邊形OCDB，求此時P點的坐標(biāo)；（3）過點P作PFx軸交BC于點F，求線段PF長度

28、的最大值6. （郴州市 2014 中考 -26）已知拋物線y=ax2+bx+c經(jīng)過A（1，0）、B（2，0）、C（0，2）三點（1）求這條拋物線的解析式；（2）如圖一，點P是第一象限內(nèi)此拋物線上的一個動點，當(dāng)點P運動到什么位置時，四邊形ABPC的面積最大？求出此時點P的坐標(biāo)；（3）如圖二，設(shè)線段AC的垂直平分線交x軸于點E，垂足為D，M為拋物線的頂點，那么在直線DE上是否存在一點G，使CMG的周長最?。咳舸嬖?，請求出點G的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由7. （2016湖北荊州14分）閱讀：我們約定，在平面直角坐標(biāo)系中，經(jīng)過某點且平行于坐標(biāo)軸或平行于兩坐標(biāo)軸夾角平分線的直線，叫該點的“特征線”例如，

29、點M（1，3）的特征線有：x=1，y=3，y=x+2，y=x+4問題與探究：如圖，在平面直角坐標(biāo)系中有正方形OABC，點B在第一象限，A、C分別在x軸和y軸上，拋物線經(jīng)過B、C兩點，頂點D在正方形內(nèi)部（1）直接寫出點D（m，n）所有的特征線；（2）若點D有一條特征線是y=x+1，求此拋物線的解析式；（3）點P是AB邊上除點A外的任意一點，連接OP，將OAP沿著OP折疊，點A落在點A的位置，當(dāng)點A在平行于坐標(biāo)軸的D點的特征線上時，滿足（2）中條件的拋物線向下平移多少距離，其頂點落在OP上？8. （2016福建龍巖14分）已知拋物線與y軸交于點C，與x軸的兩個交點分別為A（4，0），B（1，0）（

30、1）求拋物線的解析式；（2）已知點P在拋物線上，連接PC，PB，若PBC是以BC為直角邊的直角三角形，求點P的坐標(biāo)；（4）已知點E在x軸上，點F在拋物線上，是否存在以A，C，E，F(xiàn)為頂點的四邊形是平行四邊形？若存在，請直接寫出點E的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由【參考答案】類型一：拋物線與三角形的綜合問題【同步練】（2016浙江省湖州市）如圖，已知二次函數(shù)y=x2+bx+c（b，c為常數(shù)）的圖象經(jīng)過點A（3，1），點C（0，4），頂點為點M，過點A作ABx軸，交y軸于點D，交該二次函數(shù)圖象于點B，連結(jié)BC（1）求該二次函數(shù)的解析式及點M的坐標(biāo)；（2）若將該二次函數(shù)圖象向下平移m（m0）個單位，使平

31、移后得到的二次函數(shù)圖象的頂點落在ABC的內(nèi)部（不包括ABC的邊界），求m的取值范圍；（3）點P是直線AC上的動點，若點P，點C，點M所構(gòu)成的三角形與BCD相似，請直接寫出所有點P的坐標(biāo)（直接寫出結(jié)果，不必寫解答過程）【考點】二次函數(shù)綜合題【分析】（1）將點A、點C的坐標(biāo)代入函數(shù)解析式，即可求出b、c的值，通過配方法得到點M的坐標(biāo)；（2）點M是沿著對稱軸直線x=1向下平移的，可先求出直線AC的解析式，將x=1代入求出點M在向下平移時與AC、AB相交時y的值，即可得到m的取值范圍；（3）由題意分析可得MCP=90，則若PCM與BCD相似，則要進(jìn)行分類討論，分成PCMBDC或PCMCDB兩種，然后利

32、用邊的對應(yīng)比值求出點坐標(biāo)【解答】解：（1）把點A（3，1），點C（0，4）代入二次函數(shù)y=x2+bx+c得，解得二次函數(shù)解析式為y=x2+2x+4，配方得y=（x1）2+5，點M的坐標(biāo)為（1，5）；（2）設(shè)直線AC解析式為y=kx+b，把點A（3，1），C（0，4）代入得，解得直線AC的解析式為y=x+4，如圖所示，對稱軸直線x=1與ABC兩邊分別交于點E、點F把x=1代入直線AC解析式y(tǒng)=x+4解得y=3，則點E坐標(biāo)為（1，3），點F坐標(biāo)為（1，1）15m3，解得2m4；（3）連接MC，作MGy軸并延長交AC于點N，則點G坐標(biāo)為（0，5）MG=1，GC=54=1MC=，把y=5代入y=x+4

33、解得x=1，則點N坐標(biāo)為（1，5），NG=GC，GM=GC，NCG=GCM=45，NCM=90，由此可知，若點P在AC上，則MCP=90，則點D與點C必為相似三角形對應(yīng)點若有PCMBDC，則有BD=1，CD=3，CP=，CD=DA=3，DCA=45，若點P在y軸右側(cè)，作PHy軸，PCH=45，CP=PH=把x=代入y=x+4，解得y=，P1（）；同理可得，若點P在y軸左側(cè)，則把x=代入y=x+4，解得y=P2（）；若有PCMCDB，則有CP=3PH=3=3，若點P在y軸右側(cè)，把x=3代入y=x+4，解得y=1；若點P在y軸左側(cè)，把x=3代入y=x+4，解得y=7P3（3，1）；P4（3，7）所

34、有符合題意得點P坐標(biāo)有4個，分別為P1（），P2（），P3（3，1），P4（3，7）類型二：拋物線與四邊形的綜合問題【同步練】（2016四川眉山）已知如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點A、B、C分別為坐標(biāo)軸上上的三個點，且OA=1，OB=3，OC=4，（1）求經(jīng)過A、B、C三點的拋物線的解析式；（2）在平面直角坐標(biāo)系xOy中是否存在一點P，使得以以點A、B、C、P為頂點的四邊形為菱形？若存在，請求出點P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由；（3）若點M為該拋物線上一動點，在（2）的條件下，請求出當(dāng)|PMAM|的最大值時點M的坐標(biāo)，并直接寫出|PMAM|的最大值【分析】（1）設(shè)拋物線的解析式為y=ax2

35、+bx+c，把A，B，C三點坐標(biāo)代入求出a，b，c的值，即可確定出所求拋物線解析式；（2）在平面直角坐標(biāo)系xOy中存在一點P，使得以點A、B、C、P為頂點的四邊形為菱形，理由為：根據(jù)OA，OB，OC的長，利用勾股定理求出BC與AC的長相等，只有當(dāng)BP與AC平行且相等時，四邊形ACBP為菱形，可得出BP的長，由OB的長確定出P的縱坐標(biāo)，確定出P坐標(biāo)，當(dāng)點P在第二、三象限時，以點A、B、C、P為頂點的四邊形只能是平行四邊形，不是菱形；（3）利用待定系數(shù)法確定出直線PA解析式，當(dāng)點M與點P、A不在同一直線上時，根據(jù)三角形的三邊關(guān)系|PMAM|PA，當(dāng)點M與點P、A在同一直線上時，|PMAM|=PA，

36、當(dāng)點M與點P、A在同一直線上時，|PMAM|的值最大，即點M為直線PA與拋物線的交點，聯(lián)立直線AP與拋物線解析式，求出當(dāng)|PMAM|的最大值時M坐標(biāo)，確定出|PMAM|的最大值即可【解答】解：（1）設(shè)拋物線的解析式為y=ax2+bx+c，A（1，0）、B（0，3）、C（4，0），解得：a=，b=，c=3，經(jīng)過A、B、C三點的拋物線的解析式為y=x2x+3；（2）在平面直角坐標(biāo)系xOy中存在一點P，使得以點A、B、C、P為頂點的四邊形為菱形，理由為：OB=3，OC=4，OA=1，BC=AC=5，當(dāng)BP平行且等于AC時，四邊形ACBP為菱形，BP=AC=5，且點P到x軸的距離等于OB，點P的坐標(biāo)為

37、（5，3），當(dāng)點P在第二、三象限時，以點A、B、C、P為頂點的四邊形只能是平行四邊形，不是菱形，則當(dāng)點P的坐標(biāo)為（5，3）時，以點A、B、C、P為頂點的四邊形為菱形；（3）設(shè)直線PA的解析式為y=kx+b（k0），A（1，0），P（5，3），解得：k=，b=，直線PA的解析式為y=x，當(dāng)點M與點P、A不在同一直線上時，根據(jù)三角形的三邊關(guān)系|PMAM|PA，當(dāng)點M與點P、A在同一直線上時，|PMAM|=PA，當(dāng)點M與點P、A在同一直線上時，|PMAM|的值最大，即點M為直線PA與拋物線的交點，解方程組，得或，點M的坐標(biāo)為（1，0）或（5，）時，|PMAM|的值最大，此時|PMAM|的最大值為5【

38、點評】此題屬于二次函數(shù)綜合題，涉及的知識有：二次函數(shù)的性質(zhì)，待定系數(shù)法確定拋物線解析式、一次函數(shù)解析式，菱形的判定，以及坐標(biāo)與圖形性質(zhì)，熟練掌握待定系數(shù)法是解本題的關(guān)鍵類型三：拋物線與圖形變換的綜合問題【同步練】（2016重慶市A卷12分）如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y=x2+x+3與x軸交于A，B兩點（點A在點B左側(cè)），與y軸交于點C，拋物線的頂點為點E（1）判斷ABC的形狀，并說明理由；（2）經(jīng)過B，C兩點的直線交拋物線的對稱軸于點D，點P為直線BC上方拋物線上的一動點，當(dāng)PCD的面積最大時，Q從點P出發(fā)，先沿適當(dāng)?shù)穆窂竭\動到拋物線的對稱軸上點M處，再沿垂直于拋物線對稱軸的方向運動到

39、y軸上的點N處，最后沿適當(dāng)?shù)穆窂竭\動到點A處停止當(dāng)點Q的運動路徑最短時，求點N的坐標(biāo)及點Q經(jīng)過的最短路徑的長；（3）如圖2，平移拋物線，使拋物線的頂點E在射線AE上移動，點E平移后的對應(yīng)點為點E，點A的對應(yīng)點為點A，將AOC繞點O順時針旋轉(zhuǎn)至A1OC1的位置，點A，C的對應(yīng)點分別為點A1，C1，且點A1恰好落在AC上，連接C1A，C1E，AC1E是否能為等腰三角形？若能，請求出所有符合條件的點E的坐標(biāo)；若不能，請說明理由【分析】（1）先求出拋物線與x軸和y軸的交點坐標(biāo)，再用勾股定理的逆定理判斷出ABC是直角三角形；（2）先求出SPCD最大時，點P（，），然后判斷出所走的路徑最短，即最短路徑的長

40、為PM+MN+NA的長，計算即可；（3）AC1E是等腰三角形，分三種情況分別建立方程計算即可【解答】解：（1）ABC為直角三角形，當(dāng)y=0時，即x2+x+3=0，x1=，x2=3A（，0），B（3，0），OA=，OB=3，當(dāng)x=0時，y=3，C（0，3），OC=3，根據(jù)勾股定理得，AC2=OB2+OC2=12，BC2=OB2+OC2=36，AC2+BC2=48，AB2=3（）2=48，AC2+BC2=AB2，ABC是直角三角形，（2）如圖，B（3，0），C（0，3），直線BC解析式為y=x+3，過點P作y軸，設(shè)P（a， a2+a+3），G（a， a+3），PG=a2+a，設(shè)點D的橫坐標(biāo)為xD，

41、C點的橫坐標(biāo)為xC，SPCD=（xDxC）PG=（a）2+，0a3，當(dāng)a=時，SPCD最大，此時點P（，），將點P向左平移個單位至P，連接AP，交y軸于點N，過點N作MN拋物線對稱軸于點M，連接PM，點Q沿PMNA，運動，所走的路徑最短，即最短路徑的長為PM+MN+NA的長，P（，）P（，），點A（，0），直線AP的解析式為y=x+，當(dāng)x=0時，y=，N（0，），過點P作PHx軸于點H，AH=，PH=，AP=，點Q運動得最短路徑長為PM+MN+AN=+=；（3）在RtAOC中，tanOAC=，OAC=60，OA=OA1，OAA1為等邊三角形，AOA1=60，BOC1=30，OC1=OC=3，C

42、1（，），點A（，0），E（，4），AE=2，AE=AE=2，直線AE的解析式為y=x+2，設(shè)點E（a， a+2），A（a2，2）C1E2=（a2）2+（+2）2=a2a+7，C1A2=（a2）2+（2）2=a2a+49，若C1A=C1E，則C1A2=C1E2即： a2a+7=a2a+49，a=，E（，5），若AC1=AE，AC12=AE2即： a2a+49=28，a1=，a2=，E（，7+），或（，7），若EA=EC1，EA2=EC12即： a2a+7=28，a1=，a2=（舍），E（，3+），即，符合條件的點E（，5），（，7+），或（，7），（，3+）【點評】此題是二次函數(shù)綜合題，主要考

43、查了函數(shù)極值的確定方法，等邊三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理的逆定理，等腰三角形的性質(zhì)，解本題的關(guān)鍵是分類討論，也是解本題的難點類型四：拋物線下的動態(tài)最值問題【同步練】（煙臺市 2015 中考 -24）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y=ax2+bx+c與M相交于A、B、C、D四點，其中A、B兩點的坐標(biāo)分別為（1，0），（0，2），點D在x軸上且AD為M的直徑點E是M與y軸的另一個交點，過劣?。?）求點D的坐標(biāo)及該拋物線的表達(dá)式；（2）若點P是x軸上的一個動點，試求出PEF的周長最小時點P的坐標(biāo)；（3）在拋物線的對稱軸上是否存在點Q，使QCM是等腰三角形？如果存在，請直接寫出點Q的坐標(biāo)；如果不存在

44、，請說明理由【解析】（1）首先根據(jù)圓的軸對稱性求出點D的坐標(biāo)，將A、B、D三點代入，即可求出本題的答案；（2）由于點E與點B 關(guān)于x軸對稱，所以，連接BF，直線BF與x軸的交點，即為點P，據(jù)此即可得解；（3）從CM=MQ，CM=CQ，MQ=CQ三個方面進(jìn)行分析，據(jù)此即可得解【解答】解：（1）連接BD，AD是M的直徑，ABD=90AOBABD，=，在RtAOB中，AO=1，BO=2，根據(jù)勾股定理得：AB=，AD=5，DO=ADAO=51=4，D（4，0），把點A（1，0）、B（0，2）、D（4，0）代入y=ax2+bx+c可得：，解得：，拋物線表達(dá)式為：；（2）連接FM，在RtFHM中，F(xiàn)M=，

45、FH=，MH=2，OM=AMOA=1=，OH=OM+MH=+2=，F(xiàn)（，），設(shè)直線BF的解析式為y=kx+b，則：，直線BF的解析式為：y=x2，連接BF交x軸于點P，點E與點B關(guān)于x軸對稱，點P即為所求，當(dāng)y=0時，x=2，P（2，0）；（3）如圖，CM=拋物線的對稱軸為直線x=，OM=，點M在直線x=上，根據(jù)圓的對稱性可知，點C與點B關(guān)于直線x=對稱，點C（3，2），當(dāng)CM=MQ=時，點Q可能在x軸上方，也可能在x軸下方，Q1（，），Q2（，），當(dāng)CM=CQ時，過點C作CNMQ，MN=NQ=2，MQ=4，Q3（，4），當(dāng)CQ4=MQ4時，過點C作CRMQ，Q4VCM，則：MV=CV=，Q4

46、V=，RtCRMRtQ4VM，解得：MQ4=，Q4（，）綜上可知，存在四個點，即：Q1（，），Q2（，），Q3（，4），Q4（，）【點評】本題主要考查了二次函數(shù)的拋物線的解析式的求法，以及根據(jù)對稱求線段的最小值的問題，還考查了等腰三角形的知識和相似三角形的知識，是一道綜合性很強的題目，注意認(rèn)真總結(jié)類型五：拋物線下的動態(tài)存在問題【同步練】（2016內(nèi)蒙古包頭）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知拋物線y=ax2+bx2（a0）與x軸交于A（1，0）、B（3，0）兩點，與y軸交于點C，其頂點為點D，點E的坐標(biāo)為（0，1），該拋物線與BE交于另一點F，連接BC（1）求該拋物線的解析式，并用配方法把解析式化

47、為y=a（xh）2+k的形式；（2）若點H（1，y）在BC上，連接FH，求FHB的面積；（3）一動點M從點D出發(fā)，以每秒1個單位的速度平沿行與y軸方向向上運動，連接OM，BM，設(shè)運動時間為t秒（t0），在點M的運動過程中，當(dāng)t為何值時，OMB=90？（4）在x軸上方的拋物線上，是否存在點P，使得PBF被BA平分？若存在，請直接寫出點P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由【考點】二次函數(shù)綜合題【分析】（1）用待定系數(shù)法求出拋物線解析式；（2）先求出GH，點F的坐標(biāo)，用三角形的面積公式計算即可；（3）設(shè)出點M，用勾股定理求出點M的坐標(biāo)，從而求出MD，最后求出時間t；（4）由PBF被BA平分，確定出過點B的

48、直線BN的解析式，求出此直線和拋物線的交點即可【解答】解：（1）拋物線y=ax2+bx2（a0）與x軸交于A（1，0）、B（3，0）兩點，拋物線解析式為y=x2+x2=（x2）2+；（2）如圖1，過點A作AHy軸交BC于H，BE于G，由（1）有，C（0，2），B（0，3），直線BC解析式為y=x2，H（1，y）在直線BC上，y=，H（1，），B（3，0），E（0，1），直線BE解析式為y=x1，G（1，），GH=，直線BE：y=x1與拋物線y=x2+x2相較于F，B，F(xiàn)（，），SFHB=GH|xGxF|+GH|xBxG|=GH|xBxF|=（3）=（3）如圖2，由（1）有y=x2+x2，D為拋

49、物線的頂點，D（2，），一動點M從點D出發(fā)，以每秒1個單位的速度平沿行與y軸方向向上運動，設(shè)M（2，m），（m），OM2=m2+4，BM2=m2+1，AB2=9，OMB=90，OM2+BM2=AB2，m2+4+m2+1=9，m=或m=（舍），M（0，），MD=，一動點M從點D出發(fā)，以每秒1個單位的速度平沿行與y軸方向向上運動，t=；（4）存在點P，使PBF被BA平分，如圖3，PBO=EBO，E（0，1），在y軸上取一點N（0，1），B（3，0），直線BN的解析式為y=x+1，點P在拋物線y=x2+x2上，聯(lián)立得，或（舍），P（，），即：在x軸上方的拋物線上，存在點P，使得PBF被BA平分，P（

50、，）類型六：拋物線與相似的綜合問題【同步練】（2016湖北荊門14分）如圖，直線y=x+2與x軸，y軸分別交于點A，點B，兩動點D，E分別從點A，點B同時出發(fā)向點O運動（運動到點O停止），運動速度分別是1個單位長度/秒和個單位長度/秒，設(shè)運動時間為t秒，以點A為頂點的拋物線經(jīng)過點E，過點E作x軸的平行線，與拋物線的另一個交點為點G，與AB相交于點F（1）求點A，點B的坐標(biāo)；（2）用含t的代數(shù)式分別表示EF和AF的長；（3）當(dāng)四邊形ADEF為菱形時，試判斷AFG與AGB是否相似，并說明理由（4）是否存在t的值，使AGF為直角三角形？若存在，求出這時拋物線的解析式；若不存在，請說明理由【考點】二次

51、函數(shù)綜合題【分析】（1）在直線y=x+2中，分別令y=0和x=0，容易求得A、B兩點坐標(biāo)；（2）由OA、OB的長可求得ABO=30，用t可表示出BE，EF，和BF的長，由勾股定理可求得AB的長，從而可用t表示出AF的長；（3）利用菱形的性質(zhì)可求得t的值，則可求得AF=AG的長，可得到=，可判定AFG與AGB相似；（4）若AGF為直角三角形時，由條件可知只能是FAG=90，又AFG=OAF=60，由（2）可知AF=42t，EF=t，又由二次函數(shù)的對稱性可得到EG=2OA=4，從而可求出FG，在RtAGF中，可得到關(guān)于t的方程，可求得t的值，進(jìn)一步可求得E點坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法可求得拋物線的解析式

52、【解答】解：（1）在直線y=x+2中，令y=0可得0=x+2，解得x=2，令x=0可得y=2，A為（2，0），B為（0，2）；（2）由（1）可知OA=2，OB=2，tanABO=，ABO=30，運動時間為t秒，BE=t，EFx軸，在RtBEF中，EF=BEtanABO=BE=t，BF=2EF=2t，在RtABO中，OA=2，OB=2，AB=4，AF=42t；（3）相似理由如下：當(dāng)四邊形ADEF為菱形時，則有EF=AF，即t=42t，解得t=，AF=42t=4=，OE=OBBE=2=，如圖，過G作GHx軸，交x軸于點H，則四邊形OEGH為矩形，GH=OE=，又EGx軸，拋物線的頂點為A，OA=AH=2，在RtAGH中，由勾股定理可得AG2=G