優(yōu)化設(shè)計(jì)的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)

1、一 等值（線）面目標(biāo)函數(shù)是n維變量的函數(shù)，它的函數(shù)圖像只能在n+1維空間中描述出來(lái)。為了在n維設(shè)計(jì)空間中反映目標(biāo)函數(shù)的變化情況，常采用目標(biāo)函數(shù)等值面的方法。 對(duì)于可計(jì)算的函數(shù) f(x)，給定一個(gè)設(shè)計(jì)點(diǎn) X(k)，f(x)總有一個(gè)定值c 與之對(duì)應(yīng)；而當(dāng)f(x)取定值 c 時(shí)，則有無(wú)限多個(gè)設(shè)計(jì)點(diǎn)X(i)（i=1,2, ）與之對(duì)應(yīng)，這些點(diǎn)集構(gòu)成一個(gè)曲面，稱(chēng)為等值面。即具有相等目標(biāo)函數(shù)值的設(shè)計(jì)點(diǎn)構(gòu)成的平面曲線或曲面稱(chēng)為等值線或等值面。目標(biāo)函數(shù)F(x)的等值面（線）數(shù)學(xué)表達(dá)式為：F(x)=C當(dāng) c 取c1,c2, 等值時(shí)，就獲得一族曲面族，稱(chēng)為等值面族。等值線的“心”（以二維為例）一個(gè)“心”：是單峰函數(shù)

2、的極（?。┲迭c(diǎn)，是全局極（?。┲迭c(diǎn)。沒(méi)有“心”：例，線性函數(shù)的等值線是平行的，無(wú)“心”，認(rèn)為極值點(diǎn)在無(wú)窮遠(yuǎn)處。多個(gè)“心”：不是單峰函數(shù)，每個(gè)極（?。┲迭c(diǎn)只是局部極（?。┲迭c(diǎn)，必須通過(guò)比較各個(gè)極值點(diǎn)和“鞍點(diǎn)”（須正確判別）的值，才能確定極（小）值點(diǎn)。等值線的形狀：同心圓族、橢圓族，近似橢圓族；嚴(yán)重非線性函數(shù)病態(tài)函數(shù)的等值線族是嚴(yán)重偏心和扭曲、分布疏密?chē)?yán)重不一的曲線族。等值線的疏密：沿等值線密的方向，函數(shù)值變化快；沿等值線疏的方向，函數(shù)值變化慢。等值線的疏密定性反應(yīng)函數(shù)值變化率。二 方向?qū)?shù)與梯度1 方向?qū)?shù)二元函數(shù)在點(diǎn)x0處沿某一方向s的方向?qū)?shù)方向?qū)?shù)是偏導(dǎo)數(shù)概念的推廣。方向?qū)?shù)與偏導(dǎo)數(shù)之間的

3、數(shù)量關(guān)系是n元函數(shù)在點(diǎn)x0處沿s方向的方向?qū)?shù)2 梯度二元函數(shù)的梯度F(x0)為函數(shù)F(x1，x2)在x0點(diǎn)處的梯度。設(shè)s方向和梯度方向重合時(shí)，方向?qū)?shù)值最大。梯度的模：設(shè) 為單位向量 則有梯度方向是函數(shù)值變化最快的方向，而梯度的模就是函數(shù)變化率的最大值。多元函數(shù)的梯度梯度F(x0)的模函數(shù)的梯度方向與函數(shù)等值面相垂直，也就是和等值面上過(guò)x0的一切曲線相垂直。由于梯度的模因點(diǎn)而異，即函數(shù)在不同點(diǎn)處的最大變化率是不同的。因此，梯度是函數(shù)的一種局部性質(zhì)。梯度兩個(gè)重要性質(zhì)：（搜索方向問(wèn)題）性質(zhì)一：函數(shù)在某點(diǎn)的梯度不為零，則必與過(guò)該點(diǎn)的等值面垂直；性質(zhì)二：梯度方向是函數(shù)具有最大變化率的方向。例題1：求函數(shù)在點(diǎn)3,2T 的梯度。解：在點(diǎn)x(1)=3,2T處的梯度為：例2：試求目標(biāo)函數(shù) 在點(diǎn)處的最速下降方向，并求沿這個(gè)