二項(xiàng)式定理2教師

1、講義編號(hào)_ 學(xué)員編號(hào)：年 級(jí)： 課時(shí)數(shù)：3 學(xué)員姓名： 輔導(dǎo)科目： 數(shù)學(xué) 學(xué)科教師：課 題二項(xiàng)式定理(三)授課日期及時(shí)段教學(xué)目的1理解和掌握二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)，并會(huì)簡單的應(yīng)用； 2.初步了解用賦值法是解決二項(xiàng)式系數(shù)問題；3.能用函數(shù)的觀點(diǎn)分析處理二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)，提高分析問題和解決問題教學(xué)內(nèi)容一、復(fù)習(xí)引入：1二項(xiàng)式定理及其特例：（1），（2）.2二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式：3求常數(shù)項(xiàng)、有理項(xiàng)和系數(shù)最大的項(xiàng)時(shí)，要根據(jù)通項(xiàng)公式討論對(duì)的限制；求有理項(xiàng)時(shí)要注意到指數(shù)及項(xiàng)數(shù)的整數(shù)性 二、講解新課：1二項(xiàng)式系數(shù)表（楊輝三角）展開式的二項(xiàng)式系數(shù)，當(dāng)依次取時(shí)，二項(xiàng)式系數(shù)表，表中每行兩端都是，除以外的每一個(gè)數(shù)都等于它肩

2、上兩個(gè)數(shù)的和2二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)：展開式的二項(xiàng)式系數(shù)是，可以看成以為自變量的函數(shù)定義域是，例當(dāng)時(shí)，其圖象是個(gè)孤立的點(diǎn)（如圖）（1）對(duì)稱性與首末兩端“等距離”的兩個(gè)二項(xiàng)式系數(shù)相等（）直線是圖象的對(duì)稱軸（2）增減性與最大值，相對(duì)于的增減情況由決定，當(dāng)時(shí)，二項(xiàng)式系數(shù)逐漸增大由對(duì)稱性知它的后半部分是逐漸減小的，且在中間取得最大值；當(dāng)是偶數(shù)時(shí)，中間一項(xiàng)取得最大值；當(dāng)是奇數(shù)時(shí)，中間兩項(xiàng)，取得最大值（3）各二項(xiàng)式系數(shù)和：，令，則三、講解范例：例1在的展開式中，奇數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)的和等于偶數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)的和證明：在展開式中，令，則，即，即在的展開式中，奇數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)的和等于偶數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)的和說明：由性

3、質(zhì)（3）及例1知.例2已知，求：（1）； （2）； （3）.解：（1）當(dāng)時(shí)，展開式右邊為，當(dāng)時(shí)，（2）令， 令， 得：，.（3）由展開式知：均為負(fù)，均為正，由（2）中+ 得：， 例3.求(1+x)+(1+x)2+(1+x)10展開式中x3的系數(shù)解：=，原式中實(shí)為這分子中的，則所求系數(shù)為例4.在(x2+3x+2)5的展開式中，求x的系數(shù)解：在(x+1)5展開式中，常數(shù)項(xiàng)為1，含x的項(xiàng)為，在(2+x)5展開式中，常數(shù)項(xiàng)為25=32，含x的項(xiàng)為展開式中含x的項(xiàng)為 ，此展開式中x的系數(shù)為240例5.已知的展開式中，第五項(xiàng)與第三項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)之比為14；3，求展開式的常數(shù)項(xiàng)解：依題意3n(n-1)(n-

4、2)(n-3)/4!=4n(n-1)/2!n=10設(shè)第r+1項(xiàng)為常數(shù)項(xiàng)，又 令，此所求常數(shù)項(xiàng)為180四、課堂練習(xí)：（1）的展開式中二項(xiàng)式系數(shù)的和為，各項(xiàng)系數(shù)的和為，二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)為第項(xiàng)；（2）的展開式中只有第六項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大，則第四項(xiàng)為（3）+，則（ ）AB.C.D.（4）已知：，求：的值答案：（1），；（2）展開式中只有第六項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大，；（3）A五、小結(jié) ：1性質(zhì)是組合數(shù)公式的再現(xiàn)，性質(zhì)是從函數(shù)的角度研究的二項(xiàng)式系數(shù)的單調(diào)性，性質(zhì)是利用賦值法得出的二項(xiàng)展開式中所有二項(xiàng)式系數(shù)的和；2因?yàn)槎?xiàng)式定理中的字母可取任意數(shù)或式，所以在解題時(shí)根據(jù)題意，給字母賦值，是求解二項(xiàng)展開式各項(xiàng)系數(shù)

5、和的一種重要方法二項(xiàng)式定理(四)二、講解范例：例1 設(shè)，當(dāng)時(shí)，求的值解：令得：，點(diǎn)評(píng)：對(duì)于，令即可得各項(xiàng)系數(shù)的和的值；令即，可得奇數(shù)項(xiàng)系數(shù)和與偶數(shù)項(xiàng)和的關(guān)系例2求證：證（法一）倒序相加：設(shè)又， 由+得：，即（法二）：左邊各組合數(shù)的通項(xiàng)為，例3已知：的展開式中，各項(xiàng)系數(shù)和比它的二項(xiàng)式系數(shù)和大（1）求展開式中二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)；（2）求展開式中系數(shù)最大的項(xiàng)解：令，則展開式中各項(xiàng)系數(shù)和為，又展開式中二項(xiàng)式系數(shù)和為，（1），展開式共項(xiàng)，二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)為第三、四兩項(xiàng)，（2）設(shè)展開式中第項(xiàng)系數(shù)最大，則，即展開式中第項(xiàng)系數(shù)最大，例4已知，求證：當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，能被整除分析：由二項(xiàng)式定理的逆用化簡，再把變形，

6、化為含有因數(shù)的多項(xiàng)式，為偶數(shù)，設(shè)（）， （） ，當(dāng)=時(shí)，顯然能被整除，當(dāng)時(shí)，（）式能被整除，所以，當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，能被整除三、課堂練習(xí)：1展開式中的系數(shù)為，各項(xiàng)系數(shù)之和為2多項(xiàng)式（）的展開式中，的系數(shù)為3若二項(xiàng)式（）的展開式中含有常數(shù)項(xiàng)，則的最小值為（ ）4某企業(yè)欲實(shí)現(xiàn)在今后10年內(nèi)年產(chǎn)值翻一番的目標(biāo)，那么該企業(yè)年產(chǎn)值的年平均增長率最低應(yīng) （ ） A.低于5 B.在56之間 C.在68之間 D.在8以上5在的展開式中，奇數(shù)項(xiàng)之和為，偶數(shù)項(xiàng)之和為，則等于（ ）A.0 B. C. D.6求和：7求證：當(dāng)且時(shí)，8求的展開式中系數(shù)最大的項(xiàng) 答案：1. 45, 0 2. 0 提示：3. B 4. C 5. D 6.7. (略) 8.四、小結(jié) ：二項(xiàng)式定理體現(xiàn)了二項(xiàng)式的正整數(shù)冪的展開式的指數(shù)、項(xiàng)數(shù)、二項(xiàng)式系數(shù)等方面的內(nèi)在聯(lián)系，涉及到二項(xiàng)展開式中的項(xiàng)和系數(shù)的綜合問題，只需運(yùn)用通項(xiàng)公式和二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)對(duì)條件進(jìn)行逐個(gè)節(jié)破，對(duì)于與組合數(shù)有關(guān)的和的問題，賦值法是常用且重要的方法，同時(shí)注意二項(xiàng)式定理的逆用五、課后作業(yè)：1已知展開式中的各項(xiàng)系數(shù)的和等于的展開式的常數(shù)項(xiàng)，而展開式的系數(shù)的最大