人教版高中數(shù)學(xué)選修22教學(xué)案11變化率與導(dǎo)數(shù)教師版

1、變化率與導(dǎo)數(shù)_1、 平均變化率的概念、函數(shù)在某點(diǎn)處附近的平均變化率；2、 理解導(dǎo)數(shù)的幾何意義；一、變化率問題：知識(shí)導(dǎo)入：?jiǎn)栴}1 氣球膨脹率將班內(nèi)同學(xué)平均分成4組，每組發(fā)一只氣球，各有一位同學(xué)負(fù)責(zé)將氣球吹起，其他同學(xué)觀察氣球在吹起過程中的變化，并做好準(zhǔn)備回答以下問題：（1）氣球在吹起過程中，隨著吹入氣體的增加，它的膨脹速度有何變化？（2）你認(rèn)為膨脹速度與哪些量有關(guān)系？（3）球的體積公式是什么？有哪些基本量？（4）結(jié)合球的體積公式，試用兩個(gè)變量之間的關(guān)系來表述氣球的膨脹率問題？總結(jié)：可以發(fā)現(xiàn),隨著氣球內(nèi)空氣容量的增加,氣球的半徑增加越來越慢.從數(shù)學(xué)角度,如何描述這種現(xiàn)象呢?n 氣球的體積V(單位:

2、L)與半徑r(單位:dm)之間的函數(shù)關(guān)系是n 如果將半徑r表示為體積V的函數(shù),那么分析: ，hto 1 當(dāng)V從0增加到1時(shí),氣球半徑增加了氣球的平均膨脹率為2 當(dāng)V從1增加到2時(shí),氣球半徑增加了氣球的平均膨脹率為可以看出，隨著氣球體積逐漸增大，它的平均膨脹率逐漸變小了思考：當(dāng)空氣容量從V1增加到V2時(shí),氣球的平均膨脹率是多少?問題2 高臺(tái)跳水在高臺(tái)跳水運(yùn)動(dòng)中,運(yùn)動(dòng)員相對(duì)于水面的高度h(單位：m)與起跳后的時(shí)間t（單位：s）存在函數(shù)關(guān)系h(t)= -t2t+10.如何用運(yùn)動(dòng)員在某些時(shí)間段內(nèi)的平均速度粗略地描述其運(yùn)動(dòng)狀態(tài)?思考計(jì)算：和的平均速度在這段時(shí)間里，；在這段時(shí)間里，探究：計(jì)算運(yùn)動(dòng)員在這段時(shí)

3、間里的平均速度，并思考以下問題：運(yùn)動(dòng)員在這段時(shí)間內(nèi)使靜止的嗎？你認(rèn)為用平均速度描述運(yùn)動(dòng)員的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)有什么問題嗎？探究過程：如圖是函數(shù)h(t)=-t2t+10的圖像，結(jié)合圖形可知，所以，雖然運(yùn)動(dòng)員在這段時(shí)間里的平均速度為，但實(shí)際情況是運(yùn)動(dòng)員仍然運(yùn)動(dòng)，并非靜止，可以說明用平均速度不能精確描述運(yùn)動(dòng)員的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)1、 平均變化率：1上述問題中的變化率可用式子表示,稱為函數(shù)f(x)從x1到x2的平均變化率2若設(shè), (這里看作是對(duì)于x1的一個(gè)“增量”可用x1+代替x2,同樣)3 則平均變化率為思考：觀察函數(shù)f(x)的圖象平均變化率表示什么?f(x2)y=f(x)yy =f(x2)-f(x1)f(x1)直線A

4、B的斜率x= x2-x1x2x1xO2、 導(dǎo)數(shù)的概念：1、瞬時(shí)變化率：從函數(shù)y=f(x)在x=x0處的瞬時(shí)變化率是:我們稱它為函數(shù)在出的導(dǎo)數(shù)，記作或，即說明：（1）導(dǎo)數(shù)即為函數(shù)y=f(x)在x=x0處的瞬時(shí)變化率（2），當(dāng)時(shí)，所以3、 導(dǎo)數(shù)的幾何意義：1、 平均變化率與割線的斜率、瞬時(shí)變化率與切線的斜率：（一）曲線的切線及切線的斜率：如圖3.1-2，當(dāng)沿著曲線趨近于點(diǎn)時(shí)，割線的變化趨勢(shì)是什么？我們發(fā)現(xiàn),當(dāng)點(diǎn)沿著曲線無限接近點(diǎn)P即x0時(shí),割線趨近于確定的位置，這個(gè)確定位置的直線PT稱為曲線在點(diǎn)P處的切線.問題：割線的斜率與切線PT的斜率有什么關(guān)系？切線PT的斜率為多少？容易知道，割線的斜率是,當(dāng)

5、點(diǎn)沿著曲線無限接近點(diǎn)P時(shí)，無限趨近于切線PT的斜率，即說明：（1）設(shè)切線的傾斜角為,那么當(dāng)x0時(shí),割線PQ的斜率,稱為曲線在點(diǎn)P處的切線的斜率.這個(gè)概念: 提供了求曲線上某點(diǎn)切線的斜率的一種方法;切線斜率的本質(zhì)函數(shù)在處的導(dǎo)數(shù).（2）曲線在某點(diǎn)處的切線:1)與該點(diǎn)的位置有關(guān);2)要根據(jù)割線是否有極限位置來判斷與求解.如有極限,則在此點(diǎn)有切線,且切線是唯一的;如不存在,則在此點(diǎn)處無切線;3)曲線的切線,并不一定與曲線只有一個(gè)交點(diǎn),可以有多個(gè),甚至可以無窮多個(gè).2、導(dǎo)數(shù)的幾何意義：函數(shù)y=f(x)在x=x0處的導(dǎo)數(shù)等于在該點(diǎn)處的切線的斜率，即 說明：求曲線在某點(diǎn)處的切線方程的基本步驟:求出P點(diǎn)的坐標(biāo)

6、;求出函數(shù)在點(diǎn)處的變化率 ，得到曲線在點(diǎn)的切線的斜率；利用點(diǎn)斜式求切線方程.類型一：求函數(shù)的平均變化率例1、求在到之間的平均變化率，并求，時(shí)平均變化率的值.思路點(diǎn)撥: 求函數(shù)的平均變化率，要緊扣定義式進(jìn)行操作.解析：當(dāng)變量從變到時(shí)，函數(shù)的平均變化率為當(dāng)，時(shí)，平均變化率的值為：.總結(jié)升華：解答本題的關(guān)鍵是熟練掌握平均變化率的概念，只要求出平均變化率的表達(dá)式，其他就迎刃而解.舉一反三：【變式1】求函數(shù)y=5x2+6在區(qū)間2，2+內(nèi)的平均變化率?！敬鸢浮?，所以平均變化率為。【變式2】已知函數(shù)，分別計(jì)算在下列區(qū)間上的平均變化率：（1）1，3；（2）1，2；（3）1，1.1；（4）1，1.001.【答案

7、】（1）4；（2）3；（3）2.1；（4）2.001.【變式3】自由落體運(yùn)動(dòng)的運(yùn)動(dòng)方程為，計(jì)算t從3s到3.1s，3.01s，3.001s各段內(nèi)的平均速度（位移s的單位為m）?！敬鸢浮恳笃骄俣?，就是求的值，為此需求出、。設(shè)在3，3.1內(nèi)的平均速度為v1，則所以。同理?！咀兪?】過曲線上兩點(diǎn)和作曲線的割線，求出當(dāng)時(shí)割線的斜率.【答案】當(dāng)時(shí)類型二：利用定義求導(dǎo)數(shù)例2、用導(dǎo)數(shù)的定義，求函數(shù)在x=1處的導(dǎo)數(shù)。解析：總結(jié)升華：利用導(dǎo)數(shù)的定義求導(dǎo)數(shù)的步驟：第一步求函數(shù)的增量；第二步求平均變化率；第三步取極限得導(dǎo)數(shù)。舉一反三：【變式1】已知函數(shù)（1）求函數(shù)在x=4處的導(dǎo)數(shù).（2）求曲線上一點(diǎn)處的切線方程

8、。【答案】（1）（2）由導(dǎo)數(shù)的幾何意義知，曲線在點(diǎn)處的切線斜率為，所求切線的斜率為。所求切線方程為，整理得5x+16y+8=0?！咀兪?】利用導(dǎo)數(shù)的定義求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：（1）；（2）；（3）；（4）。【答案】（1），（2），（3），（4），例3、求曲線y=x3+2x在x=1處的切線方程.思路點(diǎn)撥：從函數(shù)在一點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)定義可求得函數(shù)y=x3+2x在x=1處的導(dǎo)數(shù)值，再由導(dǎo)數(shù)的幾何意義，得所求切線的斜率，將x=1代入函數(shù)可得切點(diǎn)坐標(biāo)，從而建立切線方程.解析：設(shè).由f(1)=3，故切點(diǎn)為（1，3），切線方程為y3=5(x1)，即y=5x2.總結(jié)升華: 求函數(shù)圖像上點(diǎn)處的切線方程的求解步驟： 求出導(dǎo)

9、函數(shù)在處的導(dǎo)數(shù)（即過點(diǎn)的切線的斜率）， 用點(diǎn)斜式寫出切線方程，再化簡(jiǎn)整理。舉一反三：【變式】在曲線y=x2上過哪一點(diǎn)的切線：（1）平行于直線y=4x5；（2）垂直于直線2x6y+5=0；（3）與x軸成135°的傾斜角。【答案】，設(shè)所求切點(diǎn)坐標(biāo)為P（x0，y0），則切線斜率為k=2x0（1）因?yàn)榍芯€與直線y=4x5平行，所以2x0=4，x0=2，y0=4，即P（2，4）。（2）因?yàn)榍芯€與直線2x6y+5=0垂直，所以，得，即。（3）因?yàn)榍芯€與x軸成135°的傾斜角，所以其斜率為1。即2x0=1，得，即。例4已知函數(shù)可導(dǎo)，若，求解析：（）（令t=x2，x1，t1）舉一反三：【變

10、式】已知函數(shù)可導(dǎo)，若，求【答案】類型五：求曲線的切線方程例5求曲線y=x3+2x在x=1處的切線方程.解析：，x=1時(shí)，y=3，切點(diǎn)為（1，3），切線斜率為5切線方程為y3=5(x1)，即y=5x2.總結(jié)升華: 求函數(shù)圖像上點(diǎn)處的切線方程的求解步驟： 求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù) 求出導(dǎo)函數(shù)在處的導(dǎo)數(shù)（即過點(diǎn)的切線的斜率）， 用點(diǎn)斜式寫出切線方程，再化簡(jiǎn)整理。舉一反三：【變式1】求曲線在點(diǎn)處的切線的斜率，并寫出切線方程.解析：切線的斜率.切線方程為，即.【變式2】已知，是曲線上的兩點(diǎn)，則與直線平行的曲線的切線方程是_.【答案】的導(dǎo)數(shù)為.設(shè)切點(diǎn)，則.的斜率，又切線平行于，切點(diǎn)，切線方程為，即.【變式3】已知

11、曲線.（1）求曲線上橫坐標(biāo)為1的點(diǎn)處的切線的方程；（2）第（1）小題中的切線與曲線是否還有其他的公共點(diǎn)？【答案】（1）將代入曲線的方程得，切點(diǎn).過點(diǎn)的切線方程為，即.（2）由可得，解得或.從而求得公共點(diǎn)為，或.切線與曲線的公共點(diǎn)除了切點(diǎn)外，還有另外的點(diǎn).例6已知直線為曲線在點(diǎn)（1，0）處的切線，為該曲線的另一條切線，且.（1）求直線的方程；（2）求由直線、和軸所圍成的三角形的面積.解析：（1），直線的方程為.設(shè)直線過曲線上的點(diǎn)，則的方程為，即.因?yàn)椋瑒t有，.所以直線的方程為.（2）解方程組得所以直線和的交點(diǎn)坐標(biāo)為.、與軸交點(diǎn)的坐標(biāo)分別為（1，0）、，所以所求三角形的面積為.舉一反三：【變式1】

12、如果曲線的某一切線與直線平行，求切點(diǎn)坐標(biāo)與切線方程【答案】設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為切線在點(diǎn)的斜率為切線與直線平行，斜率為4或切點(diǎn)為（1，-8）或（-1，-12）切線方程為或即或【變式2】曲線在點(diǎn)（1，1）處的切線與軸、直線所圍成的三角形的面積為_.【答案】由題意，切線的斜率為，切線方程為，與軸交點(diǎn)為，直線的交點(diǎn)為（2，4），【變式3】曲線在（0，1）處的切線與的距離為，求的方程.【答案】由題意知，曲線在（0，1）處的切線的斜率該切線方程為設(shè)的方程為，則，解得，或.當(dāng)時(shí)，的方程為；當(dāng)時(shí)，的方程為綜上可知，的方程為或.一、選擇題1將半徑為R的球加熱，若球的半徑增量為R，則球的表面積增量S等于()A8RRB8R

13、R4(R)2C4RR4(R)2D4(R)2【解析】球的表面積S4R2，則S4(RR)24R28RR4(R)2.【答案】B2一質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的方程為s53t2，若該質(zhì)點(diǎn)在時(shí)間段1,1t內(nèi)相應(yīng)的平均速度為3t6，則該質(zhì)點(diǎn)在t1時(shí)的瞬時(shí)速度是()A3B3C6D6【解析】由平均速度和瞬時(shí)速度的關(guān)系可知，Vs(1)li(3t6)6.【答案】D3某手機(jī)配件生產(chǎn)流水線共有甲、乙兩條，產(chǎn)量s(單位：個(gè))與時(shí)間t(單位：天)的關(guān)系如圖112所示，則接近t0天時(shí)，下列結(jié)論中正確的是()圖112A甲的日生產(chǎn)量大于乙的日生產(chǎn)量B甲的日生產(chǎn)量小于乙的日生產(chǎn)量C甲的日生產(chǎn)量等于乙的日生產(chǎn)量D無法判定甲的日生產(chǎn)量與乙的日生產(chǎn)量的

14、大小【解析】由平均變化率的幾何意義可知，當(dāng)接近于t0時(shí)，曲線乙割線的斜率大于曲線甲割線的斜率，故乙的日產(chǎn)量大于甲的日產(chǎn)量【答案】B4設(shè)函數(shù)f(x)在點(diǎn)x0附近有定義，且有f(x0x)f(x0)axb(x)2(a，b為常數(shù))，則()Af(x)aBf(x)bCf(x0)aDf(x0)b【解析】f(x0)lilili(abx)a，f(x0)a.【答案】C5若f(x)x3，f(x0)3，則x0的值是()A1B1C±1D3【解析】yf(x0x)f(x0)(x0x)3x3xx3x0(x)2(x)3，3x3x0x(x)2，f(x0)3x3x0x(x)23x，由f(x0)3得3x3，x0±

15、1.【答案】C二、填空題6汽車行駛的路程s和時(shí)間t之間的函數(shù)圖象如圖113所示在時(shí)間段t0，t1，t1，t2，t2，t3上的平均速度分別為1，2，3，其三者的大小關(guān)系是_圖113【解析】1kMA，2kAB，3kBC，由圖象可知：kMA<kAB<kBC，3>2>1.【答案】3>2>17過曲線yf(x)x21上兩點(diǎn)P(1,2)和Q(1x,2y)作曲線的割線，當(dāng)x0.1時(shí)，割線的斜率k_.【解析】y(1x)21(121)2x(x)2，2x.從而割線PQ的斜率為2x，當(dāng)x0.1時(shí)，割線PQ的斜率k20.12.1.【答案】8設(shè)函數(shù)f(x)mx32，若f(1)3，則m_

16、.【解析】yf(1x)f(1)m(1x)3m3mx3m(x)2m(x)3，3m3mxm(x)2，f(1)3m3mxm(x)23m，由f(1)3得3m3，m1.【答案】1三、解答題9正弦函數(shù)ysinx在區(qū)間0，和，的平均變化率哪一個(gè)較大？【解】ysin x在區(qū)間0，的平均變化率為.ysin x在區(qū)間，的平均變化率為，>.正弦函數(shù)ysin x在區(qū)間0，的平均變化率比在區(qū)間，的平均變化率大10一做直線運(yùn)動(dòng)的物體，其位移s與時(shí)間t的關(guān)系是s3tt2(位移：m；時(shí)間：s)(1)求此物體的初速度(2)求此物體在t2時(shí)的瞬時(shí)速度(3)求t0到t2時(shí)的平均速度【解】(1)初速度v0 (3t)3(m/s)

17、即物體的初速度為3 m/s.(2)v (t1)1(m/s)即此物體在t2時(shí)的瞬時(shí)速度為1 m/s，方向與初速度相反(3)1(m/s)即t0到t2時(shí)的平均速度為1 m/s.11柏油路是用瀝青和大小石子等材料混合后鋪成的，鋪路工人鋪路時(shí)需要對(duì)瀝青加熱使之由固體變成粘稠液體狀如果開始加熱后第x小時(shí)的瀝青溫度(單位：)為f(x)求開始加熱后第15分鐘和第4小時(shí)瀝青溫度變化的瞬時(shí)速度，并說明它們的意義【解】15分鐘0.25小時(shí)，且當(dāng)0x1時(shí)，f(x)80x220，4080x.f(0.25)lili (4080x)40.又當(dāng)1<x8時(shí)，f(x)(x22x244)，當(dāng)x4時(shí)，(6x)，f(4)lili

18、(6x)×6._基礎(chǔ)鞏固1.函數(shù)f(x)=x2-1在x0到x0+x之間的平均變化率為()A.2x0-1B.2x0+xC.2x0x+(x)2D.(x)2-x+1解析:=2x0+x.答案:B2.以初速度為v0(v0>0)做豎直上拋運(yùn)動(dòng)的物體,t時(shí)刻的高度為s(t)=v0t-gt2,則物體在t0時(shí)刻的瞬時(shí)速度為()A.v0-gt0B.v0C.v0+gt0D.gt0解析:s=v0(t0+t)-g(t0+t)2-v0t0+=(v0-gt0)t-g(t)2,=v0-gt0-gt.=v0-gt0,物體在t0時(shí)刻的瞬時(shí)速度為v0-gt0.答案:A3.函數(shù)y=x2+5x在x=3處的導(dǎo)數(shù)是()A.

19、3B.5C.11D.14解析:y=(3+x)2+5(3+x)-(32+5×3)=6x+(x)2+5x=(x)2+11x,=x+11,y'|x=3=(x+11)=11.答案:C4.曲線y=x3+11在點(diǎn)P(1,12)處的切線與y軸交點(diǎn)的縱坐標(biāo)是()A.-9B.-3C.9D.15解析:由已知得切線的斜率k=y'|x=1=3,切線方程為y-12=3(x-1),即3x-y+9=0.令x=0,得y=9,切線與y軸交點(diǎn)的縱坐標(biāo)為9.答案:C5.若曲線y=x2+ax+b在點(diǎn)(0,b)處的切線方程是x-y+1=0,則()A.a=1,b=1B.a=-1,b=1C.a=1,b=-1D.a

20、=-1,b=-1解析:點(diǎn)(0,b)在直線x-y+1=0上,b=1.又y'=2x+a,過點(diǎn)(0,b)的切線的斜率為y'|x=0=a=1.答案:A6.如圖,函數(shù)f(x)的圖象是折線段ABC,其中A,B,C的坐標(biāo)分別為(0,4),(2,0),(6,4),則f(f(0)=_.(用數(shù)字作答).解析:由A(0,4),B(2,0)可得線段AB所在直線的方程為f(x)=-2x+4(0x2).同理BC所在直線的方程為f(x)=x-2(2<x6).所以f(0)=4,f(4)=2.答案:27.已知函數(shù)y=f(x)的圖象在點(diǎn)M(1,f(1)處的切線方程是y=x+2,則f(1)+f'(1)

21、=_.解析:由導(dǎo)數(shù)幾何意義知f'(1)=1,又f(1)=1+2=3,于是f(1)+f'(1)=4.答案:48.求函數(shù)f(x)=x-x2在x=1處的導(dǎo)數(shù).解:f'(1)=-1.即f(x)在x=1處的導(dǎo)數(shù)f'(1)=-1.能力提升一、選擇題1已知函數(shù)yx21的圖象上一點(diǎn)(1,2)及鄰近一點(diǎn)(1x,2y)，則等于()A2B2xC2xD2(x)2【解析】y(1x)21(121)2x(x)2.2x.【答案】C2自由落體運(yùn)動(dòng)的公式為ss(t)gt2(g10 m/s2)，若v，則下列說法正確的是()Av是在01s這段時(shí)間內(nèi)的速度Bv是1s到(1t)s這段時(shí)間內(nèi)的速度C5t10

22、是物體在t1s這一時(shí)刻的速度D5t10是物體從1s到(1t)s這段時(shí)間內(nèi)的平均速度【解析】由平均速度的概念知：v5t10.故應(yīng)選D.【答案】D3(惠州高二檢測(cè))某物體做直線運(yùn)動(dòng)，其運(yùn)動(dòng)規(guī)律是st2(t的單位是秒，s的單位是米)，則它在4秒末的瞬時(shí)速度為()A.米/秒B.米/秒C8米/秒D.米/秒【解析】t8，8.【答案】B4函數(shù)f(x)x2在x0到x0x之間的平均變化率為k1，在x0x到x0之間的平均變化率為k2，則k1，k2的大小關(guān)系是()Ak1k2Bk1k2Ck1k2D無法確定【解析】k12x0x，k22x0x，而x可正可負(fù)，故k1、k2大小關(guān)系不確定【答案】D5已知點(diǎn)P(x0，y0)是拋物線y3x26x1上一點(diǎn)，且f(x0)0，則點(diǎn)P的坐標(biāo)為()A(1,10)B(1，2)C(1，2)D(1,10)【解析】y3(x0x)26(x0x)3x6x06x0·x3(x)26x， (6x03x6)6x060.x01，y