二項(xiàng)式定理典型例題解析

1、概念篇【例1】求二項(xiàng)式(a2b)4的展開式.分析：直接利用二項(xiàng)式定理展開.解：根據(jù)二項(xiàng)式定理得(a2b)4=Ca4+Ca3(2b)+Ca2(2b)2+Ca(2b)3+C(2b)4=a48a3b+24a2b232ab3+16b4.說明：運(yùn)用二項(xiàng)式定理時(shí)要注意對號(hào)入座，本題易誤把2b中的符號(hào)“”忽略.【例2】展開(2x)5.分析一：直接用二項(xiàng)式定理展開式.解法一：(2x)5=C(2x)5+C(2x)4()+C(2x)3()2+C(2x)2()3+C (2x)()4+C()5=32x5120x2+.分析二：對較繁雜的式子，先化簡再用二項(xiàng)式定理展開.解法二：(2x)5=C(4x3)5+C(4x3)4(

2、3)+C(4x3)3(3)2+C(4x3)2(3)3+C(4x3)(3)4+C(3)5=(1024x153840x12+5760x94320x6+1620x3243)=32x5120x2+.說明：記準(zhǔn)、記熟二項(xiàng)式(a+b)n的展開式是解答好與二項(xiàng)式定理有關(guān)問題的前提條件.對較復(fù)雜的二項(xiàng)式，有時(shí)先化簡再展開會(huì)更簡便.【例3】在(x)10的展開式中，x6的系數(shù)是.解法一：根據(jù)二項(xiàng)式定理可知x6的系數(shù)是C.解法二：(x)10的展開式的通項(xiàng)是Tr+1=Cx10r()r.令10r=6，即r=4，由通項(xiàng)公式可知含x6項(xiàng)為第5項(xiàng)，即T4+1=Cx6()4=9Cx6.x6的系數(shù)為9C.上面的解法一與解法二顯然

3、不同，那么哪一個(gè)是正確的呢？問題要求的是求含x6這一項(xiàng)系數(shù)，而不是求含x6x6的二項(xiàng)式系數(shù)，解法一就正確了，也即是C.說明：要注意區(qū)分二項(xiàng)式系數(shù)與指定某一項(xiàng)的系數(shù)的差異.二項(xiàng)式系數(shù)與項(xiàng)的系數(shù)是兩個(gè)不同的概念，前者僅與二項(xiàng)式的指數(shù)及項(xiàng)數(shù)有關(guān)，與二項(xiàng)式無關(guān)，后者與二項(xiàng)式、二項(xiàng)式的指數(shù)及項(xiàng)數(shù)均有關(guān).【例4】已知二項(xiàng)式(3)10，(1)求其展開式第四項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)；(2)求其展開式第四項(xiàng)的系數(shù)；(3)求其第四項(xiàng).分析：直接用二項(xiàng)式定理展開式.解：(3)10的展開式的通項(xiàng)是Tr+1=C(3)10r()r(r=0，1，10).(1)展開式的第4項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)為C=120.(2)展開式的第4項(xiàng)的系數(shù)為C37

4、()3=77760.(3)展開式的第4項(xiàng)為77760()7，即77760.說明：注意把(3)10寫成3+()10，從而湊成二項(xiàng)式定理的形式.【例5】求二項(xiàng)式(x2+)10的展開式中的常數(shù)項(xiàng).分析：展開式中第r+1項(xiàng)為C(x2)10r()r，要使得它是常數(shù)項(xiàng)，必須使“x”的指數(shù)為零，依據(jù)是x0=1，x0.解：設(shè)第r+1項(xiàng)為常數(shù)項(xiàng)，則Tr+1=C(x2)10r()r=Cx()r(r=0，1，10)，令20r=0，得r=8.T9=C()8=.第9項(xiàng)為常數(shù)項(xiàng)，其值為.說明：二項(xiàng)式的展開式的某一項(xiàng)為常數(shù)項(xiàng)，就是這項(xiàng)不含“變元”，一般采用令通項(xiàng)Tr+1中的變元的指數(shù)為零的方法求得常數(shù)項(xiàng).【例6】 (1)求

5、(1+2x)7展開式中系數(shù)最大項(xiàng)；(2)求(12x)7展開式中系數(shù)最大項(xiàng).分析：利用展開式的通項(xiàng)公式，可得系數(shù)的表達(dá)式，列出相鄰兩項(xiàng)系數(shù)之間關(guān)系的不等式，進(jìn)而求出其最大值.解：(1)設(shè)第r+1項(xiàng)系數(shù)最大，則有即化簡得又0r7，r=5.系數(shù)最大項(xiàng)為T6=C25x5=672x5.(2)解：展開式中共有8項(xiàng)，系數(shù)最大項(xiàng)必為正項(xiàng)，即在第一、三、五、七這四項(xiàng)中取得.又因(12x)7括號(hào)內(nèi)的兩項(xiàng)中后兩項(xiàng)系數(shù)的絕對值大于前項(xiàng)系數(shù)的絕對值，故系數(shù)最大值必在中間或偏右，故只需比較T5和T7兩項(xiàng)系數(shù)的大小即可.=1，所以系數(shù)最大項(xiàng)為第五項(xiàng)，即T5=560x4.說明：本例中(1)的解法是求系數(shù)最大項(xiàng)的一般解法，(2

6、)的解法是通過對展開式多項(xiàng)分析，使解題過程得到簡化，比較簡潔.【例7】 (1+2x)n的展開式中第6項(xiàng)與第7項(xiàng)的系數(shù)相等，求展開式中二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)和系數(shù)最大的項(xiàng).分析：根據(jù)已知條件可求出n，再根據(jù)n的奇偶性確定二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng).解：T6=C(2x)5，T7=C(2x)6，依題意有C25=C26，解得n=8. (1+2x)8的展開式中，二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)為T5=C(2x)4=1120x4.設(shè)第r+1項(xiàng)系數(shù)最大，則有5r6.r=5或r=6.系數(shù)最大的項(xiàng)為T6=1792x5，T7=1792x6.說明：(1)求二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)，根據(jù)二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)，n為奇數(shù)時(shí)中間兩項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大；n為偶數(shù)

7、時(shí)，中間一項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大.(2)求展開式中系數(shù)最大項(xiàng)與求二項(xiàng)式系數(shù)最大項(xiàng)是不同的，需根據(jù)各項(xiàng)系數(shù)的正、負(fù)變化情況，一般采用列不等式，再解不等式的方法求得.應(yīng)用篇【例8】若nN*，(+1)n=an+bn(an、bnZ)，則bn的值()bna有相同的奇偶性分析一：形如二項(xiàng)式定理可以展開后考查.解法一：由(+1)n=an+bn，知an+bn=(1+)n=C+C+C()2+C()3+ +C()n.bn=1+C()2+C()4+ bn為奇數(shù).答案：A分析二：選擇題的答案是唯一的，因此可以用特殊值法.解法二：nN*，取n=1時(shí)，(+1)1=(+1)，有b1=1為奇數(shù).取n=2時(shí)，(+1)2=2+5，有

8、b2=5為奇數(shù).答案：A【例9】若將(x+y+z)10展開為多項(xiàng)式，經(jīng)過合并同類項(xiàng)后它的項(xiàng)數(shù)為()A.11B.33分析：(x+y+z)10看作二項(xiàng)式展開.解：我們把x+y+z看成(x+y)+z，按二項(xiàng)式將其展開，共有11“項(xiàng)”，即(x+y+z)10=(x+y)10kzk.這時(shí)，由于“和”中各項(xiàng)z的指數(shù)各不相同，因此再將各個(gè)二項(xiàng)式(x+y) 10k展開，不同的乘積C(x+y)10kzk(k=0，1，10)展開后，都不會(huì)出現(xiàn)同類項(xiàng).下面，再分別考慮每一個(gè)乘積C(x+y)10kzk(k=0，1，10).其中每一個(gè)乘積展開后的項(xiàng)數(shù)由(x+y)10k決定，而且各項(xiàng)中x和y的指數(shù)都不相同，也不會(huì)出現(xiàn)同類項(xiàng)

9、.故原式展開后的總項(xiàng)數(shù)為11+10+9+1=66.答案：D說明：化三項(xiàng)式為二項(xiàng)式是解決三項(xiàng)式問題的常用方法.【例10】求(x+2)3展開式中的常數(shù)項(xiàng).分析：把原式變形為二項(xiàng)式定理標(biāo)準(zhǔn)形狀.解：(x+2)3=()6，展開式的通項(xiàng)是Tr+1=C()6r()r=(1)rC()62r.若Tr+1為常數(shù)項(xiàng)，則62r=0，r=3.展開式的第4項(xiàng)為常數(shù)項(xiàng)，即T4=C=20.說明：對某些不是二項(xiàng)式，但又可化為二項(xiàng)式的題目，可先化為二項(xiàng)式，再求解.【例11】求()9展開式中的有理項(xiàng).分析：展開式中的有理項(xiàng)，就是通項(xiàng)公式中x的指數(shù)為整數(shù)的項(xiàng).解：Tr+1=C(x)9r(x)r=(1)rCx.令Z，即4+Z，且r=

10、0，1，2，9.r=3或r=9.當(dāng)r=3時(shí)，=4，T4=(1)3Cx4=84x4.當(dāng)r=9時(shí)，=3，T10=(1)9Cx3=x3.()9的展開式中的有理項(xiàng)是第4項(xiàng)84x4，第10項(xiàng)x3.說明：利用二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)Tr+1可求展開式中某些特定項(xiàng).【例12】若(3x1)7=a7x7+a6x6+ +a1x+a0，求(1)a1+a2+a7；(2)a1+a3+a5+a7；(3)a0+a2+a4+a6.分析：所求結(jié)果與各項(xiàng)系數(shù)有關(guān)可以考慮用“特殊值”法，整體解決.解：(1)令x=0，則a0=1，令x=1，則a7+a6+ +a1+a0=27=128. a1+a2+a7=129.(2)令x=1，則a7+a6+

11、a5+a4+a3+a2+a1+a0=(4)7. 由得：a1+a3+a5+a7=128(4)7=8256.(3)由得a0+a2+a4+a6=128+(4)7=8128.說明：(1)本解法根據(jù)問題恒等式特點(diǎn)來用“特殊值”法，這是一種重要的方法，它用于恒等式.(2)一般地，對于多項(xiàng)式g(x)=(px+q)n=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4+a5x5+a6x6+a7x7，g(x)各項(xiàng)的系數(shù)和為g(1)，g(x)的奇數(shù)項(xiàng)的系數(shù)和為g(1)+g(1)，g(x)的偶數(shù)項(xiàng)的系數(shù)和為g(1)g(1).【例13】證明下列各式(1)1+2C+4C+ +2n1C+2nC=3n；(2)(C)2+(C)2+

12、+(C)2=C；(3)C+2C+3C+ +nC=n2n1.分析：(1)(2)與二項(xiàng)式定理的形式有相同之處可以用二項(xiàng)式定理，形如數(shù)列求和，因此可以研究它的通項(xiàng)尋求規(guī)律.證明：(1)在二項(xiàng)展開式(a+b)n=Can+Can1b+Can2b2+ +Cabn1+Cbn中，令a=1，b=2，得(1+2)n=1+2C+4C+ +2n1C+2nC，即1+2C+4C+ +2n1C+2nC=3n.(2)(1+x)n(1+x)n=(1+x)2n，(1+Cx+Cx2+ +Cxr+ +xn)(1+Cx+Cx2+ +Cxr+ +xn)=(1+x)2n.而C是(1+x)2n的展開式中xn的系數(shù)，由多項(xiàng)式的恒等定理，得CC

13、+CC+ +CC+CC=C.C=C，0mn，(C)2+(C)2+ +(C)2=C.(3)證法一：令S=C+2C+3C+ +nC.令S=C+2C+ +(n1)C+nC=nC+(n1)C+ +2C+C=nC+(n1)C+ +2C+C.由+得2S=nC+nC+nC+ +nC=n(C+C+C+C+ +C)=n(C +C+C+C+ +C)=n2n.S=n2n1，即C+2C+3C+ +nC=n2n1.證法二：觀察通項(xiàng)：kC=k.原式=nC+nC+nC+nC+ +nC=n(C+C+C+C+C)=n2n1，即C+2C+3C+ +nC=n2n1.說明：解法二中kC=nC可作為性質(zhì)記住.5精確到0.001的近似值

14、.分析：準(zhǔn)確使用二項(xiàng)式定理應(yīng)把1.997拆成二項(xiàng)之和形式如1.997=20.003.5=(20.003)5=25C240.003+C232C223+31.761.說明：利用二項(xiàng)式定理進(jìn)行近似計(jì)算，關(guān)鍵是確定展開式中的保留項(xiàng)，使其滿足近似計(jì)算的精確度.【例15】求證：51511能被7整除.分析：為了在展開式中出現(xiàn)7的倍數(shù)，應(yīng)把51拆成7的倍數(shù)與其他數(shù)的和(或差)的形式.證明：51511=(49+2)511=C4951+C49502+ +C49·250+C2511，易知除C2511以外各項(xiàng)都能被7整除.又2511=(23)171=(7+1)171=C717+C716+ +C7+C1=7(

15、C716+C715+C).顯然能被7整除，所以51511能被7整除.說明：利用二項(xiàng)式定量證明有關(guān)多項(xiàng)式(數(shù)值)的整除問題，關(guān)鍵是將所給多項(xiàng)式通過恒等變形變?yōu)槎?xiàng)式形式，使其展開后的各項(xiàng)均含有除式.創(chuàng)新篇【例16】已知(xlgx+1)nx.分析：本題看似較繁，但只要按二項(xiàng)式定理準(zhǔn)確表達(dá)出來，不難求解！解：由已知C+C+C=22，即n2+n42=0. 又nN*，n=6.T4為中間一項(xiàng)，T4=C (xlgx)3=20000，即(xlgx)3=1000. xlgx=10.兩邊取常用對數(shù)，有l(wèi)g2x=1，lgx=±1，x=10或x=.說明：當(dāng)題目中已知二項(xiàng)展開式的某些項(xiàng)或某幾項(xiàng)之間的關(guān)系時(shí)，常

16、利用二項(xiàng)式通項(xiàng)公式，根據(jù)已知條件列出等式或不等式進(jìn)行求解.【例17】設(shè)f(x)=(1+x)m+(1+x)n(m，nN*)，若其展開式中關(guān)于x的一次項(xiàng)的系數(shù)和為11，問m，n為何值時(shí)，含x2項(xiàng)的系數(shù)取最小值？并求這個(gè)最小值.分析：根據(jù)已知條件得到x2的系數(shù)是關(guān)于x的二次表達(dá)式，然后利用二次函數(shù)性質(zhì)探討最小值問題.解：C+C=n+m=11. C +C=(m2m+n2n)=，nN*，n=6或5，m=5或6時(shí)，x2項(xiàng)系數(shù)最小，最小值為25.說明：本題是一道關(guān)于二次函數(shù)與組合的綜合題.【例18】若(x+2)n的展開式的常數(shù)項(xiàng)為20，求n.分析：題中x0，當(dāng)x0時(shí)，把三項(xiàng)式(x+2)n轉(zhuǎn)化為()2n；當(dāng)x

17、0時(shí)，同理(x+2)n=(1)n()2n.然后寫出通項(xiàng)，令含x的冪指數(shù)為零，進(jìn)而解出n.解：當(dāng)x0時(shí)，(x+2)n=()2n，其通項(xiàng)為Tr+1=C()2nr()r=(1)rC()2n2r.令2n2r=0，得n=r，展開式的常數(shù)項(xiàng)為(1)rC；當(dāng)x0時(shí)，(x+2)n=(1)n()2n.同理可得，展開式的常數(shù)項(xiàng)為(1)rC.無論哪一種情況，常數(shù)項(xiàng)均為(1)rC.令(1)rCn=1，2，3，逐個(gè)代入，得n=3.說明：本題易忽略x0的情況.【例19】利用二項(xiàng)式定理證明()n1.分析：不易從二項(xiàng)展開式中得到，可以考慮其倒數(shù).證明：欲證()n1成立，只需證()n1成立.而()n1=(1+)n1=C+C+C

18、()2+ +C()n1=1+C()2+ +C()n1.說明：本題目的證明過程中將()n1轉(zhuǎn)化為(1+)n1，然后利用二項(xiàng)式定理展開式是解決本問題的關(guān)鍵.【例20】求證：2(1+)n3(nN*).分析：(1+)n與二項(xiàng)式定理結(jié)構(gòu)相似，用二項(xiàng)式定理展開后分析.證明：當(dāng)n=1時(shí)，(1+)n=2.當(dāng)n2時(shí)，(1+)n=1+C+C+ +C()n=1+1+C+ +C()n2.又C()k=，所以(1+)n2+ +2+ +=2+(1)+()+ +()=33.綜上有2(1+)n3.說明：在此不等式的證明中，利用二項(xiàng)式定理將二項(xiàng)式展開，再采用放縮法和其他有關(guān)知識(shí)，將不等式證明到底.【例21】求證：對于nN*，(1

19、+)n(1+)n+1.分析：結(jié)構(gòu)都是二項(xiàng)式的形式，因此研究二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)是常用方法.證明：(1+)n展開式的通項(xiàng)Tr+1=C=(1)(1)(1).(1+)n+1展開式的通項(xiàng)Tr+1=C=(1)(1)(1).由二項(xiàng)式展開式的通項(xiàng)可明顯地看出Tr+1Tr+1所以(1+)n(1+)n+1說明：本題的兩個(gè)二項(xiàng)式中的兩項(xiàng)均為正項(xiàng)，且有一項(xiàng)相同.證明時(shí)，根據(jù)題設(shè)特點(diǎn)，采用比較通項(xiàng)大小的方法完成本題證明.【例22】設(shè)a、b、c是互不相等的正數(shù)，且a、b、c成等差數(shù)列，nN*，求證：an+cn2bn.分析：題中雖未出現(xiàn)二項(xiàng)式定理的形式，但可以根據(jù)a、b、c成等差數(shù)列創(chuàng)造條件使用二項(xiàng)式定理.證明：設(shè)公差為d，

20、則a=bd，c=b+d.an+cn2bn=(bd)n+(b+d)n2bn=bnCbn1d+Cbn2d2+ +(1)ndn+bn+Cbn1d+Cbn2d2+ +dn=2(Cbn2d2+Cbn4d4)0.說明：由a、b、c成等差，公差為d，可得a=bd，c=b+d，這就給利用二項(xiàng)式定理證明此問題創(chuàng)造了可能性.問題即變?yōu)?bd)n+(b+d)n2bn，然后用作差法改證(bd)n+(b+d)n2bn0.【例23】求(1+2x3x2)6的展開式中x5項(xiàng)的系數(shù).分析：先將1+2x3x2分解因式，把三項(xiàng)式化為兩個(gè)二項(xiàng)式的積，即(1+2x3x2)6=(1+3x)6(1x)6.然后分別寫出兩個(gè)二項(xiàng)式展開式的通項(xiàng)

21、，研究乘積項(xiàng)x5的系數(shù)，問題可得到解決.解：原式=(1+3x)6(1x)6，其中(1+3x)6展開式之通項(xiàng)為Tk+1=C3kxk，(1x)6展開式之通項(xiàng)為Tr+1=C(x)r.原式=(1+3x)6(1x)6展開式的通項(xiàng)為CC(1)r3kxk+r.現(xiàn)要使k+r=5，又k0，1，2，3，4，5，6，r0，1，2，3，4，5，6，必須或故x5項(xiàng)系數(shù)為C30C(1)5+C31C(1)4+C32C(1)3+C33C(1)4+C34C (1)+C35C(1)0=168.說明：根據(jù)不同的結(jié)構(gòu)特征靈活運(yùn)用二項(xiàng)式定理是本題的關(guān)鍵.【例24】(2004年全國必修+選修1)()6展開式中的常數(shù)項(xiàng)為()A.15B.15C.