圓錐曲線知識(shí)點(diǎn)歸納與解題方法技巧

1、圓錐曲線解題方法技巧第一、知識(shí)儲(chǔ)藏：1. 直線方程的形式1直線方程的形式有五件：點(diǎn)斜式、兩點(diǎn)式、斜截式、截距式、一般式。2與直線相關(guān)的重要內(nèi)容傾斜角與斜率 點(diǎn)到直線的距離 夾角公式：直線 夾角為， 那么3弦長公式直線上兩點(diǎn)間的距離 4兩條直線的位置關(guān)系 =-1 或者兩平行線距離公式 距離 距離2、圓錐曲線方程及性質(zhì)1.圓錐曲線的兩定義：第一定義中要重視“括號(hào)內(nèi)的限制條件：橢圓中，與兩個(gè)定點(diǎn)F，F(xiàn)的距離的和等于常數(shù)，且此常數(shù)一定要大于，當(dāng)常數(shù)等于時(shí)，軌跡是線段FF，當(dāng)常數(shù)小于時(shí)，無軌跡；雙曲線中，與兩定點(diǎn)F，F(xiàn)的距離的差的絕對(duì)值等于常數(shù)，且此常數(shù)一定要小于|FF|，定義中的“絕對(duì)值與|FF|不可

2、無視。假設(shè)|FF|，那么軌跡是以F，F(xiàn)為端點(diǎn)的兩條射線，假設(shè)|FF|，那么軌跡不存在。假設(shè)去掉定義中的絕對(duì)值那么軌跡僅表示雙曲線的一支。如方程表示的曲線是_答：雙曲線的左支2.圓錐曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程標(biāo)準(zhǔn)方程是指中心頂點(diǎn)在原點(diǎn)，坐標(biāo)軸為對(duì)稱軸時(shí)的標(biāo)準(zhǔn)位置的方程：1橢圓：焦點(diǎn)在軸上時(shí)，焦點(diǎn)在軸上時(shí)1。方程表示橢圓的充要條件是什么？ABC0，且A，B，C同號(hào)，AB。橢圓的方程的形式有幾種？三種形式 標(biāo)準(zhǔn)方程： 距離式方程： 參數(shù)方程： 假設(shè)，且，那么的最大值是_，的最小值是_答：2雙曲線：焦點(diǎn)在軸上： =1，焦點(diǎn)在軸上：1。方程表示雙曲線的充要條件是什么？ABC0，且A，B異號(hào)。如設(shè)中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)

3、、在坐標(biāo)軸上，離心率的雙曲線C過點(diǎn)，那么C的方程為_答：3拋物線：開口向右時(shí)，開口向左時(shí)，開口向上時(shí)，開口向下時(shí)。3.圓錐曲線焦點(diǎn)位置的判斷首先化成標(biāo)準(zhǔn)方程，然后再判斷：1橢圓：由,分母的大小決定，焦點(diǎn)在分母大的坐標(biāo)軸上。如方程表示焦點(diǎn)在y軸上的橢圓，那么m的取值范圍是_答：2雙曲線：由,項(xiàng)系數(shù)的正負(fù)決定，焦點(diǎn)在系數(shù)為正的坐標(biāo)軸上；3拋物線：焦點(diǎn)在一次項(xiàng)的坐標(biāo)軸上，一次項(xiàng)的符號(hào)決定開口方向。提醒：在橢圓中，最大，在雙曲線中，最大，。4.圓錐曲線的幾何性質(zhì)：1橢圓以為例：范圍：；焦點(diǎn)：兩個(gè)焦點(diǎn)；對(duì)稱性：兩條對(duì)稱軸，一個(gè)對(duì)稱中心0,0，四個(gè)頂點(diǎn)，其中長軸長為2，短軸長為2；準(zhǔn)線：兩條準(zhǔn)線； 離心率

4、：，橢圓，越小，橢圓越圓；越大，橢圓越扁。如1假設(shè)橢圓的離心率，那么的值是_答：3或；2以橢圓上一點(diǎn)和橢圓兩焦點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形的面積最大值為1時(shí)，那么橢圓長軸的最小值為_答：2雙曲線以為例：范圍：或；焦點(diǎn)：兩個(gè)焦點(diǎn)；對(duì)稱性：兩條對(duì)稱軸，一個(gè)對(duì)稱中心0,0，兩個(gè)頂點(diǎn)，其中實(shí)軸長為2，虛軸長為2，特別地，當(dāng)實(shí)軸和虛軸的長相等時(shí)，稱為等軸雙曲線，其方程可設(shè)為；準(zhǔn)線：兩條準(zhǔn)線； 離心率：，雙曲線，等軸雙曲線，越小，開口越小，越大，開口越大；兩條漸近線：。雙曲線的方程的形式有兩種 標(biāo)準(zhǔn)方程：距離式方程：3拋物線以為例：范圍：；焦點(diǎn)：一個(gè)焦點(diǎn)，其中的幾何意義是：焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離；對(duì)稱性：一條對(duì)稱軸，沒有對(duì)

5、稱中心，只有一個(gè)頂點(diǎn)0,0；準(zhǔn)線：一條準(zhǔn)線； 離心率：，拋物線。如設(shè)，那么拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為_答：；5、點(diǎn)和橢圓的關(guān)系：1點(diǎn)在橢圓外；2點(diǎn)在橢圓上1；3點(diǎn)在橢圓內(nèi)6.記住焦半徑公式：1，可簡(jiǎn)記為“左加右減，上加下減。 2 37.橢圓和雙曲線的根本量三角形你清楚嗎？ 第二、方法儲(chǔ)藏1、點(diǎn)差法中點(diǎn)弦問題設(shè)、，為橢圓的弦中點(diǎn)那么有，；兩式相減得=2、聯(lián)立消元法：你會(huì)解直線與圓錐曲線的位置關(guān)系一類的問題嗎？經(jīng)典套路是什么？如果有兩個(gè)參數(shù)怎么辦？ 設(shè)直線的方程，并且與曲線的方程聯(lián)立，消去一個(gè)未知數(shù)，得到一個(gè)二次方程，使用判別式，以及根與系數(shù)的關(guān)系，代入弦長公式，設(shè)曲線上的兩點(diǎn)，將這兩點(diǎn)代入曲線方程得到兩

6、個(gè)式子，然后-，整體消元······，假設(shè)有兩個(gè)字母未知數(shù)，那么要找到它們的聯(lián)系，消去一個(gè)，比方直線過焦點(diǎn)，那么可以利用三點(diǎn)A、B、F共線解決之。假設(shè)有向量的關(guān)系，那么尋找坐標(biāo)之間的關(guān)系，根與系數(shù)的關(guān)系結(jié)合消元處理。一旦設(shè)直線為，就意味著k存在。例1、三角形ABC的三個(gè)頂點(diǎn)均在橢圓上，且點(diǎn)A是橢圓短軸的一個(gè)端點(diǎn)點(diǎn)A在y軸正半軸上.1假設(shè)三角形ABC的重心是橢圓的右焦點(diǎn)，試求直線BC的方程;2假設(shè)角A為，AD垂直BC于D，試求點(diǎn)D的軌跡方程.分析：第一問抓住“重心，利用點(diǎn)差法及重心坐標(biāo)公式可求出中點(diǎn)弦BC的斜率，從而寫出直線BC的方程。

7、第二問抓住角A為可得出ABAC，從而得，然后利用聯(lián)立消元法及交軌法求出點(diǎn)D的軌跡方程；解：1設(shè)B,C(,),BC中點(diǎn)為(),F(2,0)那么有兩式作差有 (1)F(2,0)為三角形重心，所以由，得，由得，代入1得直線BC的方程為2)由ABAC得 2設(shè)直線BC方程為，得， 代入2式得，解得或直線過定點(diǎn)0，設(shè)Dx,y，那么，即所以所求點(diǎn)D的軌跡方程是。4、設(shè)而不求法例2、如圖，梯形ABCD中，點(diǎn)E分有向線段所成的比為，雙曲線過C、D、E三點(diǎn)，且以A、B為焦點(diǎn)當(dāng)時(shí)，求雙曲線離心率的取值范圍。分析：本小題主要考查坐標(biāo)法、定比分點(diǎn)坐標(biāo)公式、雙曲線的概念和性質(zhì)，推理、運(yùn)算能力和綜合運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決問題的能

8、力。建立直角坐標(biāo)系，如圖，假設(shè)設(shè)C，代入，求得，進(jìn)而求得再代入，建立目標(biāo)函數(shù)，整理，此運(yùn)算量可見是難上加難.我們對(duì)可采取設(shè)而不求的解題策略,建立目標(biāo)函數(shù)，整理,化繁為簡(jiǎn). 解法一：如圖，以AB為垂直平分線為軸，直線AB為軸，建立直角坐標(biāo)系，那么CD軸因?yàn)殡p曲線經(jīng)過點(diǎn)C、D，且以A、B為焦點(diǎn)，由雙曲線的對(duì)稱性知C、D關(guān)于軸對(duì)稱 依題意，記A，C，E，其中為雙曲線的半焦距，是梯形的高，由定比分點(diǎn)坐標(biāo)公式得 ， 設(shè)雙曲線的方程為，那么離心率由點(diǎn)C、E在雙曲線上，將點(diǎn)C、E的坐標(biāo)和代入雙曲線方程得 ， 由式得 ， 將式代入式，整理得 ，故 由題設(shè)得，解得 所以雙曲線的離心率的取值范圍為 分析：考慮為焦

9、半徑,可用焦半徑公式, 用的橫坐標(biāo)表示，回避的計(jì)算, 到達(dá)設(shè)而不求的解題策略 解法二：建系同解法一，又，代入整理，由題設(shè)得，解得 所以雙曲線的離心率的取值范圍為 5、判別式法例3雙曲線，直線過點(diǎn)，斜率為，當(dāng)時(shí)，雙曲線的上支上有且僅有一點(diǎn)B到直線的距離為，試求的值及此時(shí)點(diǎn)B的坐標(biāo)。分析1：解析幾何是用代數(shù)方法來研究幾何圖形的一門學(xué)科，因此，數(shù)形結(jié)合必然是研究解析幾何問題的重要手段. 從“有且僅有這個(gè)微觀入手，對(duì)照草圖，不難想到：過點(diǎn)B作與平行的直線，必與雙曲線C相切. 而相切的代數(shù)表現(xiàn)形式是所構(gòu)造方程的判別式. 由此出發(fā)，可設(shè)計(jì)如下解題思路：把直線l的方程代入雙曲線方程，消去y，令判別式直線l在

10、l的上方且到直線l的距離為解題過程略.分析2：如果從代數(shù)推理的角度去思考，就應(yīng)當(dāng)把距離用代數(shù)式表達(dá)，即所謂“有且僅有一點(diǎn)B到直線的距離為，相當(dāng)于化歸的方程有唯一解. 據(jù)此設(shè)計(jì)出如下解題思路：轉(zhuǎn)化為一元二次方程根的問題求解問題關(guān)于x的方程有唯一解簡(jiǎn)解：設(shè)點(diǎn)為雙曲線C上支上任一點(diǎn)，那么點(diǎn)M到直線的距離為： 于是，問題即可轉(zhuǎn)化為如上關(guān)于的方程.由于，所以，從而有于是關(guān)于的方程 由可知： 方程的二根同正，故恒成立，于是等價(jià)于.由如上關(guān)于的方程有唯一解，得其判別式，就可解得 .點(diǎn)評(píng)：上述解法緊扣解題目標(biāo)，不斷進(jìn)行問題轉(zhuǎn)換，充分表達(dá)了全局觀念與整體思維的優(yōu)越性.例4橢圓C:和點(diǎn)P4，1，過P作直線交橢圓于

11、A、B兩點(diǎn)，在線段AB上取點(diǎn)Q，使，求動(dòng)點(diǎn)Q的軌跡所在曲線的方程.分析：這是一個(gè)軌跡問題，解題困難在于多動(dòng)點(diǎn)的困擾，學(xué)生往往不知從何入手。其實(shí)，應(yīng)該想到軌跡問題可以通過參數(shù)法求解. 因此，首先是選定參數(shù)，然后想方設(shè)法將點(diǎn)Q的橫、縱坐標(biāo)用參數(shù)表達(dá)，最后通過消參可到達(dá)解題的目的.由于點(diǎn)的變化是由直線AB的變化引起的，自然可選擇直線AB的斜率作為參數(shù)，如何將與聯(lián)系起來？一方面利用點(diǎn)Q在直線AB上；另一方面就是運(yùn)用題目條件：來轉(zhuǎn)化.由A、B、P、Q四點(diǎn)共線，不難得到，要建立與的關(guān)系，只需將直線AB的方程代入橢圓C的方程，利用韋達(dá)定理即可.通過這樣的分析，可以看出，雖然我們還沒有開始解題，但對(duì)于如何解決

12、此題，已經(jīng)做到心中有數(shù). 將直線方程代入橢圓方程，消去y，利用韋達(dá)定理利用點(diǎn)Q滿足直線AB的方程：y = k (x4)+1，消去參數(shù)k點(diǎn)Q的軌跡方程在得到之后，如果能夠從整體上把握，認(rèn)識(shí)到：所謂消參，目的不過是得到關(guān)于的方程不含k，那么可由解得，直接代入即可得到軌跡方程。從而簡(jiǎn)化消去參的過程。簡(jiǎn)解：設(shè)，那么由可得：，解之得： 1設(shè)直線AB的方程為：，代入橢圓C的方程，消去得出關(guān)于 x的一元二次方程： 2 代入1，化簡(jiǎn)得： (3)與聯(lián)立，消去得：在2中，由，解得 ，結(jié)合3可求得 故知點(diǎn)Q的軌跡方程為： .點(diǎn)評(píng)：由方程組實(shí)施消元，產(chǎn)生一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)的關(guān)于一個(gè)變量的一元二次方程，其判別式、韋達(dá)定理模塊思維

13、易于想到. 這當(dāng)中，難點(diǎn)在引出參，活點(diǎn)在應(yīng)用參，重點(diǎn)在消去參.，而“引參、用參、消參三步曲，正是解析幾何綜合問題求解的一條有效通道.6、求根公式法例5設(shè)直線過點(diǎn)P0，3，和橢圓順次交于A、B兩點(diǎn)，試求的取值范圍.分析：此題中，絕大多數(shù)同學(xué)不難得到：=，但從此后卻一籌莫展, 問題的根源在于對(duì)題目的整體把握不夠. 事實(shí)上，所謂求取值范圍，不外乎兩條路：其一是構(gòu)造所求變量關(guān)于某個(gè)或某幾個(gè)參數(shù)的函數(shù)關(guān)系式或方程，這只需利用對(duì)應(yīng)的思想實(shí)施；其二那么是構(gòu)造關(guān)于所求量的一個(gè)不等關(guān)系.分析1:從第一條想法入手，=已經(jīng)是一個(gè)關(guān)系式，但由于有兩個(gè)變量，同時(shí)這兩個(gè)變量的范圍不好控制，所以自然想到利用第3個(gè)變量直線A

14、B的斜率k. 問題就轉(zhuǎn)化為如何將轉(zhuǎn)化為關(guān)于k的表達(dá)式，到此為止，將直線方程代入橢圓方程，消去y得出關(guān)于的一元二次方程，其求根公式呼之欲出.所求量的取值范圍把直線l的方程y = kx+3代入橢圓方程，消去y得到關(guān)于x的一元二次方程xA= fk，xB = gk得到所求量關(guān)于k的函數(shù)關(guān)系式求根公式AP/PB = xA / xB由判別式得出k的取值范圍簡(jiǎn)解1：當(dāng)直線垂直于x軸時(shí)，可求得;當(dāng)與x軸不垂直時(shí)，設(shè)，直線的方程為：，代入橢圓方程，消去得解之得 因?yàn)闄E圓關(guān)于y軸對(duì)稱，點(diǎn)P在y軸上，所以只需考慮的情形.當(dāng)時(shí)，所以 =.由 , 解得 ，所以 ，綜上 .分析2: 如果想構(gòu)造關(guān)于所求量的不等式，那么應(yīng)該

15、考慮到：判別式往往是產(chǎn)生不等的根源. 由判別式值的非負(fù)性可以很快確定的取值范圍，于是問題轉(zhuǎn)化為如何將所求量與聯(lián)系起來. 一般來說，韋達(dá)定理總是充當(dāng)這種問題的橋梁，但此題無法直接應(yīng)用韋達(dá)定理，原因在于不是關(guān)于的對(duì)稱關(guān)系式. 原因找到后，解決問題的方法自然也就有了，即我們可以構(gòu)造關(guān)于的對(duì)稱關(guān)系式.把直線l的方程y = kx+3代入橢圓方程，消去y得到關(guān)于x的一元二次方程xA+ xB = fk，xA xB = gk構(gòu)造所求量與k的關(guān)系式關(guān)于所求量的不等式韋達(dá)定理AP/PB = xA / xB由判別式得出k的取值范圍簡(jiǎn)解2：設(shè)直線的方程為：，代入橢圓方程，消去得 *那么令，那么，在*中，由判別式可得

16、，從而有 ，所以 ，解得 .結(jié)合得. 綜上，.點(diǎn)評(píng)：范圍問題不等關(guān)系的建立途徑多多，諸如判別式法，均值不等式法，變量的有界性法，函數(shù)的性質(zhì)法，數(shù)形結(jié)合法等等. 此題也可從數(shù)形結(jié)合的角度入手，給出又一優(yōu)美解法.解題猶如打仗，不能只是忙于沖鋒陷陣，一時(shí)局部的勝利并不能說明問題，有時(shí)甚至?xí)痪植克m纏而看不清問題的實(shí)質(zhì)所在，只有見微知著，樹立全局觀念，講究排兵布陣，運(yùn)籌帷幄，方能決勝千里.第三、推理訓(xùn)練：數(shù)學(xué)推理是由的數(shù)學(xué)命題得出新命題的根本思維形式，它是數(shù)學(xué)求解的核心。以的真實(shí)數(shù)學(xué)命題，即定義、公理、定理、性質(zhì)等為依據(jù)，選擇恰當(dāng)?shù)慕忸}方法，到達(dá)解題目標(biāo)，得出結(jié)論的一系列推理過程。在推理過程中，必須

17、注意所使用的命題之間的相互關(guān)系充分性、必要性、充要性等，做到思考縝密、推理嚴(yán)密。通過編寫思維流程圖來錘煉自己的大腦，快速提高解題能力。例6橢圓長軸端點(diǎn)為，為橢圓中心，為橢圓的右焦點(diǎn)，且，求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；記橢圓的上頂點(diǎn)為，直線交橢圓于兩點(diǎn)，問：是否存在直線，使點(diǎn)恰為的垂心？假設(shè)存在，求出直線的方程;假設(shè)不存在，請(qǐng)說明理由。思維流程：寫出橢圓方程由， 由F為的重心兩根之和，兩根之積得出關(guān)于m的方程解出m 消元 解題過程： 如圖建系，設(shè)橢圓方程為,那么又即 ， 故橢圓方程為 假設(shè)存在直線交橢圓于兩點(diǎn)，且恰為的垂心，那么設(shè)，故，于是設(shè)直線為 ，由得， 又得 即 由韋達(dá)定理得 解得或舍 經(jīng)檢驗(yàn)符合條件

18、點(diǎn)石成金：垂心的特點(diǎn)是垂心與頂點(diǎn)的連線垂直對(duì)邊，然后轉(zhuǎn)化為兩向量乘積為零例7、橢圓的中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)在坐標(biāo)軸上，且經(jīng)過、三點(diǎn)求橢圓的方程：假設(shè)點(diǎn)D為橢圓上不同于、的任意一點(diǎn)，當(dāng)內(nèi)切圓的面積最大時(shí)，求內(nèi)心的坐標(biāo)；由橢圓經(jīng)過A、B、C三點(diǎn)設(shè)方程為得到的方程組解出思維流程： 由內(nèi)切圓面積最大轉(zhuǎn)化為面積最大轉(zhuǎn)化為點(diǎn)的縱坐標(biāo)的絕對(duì)值最大最大為橢圓短軸端點(diǎn)面積最大值為 得出點(diǎn)坐標(biāo)為解題過程： 設(shè)橢圓方程為，將、代入橢圓E的方程，得解得.橢圓的方程 ，設(shè)邊上的高為 當(dāng)點(diǎn)在橢圓的上頂點(diǎn)時(shí)，最大為，所以的最大值為 設(shè)的內(nèi)切圓的半徑為，因?yàn)榈闹荛L為定值6所以， 所以的最大值為所以內(nèi)切圓圓心的坐標(biāo)為.點(diǎn)石成金：

19、例8、定點(diǎn)及橢圓，過點(diǎn)的動(dòng)直線與橢圓相交于兩點(diǎn).假設(shè)線段中點(diǎn)的橫坐標(biāo)是，求直線的方程；在軸上是否存在點(diǎn)，使為常數(shù)？假設(shè)存在，求出點(diǎn)的坐標(biāo)；假設(shè)不存在，請(qǐng)說明理由.思維流程：解：依題意，直線的斜率存在，設(shè)直線的方程為，將代入， 消去整理得 設(shè) 那么 由線段中點(diǎn)的橫坐標(biāo)是， 得，解得，符合題意。所以直線的方程為 ，或 . 解：假設(shè)在軸上存在點(diǎn)，使為常數(shù). 當(dāng)直線與軸不垂直時(shí)，由知 所以 將代入，整理得 注意到是與無關(guān)的常數(shù)， 從而有， 此時(shí) 當(dāng)直線與軸垂直時(shí)，此時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo)分別為，當(dāng)時(shí)， 亦有 綜上，在軸上存在定點(diǎn)，使為常數(shù).點(diǎn)石成金： 例9、橢圓的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上，長軸長是短軸長的2倍且經(jīng)過點(diǎn)M2，1，平行于OM的直線在y軸上的截距為mm0，交橢圓于A、B兩個(gè)不同點(diǎn)。 求橢圓的方程； 求m的取值范圍； 求證直線MA、MB與x軸始終圍成一個(gè)等腰三角形.思維流程：解：1設(shè)橢圓方程為那么 橢圓方程為直線l平行于OM，且在y軸上的截距為m又KOM= 由直線l與橢圓交于A、B兩個(gè)不同點(diǎn)， 設(shè)直線MA、MB的斜率分別為k1，k2，只需證明k1+k2=0即可設(shè) 那么由而故直線MA、MB與x軸始終圍成一個(gè)等腰三角形.點(diǎn)石成金：直線MA、MB與x軸始終圍成一個(gè)等腰三角形例10、雙曲線的離心率，過的直線到原點(diǎn)的距離是 1求雙曲