全國數(shù)學建模大賽A題獲獎論文

1、摘要本文旨在對城市土壤地質(zhì)環(huán)境的重金屬污染狀況進行分析，建立模型對金屬污染物的分布特點、污染程度、傳播特征以及污染源的確定進行有效的描述、評價和定位。對于重金屬空間分布問題，首先基于克里金插值法，應用Surfer 8軟件對各數(shù)據(jù)點的分布情況進行模擬，得到了直觀的重金屬污染空間分布圖形；隨后，分別用內(nèi)梅羅綜合污染指數(shù)以及模糊評價標準和模型對城區(qū)內(nèi)不同區(qū)域重金屬的污染程度進行了評判。對于金屬污染的主要原因分析問題，基于因子分析法、問題一的結果和對各個金屬污染物的來源分析等因素，判斷出金屬污染的主要原因有：工業(yè)生產(chǎn)、汽車尾氣排放、石油加工并推測該區(qū)域是鎳礦富集區(qū)。隨后討論了污染源之間的相互關系和不同

2、金屬的污染貢獻率。針對污染源位置確定問題，我們建立了兩個模型：模型一以流程圖的形式出現(xiàn)，基于污染傳播的一般規(guī)律建立模型，求取污染源范圍，模型作用更傾向于確定污染源的位置；模型二基于最小二乘法原理，建立了擬合二次曲面方程，在有效確定污染源的同時也反映了其傳播特征，模型更加清楚，理論性也更強。在研究城市地質(zhì)環(huán)境的演變模式問題中，我們對針對污染源位置確定問題所建模型的優(yōu)缺點進行了評價，同時建立了考慮了時間，地域環(huán)境和傳播媒介的污染物傳播模型，從而反映了地質(zhì)的演變。 綜上所述，本文模型的特點是從簡單的模型建立起，強更準確的數(shù)學模型發(fā)展，逐步達到目標期望。關鍵詞：重金屬污染，克里金插值 最小二乘法 因子

3、分析 流程圖一、問題重述1.1問題背景 隨著城市經(jīng)濟的快速發(fā)展和城市人口的不斷增加，人類活動對城市環(huán)境質(zhì)量的影響日顯突出。對城市土壤地質(zhì)環(huán)境異常的查證，以及如何應用查證獲得的海量數(shù)據(jù)資料開展城市環(huán)境質(zhì)量評價，研究人類活動影響下城市地質(zhì)環(huán)境的演變模式，日益成為人們關注的焦點。評價和研究城市土壤重金屬污染程度，討論土壤中重金屬的空間分布，研究城市土壤重金屬污染特征、污染來源以及在環(huán)境中遷移、轉化機理，并對城市環(huán)境污染治理和城市進一步的發(fā)展規(guī)劃提出科學建議，不僅有利于城市生態(tài)環(huán)境良性發(fā)展，有利于人類與自然和諧，也有利于人類社會健康和城市可持續(xù)發(fā)展1。按照功能劃分，城區(qū)一般可分為生活區(qū)、工業(yè)區(qū)、山區(qū)、

4、主干道路區(qū)及公園綠地區(qū)等，不同的區(qū)域環(huán)境受人類活動影響的程度不同?，F(xiàn)對某城市城區(qū)土壤地質(zhì)環(huán)境進行調(diào)查。為此，將所考察的城區(qū)劃分為間距1公里左右的網(wǎng)格子區(qū)域，按照每平方公里1個采樣點對表層土（010 厘米深度）進行取樣、編號，并用GPS記錄采樣點的位置。應用專門儀器測試分析，獲得了每個樣本所含的多種化學元素的濃度數(shù)據(jù)。另一方面，按照2公里的間距在那些遠離人群及工業(yè)活動的自然區(qū)取樣，將其作為該城區(qū)表層土壤中元素的背景值。1.2 目標任務(1) 給出8種主要重金屬元素在該城區(qū)的空間分布，并分析該城區(qū)內(nèi)不同區(qū)域重金屬的污染程度。(2) 通過數(shù)據(jù)分析，說明重金屬污染的主要原因。(3) 分析重金屬污染物的

5、傳播特征，由此建立模型，確定污染源的位置。(4) 分析所建立模型的優(yōu)缺點，為更好地研究城市地質(zhì)環(huán)境的演變模式，分析還應收集的信息，并進一步探索怎樣利用收集的信息建立模型及解決問題。二、 模型假設1） 忽略地下礦源對污染物濃度的影響；2） 認為海拔對污染物的分布較小，故只在少數(shù)模型中討論其作用；3） 認為題目中的采樣方式是科學的，能夠客觀反映污染源的分布。三、 符號說明污染物的環(huán)境污染指數(shù)污染物的實測值污染物的背景值土壤污染指數(shù)的最大值土壤污染指數(shù)的平均值 區(qū)域土壤的平均值區(qū)域土壤評價因素上限區(qū)域土壤評價因素下限3.2 問題三中模型一的符號說明采樣點空間坐標值所在功能區(qū)污染源濃度基準半徑污染源范

6、圍半徑3.3 問題三中模型二的符號說明采樣點坐標值濃度模型系數(shù)Q總誤差3.4 問題四符號說明城市歷史時間統(tǒng)計值第i種元素在t時刻的污染濃度；（i=1,2,8,依次代表As、Cd、Cr、Cu、Hg、Ni、Pb、Zn）第i種元素在液態(tài)載體中的遷移矢量；第i種元素在氣態(tài)載體中的遷移矢量；第i種元素在固態(tài)載體中的遷移矢量；、 第i種元素在氣、液、固三種狀態(tài)下在t時刻的加權值其他因素四、 模型的建立與求解 金屬元素在該城區(qū)的空間分布針對題目中對于地理坐標的要求，我們選用Surfer 8軟件對各數(shù)據(jù)點的分布情況進行直觀的圖形求解。首先將數(shù)據(jù)采集進該軟件，接下來對數(shù)據(jù)點進行網(wǎng)格化處理。在這里我們采用的是克里

7、金（Kriging）插值法。該插值法是一種地質(zhì)統(tǒng)計網(wǎng)格化方法。它首先考慮的是空間屬性在空間位置上的變異分布，確定對一個待插值點有影響的距離范圍，然后用此范圍內(nèi)的采樣點來估計待插點的屬性值。由于它考慮了采樣點的形狀、大小及與待估計地段相互間的空間位置等集合特征以及品位的空間結構之后，為達到線性、無偏和最小估計方差的估計，而對每個采樣點賦予一定的系數(shù)，最后加權平均來估計塊段品位的方法。2同時由于克里金插值法是一種光滑插值法，相對于多元回歸插值法以及最小曲率插值法等其他插值法在解決像本題這一類數(shù)據(jù)點較多的問題內(nèi)插的結果可信度較高，且在空間問題上具有合理的解決方式，所以采用該插值法。最后進行制圖和統(tǒng)計

8、，具體方法如下：（1）利用該軟件的地圖中的等值線圖和線框圖功能制作出金屬濃度地理分布圖；（2）綜合等值線圖及線框圖對重金屬高濃度區(qū)域進行標注，分別求出其二維坐標范圍；（3）從統(tǒng)計數(shù)據(jù)中分理處該范圍內(nèi)的取樣點數(shù)據(jù)，得到該城區(qū)8種主要重金屬元素在該城市的空間分布。圖1 各取樣點的As含量分布圖以上為各取樣點的As含量分布圖（其余元素分布圖見附件1），通過分析可得該元素主要分布在如下三個區(qū)域：（1）3703x6391，6157y8541 （2）11335x14248，1584y4449 （3）16598x19568，8933y3為重污染；（2）綜合污染指數(shù) 2-3 為中污染；（3）綜合污染指數(shù) 1-

9、2 為輕污染；（4）綜合污染指數(shù) -1 為警戒級；（5）綜合污染指數(shù) 為安全級。從表中我們可以直觀的看到，五個功能區(qū)的環(huán)境污染都十分的嚴重，最輕的也為輕度污染，交通區(qū)和工業(yè)區(qū)的污染尤其嚴重所有元素都為，而居民區(qū)的鉛和鋅污染很嚴重，山區(qū)的污染程度最輕。但是這組數(shù)據(jù)評判標準有一些問題：某些污染指數(shù)如Hg超標十分嚴重，超出標準幾百倍且在山區(qū)也為重污染，這不禁使我們感到這套評價體系很可能并不使用于該地區(qū)的土壤環(huán)境評估。對此，我們引入模糊評價標準和模型，并以Hg為例說明其使數(shù)據(jù)的評價作用更符合實際。土壤環(huán)境標準隸屬函數(shù)模型土壤清潔度的隸屬函數(shù):其中為 區(qū)域土壤的平均值，為區(qū)域土壤評價因素上限，為區(qū)域土壤

10、評價因素下限。其中和 可由國家評價標準結合本題的背景數(shù)據(jù)共同完成。以Hg為例，其國家標準見表4表4土壤環(huán)境質(zhì)量標準（GB156181995）級別元素一級二級三級汞（mg/g） 上表中的一級標準即對應的是背景值，這與題目數(shù)據(jù)中所給的背景值相差較大，故將其更改為我們的背景值，同時，為了更加清晰的看到各區(qū)的污染程度，我們采用五級標準制，見表5表5結合本題制定的Hg土壤質(zhì)量標準值Hg土壤環(huán)境質(zhì)量標準值污染等級一級二級三級四級五級污染嚴重程度清潔輕度污染中度污染嚴重污染極嚴重污染Hg標準濃度ng/g3530050010001500現(xiàn)在我們由Hg的模糊隸屬函數(shù)即可求出其污染等級，見表6Hg土壤環(huán)境標準隸屬

11、函數(shù)：表6 Hg濃度在五個區(qū)域中的模糊聚類評價等級Hg濃度在五個區(qū)域中的模糊聚類評價等級區(qū)域12345污染等級一級三級一級三級一級由此表，我們看出交通區(qū)和工業(yè)區(qū)的Hg污染等級為中度污染，其他幾個區(qū)的污染等級為清潔，比較符合我們的實際情況。用同樣的方法，我們求的了其他七種元素的污染等級，見表7表7其他元素濃度在五個區(qū)域中的模糊聚類評價等級其他元素濃度在五個區(qū)域中的模糊聚類評價等級12345As一級二級一級一級一級Cd三級三級一級三級三級Cr二級二級一級二級一級Cu二級四級一級二級二級Ni二級五級三級五級二級Pb二級三級二級二級二級Zn三級四級一級三級二級 與此同時，我們在附錄中還提供了一種單項污

12、染指數(shù)模型的修正模型，希望對該模型的建立有所幫助。對于問題二，意在說明重金屬污染的主要原因?；谝蜃臃肿臃ㄅ袛嘀亟饘傥廴镜闹饕蚨嘧兞垦芯恐?，由于變量的個數(shù)很多，并且彼此往往存在一定的相關性，因此使觀察的數(shù)據(jù)反映的信息在一定程度上重疊。因子分析則是通過一種降維方法進行簡化得到綜合指標。綜合指標之間既互不相關，又能反映原來的觀察指標的信息。因子分析從變量的相關矩陣出發(fā)將一個m 維的隨機向量X分解成低于m個且有代表性的公因子和一個特殊的m維向量，使其公因子數(shù)取得最佳的個數(shù)，從而使對m維隨機向量的研究轉化成對較少個數(shù)的公因子的研究。3題中土壤單點樣重金屬元素含量的數(shù)據(jù)特征完全符合因子分析的要求，在

13、這里以Hg、Cd、Pb、As、Cu、Cr、Ni、Zn八種重金屬元素指標作因子分析，這樣在解釋各指標變化異常時可以著重討論綜合指標因子，同時為題中重金屬污染成因的解釋提供一定的理論依據(jù)。下面對各功能區(qū)土壤采點樣重金屬元素含量的數(shù)據(jù)標準化處理后，經(jīng)SPSS13.0 for windows統(tǒng)計軟件進行因子分析，可得出以下結果。1）給出題中表層土壤Hg、Cd、Pb、As、Cu、Cr、Ni、Zn八種重金屬原始含量數(shù)據(jù)的相關系數(shù)矩陣。表8 相關系數(shù)矩陣表中可見，Ni和Cr的相關系數(shù)最大，為0.716，相關性最好，從成因上來分析，相關性較好的元素可能在成因和來源上有一定的關聯(lián)。其原因肯能是：1.工業(yè)生產(chǎn)的相

14、互關聯(lián)性，鎳和鉻合金是工業(yè)上常用的合金。2.考慮到表7中山區(qū)也含有很高濃度的鎳，可以推斷該城區(qū)富含鎳礦，而對鎳礦的開采和鎳鉻合金的冶煉是其污染的主要原因。其次為Pb和Cd，相關系數(shù)為0660，這確實出乎我們的意料，因為一般鎳鎘合金出現(xiàn)在一起比較多，但了解了Pb和Cd的物理性質(zhì)后，我們不難發(fā)現(xiàn)這兩種金屬的一些共同點：1.它們都廣泛用于蓄電池的制造且易于以氣態(tài)的方式進行傳播4。所以推斷其污染原因是工業(yè)廢水的排放。另外，我們從表7中可以看到Pb的污染等級很平均，那是因為像鉛在石油中含量很大，故在工業(yè)區(qū)中其污染原因是石油能源的燃燒與化工產(chǎn)品的生產(chǎn)；而汽車也以石油為動力源，故在交通區(qū)，其也有廣泛的分布；

15、而化工產(chǎn)品的使用，生活區(qū)的鉛含量有時會很大，這在附件數(shù)據(jù)中也有反映，鉛的最大濃度出現(xiàn)在生活區(qū)。以下依次是Cr和Cu，Pb和Cu，相關系數(shù)分別為0.532，0.520，其它元素之間的相關性并不是很好。2）利用相關系數(shù)矩陣求出相應的因子的特征值和累計貢獻率，見表9表9 特征值和累計貢獻率從表中可見，在累積方差為87.756 (85 )的前提下，分析得5個主因子，可以看到5個主因子提供了源資料87.756的信息，滿足因子分析的原則。從上表可以看出旋轉前后總的累計貢獻率有發(fā)生變化，即總的信息量沒有損失。而且，表中顯示旋轉之后，主因子1和主因子2的方差貢獻率均為22左右，主因子2到主因子5的方差貢獻率的

16、范圍為11.898到15.215之間。這可以解釋為因子1和因子2可能為本市土壤重金屬污染的最重要的污染源，從而推測出金屬污染的原因主要是本市重金屬污染的貢獻最大，因子3、因子4、因子5對本市重金屬污染有重要作用。而從上面分析和下面的因子組成可知因子1和因子2主要是工業(yè)污染和交通廢氣污染，故更加確定了污染原因。3）因子的相關分析因子分析的主要目的是將具有相近的因子荷載的各個變量置于一個公因子之下，正交方差最大旋轉使每一個主因子只與最少個數(shù)的變量有相關關系，而使足夠多的因子負荷均很小，以便對因子的意義作出更合理的解釋。輸出結果見表。表10正交方差最大旋轉后的矩陣基于旋轉理論：變量與某一個因子的聯(lián)系

17、系數(shù)絕對值(載荷)越大，則該因子與變量關系越近。正交因子解說明：因子1為Cr、Ni和Cu的組合，這說明這幾種土壤重金屬污染物可能是同一來源或相似來源；因子2為Cd和Pb的組合表明兩者可能有相似的來源；因子3為Hg；因子4為As；因子5為Zn。這里，我們對Hg的污染原因作出分析。Hg在土壤的污染嚴重，污染區(qū)域大多處于某一工業(yè)區(qū)或某大型污染企業(yè)，其來源比較單一，廢氣和廢水是其污染的主要來源。5表11中國土壤重金屬污染物來源6來源重金屬礦產(chǎn)開采、冶煉、加工排放的廢氣、廢水和廢渣Cr Hg As Pb Ni Mo煤和石油燃燒過程中排放的飄塵Cr Hg As Pb 電鍍工業(yè)廢水Cr Cd Ni Pb C

18、u Zn塑料、電池、電子工業(yè)排放的廢水Hg Cd Pb Ni ZnHg工業(yè)排放的廢水Hg染料、化工制革工業(yè)排放的廢水Cr Cd汽車尾氣Pb農(nóng)藥、化肥As Cu Cd 模型綜述對于問題的第三問我們主要采取了兩個模型：一是以全體坐標為研究對象，通過假設污染源來進行比較和檢索，從而確定污染源的范圍。二是以第一問中的圖像和污染源范圍為基礎，利用已經(jīng)篩選了的數(shù)據(jù)，基于最小二乘法的原理，作出其污染源的目標函數(shù)，直接求出污染源的空間坐標。 模型一根據(jù)第一問所得出的8種主要重金屬元素在該城區(qū)的空間分布圖，以及統(tǒng)計得出的八種元素的濃度排序，首先在元素濃度集中分布區(qū)選擇一個濃度較高點，其中為其空間坐標，為其所在功

19、能區(qū)，由于題目中所提到的采樣特點，我們可以找到其相鄰的兩個采樣點和 ，我們根據(jù)污染物擴散的基本原理，認為一般情況下：污染物濃度與距污染源的空間距離成反比關系，反映到所選的濃度最高點上，即：我們在這里設這個最初距離為。所以我們要做的第一步是：若現(xiàn)實情況下，我們則保留，若不然，我們就用中較大的點代替，并重復上面的比較。接著我們進行第二步，將中的較大值賦值給R作為基準值，其編號賦值給m隨后順藤摸瓜，找到另一個與相鄰的采樣點，計算它與的距離r。 在第三步中，我們對R與r進行比較，若：就對與做比較，若，則將賦值給，r的值賦值給R，繼續(xù)順藤摸瓜。若，我們則考慮這可能是個意外因素，比如處的地勢較低或是順風區(qū)

20、等等，仍將賦值給，r的值賦值給R，繼續(xù)順藤摸瓜；若，則則將賦值給，r的值賦值給R，繼續(xù)順藤摸瓜，若不然則重復第一步中有關置換濃度最高點的方法。第四步中，我們要對這個循環(huán)算法選一個終止條件，在參照了第一問圖中污染物聚集區(qū)的大體范圍后，我們以，即以一個在其相鄰上下三個采樣點中濃度保持遞減的采樣點為污染源范圍基準點。同時，我們以為半徑來劃定污染源的范圍。下面，我們用一個流程圖來形象的描述我們的求解過程：圖3 流程圖（見下頁）由于要輸投入的數(shù)據(jù)量較大，在這里，我們僅以As為例作出其污染源范圍，相關程序附于附件上。所得到的污染源范圍是以（74，781，5）為原點，以1042m為半徑的區(qū)域范圍。 模型二我

21、們建立這個模型的基本思路是：依照各元素的濃度與坐標點的關系，利用最小二乘法擬合曲面方程。同時，通過對所求的曲面方程求極值，得到的極值點一方面可以在空間上反映重金屬元素的分布，另一方面可結合極值點附近的元素濃度分布，來判斷污染源的位置。1.曲面方程的規(guī)范化形式及其系數(shù)本題中，我們采用二次曲面方程表示各濃度與坐標點的關系。二次曲面方程可表示為7，對于給定的一組數(shù)據(jù)點，k=1,2,N，求作m次(m=N)多項式使總誤差為最小。這里Q可看作是關于的函數(shù)，共有(m+1)(m+2)/2個未知量,所以上述擬合多項式的構造問題可以歸結為求多元函數(shù)的極值問題，即應滿足，因而得化簡并交換求和符號后得，8本題中以Cu

22、元素為例，在其空間分布圖的基礎上，縮小范圍擬合其濃度與坐標的關系。表 12 Cu元素集中分布數(shù)組編號x(m)y(m)海拔(m)Cu (g/g)1324273971226.57 2124865999229.01 7288336171544.81 150402029902746.01 23357362135104.89 14352643577123.27 6164727286308.61 223299601841364.85 82383369272528.48 利用最小二乘法求二次曲面方程的過程如下（X 、Y單位取km）：（1）求出坐標x、y立方、四次方對應的值（見附錄）；（2）計算z 與坐標x、

23、y平方的乘積（見附錄）；（3）列出包含6個未知系數(shù)的方程組，利用matlab求解出的系數(shù)為：C=1.0e+003 *即所擬合的二次曲面方程為：對于污染源，我們可以考慮對曲面方程求極大值，相當于對求極小值。也即（忽略了共同比例和常數(shù)項）模型的優(yōu)缺點在此我們針對第三問中的模型進行評判。對于模型一，其優(yōu)點是：1)層次分明，易于理解；2）覆蓋的數(shù)據(jù)全面；3）考慮因素全面，比如考慮進了海拔的影響。其缺點是：1）數(shù)據(jù)量大，輸入繁瑣枯燥；2）污染源表示為以采樣點為中心的圓形區(qū)域，無法精確到點。對于模型二，其優(yōu)點是：1）數(shù)學模型清晰；2）可以將污染源確定到點，進一步縮小了污染源范圍；3）數(shù)學原理明確；4）需要

24、處理的數(shù)據(jù)量小。其缺點是：1）所取的擬合點有限，且模型不可能通過所有采樣點；2）忽略了海拔對采樣點的影響。對于這兩個模型，由于受資料的限制，無法討論污染源擴散與時間，天氣，溫度的關系。 地質(zhì)環(huán)境演變模型研究城市地質(zhì)環(huán)境的演變環(huán)境首先要對該城市在不同時期內(nèi)的水陸分布有初步的坐標定位以便作出比較。從土壤分類上可分為飽和土壤和非飽和土壤。飽和土壤的意思是土壤中所有孔隙全部充滿水。一般情況下，土壤都是出于水分不飽和狀態(tài)的。只有在淹漬條件下，才會出于水分飽和狀態(tài)。所以假設城市土壤絕大部分為非飽和土壤。將土壤視為非飽和多孔介質(zhì), 描述非飽和多孔介質(zhì)中多種遷移場量耦合的熱質(zhì)遷移機制, 與污染物在土壤中對流-

25、 彌散遷移規(guī)律相結合, 并且考慮土壤固體骨架對重金屬污染物吸附的影響因素, 建立相關的數(shù)學模型.得出有益的結論.總體上，可以將土壤中重金屬遷移方式分為以下幾種：1）土壤中遷移 2）水流中遷移 3）大氣中沉降及降雨。以上三種形式中重金屬分別是夾雜在氣液固三種形式的水載體上被土壤吸附。第一步，根據(jù)性質(zhì)建立方程：（1）連續(xù)性方程非飽和土壤中, 存在液相的蒸發(fā)或水蒸汽的冷凝, 因而在連續(xù)性方程中出現(xiàn)蒸發(fā)率或冷凝率；混合氣體中包含空氣和水蒸汽; 水蒸汽的遷移是在整體氣體遷移上，疊加了蒸汽的擴散運動，從而呈現(xiàn)液相： ； （1）混合氣體： ； （2）水蒸氣： ； （3）（2）動量方程在非飽和土壤中, 液相流

26、動受到毛細抽吸力、Darcy 阻力和重力的作用; 將孔隙中的空氣和蒸汽看作為理想混合氣, 不僅考慮混合氣的整體遷移, 而且也考慮蒸汽相對于空氣的擴散運動, 混合氣體除了受到氣相壓差、黏性力、重力作用外, 還要克服固體骨架對它的達西阻力。1）液相：-（4）2）氣相：（5）（3）蒸汽擴散方程在蒸汽隨空氣遷移的同時, 由于溫度梯度和濕分的變化, 引起蒸汽相對于空氣的擴散，因此蒸汽遷移的速度應為二者的迭加值, 即: （6） （4） 能量方程固、氣、液三相處于局部熱力學平衡態(tài), 即有: T = T l = T g = Ts , 建立能量平衡方程如下:（7）在以上方程中, 下標l、g、v、d、m分別表示液

27、體、氣體、蒸汽、空氣和表觀量; 、分別表示溫度、相含量、壓力和速度矢量;量、壓力和速度矢量; 為蒸汽相對于空氣的擴散速度; 這里氣體壓力采用分壓不分容的原理,、v分別表示定壓比熱容、密度和運動黏度;、g、分別表示時間、重力加速度和重力矢量;、分別表示水蒸汽向空氣的質(zhì)擴散率、水液向多孔骨架的擴散率、非飽和導水率、非飽和導氣率和表觀導熱系數(shù);、分別為溫度梯度和濕分梯度引起的蒸汽擴散運動的擴散系數(shù)。（5）重金屬污染物在土壤中的對流- 彌散-吸附方程重金屬污染物在土壤中的遷移受土壤中液態(tài)流體流動即對流、污染物在土壤中的擴散, 以及土壤中固體骨架對污染物吸附的影響. 綜合以上因素, 建立以下對流- 彌散

28、- 吸附方程: （8）土壤中重金屬污染物在土壤固體骨架和土壤溶液中的吸附平衡方程: （9）將吸附平衡方程( 9)結合于方程( 8)中, 得出: （10）在以上方程中, C 為重金屬污染物在土壤溶液中的濃度;、分別是溶液中的重金屬污染物在水平方向和豎直方向的擴散系數(shù);、分別表示重金屬污染物在土壤固體骨架上的吸附量、最大吸附量和土壤固體骨架的相對含量;b 為吸附常數(shù);、分別是土壤中液相流體在水平方向和豎直方向的速度; x、y 分別為水平和豎直方向的坐標。本題中可以將土壤視為非飽和土壤, 以Philip和deV ries、Whitaker 、Lu ikov3種理論為基礎, 結合了污染物在土壤中對流- 彌散-吸附特性, 建立了描述重金屬污染土壤的熱質(zhì)遷移數(shù)學方程. 方程組( 1) ( 7), 以及方程( 10)共有8個方程, 含有8個物理場量（、C），故方程組封閉, 具有可解性。9第二步，建立污染特性方程參數(shù)說明：t:城市歷史時間統(tǒng)計值：第i種元素在t時刻的污染濃度；（i=1,2,8,依次代表As、Cd、Cr、Cu、Hg、Ni、Pb、Zn） ：第i種元素在液態(tài)載體中的遷移矢量； ：第i種元素在氣態(tài)