全國(guó)高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽江西省預(yù)賽試題及解答

1、一、 填空題、若三位數(shù)是一個(gè)平方數(shù)，并且其數(shù)字和也是一個(gè)平方數(shù)，則稱(chēng)為超級(jí)平方數(shù)，這種超級(jí)平方數(shù)的個(gè)數(shù)是、函數(shù)的最大值是、直線過(guò)點(diǎn)，若它被兩平行線與所截得的線段長(zhǎng)為，則直線的方程為、滿(mǎn)足的實(shí)數(shù)的取值范圍是、若實(shí)數(shù)，且，則的取值范圍是 、在前一萬(wàn)個(gè)正整數(shù)構(gòu)成的集合中，被除余，并且被除余，被除余的元素個(gè)數(shù)是、如圖，正四面體的各棱長(zhǎng)皆為，分別是棱的中點(diǎn)，以為圓心，為半徑，分別在面內(nèi)作弧，并將兩弧各分成五等分，分點(diǎn)順次為以及，一只甲蟲(chóng)欲從點(diǎn)出發(fā)，沿四面體表面爬行至點(diǎn)，則其爬行的最短距離為二、解答題、正整數(shù)數(shù)列滿(mǎn)足：；證明：數(shù)列的任何兩項(xiàng)皆互質(zhì) 、（分）為銳角三角形的垂心，在線段上任取一點(diǎn)，延長(zhǎng)到，使，

2、作，其中為垂足，是線段的中點(diǎn)，分別為的外接圓圓心，的另一交點(diǎn)為；證明：、四點(diǎn)共圓； 、四點(diǎn)共圓；、對(duì)于任意給定的無(wú)理數(shù)及實(shí)數(shù)，證明：圓周上至多只有兩個(gè)有理點(diǎn)（縱橫坐標(biāo)皆是有理數(shù)的點(diǎn)）、從集合中刪去個(gè)數(shù)，使得剩下的元素中，任兩個(gè)數(shù)之和都不是的因數(shù)，求的最小值2015年全國(guó)高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽江西省預(yù)賽試題解答一、 填空題、若三位數(shù)是一個(gè)平方數(shù)，并且其數(shù)字和也是一個(gè)平方數(shù)，則稱(chēng)為超級(jí)平方數(shù)，這種超級(jí)平方數(shù)的個(gè)數(shù)是答案：個(gè)解：可順次列舉出：、函數(shù)的最大值是答案：解：，其定義域?yàn)?，?dāng)時(shí)，此分式的分子最大而分母最小，這時(shí)分式的值達(dá)最大，其值為、直線過(guò)點(diǎn)，若它被兩平行線與所截得的線段長(zhǎng)為，則直線的方程為答案：或者

3、解：設(shè)的方程為，將此方程分別與及聯(lián)立，解得交點(diǎn)坐標(biāo)與，據(jù)，得，即，所以，分別代入所設(shè)方程，得到或者、答案：解：、滿(mǎn)足的實(shí)數(shù)的取值范圍是答案：解：用圖像法：令，此為單位圓的上半圓，它與直線交點(diǎn)，半圓位于交點(diǎn)左側(cè)的圖像皆在直線上方；或者三角函數(shù)代換法：因，令，則，由條件式，平方得，則，又有，因此、若實(shí)數(shù)，且，則的取值范圍是 答案：解：因，所以，則，因非負(fù)，于是，從而由知，得到，（當(dāng)時(shí)取得等號(hào)）再由，則，所以，于是，（當(dāng)時(shí)取得等號(hào)），所以、在前一萬(wàn)個(gè)正整數(shù)構(gòu)成的集合中，被除余，并且被除余，被除余的元素個(gè)數(shù)是答案：個(gè)解：對(duì)于每個(gè)滿(mǎn)足條件的數(shù)，數(shù)應(yīng)當(dāng)被除皆余，且為偶數(shù)；因此，應(yīng)當(dāng)是的公倍數(shù)，且為奇數(shù)；即

4、是的奇倍數(shù)，而當(dāng)時(shí)，由于在中，共有個(gè)數(shù)是的倍數(shù)，其中的奇倍數(shù)恰有個(gè)、如圖，正四面體的各棱長(zhǎng)皆為，分別是棱的中點(diǎn)，以為圓心，為半徑，分別在面內(nèi)作弧，并將兩弧各分成五等分，分點(diǎn)順次為以及，一只甲蟲(chóng)欲從點(diǎn)出發(fā)，沿四面體表面爬行至點(diǎn)，則其爬行的最短距離為答案：解：作兩種展開(kāi)，然后比較；由于被分成五段等弧，每段弧對(duì)應(yīng)的中心角各為，被分成五段等弧，每段弧對(duì)應(yīng)的中心角也各為，若將繞線段旋轉(zhuǎn)，使之與共面，這兩段弧均重合于以為圓心，半徑為的圓周，對(duì)應(yīng)的圓心角為，此時(shí)，點(diǎn)之間直線距離為，若將繞線段旋轉(zhuǎn)，繞線段旋轉(zhuǎn)，使之皆與共面，在所得圖形中，對(duì)應(yīng)的圓心角為，此時(shí)，點(diǎn)之間直線距離為，所以最短距離是二、解答題、正整數(shù)

5、數(shù)列滿(mǎn)足：；證明：數(shù)列的任何兩項(xiàng)皆互質(zhì) 證：改寫(xiě)條件為 ，從而，等等，據(jù)此迭代得，所以，因此當(dāng)，、（分）為銳角三角形的垂心，在線段上任取一點(diǎn)，延長(zhǎng)到，使，作，其中為垂足，是線段的中點(diǎn)，分別為的外接圓圓心，的另一交點(diǎn)為；證明：、四點(diǎn)共圓； 、四點(diǎn)共圓；證：、如圖，設(shè)，連，則因，得，且，所以，與平行且相等，故，因此，四點(diǎn)共圓；、據(jù)，為的直徑，作的直徑，連，則，所以，故為平行四邊形，進(jìn)而得，與平行且相等，因此對(duì)角線與互相平分于，從而是三邊的中點(diǎn)，而由，得，所以共線，因此，又由的中位線知，因此四邊形是等腰梯形，其頂點(diǎn)共圓、對(duì)于任意給定的無(wú)理數(shù)及實(shí)數(shù)，證明：圓周上至多只有兩個(gè)有理點(diǎn)（縱橫坐標(biāo)皆是有理數(shù)的

6、點(diǎn)）證：對(duì)于點(diǎn)，用表示上述圓周上有理點(diǎn)的個(gè)數(shù)；首先，我們可以作一個(gè)合于條件的圓，其上至少有兩個(gè)有理點(diǎn)，為此，取點(diǎn)，線段中垂線的方程為:,今在上取點(diǎn)，再取 ，則以為圓心、為半徑的圓周上至少有這兩個(gè)有理點(diǎn)；其次說(shuō)明，對(duì)于任何無(wú)理點(diǎn)以及任意正實(shí)數(shù)，；為此，假設(shè)有無(wú)理點(diǎn)及正實(shí)數(shù)，在以為圓心，為半徑的圓周上，至少有三個(gè)有理點(diǎn)，為有理數(shù)，則據(jù)前一等號(hào)得 據(jù)后一等號(hào)得 記 ，則為有理數(shù)，若，則由，因?yàn)闊o(wú)理數(shù)，得，故共點(diǎn)，矛盾！同理，若，可得共點(diǎn)，矛盾！若，由、消去得，有理數(shù)，因?yàn)闊o(wú)理數(shù)，故得，所以 ，則 共線，這與共圓矛盾！因此所設(shè)不真，即這種圓上至多有兩個(gè)有理點(diǎn)于是對(duì)于所有的無(wú)理點(diǎn)及所有正實(shí)數(shù)，的最大值為、從集合中刪去個(gè)數(shù)，使得剩下的元素中，任兩個(gè)數(shù)之和都不是的因數(shù)，求的最小值答案：解：因，中任兩個(gè)元素之和不大于，由于不大于的正因數(shù)有，在的二元子集中，元素和為的有；元素和為的有；元素和為的有；元素和為的有；為直觀起見(jiàn)，我們將其畫(huà)成一個(gè)圖，每條線段兩端的數(shù)為上述一個(gè)二元子集，為了不構(gòu)成這些和，每對(duì)數(shù)（每條線段）中至少要?jiǎng)h去一個(gè)數(shù)；于是在圖